【文档说明】黑龙江省牡丹江市第三高级中学2019-2020学年高二上学期期末考试数学（理）试题【精准解析】.doc，共(18)页，1.268 MB，由小赞的店铺上传

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2019-2020学年度第一学期期末试题高二理科数学试卷考试时间：120分钟分值：150分一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.复数2iz2i−=+（i为虚数单位）在复平面内对应的点所在

象限为（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】D【解析】【详解】22(2)342(2)(2)55iiziiii−−===−++−,对应的点为34(,)55−,在第四象限，故选D.2.函数f

（x）＝x3＋4x＋5的图象在x＝1处的切线在x轴上的截距为（）A.10B.5C.－1D.37−【答案】D【解析】试题分析：因为2()34fxx=+，所以(1)7kf==，切线方程为：(1)7(1)107(1

)yfxyx−=−−=−，令0y=得37x=−，选D．考点：导数几何意义3.类比下列平面内的三个结论所得的空间内的结论成立的是①平行于同一直线的两条直线平行；②一条直线如果与两条平行直线中的一条垂直，则必与另一条垂直；③如果一条直线与两

条平行直线中的一条相交，则必与另一条相交．A.①②③B.①③C.①D.②③【答案】A【解析】试题分析：对于①空间内的类比结论为：平行于同一平面的两个平面平行，成立；对于②空间内的类比结论为：一个平面如果与两个平行平面中的一个垂直，则必与另一个垂

直，成立；．对于③空间内的类比结论为：如果一个平面与两个平行平面中的一个相交，则必与另一个相交，也成立．故选A．考点：类比推理．4.函数()323922yxxxx=−−−<有（）A.极大值5，极小值27−B.极大值5，极小值11−C.极大值5，无极小值D.极小值2

7−，无极大值【答案】C【解析】【分析】利用导函数的正负可确定原函数的单调性，由单调性可知当1x=−时，函数取极大值，无极小值；代入可求得极大值，进而得到结果.【详解】()()2369331yxxxx=−−=−+当()2,1x−−时，0y，函数单调递增；当()1,2x−时，0y，函

数单调递减当1x=−时，函数取极大值，极大值为1395−−+=；无极小值故选：C【点睛】本题考查函数极值的求解问题，关键是能够根据导函数的符号准确判断出原函数的单调性，属于基础题.5..函数y＝4x21x+单调递增区间是（）A.（0，+∞）B.()1，−C.（12，+∞）D.（1，+∞）

【答案】C【解析】【分析】先对函数求导，然后由y’＞0可得x的范围，从而可求函数的单调递增区间．【详解】解析：y′＝8x322181xxx−−=，令y′＞0，解得x12＞，则函数的单调递增区间为（12，+∞）

．故答案：C．【点睛】本题主要考查了函数的导数与函数的单调性关系的应用，属于基础试题．6.下列计算错误的是（）A.sin0xdx−=B.1023xdx=C.2202cos2cosxdxxdx

−=D.2sin0xdx−=【答案】D【解析】【分析】由微积分基本定理与定积分的几何意义易得结果．【详解】A项，()()()sincoscoscos0xdxx−−=−=−−−−=，故A正确；B项，13120022203

33xdxx==−=，故B正确；C项，因为cosx是偶函数，因此在,22−上关于y轴对称，所以cosx在,22−上与x轴围成的面积关于y轴对称，定积分表示的是函数曲线与x轴围成的面积，故在,22−定积分等于

cosx在0,2上定积分的2倍，故C正确；D项，21cos22sin2sin24xxxxdxdx−−−−−==()2sin22sin2044−−−−=−=，故D错误；故选：D

【点睛】本题主要考查微积分基本定理的应用，属于基础题.7.余弦函数是偶函数，()()1fxcosx=+是余弦函数，因此()()1fxcosx=+是偶函数，以上推理（）A.结论正确B.大前提不正确C.小前提不正确D.全不正确【答案】C【解析】【分析】根据演绎推理的三段论的要

求，找出大前提，小前提，结论，再判断正误即可.【详解】大前提：余弦函数是偶函数，正确；小前提：()()1fxcosx=+是余弦函数，因为该函数为复合函数，故错误；结论：()()1fxcosx=+是偶函数，因为该函数为非奇非偶函数，故错误；因此以上推

理形式中小前提不正确.故选：C【点睛】本题主要考查了演绎推理的相关知识，熟练掌握余弦函数的定义以及奇偶性是解答本题的关键.8.设复数z满足(2)(2)5zii−−=，则z=（）A.23i+B.23i−C.32i+D.32i−【答案】A【解析】试题分析：5(2)(2)52

2232ziiziizii−−=−==+=+−考点：复数的运算9.若函数()lnfxkxx=−在区间()1,+上单调递增，则实数k的取值范围是（）A.(,2−−B.(,1−−C.)2,+D.)1

,+【答案】D【解析】【详解】试题分析：，∵函数()lnfxkxx=−在区间()1,+单调递增，∴在区间()1,+上恒成立．∴，而在区间()1,+上单调递减，∴．∴的取值范围是)1,+．故选D．考点：利用导数研究函数的单调性.10.在

下列条件中，使M与A、B、C一定共面的是（）A.2OMOAOBOC=−−B.111532OMOAOBOC=++C.0MAMBMC++=D.0OMOAOBOC+++=【答案】C【解析】【分析】对于空间的四点M

、A、B、C，要证四点共面，只需满足OMxOAyOBzOC=++，且1xyz++=即可，然后对四个选项中的关系进行分析，找出满足上面关系的即为一定共面的选项.【详解】空间的四点M、A、B、C四点共面，只需

满足OMxOAyOBzOC=++，且1xyz++=即可，对于A，2OMOAOBOC=−−中2110xyz++=−−=，故此时四点M、A、B、C四点不共面；对于B，111532OMOAOBOC=++中1

111532xyz++=++，此时四点M、A、B、C四点不共面；对于C，0MAMBMC++=，0MOOAMOOBMOOC+++++=，即111333OMOAOBOC=++，1111333xyz++=++=，此时四点M、A、B、C四点共面；对于D，0OMOAO

BOC+++=，则OMOAOBOC=−−−，1113xyz++=−−−=−，此时四点M、A、B、C四点不共面；故选：C【点睛】本题是一道关于判断平面向量共面的题目，解答本题的关键是熟练掌握向量共面的判定方法.11.函数()fx的定义域为R，()12f−=，对任意xR，()2fx

，则()24fxx+的解集为（）A.()1,1−B.()1,−+C.(),1−−D.(),−+【答案】B【解析】【分析】构造函数()()24gxfxx=−−，利用导数判断出函数()ygx=在R上的单调

性，将不等式()24fxx+转化为()()1gxg−，利用函数()ygx=的单调性即可求解.【详解】依题意可设()()24gxfxx=−−，所以()()20gxfx=−.所以函数()ygx=在R上单调递增，又因为()

()11240gf−=−+−=.所以要使()()240gxfxx=−−，即()()1gxg−，只需要1x−，故选B.【点睛】本题考查利用函数的单调性解不等式，解题的关键就是利用导数不等式的结构构造新函数来解，

考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.12.设函数'()fx是奇函数()fx（xR）的导函数，(1)0f−=，当0x时，'()()0xfxfx−，则使得()0fx成立的x的取值范围是（）A.(,1)

(0,1)−−B.(1,0)(1,)-??C.(,1)(1,0)−−−D.(0,1)(1,)+【答案】A【解析】【详解】构造新函数()()fxgxx=,()()()2'xfxfxgxx−=，当0x时()'0gx

.所以在()0,+上()()fxgxx=单减，又()10f=，即()10g=.所以()()0fxgxx=可得01x,此时()0fx，又()fx为奇函数，所以()0fx在()(),00,−+上的解集为：()(),10,1−−.故选A.点睛：本题主要

考查利用导数研究函数的单调性，需要构造函数，例如()()xfxfx−，想到构造()()fxgxx=.一般：（1）条件含有()()fxfx+，就构造()()xgxefx=,（2）若()()fxfx−，就构造()()xfxgxe=，（3）()()2

fxfx+，就构造()()2xgxefx=，（4）()()2fxfx−就构造()()2xfxgxe=，等便于给出导数时联想构造函数.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上）13.复数11.

1izi−+=−+在复平面内,z所对应的点在第________象限．【答案】二【解析】【分析】根据复数的运算得到z的代数形式后可得答案．【详解】由题意得1(1)(1)(1)(1)11111(1)(1)2iiiiiziiii−+−+−−+−=−=−=−=−+++−，所以复数z对应的点为(1,1)−，

在第二象限．故答案为二．【点睛】本题考查复数的几何意义，解题的关键是熟练进行复数的运算，属于基础题．14.垂直于直线2610xy−+=并且与曲线3235yxx=+−相切的直线方程是_______________．【答案】360xy

++=【解析】【分析】先设出切点(),ab，求出与直线2610xy−+=垂直的直线斜率3k=−，再求出曲线3235yxx=+−的导函数在切点处的函数值，求得切点坐标后根据点斜式方程可得答案．【详解】设切点为(),ab．∵32()35yfxxx==+−，∴2()36yfxxx==+，∴2()

36faaa=+．又切线垂直于直线2610xy−+=，∴切线的斜率为2()363faaa+==−，整理得2221(1)0aaa++=+=，解得1a=−，∴32353baa=+−=−，∴切点坐标为()1,3−−，∴所求切线方程为

()331yx+=−+，即360xy++=．故答案为360xy++=．【点睛】利用导数的几何意义求曲线的切线方程时，注意“曲线在点P处的切线”和“曲线过点P的切线”两种说法的区别．第一种类型中的点P为切点，求解时直接根据导数的几何意义求解即可；

第二种类型中的点P不一定在曲线上，即使在曲线上也不一定为切点，此种类型需要转化成第一种类型求解．15.已知函数()()32,fxxaxbxabR=++的图象如图所示，它与直线0y=在原点处相切，此切线与函数

图象所围区域（图中阴影部分）的面积为274，则a的值为_________【答案】-3．【解析】试题分析：2'()32fxxaxb=++，由题意'(0)0fb==，32()fxxax=+，()00fxxxa===−或，易知0a，324340

1127()()|043124aaaxaxdxxxa−−+=+=−=−，所以3a=−．考点：导数的几何意义，定积分的几何意义．16.若RtABC△中两直角边为a，b，斜边c上的高为h，则222111hab=+，如图，在正方体的一角上截取三棱锥

PABC−，PO为棱锥的高，记21MPO=，222111NPAPBPC=++，那么M，N的大小关系是__________.【答案】MN=【解析】在RtABC△中，222cab=+①,由等面积法得chab=,∴2222chab=②，①②整理得，222111hab=+，类比知：22

22ABCPABPBCPACSSSS=++③，由等体积法得12ABCSPOPAPBPC=，∴2222214ABCSPOPAPBPC=④，③④得MN=，故答案为MN=．三、解答题（本大题共6小题，共7

0分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）17.已知曲线y=5x,求:(1)曲线上与直线y=2x-4平行的切线方程.(2)求过点P(0,5),且与曲线相切的切线方程.【答案】（1）16x-8y+25=0；（2）5x-4y+20=0.【解析】试题分

析：（1）求导数，利用曲线与直线y=2x﹣4平行，求出切点坐标，即可求出曲线与直线y=2x﹣4平行的切线的方程．（2）设切点，可得切线方程，代入P，可得切点坐标，即可求出过点P（0，5）且与曲线相切的直线的方程．试题解析：(1)设切点为(x0,y0),由y=5x,得y′0xx|==052x.所以切

线与y=2x-4平行,所以052x=2,所以x0=2516,所以y0=254.则所求切线方程为y-254=225x16−,即16x-8y+25=0.(2)因为点P(0,5)不在曲线y=5x上,故需设切点坐标为M(x1,y1),则切线

斜率为152x.又因为切线斜率为11y5x−,所以152x=11y5x−=115x5x−,所以2x1-21x=x1,得x1=4.所以切点为M(4,10),斜率为54,所以切线方程为y-10=54(x-4),即5x-4y+20=0.点睛：求曲线的切线方程是导数的重要

应用之一，用导数求切线方程的关键在于求出切点00(,)Pxy及斜率，其求法为：设00(,)Pxy是曲线()yfx=上的一点，则以P的切点的切线方程为：000'()()yyfxxx−=−．若曲线()yfx=在点00(,())Pxfx的切线平行于y轴（即导数不存在

）时，由切线定义知，切线方程为0xx=．18.已知2()(0)fxaxbxca=++，且()12f−=，()00f=，10()2fxdx=−，求a、b、c的值．【答案】6a=，0b=，4c=−．【解析】【分析】由题意对(

)fx进行求导，可得()2fxaxb=+，结合()12f−=，()00f=，列出关于a、b、c的两个方程；再对10()fxdx进行计算，得出关于a、b、c的另一个方程，将三个方程联立即可解答.【详解】∵()1

2f−=，∴2abc−+=．①又∵()2fxaxb=+，∴()00fb==．②而()11200()fxdxaxbxcdx=++，取3211()32Fxaxbxcx=++，则()2Fxaxbxc=++，∴1011()(1)(0)232fxdxFFabc=−=++=−.③解①②③得

6a=，0b=，4c=−．【点睛】本题是一道关于函数的题目，总体方法是掌握导数和积分的知识，属于基础题.19.已知函数()31fxaxbx=++的图象经过点(1)3−，且在1x=处，()fx取得极值．求：（1）函数()fx的解析式；（2）()fx的单调递增区间．【答案】（1）()3261fxxx=

−+；（2）()fx的单调递增区间为()()11−−+，，，．【解析】【分析】（1）代入点的坐标，求出导函数，解方程组可得a、b；（2）求出导函数，令导函数大于0得出函数的单调递增区间.【详解】（1）由()31fxaxbx=++的图象过点(1)3−，得13ab++=−，∵()23fxaxb

=+，又(1)30fab=+=，∴由430abab+=−+=得26ab==−，∴()3261fxxx=−+．（2）∵()266fxx=−，∴由()0fx得1x或1x−，∴()fx的单调递增区间

为(1)−−，和(1)+，．【点睛】本题是一道关于利用函数求导函数的题目，关键掌握利用导数研究函数的单调性的方法.20.如图所示，四棱锥SABCD−中，四边形ABCD为平行四边形，BAAC⊥，SA⊥平面ABCD．（

1）求证：ACSB⊥；（2）若3ABACSA===，E为线段BC的中点，F为线段SB上靠近B的三等分点，求直线SC与平面AEF所成角的正弦值．【答案】（1）见解析；（2）36.【解析】【分析】（1）由题意可证得SAAC⊥，结合BAAC⊥，由线面垂直的判定定理可证得AC⊥

平面SAB，从而可证得ACSB⊥.（2）以ABACAS、、为x轴y轴z轴建立空间直角坐标系，求出平面AEF的一个法向量，利用向量数量积即可求解.【详解】（Ⅰ）∵SA⊥平面ABCD，AC平面ABCD，∴S

AAC⊥，又BAAC⊥，SABAA=，∴AC⊥平面SAB，又SB平面SAB，∴ACSB⊥．（Ⅱ）以ABACAS、、为x轴、y轴、z轴建立如图所示坐标系，则()000A，，，()003S，，，()030C，，，33(,,0)22E，()20

1F，，，∴33,,022AE=，(2,0,1)AF=，(0,3,3)CS=−，设()nxyz=，，为平面AEF的法向量，00nAEnAF==，∴3302220xyxz+=+=，∴2yxzx=−

=−，令1x=−，得一个法向量(1,1,2)n=−，33cos6||||618nCSnCSnCS===即直线SC与平面AEF所成角的正弦值为36．【点睛】本题考查了由线面垂直证线线垂直，考查了利用空间直角坐标系求线面角.21.如图，在直三棱柱111A

BCABC−中，90ACB=，30BAC=，1BC=，16AA=，M是棱1CC的中点，()1求证：1ABAM⊥；()2求直线AM与平面11AABB所成角的正弦值．【答案】（1）见解析（2）66【解析】【

分析】（1）由题意利用几何体的垂直关系建立直角坐标系，求对应向量的数量积为零，即得出垂直；（2）在（1）的坐标系中，求出面AA1B1B的法向量，再利用对应向量的数量积求余弦值的绝对值，即为所求．【详解】()1如图，以

B为原点，BA、1BB所在直线为y轴、z轴建立空间直角坐标系，则(0,B0，0)，1(0,A2，6)，(0,A2，0)，316,,222M，()10,2,6AB=−−，336,,222AM=−，10330ABAM=+−=，即1AB

AM⊥，1ABAM⊥；()2x轴⊥面11AABB，面11AABB的法向量取(1,n=0，0)，设直线AM与平面11AABB所成角为，6sincos,6AMnAMnAMn===，直线AM与平面11AABB所

成角的正弦值为66．【点睛】本题考查了线线垂直和线面角，利用几何体垂直关系建立坐标系，再利用对应向量的数量积证明线线垂直和求解线面角的正弦值，这是立体几何中常用的一种方法．22.已知函数()()()11fxlnxlnx=+−−，（1）求曲线()yfx=在点()(0)0f，处的切线方程；（2）

求证：当)1(0x，时，()323xfxx+；（3）设实数k使得()33xfxkx+对)1(0x，恒成立，求k的最大值．【答案】（1）2yx=；（2）见解析；（3）2.【解析】【分析】（1）利用函数

的导数求出在曲线上某点处的切线方程.（2）构造新函数()()323xgxfxx=−+，利用函数的单调性即可证明.（3）对k进行讨论，利用新函数的单调性求参数k的取值范围.【详解】（1）因为()()()ln1ln1

fxxx=+−−，所以()1111fxxx−=−+−，则()0112f=+=．又因为()00f=，所以曲线()yfx=在点(0())0f，处的切线方程为2yx=．（2）令()()323xgxfxx=−+，则()()()4222211xgxfxxx=−+=−．

因为()()001gxx，所以()gx在区间(0)1，上单调递增．所以()()001)0(gxgx=，，，即当)1(0x，时，()323xfxx+．（3）由（2）知，当k2时，()33xfxkx+对)1(0x，恒成立．当2k时，令

()()33xhxfxkx=−+，则()()()422(2)11kxkhxfxkxx−−=−+=−．所以当420kxk−时，()0hx，因此()hx在区间420,kk−上单调递减．当420kxk−时，()()00hxh=，即()33xf

xkx+．所以当2k时，()33xfxkx+并非对)1(0x，恒成立．综上可知，k的最大值为2．【点睛】本题主要考查导数的运用：求切线的方程，考查不等式的证明、注意运用单调性，属于中档题.