【文档说明】四川省南充市嘉陵第一中学2022-2023学年高二下学期6月月考数学（理科）试题 含解析.docx，共(18)页，1.728 MB，由小赞的店铺上传

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高二下期第三次考试数学（理科试题）一、单选题（每题5分，共60分）1.已知(1i)2iz+=−，则在复平面内复数z对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】A【解析】【分析】由复数的除法运算，和共轭复数的概

念求得z，由复数的几何意义可得结论．【详解】由题意22i(2i)(1i)22iii13i13i1i(1i)(1i)2222z−−−−−+−=====−++−，13i22z=+，对应点坐标为13(,)22，在第一象限，故选：A．2.将221xy+=上所有点经过伸缩变换：132

xxyy==后得到的曲线方程为（）A.22941xy+=B.22419xy+=C.22194xy+=D.22914yx+=【答案】D【解析】【分析】由变换：132xxyy==变形得到32xxyy

==，再代入221xy+=，化简即可.【详解】由132xxyy==得32xxyy==，代入221xy+=得()22312yx+=，化简得()()22914yx+=，即22914yx+=.故选：D3.设双曲线22221(0,0

)xyabab−=的渐近线方程为43yx=，则此双曲线的离心率为（）A.53B.54C.43D.35【答案】A【解析】【分析】根据渐近线方程求出a与b的关系即可.【详解】双曲线22221xyab−=的渐近线方程为：44,,33bbyxba

aa===，又2222222221625255,,9993ccabaaaeea=+=+====；故选：A.4.已知函数()fx的导函数为()fx，且满足()()21lnfxxfx=+，则()1f=（）A.1B.12−C.

1−D.e【答案】C【解析】【分析】在等式()()21lnfxxfx=+求导，再令1x=，可得出关于()1f的等式，解之即可.【详解】在等式()()21lnfxxfx=+两边求导得()()121fxfx=+，所以，()()1211ff=+，解得

()11f=−.故选：C.5.已知椭圆22221(0)xyabab+=过点()3,2−且与双曲线22132xy−=有相同焦点，则椭圆的离心率为（）A.36B.34C.33D.32【答案】C【解析】【分析】由题可得225ab−=，22941ab+=，联立方程可求得22,ab，

然后代入公式222abea−=，即可求得本题答案.【详解】因为椭圆与双曲线22132xy−=有相同焦点，所以椭圆两个焦点分别为12(5,0),(5,0)FF−，则2225cab=−=①，又椭圆过点()3,2P−，所以22

941ab+=②，结合①，②得，2215,10ab==，所以22215103153abea−−===，故选：C6.关于x的方程20xaxb++=，有下列四个命题：甲：1x=是方程的一个根；乙：4x=是方程的一个根；丙：该方程两根之和为2；丁：该方程两根异号.如果只有一个假命题，则假命题是（）

A.甲B.乙C.丙D.丁【答案】A【解析】【分析】确定甲或乙为假命题，丙丁为真命题，假设甲为真命题，得到矛盾，得到答案.【详解】根据题意：甲乙丙中有矛盾，其中有一个假命题；甲乙丁中有矛盾，其中有一个假命题；故甲或乙为假命题，丙丁为真命题.假设甲为真命题，1x

=是方程的一个根，方程两根之和为2，则另外一个根为1，与丁矛盾，假设不成立，故甲为假命题.假设乙为真命题，4x=是方程的一个根，方程两根之和为2，则另外一个根为2−，满足条件.综上所述：甲为假命题.故选：A.7.已知函数e(21)()1xxfxx−=

−，则()fx的大致图象为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】利用导数判定单调性结合特殊区间即可得出选项.【详解】()()22e(21)e(23)(),11xxxxxfxfxxx−−==−−，令()()30,0,2fxx−+，所以()fx在()

,0−和3,2+上单调递增，又当0x时，10,210,e0xxx−−，()0fx.故选：C8.设22ea=，ln22b=，1ec=，则a，b，c的大小关系为（）A.cbaB.bacC

.acbD.abc【答案】D【解析】【分析】构造函数ln()(0)xfxxx=，研究其单调性，进而可以比较a，b，c的大小.【详解】令ln()(0)xfxxx=，21ln()xfxx−=，所以()0,ex时，()0fx，()fx单调递增，()e,+x

时，()0fx，()fx单调递减，22222lne(e)eeaf===，ln22ln2ln4(4)2224bf====，1lneeec==，因为2e4e，所以abc.故选：D.9.已知P是抛物线24yx=上

的一个动点，则点P到直线1:34120lxy−+=和2:20lx+=的距离之和的最小值是（）A.3B.4C.225D.6【答案】B【解析】【分析】先判断直线1l与抛物线的位置关系，过点P作1⊥PMl于点M，PNl⊥于点N，连接PF，根据抛物线的定义，得到PNPF=，推出PNPMPFPM+=+，

结合图形，可得M，P，F共线时，PFPM+最小，进而可得出结果.【详解】由2434120yxxy=−+=消去x得2161603yy−+=，因为24161630=−−，所以方程2161603yy−+=无解，即直线1:34120lxy−+=与抛物线无交点；过点P作1⊥PMl

于点M，PNl⊥于点N，记抛物线24yx=的焦点为()1,0F，连接PF，因为2:20lx+=点P到直线2:20lx+=的距离为1PN+,:10lx+=为抛物线24yx=的准线，根据抛物的定义可得，PNPF=，则P到直线1l和2l的距离之和为11PNPMPFPM++=++，若M

，P，F三点不共线，则有PFPMFM+，当M，P，F三点共线，且P位于MF之间时，PFPMFM+=，则PFPMFM+，又()223012334FM−+==+−，所以1314PNPMPFPM+=+++=，即所求距离和的最小值为4.故选：B.10.动圆P过定点M(0，2

)，且与圆N：()2224xy++=相内切，则动圆圆心P的轨迹方程是（）A.()22103xyy−=B.2213xy−=C.()22103yxy−=D.2213yx+=【答案】A【解析】【分析】根据圆与圆的位置关系，结合双曲线的定义得出动圆圆心P的轨迹方程.【详解】圆N：(

)2224xy++=的圆心为()0,2N−，半径为2，且4MN=设动圆P的半径为r，则,2PMrPNr==−，即2PMPNMN−=.即点P在以,MN为焦点，焦距长为24c=，实轴长为22a=，虚轴长为224123b=−=的双曲线上，且点P在靠近于点N这一支上

，故动圆圆心P的轨迹方程是()22103xyy−=故选：A11.已知点O为坐标原点，点F是椭圆()2222:10xyCabab+=的左焦点，点()2,0A−，()2,0B分别为C的左，右顶点，点P为椭圆C上一点，且PFx⊥轴，过点A的直线l交线段PF

于点M，与y轴交于点E.若直线BM经过OE上靠近O点的三等分点，则椭圆C的离心率e=（）A.23B.13C.34D.12【答案】D【解析】【分析】根据题设条件，画出图形，设OE上靠近O点的三等分点为N，利用平行关系建立比例式，即可求出椭圆

离心率作答.【详解】如图，设OE上靠近O点的三等分点为N，椭圆的半焦距为c，PFx⊥轴，则//MFOE，在AOE△中，MFAFacOEAOa−==，在MFB中，由//ONMF，得MFBFacONBOa+==，而1|

|||3ONOE=，则13MFacaOE+=，即+3MFacacaOEa−==，解得2ac=，又2a=，于是1c=，所以椭圆C的离心率12e=.故选：D【点睛】方法点睛：椭圆离心率可借助几何意义求解，题目的条件体现出明显的几何特征和意义，利用几何性质建立关系求解即可.12.已知函数()223,0e

,0xxxfxx=，若()()()1212fxfxxx=，则12xx+的最大值为（）A.12−B.2ln33−C.ln32−D.1ln312−【答案】D【解析】【分析】分析函数()fx的单调性，设120xx，可得出21223e3xxxx+=−，构

造函数()()3e03xgxxx=−，利用导数求出函数()gx的最大值，即可得解.【详解】因为()223,0e,0xxxfxx=，则函数()fx在(,0−上单调递减，在()0,+上单调递增，不妨设120xx

，有22213exx=，可得213e3xx=−，有21223e3xxxx+=−，令()3e(0)3=−xgxxx，有()31e3xgx=−，令()0gx，可得10ln32x，令()0gx，可得1ln32x，可得函数()gx的增区间为10,ln32，减区间为1ln3,

2+，可得max1131()ln3ln33ln312232==−=−gxg，故12xx+的最大值为1ln312−.故选：D二、填空题（每题5分，共20分）13.设i为虚数单位，

复数()()()2i13izaa=−+R的实部与虚部的和为12，则=a___________.【答案】2【解析】【分析】根据复数的运算确定实部与虚部即可解决.【详解】由题知，复数()()()()2i13ii2i6632i3zaaaaa=−+−+=++−=+，因为实部与虚部的和为12，所以632

12aa++−=，解得2a=，故答案为：2.14.过点()1,0F的直线l与抛物线24yx=交于A，B两点，点A在x轴上方，若3AFBF=，则直线l的斜率k=___________.【答案】3【解析】

【分析】设出直线方程，与抛物线方程联立，结合韦达定理及3AFBF=，可求答案.【详解】设112212(,),(,)(0,0)AxyBxyyy，直线:1.ABxmy=+与抛物线联立得24(1)ymy=+，即2440ymy−−

=；2=16160m+，12124,4.yyyym=−+=因为3AFBF=，所以3AFFB=，所以123yy=−，代入124yy=−可得224,3y=即2233y=−，123y=，所以12143.kmyy===

+故答案为：315.已知函数2()e(,),()xfxaxbabgxxx=−+=+R，若这两个函数的图象在公共点(1,2)A处有相同的切线，则ab−=_________．【答案】e2−##2e−+【解析】【分析】先根据()yfx=和()ygx=在公共点(1

,2)A处有相同的切线得出在1x=处两函数的导数相等,再由(1,2)A在()yfx=上,列方程组求解即可.【详解】因为2()e(,),()xfxaxbabgxxx=−+=+R，所以()e=−xfxa，()21gxx=+，因为(),()fxgx在公共点(1,2)A处有相同的切线，

所以()()(1)112gff==即3ee2aab=−−+=，所以e2ab−=−故答案为：e2−16.若不等式lnexkxk++恒成立，则实数k的最小值为__________.【答案】1−【解析】【分析】利用()exfxx=+在R上单调递增

，将不等式lnexkxk++恒成立，转化为lnkxx−恒成立，构造函数()lngxxx=−，利用导数求出其最大值得k的取值范围，再得k的最小值.【详解】令()exfxx=+，则()e10xfx=+，所以()fx在R上单调递增，由lnexkxk++恒成立，得lnexkxxxk++

++恒成立，得lnelnexxkxxk++++恒成立，即(ln)()fxfxk+恒成立，因为()fx在R上单调递增，所以lnxxk+恒成立，即lnkxx−恒成立，令()lngxxx=−，则11()1xgxxx−=−=，由()0gx，得1x

；由()0gx，得01x，所以()gx在(0,1)上为增函数，在(1,)+上为减函数，所以max()(1)1gxg==−，所以1k−，所以k的最小值为1−.故答案为：1−.三、解答题（第17题10分，

其余试题每题12分）17.已知抛物线()2:20Cypxp=上一点()3,Pm到焦点F的距离为4．（1）求实数p的值；（2）若过点()1,0的直线l与抛物线交于A，B两点，且8AB=，求直线l的方程．【答案】（1）2p=（2）10xy−−=或10xy+

−=【解析】【分析】（1）根据抛物线的几何性质求出p即可；（2）设直线l的方程，联立直线l和抛物线方程，运用韦达定理和抛物线的几何性质即可求解.【小问1详解】由抛物线的几何性质知：P到焦点的距离等于P到准线的距离，342pPF=+

=，解得：2p=；【小问2详解】由（1）知抛物线2:4Cyx=，则焦点坐标为F()1,0，显然直线l斜率不为0，设直线l为：1xty=+，()11,Axy，()22,Bxy联立直线与抛物线方程：214xtyyx=+=，得：2440yty−−=，则

124yyt+=，124yy=−，则()21212242xxtyyt+=++=+所以2124282ABAFBxxptF++=+=+==+，解得1t=，所以直线l为：10xy−−=或10xy+−=；综上，2p=，直线l为：10xy−

−=或10xy+−=.18.已知函数()325fxxaxbx=−++−在1x=−处有极值1−.（1）求实数,ab的值；（2）求函数()fx在4,2−上的最值.【答案】（1）69ab=−=−（2）maxmin()1,()55fxfx=−=−【解析】【分析】（1）求出

函数的导数，根据题意列出方程，求得,ab的值，可得答案.（2）求出函数的极值点，求得函数的极值以及区间端点处的函数值，比较可得答案.【小问1详解】()325fxxaxbx=−++−，()232fxxaxb=−++，()()1411230fabfab−

=−−=−−=−+−=解得69ab=−=−，则()239132(1)(3)fxxxxx=−−=−++−，若()0fx¢>，则31x−−；若()0fx，则3x−或1x−,即函数()325fxxaxbx=−++−在1x=−处有极大值且极大值为1−，符合

题意，故69ab=−=−：【小问2详解】由（1）知，()32695fxxxx=−−−−，()()()23129313fxxxxx=−−−=−++，若()0fx¢>，则31x−−；若()0fx，则3x−或1x−,()fx\在()3,1−−上单调递

增，在)(4,3,1,2−−−上单调递减,又()()()()41,35,11,255ffff−=−−=−−=−=−，maxmin()1,()55fxfx=−=−.19.以直角坐标系的原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴，建立极

坐标系，并在两种坐标系中取相同的长度单位．已知圆1C和圆2C的极坐标方程分别是6cos=和2sin=．（1）求圆1C和圆2C的公共弦所在直线的直角坐标方程；（2）若射线()π:03OM=与

圆1C的交点为P，与圆2C的交点为Q，求OPOQ的值．【答案】（1）30xy−=；（2）33.【解析】【分析】（1）根据公式可得两圆直角坐标方程，进而即得；（2）将π3=代入两个圆的极坐标方程得到P，Q两点的极径，进而得到答案.【小问1详解】圆1:

6cosC=，即26cos=，则2260xyx+−=，圆2:2sinC=，即22sin=，则2220xyy+−=，两式相减得到两圆公共弦所在直线的直角坐标方程为：30xy−=．小问2详解】将π3

=代入圆1C和圆2C的极坐标方程得：π3,3P，π3,3Q，所以3333OPOQ==．的【20.如图所示，四棱锥PABCD−中，PA⊥平面ABCD，ADBC∥，ABBC⊥，且1ABAPBC===，2AD=.

（1）求证：CD⊥平面PAC；（2）若E为PC的中点，求PD与平面AED所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析（2）1010【解析】【分析】（1）先证ACCD⊥，PACD⊥，由此即可证得CD⊥平面PAC；（2）建

立空间直角坐标系，求出(0,2,1)PD=−,平面AED的一个法向量为()1,0,1n=−，然后利用公式sincos,nPDnPDnPD==，即可求得本题答案.【小问1详解】作CFAD⊥，垂足为F，易证，四边形ABCF为正方形.所以1CF

AFDF===，222CDCFDF=+=.又222ACABBC=+=，因为222ACCDAD+=，所以ACCD⊥.因为PA⊥平面ABCD，CD平面ABCD，所以PACD⊥.又ACPAA=，AC平面PAC，PA平面PAC，

所以CD⊥平面PAC.【小问2详解】以点A为坐标原点，以,,ABADAP所在的直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，在则()0,0,0A，()0,0,1P，()1,1,0C，()0,2,0D，111,,222E.则(0,2,0)AD=，(0,2,1)PD=

−，111(,,)222AE=.设平面AED的法向量为(),,nxyz=，由00nAEnAD==，得11102220xyzy++==，令1z=，可得平面AED的一个法向量为()1,0,1n=−.设PD与平面AED所成角为，则110sincos,102

5nPDnPDnPD−====.21.已知1F，2F分别为椭圆C：()222210xyabab+=的左、右焦点，离心率12e=，点E在椭圆C上，12EFF的面积的最大值为3．（1）求C的方程；（2）设C的上、下顶点分别为A，B，点M是C上异于A，B的任意一点，直线MA，MB分别与

x轴交于P，Q两点，O为坐标原点，证明：OPOQ为定值．【答案】（1）22143xy+=（2）证明见解析【解析】【分析】（1）根据题意列式求解,,abc，即可得结果；（2）设()00,Mxy，根据题意求P，Q两点的坐标，进而可求OPOQ，结合2200143xy+=运算整理即可得结果.【小问1

详解】设C的半焦距为()0cc，由题意可得222123212bcabcca==+=，解得231abc===，所以C的方程为22143xy+=．【小问2详解】由（1）可得()0,3A，()0,3B−，设椭圆上任意一点()()000,0Mxyx，所以

直线AM的方程为0033yyxx−=+，令0y=，得0033xxy=−−，即003,03xPy−−同理可得003,03xQy+，所以20002000333333xxxOPOQyyy=−=−−+

，∵()()000,0Mxyx在椭圆上，则2200143xy+=，整理得()2200343xy=−，∴()22002200433433yxOPOQyy−===−−（为定值）.22.已知函数()()lnR1afxxax=−+．（1）若2a=−，求函数()fx图像在()()1

,1f处的切线方程；（2）若1x，2x是函数()fx的两个极值点，求a的取值范围，并证明：12()()2(1)fxfxf+=．【答案】（1）210xy−+=的（2）(),4−−，证明见解析【解析】【分析】（1）先求出切点，再利用导数的几何意义求出切线的斜率，即可求出切线方程；（2）由()fx

有两个极值点，则()0fx=在(0,)+有两个不相等的实数根，得出a的取值范围，再由根与系数的关系得出12xx+，12xx，代入12()()fxfx+，得出12()()fxfxa+=−，结合(1)2af=−即可证明结论．【小问1详解】当2a=−时，()2ln1fxxx

=++，()212(1)fxxx=+−，所以()11f=，()112f=，所以函数()fx图像在()()1,1f处的切线方程为()1112yx−=−，即210xy−+=．【小问2详解】因为()ln1afxxx=−+，所以()()222211(0)(1)(1)xaxafxxxxxx+++=+=

++，由题意知12,xx是方程()0fx=在()0,+内的两个不同的实数解，令()()221hxxax=+++，又()010h=，且函数()hx图像的对称轴为直线22ax+=−，所以只需2202Δ(2)40aa+−=+−，解得4a<-，即实数a的取值范

围为(),4−−，由12,xx是方程()2210xax+++=的两根，得122xxa+=−−，121=xx，故()()121212lnln11aafxfxxxxx+=−+−++的()12121212222ln1121xxaxxa

aaxxxxa++−−+=−=−=−+++−−+，又()12af=−，所以()()()1221fxfxf+=．获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com