【文档说明】重庆市北碚区西南大学附属中学校2023届高三（拔尖强基班）下学期期中数学试题 含解析.docx，共(26)页，3.156 MB，由小赞的店铺上传

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2023年高三拔尖强基定时期中质检数学试题注意事项：1.答卷前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的准考证号、姓名.考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、姓名是否一致.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅

笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.满分150分，考试用时150分钟.一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选

项中，只有一项符合题目要求.1.已知集合(){|lg3}Axyx==+,{|2}Bxx=，则下列结论正确的是A.3A−B.3BC.ABB=D.ABB=【答案】C【解析】【分析】求出集合A，再根据集合的交集运算，并集运算以及元素与集合的关系即可解出．【详解】因为{|lg(3)}|30

(3,)Axyxxx==+=+=−+，{|2}Bxx=，显然，3A−，3B，所以,BAABB=．故选：C.2.如果复数()()22356immmm−+−+是纯虚数，则实数m值为（）A.0B.2C.0或3D.2或3

【答案】A【解析】【分析】由纯虚数的概念求得m值，注意虚部不能为0．【详解】根据纯虚数概念可知:230mm−=且2560mm−+，解230mm−=，得0m=或3m=；当0m=时，2566mm−+=符合

题意，的的当3m=时，2560mm−+=（舍），所以0m=.故选：A.3.若函数()fx同时满足：(1)对于定义域内的任意x，有()()0fxfx+−=；(2)对于定义域内的任意12,xx，当12xx时，有()()12120fxfxxx−−，则称函数()fx为“理想函数”.给出下列四个函

数：①()2fxx=；②()3fxx=−；③()1fxxx=−；④()22,0,0xxfxxx−=.其中是“理想函数”的序号是A.①②B.②③C.②④D.③④【答案】C【解析】【分析】由已知得“理想函数”既是奇函数，又是减函数，由此判断所给四个函数的奇偶性和单调性

，能求出结果．【详解】解：函数()fx同时满足①对于定义域上的任意x，恒有()()0fxfx+−=；②对于定义域上的任意1x，2x，当12xx时，恒有1212()()0fxfxxx−−，则称函数()fx为“理想函数”，“理想函数”既是奇函数，又是减函数，①()2fxx=是偶函数，且

不是单调函数，故①不是“理想函数”；②()3fxx=−是奇函数，且是减函数，故②是“理想函数”；③()1fxxx=−是奇函数，但在定义域上不是单调函数，故③不是“理想函数”．④()22,0,0xxfxxx−=是奇函数，

且是减函数，故④是“理想函数”．故选C【点睛】本题考查了新定义、函数的奇偶性、单调性，属于中档题．4.已知函数()fx为偶函数，定义域为R，当0x时，()0fx，则不等式()()20fxxfx−−

的解集为（）A.()0,1B.()0,2C.()1,1−D.()2,2−【答案】B【解析】【分析】根据导函数小于0，得到偶函数()fx在()0,+上单调递减，从而对不等式变形后得到2xxx−，解出解集.【详解】因为当0x

时，()0fx，故偶函数()fx在()0,+上单调递减，故()()20fxxfx−−变形为：()()2fxxfx−，所以2xxx−，显然0x=不满足不等式，解得：11x−，故()0,2x.故选：B5.石碾子是我国传统粮食加工工具，如

图是石碾子的实物图，石碾子主要由碾盘、碾滚（圆柱形）和碾架组成．碾盘中心设竖轴（碾柱），连碾架，架中装碾滚，以人推或畜拉的方式，通过碾滚在碾盘上的滚动达到碾轧加工粮食作物的目的．若推动拉杆绕碾盘转动2周，碾滚的外边缘恰好滚动了5圈，碾滚与碾柱间的距离忽略不计，则该圆柱形碾滚的高与其底

面圆的直径之比约为（）A.3：2B.5：4C.5：3D.4：3【答案】B【解析】【分析】绕碾盘转动2周的距离等于碾滚滚动5圈的距离，列出方程即可求解.【详解】由题意知，22π52πhr=；55,224hhrr==，故选：B.6.已知等差数列

na的首项10a，而90a=，则1111671884+++=++aaaaaaa（）A.0B.2C.-1D.12【答案】A【解析】【分析】由90a=，代入()99naand=+-?即可化简求值.【详解】等差数列na的首项10a，90a=，则91111689997148

999802725aaaaadaaaaaaaaddadddd−−++++++++==++−+++−.故选：A7.已知0.60.5a=，0.50.6b=，6log5c=，则a，b，c的大小关系为（）A.abcB.acb

C.bacD.b<c<a【答案】A【解析】【分析】根据指数函数及幂函数的单调性比较,ab的大小，分别比较,bc与45的大小即可得,bc的大小，从而得答案.【详解】解：因为0.5xy=在R上为单调递减函数，所以0.60.50.50.5

，又因为12yx=在[0,)+上为单调递增函数，所以11220.50.6，即0.50.50.50.6，所以0.60.50.50.6，即ab，又因为10.5233164()552550.6===，又因为555553125==，45455566129

631255===，即有4565所以4566log6log5，即64log55，所以0.560.6log5，即bc，综上所述：abc.故选：A.8.四面体ABCD的各个顶点都在球O的表面上，,,BABCBD两两垂直，且11,3,4,ABBCBDE==

=是线段BC上一点，且2BEEC=，过E作四面体ABCD外接球O的截面，则所得截面圆的面积的最大值与最小值之差是（）A.7B.9C.5D.8【答案】A【解析】【分析】把四面体放到长方体中，根据球的几何性质进行求解即可.【详解】设所得截面圆的面积为S，半径为r，由,,B

ABCBD两两垂直可将四面体ABCD放入长方体中，如图所示，易得外接球半径222132RBCBDAB=++=，过E作球O的截面，所得截面圆的面积最大时为过球心的圆面，2maxπ9πSR==；所得截面圆的面积最小时为与最大截面垂直的圆面.在OBC△内，OBOCBC3===，所以60

OCB=，所以2222cos607OEOCCEOCCE=+−=，所以7OE=，即222minminmin2,π2πrROESr=−===，所以maxmin7πSS−=.故选A.【点睛】关键点睛：利用长方体和球的几何性质是解题的关键.二、多项选择题：本

题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求全部选对得5分，部分选对得2分，有选错得0分.9.已知函数()πsin23fxx=−，则下列结论中正确的是（）A.π为函数()fx的一个周期B.2π,03是曲线()yf

x=的一个对称中心C.若函数()yfx=在区间,aa−上单调递增，则实数a的最大值为5π12D.将函数()fx的图象向右平移π12个单位长度后，得到一个偶函数的图象【答案】ABD【解析】【分析】根据周期函数的定义判断A，根据正弦函数的性质判断B，C，根据

函数图象变换结论及偶函数定义判断D.【详解】对于选项A：由已知可得()πsin23fxx=−，所以()()πππsin22πsin233fxxxfx+=+−=−=，所以π为函数()fx的一个周期，故A正确；对于选项B：令()π2πZ3xkk−

=，解得()ππ26kxk=+Z，当1k=时，2π3x=，所以点2π,03是曲线()yfx=的一个对称中心，故B正确；对于选项C：由111πππ2π22π,Z232kxkk−+−+，得111π5πππ,Z1212kxkk−++，令10k=，得π512

12πx−，因为()fx在区间,aa−上单调递增，所以实数a的最大值为π12，故C错误；对于选项D：将函数()fx的图象向右平移π12个单位长度后，得到πππsin2sin2cos21232y

xxx=−−=−=−的图象，因为()cos2cos2xx−−=−，所以函数cos2yx=−为偶函数，故D正确.故选：ABD.10.已知O为坐标原点，抛物线24yx=的焦点为F，准线为l，过点F的直线交抛

物线于,AB两点，下列说法正确的有（）A.线段AB长度的最小值为4B.过点()0,1M与抛物线只有一个交点的直线有两条C.直线OA交抛物线的准线于点D，则直线DB平行x轴D.AOB可能为直角三角形【答

案】AC【解析】【分析】设:1ABxty=+，与抛物线方程联立可得韦达定理的结论；利用抛物线焦点弦长公式可求得2444ABt=+，知A正确；分别讨论斜率不存在、斜率为零和斜率不为零的情况，结合抛物线切线的求法可确定B错误；直线1114:yOAyxxxy==，由此可得141,Dy−−

，由斜率公式可化简得到0DBk=，知C正确；由向量数量积坐标运算可知0OAOB，知D错误.【详解】由抛物线方程知：()1,0F，:1lx=−；由题意知：直线AB斜率不为零，则可设:1ABxty=+，()11,Axy，()22,Bxy，由214

xtyyx=+=得：2440yty−−=，124yyt+=，124yy=−，()21212242xxtyyt+=++=+，221212144yyxx==，对于A，212244ABxxt=++=+，则当0=t，即ABx⊥轴时，AB取得最小值4，A正确；对于B，当过()0,1M直线斜率不

存在，即为0x=时，其与抛物线交于点()0,0；当过()0,1M直线斜率为零，即为1y=时，其与抛物线交于点1,14；设过()0,1M的抛物线的斜率存在的切线为()10ykxk=+，由241yxykx==+得：()222410kxkx+−+=，(

)222440kk=−−=，解得：1k=，直线1yx=+与抛物线相切；综上所述：过点()0,1M且与抛物线只有一个交点的直线有三条，B错误；对于C，直线1121114:4yyOAyxxxyxy===，则141,Dy−−，()122111222124440111DByy

yyyyykxxyx+++====+++，则直线DB平行于x轴，C正确；对于D，若AOB为直角三角形，则OAOB⊥，12121430OAOBxxyy=+=−=−，OAOB⊥不成立，即AOB不能为直角三角形，D错误.故选：AC.11.已知A（4，2），B（0

，4），圆22:(4)(1)4Cxy−+−=，P为圆C上的动点，下列结论正确的是（）A.||||PBPA−的最大值为25B.PAPB的最小值为4−C.xy+的最小值为522−D.PBA最大时，||25PB=【答案】AC

【解析】【分析】A.利用数形结合，转化为三点共线，即可求解；B.首先取AB的中点为D，转化向量，25PAPBPD=−,再结合点与圆的位置关系，即可求解；C.利用直线bxy=+与圆相切，即可求b的最小值；D.利用数形结合判断当PBA最大时，直线PB与圆相切，即可求PB.【详解】对于A，|||

|||25PBPAAB−=，A正确.对于B，记AB的中点为D，()2,3D,()()()()PAPBPDDAPDDBPDDBPDDB=++=−+22225(2)5782PDDBPDCD=−=−−−=−，，故B错误；对于C，令b

xy=+，当直线bxy=+与圆C相切时，b取到最值，令|5|22bd−==，522b=，所以xy+最小值为522−，故C正确.对于D，当PB与圆C相切时，PBA最大，此时22||||221PBBC=−=，

故D错误.故选：AC12.已知2.86lnlnabab==，lnln0.35ccdd==−，ab，cd，则有（）A.2eab+B.2ecd+C.1adD.1bc【答案】BCD【解析】【分析】令()()1lnxfxxx=，()lngxxx=，求导可求得()(),fxgx的单调

性，利用极值点偏移的求解方法可求得AB正误；由()11fxgx=−，可确定()()11,ffaffbdc，结合()fx单调性可得CD正误.【详解】令()()1lnxfxxx=，()lngxxx=，()2ln1lnxfxx−=，

当()1,ex时，()0fx；当()e,x+时，()0fx¢>；()fx\在()1,e上单调递减，在()e,+上单调递增，且()()mineefxf==；若()()2.86fafb==，则1eab，令()()()2eFxfxfx=−−，1ex则(

)()()22ln2e1ln1lnln2exxFxxx−−−=+=−()()()()222222lnln2elnln2elnln2elnln2exxxxxxxx−+−−−−−()()()()2222lnln2eln2elnlnln2elnln2exxxxxxxx−−+−−−

=−()()()()22222lnln2eln2elnln2elnln2exxxxxxxx−−+−−−=−，当()1,ex时，222eexx−+，()()()()()22222lnln2eln2elnln2e2l

nln2elnln2exxxxxxxxxx−−+−−−−−−−()2lnln2exx=−−−，()0Fx在()1,e上恒成立，()Fx在()1,e上单调递减，()()e0FxF=，即()()2efxfx−，又1ea，()()2efafa−，()()fafb=，(

)()2efbfa−，eb，2eea−，()fx在()e,+上单调递增，2eba−，即2eab+，A错误；()ln1gxx=+，当10,ex时，()0gx；当1,ex+时，()0gx；()gx

在10,e上单调递减，在1,e+上单调递增，且()min11eegxg==−；由lnln0.35ccdd==−得：101ecd；设()()2eGxgxgx=−−，10ex，则()222ln1

ln1ln2eeGxxxxx=++−+=−+；当10ex时，22210,eexx−+，()0Gx，()Gx在10,e上单调递减，()10eGxG

=，即()2egxgx−，又10ec，()2egcgc−，又()()gcgd=，()2egdgc−，1ed，21eec−，()gx在1,e+上单调递增，2edc

−，即2ecd+，B正确；1eab，101ecd，()11111lnlnxfxxxgxx==−=−，()()1112.8572.860.35ffadgd=−==，又11ed，1ea，()f

x在()1,e上单调递减，1ad，则1ad，C正确；()()112.8572.86ffbcgc=−=，又1ec，eb，()fx在()e,+上单调递增，1bc，则1bc，D正确.故选：BCD.【点睛】方法点睛：本题考查了导数中的极值点偏移问题，处理极值点偏移问题

中的类似于12xxa+（()()12fxfx=）的问题的基本步骤如下：①求导确定()fx的单调性，得到12,xx的范围；②构造函数()()()Fxfxfax=−−，求导后可得()Fx恒正或恒负；③得到()1fx与()1fax−的大小关系后，

将()1fx置换为()2fx；④根据2x与1ax−所处的范围，结合()fx的单调性，可得到2x与1ax−的大小关系，由此证得结论.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.如图，直三棱柱111ABCABC-，60ABC=，2AC=，侧棱长为

3，点P是侧面1ACCA内一点．当ABBC+最大时，过B、1B、P三点的截面面积的最小值为______．【答案】3【解析】【分析】设,ABcBCa==由余弦定理结合均值不等式可得当且仅当2ac==时，ABBC+取得最大值

，得到此时三棱柱111ABCABC-是正三棱柱，过点P作11//DDAA,连接11,BDBD，可得过B、1B、P三点的截面即为平面11BBDD，由1113BBDDSBBBDBD==，求出BD最小值，即可得到答案.【详解】在ABC中，设,ABcBCa==，2AC=,60ABC=，

由余弦定理可得：2242cos60acac=+−，即224acac+−=，即()234acac+−=，由0,0ac,则22acac+（当且仅当ac=时等号成立），所以()()()()2222314344acacacacac=+−+−+=+，所以()216ac+即4ac+

（当且仅当2ac==时等号成立），即当2ABBC==时，ABBC+取得最大值4.此时三棱柱111ABCABC-是正三棱柱，过点P作11//DDAA,则11//DDBB,连接11,BDBD，过B、1B、P三点的截面即

为平面11BBDD.，由三棱柱111ABCABC-为直三棱柱，则1BB⊥平面ABC，所以1AABD⊥,由11//DDAA，则1DDBD⊥，所以四边形11BBDD为矩形，则1113BBDDSBBBDBD==，当BD最小时，11B

BDDS最小.当BD⊥平面11ACCA时，即BDAC⊥，BD最小.此时3BD=，所以11BBDDS最小值为333=，故答案为：3.14.若函数y＝12sinωx在区间,812−上单调递减，则ω的取值

范围是________.【答案】[－4,0)【解析】【分析】根据题意可得0，函数1sin()2yx=−在区间[8−，]12上单调递增，可得·()82·122−−−−…„，由此求得的范围．【详解】解：函数1s

in2=yx在区间[8−，]12上单调递减，当0时，这不可能．0，函数11sinsin()22yxx==−−在区间[8−，]12上单调递减，故函数1sin()2yx=−在区间[8−，]12上

单调递增，·()82·122−−−−…„，求得04−…，故答案为：[4−，0)．15.已知直线:lykxb=+是函数()()20fxaxa=与函数()exgx=的公切线，若()()1,1f是直线l与函数()fx相切的切点，则b=__

__________．【答案】321e2−【解析】【分析】求出导函数()fx，()gx，由(1),(1)ff得切线方程ykxb=+，设()gx图象上的切点为11(,)xy，由导数几何意义得切线方程，两直线重合求得1x，从而得,ab值．【详解】()2fxax=，

(1)2fa=，又(1)fa=，所以切线l的方程为2(1)yaax−=−，即2yaxa=−，设直线l与()gx相切的切点为11(,)xy，()exgx=，所以切线方程为111e()xyyxx−=−，即111ee(1)x

xyxx=+−，所以111e2e(1)xxaxa=−=−，解得132321e2xa==，所以321e2ba=−=−．故答案为：321e2−．16.已知ABC的三个内角ABC，，所对的边分别为abc，，，且43，acb==，则ABC面积的最大值是__

______；若rR，分别为ABC的内切圆和外接圆半径，则rR的范围为_________________．【答案】①.3；②.3,24.【解析】【分析】对于第一空，利用余弦定理表示出cosA，再表示出sinA，再利用1sin2ABCSbcA=可得答案；对于第二空，利用212，sinA

BCSarRabcA==可得答案.【详解】因abc，，在三角形中，则由三角形三边关系可得441224cbbbcbb+=−=，又利用余弦定理有：22222101626cosbcabAbcb+−−==，又2

210cossin，sinAAA+=，则424224210025632045411363sincosbbbbAAbb+−−+−=−=−=.得242215925423224sinABCSbcAbbb==−+−=−−+，当且仅

当252b=，即102b=时取等号.则ABC面积最大值是3；对于第二空，因()12ABCSabcr=++△，则2234444sinsinABCSbcAbArabcbb===++++，又222sinsinsinaaRRAAA===，则()22211633311244212121bbbrRbbb

bb+−====++−++++，因12b，则213b+.令()1fxxx=+，其中()2,3x，因()2210xfxx−=，则()fx在()2,3上单调递增，故51101213bb+++，得3,2

4rR.故答案为：3；3,24.的四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知数列na的前n项和为nS，且满足22233nnSan=−−.（1）求证：数列1na+是等比数列；（2）若12nnba=+，数列nb的前n项和

为nT，求证：16nT.【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析【解析】【分析】（1）利用数列通项与前n项和的关系可得，18a=，当2n时132nnaa−=+，再利用等比数列的定义证明；（2）由（1）得13

1nna+=−，进而得到113nnb+，再利用等比数列前n项和公式求解.【小问1详解】由22233nnSan=−−，得2326nnSan=−−①，当1n=时，11238aa=−，所以18a=，即119a

+=，当2n时，()1123216nnSan−−=−−−②，①-②整理得132nnaa−=+，所以()1131nnaa−+=+，所以数列1na+是以9为首项，3为公比等比数列；【小问2详解】由（1）可知1193nna−+=，所以131nna+=−，即1111313n

nnb++=+，所以231231111111313131333nnnT++=++++++=+++111931111163613nn−=−−.18.已知ABC的内角,,ABC的对边分别为,,abc，且向量()2,mbac=−与向

量()cos,cosnAC=共线.（1）求C；的（2）若3,cABC=的面积为32，求ab+的值.【答案】（1）π3C=（2）3ab+=【解析】【分析】（1）由向量共线列出等式，用正弦定理和两角和的正弦公式化简，可求得角C；（2）由面积公式解出ab的值，再由余弦定理解得ab+的值.【小问

1详解】向量()2,mbac=−与向量()cos,cosnAC=共线，有()2coscosbaCcA−=，由正弦定理得2sincossincossincosBCACCA−=，∴()()2sincossincoscossinsinsinπsinBCACACACBB=+=+

=−=，由0πB，sin𝐵>0，∴2cos1C=，1cos2C=，又0πC，∴π3C=.【小问2详解】由（1）知π3C=，∴3sin2C=，1cos2C=，1133sin2222ABCSabCab===，得2ab=

，由余弦定理：()22222cos3cababCabab=+−=+−，∴()236ab=+−，解得3ab+=.19.如图，在三棱柱111ABCABC-中，侧面11ABBA为矩形，平面11ABBA⊥平面11ACCA，12,4,,ABAADE==分别

是11,BCAB的中点.（1）求证：//DE平面11ACCA；（2）若侧面11ACCA是正方形，求直线11AC与平面ADE所成角的正弦值.【答案】（1）详见解析；（2）22121.【解析】【分析】（1）取AC中点为F，由题可得//DE1AF，然后利用线面平行的判定定理即得；（2

）利用坐标法，求出平面ADE的法向量，然后根据线面角的向量求法即得.【小问1详解】取AC中点为F，连接1,DFAF，因为点,DF分别为,CBCA的中点，故DF//AB，12DFAB=，又点E为11AB的中点，且四边形11ABBA为矩形，故

1AE//AB，112AEAB=，故//DF1AE，1DFAE=，故四边形1DFAE为平行四边形，则//DE1AF，又DE平面111,ACCAAF平面11ACCA，所以//DE平面11ACCA；【小问2详解】因为11ACCA为正方形

，故可得1ACAA⊥，又因为平面11ABBA⊥平面11ACCA，且平面11ABBA平面111ACCAAA=，又AC平面11ACCA，所以AC⊥平面11ABBA，又AB平面11ABBA，所以ACAB⊥，又1AB

AA⊥，1ACAA⊥，如图建立空间直角坐标系，则()()()()0,0,0,2,0,1,0,4,1,4,0,0ADEC，所以()()()112,0,1,0,4,1,4,0,0ADAEACAC====，设平面ADE的法向量为(),,nxyz=r，则2040nADxznAEyz=+==+

=，令1y=，则()2,1,4n=−，设11AC与平面ADE所成角为，则1111118,4221sincos214116nACnACnAC===++=.故直线11AC与平面ADE所成角的正弦值为22121.20.北京冬奥会的举办使得人们对冰雪运动的关注度和参与度持续提高.某

地很多中小学开展了模拟冬奥会赛事的活动，为了深入了解学生在“自由式滑雪”和“单板滑雪”两项活动的参与情况，在该地随机选取了10所学校进行研究，得到如下数据：（1）从这10所学校中随机抽取2所，在抽取的2所学校参与“单板滑雪”的人数超过30人的条件下，求这2所学校参与“

自由式滑雪”的人数超过30人的概率；（2）“自由式滑雪”参与人数超过40人的学校可以作为“基地学校”，现在从这10所学校中随机抽取3所，记X为选出“基地学校”的个数，求X的分布列和数学期望；（3）现在有一个“单板滑

雪”集训营，对“滑行､转弯､停止”这3个动作技巧进行集训，且在集训中进行了多轮测试.规定：在一轮测试中，这3个动作至少有2个动作达到“优秀”，则该轮测试记为“优秀”.已知在一轮集训测试的3个动作中，甲同学每个动作达到“优秀”的概率均为23，每个动

作互不影响且每轮测试互不影响.如果甲同学在集训测试中获得“优秀”次数的平均值不低于8次，那么至少要进行多少轮测试？【答案】（1）25（2）分布列见解析，数学期望：65（3）至少要进行11轮测试【解析】【分析】(1)根据已知条件结合条件概率的概率公式求解；(2)

X的可能取值为0，1，2，3，分别求出对应的概率，从而可求得X的分布列和数学期望；(3)根据题意，结合二项分布的概率公式求解【小问1详解】由题可知10个学校，参与“自由式滑雪”的人数依次为27，15，43，41，32，26，5

6，36，49，20，参与“单板滑雪”的人数依次为46，52，26，37，58，18，25，48，33，30，其中参与“单板滑雪”的人数超过30人的学校有6个，参与“单板滑雪”的人数超过30人，且“自由式滑雪”的人数超过30人的学校有4个，记“这10

所学校中随机选取2所学校参与“单板滑雪”的人数超过30人”为事件A，“这10所学校中随机选取2所学校参与“自由式滑雪”的人数超过30人”为事件B，则()26210C1C3PA==，()24210C2C15PAB==，所以，()()()25PABPBAPA==.【小问2详解】参与“自由式滑雪”

人数在40人以上的学校共4所，X的所有可能取值为0,1,2,3，所以()0346310CC2010C1206PX====，()1246310CC6011C1202PX====，()2146310CC3632C12010PX====，()3046310CC413C1

2030PX====，所以X的分布列如下表：X0123P1612310130所以()131623210305EX=++=【小问3详解】记“甲同学在一轮测试中获得“优秀””为事件C，则23233322220C1C33327P=−+=，由题意，甲同学在集训

测试中获得“优秀”的次数服从二项分布20,27Bn，由题意列式20827n，得545n，因为*Nn，所以n的最小值为11，故至少要进行11轮测试21.已知点(0,1)F和直线1l：1y=−，直线2l过直线1l上的动点M且与直线1l垂直，线段MF的垂直平分线l与

直线2l相交于点P．（1）求点P轨迹C的方程；（2）过点F的直线l与C交于,AB两点．若C上恰好存在三个点()1,2,3iDi=，使得iABD△的面积等于274，求l的方程．【答案】（1）24xy=（2）512yx=+或512yx=−+．【解析】【分析】（1）根据抛物线的定义

可判断东点轨迹为抛物线，即而求得抛物线方程；（2）设l的方程为1ykx=+，作与l平行且与C相切的直线l，切点为D,表示出切点D的坐标，联立方程，求出弦长AB，利用三角形ABD△的面积可求得k的值，说明符合题意

，C上恰好存在三个点()1,2,3iDi=，使得iABD△的面积等于274，即得答案.【小问1详解】连接PF，因为MF的垂直平分线l交2l于点P，所以PFPM=，即点P到定点(0,1)F的距离等于点P到直线1l：1y=−的距离，由抛物线的定义，点P的轨迹为抛物线24xy=,即点

P轨迹C的方程为24xy=.【小问2详解】如图，作与l平行且与C相切的直线l，切点为D,由题知ABD△的面积等于274．由题意知直线l的斜率一定存在，设l的方程为1ykx=+，方程24xy=可化为214yx=，则12yx=，设()00,Dxy，令012ykx==

，解得02xk=，将02xk=代入24xy=，得2yk=，故()22,Dkk，所以D到l的距离22222111kkdkk−+==++，由241xyykx==+，消去y，得2440xkx−−=，216(1)0k=+，从而124xxk+=，124xx=−，所以(

)()22212121441ABkxxxxk=++−=+，故ABD△的面积()2212112ABdkk=++，从而()22272114kk++=，解得52k=或52k=−，此时55,4D或55,4D−为使得ABD△的面积等于274的一个

点，那么在直线l的上方必然也存在着一条直线和l平行，和l的距离为21dk=+，这条直线与抛物线有两个交点也使得ABD△的面积等于274，即此时C上恰好存在三个点()1,2,3iDi=，使得iABD△的面积等于274，所以l的方程为512yx=+或512yx=−+．【点睛】关键点点睛

：要满足C上恰好存在三个点()1,2,3iDi=，使得iABD△面积等于274，关键在于找到使得ABD△面积等于274时，和直线l平行且和抛物线相切的那条直线，即表示出切点坐标，从而表示出三角形的高，进而利用面积求得答案.22.

已知函数()()()e1ln1xfxaxxx=−−−++，0a．（1）证明：()fx存在唯一零点；（2）设()exgxax=+，若存在()12,1,xx−+，使得()()()112fxgxgx=−，证明：12212ln2xx−−．【答案】（1）证明见解析的（2）证明见

解析【解析】【分析】（1）利用导函数求()fx单调性，结合()00f=即可求解.（2）由题意可得()()2112ln11exxaxax+++=+，若1x是方程()()ln11xaxb+++=的根，则()1

ln1x+是方程xaexb+=的根，所以()21ln1xx=+，()121122ln1xxxx−=−+，再利用导函数求()2ln1xx−+的最小值即可.【小问1详解】由题意可得()()1e111xfxax=−−++，

记()()()1e111xFxfxax==−−++，则()()21e1xFxax=++，因为0a时，()0Fx恒成立，所以()()Fxfx=在()1,−+上单调递增，因为()00f=，所以()fx在()1,0−上恒小于0，在()0,+上恒大于0，所以()fx在()1,0−上单调

递减，在()0,+上单调递增，因为()00f=，所以()fx有唯一零点0．【小问2详解】由()()()112fxgxgx=−可得()()2112ln11exxaxax+++=+，若1x是方程()()ln11xaxb+++=的根，则()1ln1x+是方程xaexb+=

的根，因为()()()ln11mxxax=+++，()xnxaex=+都单调递增，所以()21ln1xx=+，()121122ln1xxxx−=−+，设()()2ln1hxxx=−+，()21111xhxxx

−=−=++，所以()0hx的解为()1,+，()0hx的解为()1,1−，所以()hx在()1,1−上递减，在()1,+上递增，所以()hx的最小值为()112ln2h=−，即122xx−的最小值为12ln2−．故

原不等式成立.【点睛】当函数的一阶导数符号不好判断时，常利用二阶导数判断一阶导数的单调性，进而得到一阶导数大于0和小于0的区间.获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com