【文档说明】山东省菏泽市第一中学2022-2023学年高二上学期12月月考数学试题 word版含解析.docx，共(18)页，1.426 MB，由管理员店铺上传

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高二二部12月份教学质量检测数学试题分值：150分时间：120分钟一、单选题（每小题5分，共计40分）1.抛物线22yx=的焦点坐标是（）A.1,02B.1,08C.10,2D.10,8【答案】D【解析】【分析】先把抛物线化为标准方程，直接

写出焦点坐标．【详解】抛物线22yx=的方程为212xy=，所以焦点在y轴由122p=，所以焦点坐标为10,8．故选：D．2.设nS为等差数列na的前n项和，已知311a=，1060S=，则5

a=（）A.7B.8C.9D.10【答案】A【解析】【详解】设等差数列na的公差为d，由题意建立方程，即可求出1a，d，再根据等差数列的通项公式，即可求出结果．【分析】设等差数列na的公差为d，由题意可知11211?104560adad+=+=，解得115a=，2d=

−，所以5141587aad=+=−=．故选：A3.设点B是(2,3,5)A关于坐标平面xOy的对称点，则||=AB（）A.10B.10C.38D.38【答案】A【解析】【分析】根据空间直角坐标系的坐标特点得点B坐标，根据空间中两点间的距离公式计算即可得|

|AB.【详解】解：因为点B是(2,3,5)A关于坐标平面xOy的对称点，所以(2,3,5)B−所以()()()22222335510ABAB==−+−++=.故选：A.4.已知向量()()1,1,0,1,0,=−=abm，且kab+与2ab−rr互相平行，则k=（）A.114−B.15

C.35D.12−【答案】D【解析】【分析】由空间向量平行的条件求解.【详解】由已知(1,,)kabkkm+=−，2(3,1,2)abm−=−−，因为kab+与2ab−rr平行，若0m=，则131kk−=−，12k=−，若0m，则1312kkmm−==−−，k无解．综上，12k

=−，故选：D．5.设向量OA，OB，OC不共面，空间一点P满足OPxOAyOBzOC=++，则A，B，C，P四点共面的一组数对(,,)xyz是（）A.111(,,)432B.131(,,)442−C.(1,2,3)−D.121(,,)332−【答案】B【解析】【分

析】由题设条件可知，A，B，C，P四点共面等价于1xyz++=，由此对选项逐一检验即可.【详解】因为向量OA，OB，OC不共面，OPxOAyOBzOC=++，所以当且仅当1xyz++=时，A，B，C，P四点共面，对于A，

1111432++，故A错误；对于B，1311442−++=，故B正确；对于C，1231−+，故C错误；对于D，1211332−++，故D错误.故选：B.6.已知数列na中，11a=且()133nnnaana+=+N

，则16a为（）A.16B.14C.13D.12【答案】A【解析】【分析】采用倒数法可证得数列1na为等差数列，根据等差数列通项公式可推导得到na，代入16n=即可.【详解】由133nnnaaa+=+得：131

1133nnnnaaaa++==+，又111a=，数列1na是以1为首项，13为公差的等差数列，()1121133nnna+=+−=，32nan=+，1616a=.故选：A.7.已知三个数1，a，9成等比数列，则圆锥曲线2212xya+=的离心率为

（）A.33B.5C.5或102D.33或102【答案】D【解析】【详解】椭圆、双曲线的方程简单性质，等比数列的性质，分类讨论，由已知求得a值，然后分类讨论求得圆锥曲线2212xya+=的离心率解决即可．【解答】因三个数1，a，9成等比数列，为

所以29a=，则3a=．当3a=时，曲线方程为22132xy+=，表示椭圆，则长半轴长为3，半焦距为1，所以离心率为33；当3a=−时，曲线方程为22123yx−=，表示双曲线，则实半轴长为2，半焦

距为5，所以离心率为51022=．故选：D8.若数列na是等差数列，首项10a，公差()2020201920200,0daaa+，则使数列na的前n项和0nS成立的最大自然数n是（）A.4039B.4038C.4037D.4036【答案

】B【解析】【分析】根据等差数列的单调性，结合等差数列前n项和公式进行求解即可.【详解】因为0d，所以等差数列na是递减数列，因为()2020201920200aaa+，所以201920200,0aa，且20192020aa，201920200aa+，()14039201920

20403920204038201920204039()40390,403820190,22aaaaSaSaa++====+所以使数列na的前n项和0nS成立的最大自然数n是4038．故选：B二、多选题（每小题5分，共计20分）9.

下列结论错误的是（）A.过点()1,3A，()3,1B−的直线的倾斜角为30B.若直线2360xy−+=与直线20axy++=平行，则23a=−C.直线240xy+−=与直线2410xy++=之间的距离是52D.已知()2,

3A，()1,1B−，点P在x轴上，则PAPB+的最小值是5【答案】AC【解析】【分析】对于A，tanABk=即可解决；对于B，由题意得231a−=即可解决；对于C，平行线间距离公式解决即可；对于D，数形结合即可.【详解】对于A，131tan312ABk−===−−，即30

，故A错误；对于B，直线2360xy−+=与直线20axy++=平行，所以123a=−，解得23a=−，故B正确；对于C，直线240xy+−=与直线2410xy++=（即1202xy++=）之间的距离为14952105d−−==，故C错误；对于D，已知()2,3A，()1,1

B−，点P在x轴上，如图取()1,1B−关于x轴的对称点()1,1B−−，连接AB交x轴于点P，此时22(21)(31)5PAPBPAPBAB+=+=+++=，所以PAPB+的最小值是5，故D正确；故

选：AC.10.已知数列na的前n项和为nS，25nSnn=−，则下列说法不正确．．．的是（）A.na为等差数列B.0naC.nS最小值为254−D.na为单调递增数列【答案】BC【解析】【分析】根据nS求

出na，并确定na为等差数列，进而可结合等差数列的性质以及前n项和分析求解.【详解】对于A，当2n时，()()221515126nnnaSSnnnnn−==−−−−−=−−，1n=时114aS==−满足上式，所以26,N

nann=−,所以()()1216262nnaann+−=+−−−=，所以na为等差数列，故A正确；对于B，由上述过程可知26,Nnann=−，12340,20,0aaa=−=−=，故B错误；对于C，因为25nSnn=−，对称

轴为52.52=，又因为Nn，所以当2n=或3时，nS最小值为6−，故C错误；对于D，由上述过程可知na的公差等于2，所以na为单调递增数列，故D正确.故选:BC.11.在正方体1111ABCDABCD−中，E，F，G分

别为BC，11CCBB，的中点，则下列结论中正确的是（）A.1DDAF⊥B.点G到平面AEF的距离是点C到平面AEF的距离的2倍C.1//AG平面AEFD.异面直线1AG与EF所成角的余弦值为55【答案】BC【解析】【分析】对于选项A：由11//DD

CC以及1CC与AF不垂直，可知A错误；对于选项B：利用等体积法,AGEFGAEFACEFCAEFVVVV−−−−==，可求得结果，进而判断选项B正确；对于选项C：取11BC的中点M，根据面面平行的性质即可得出1//AG平面A

EF，可知选项C正确；对于选项D：根据线面垂直的判定定理和性质，结合二面角的定义可知D错误；【详解】对于选项A：因为1ACAC，所以1ACC△不是等腰三角形，所以1CC与AF不垂直，因为11//DDCC，所以1DD与AF不垂直，故选项A错

误；对于选项B：设正方体的棱长为2，设点G到平面AEF的距离与点C到平面AEF的距离分别为12,hh，则11133AGEFGEFGAEFAEFVABSVhS−−===，21133ACEFCEFCAEFAEFVABSVhS−−===，所以12121221112GEF

CEFShhS===△△，故选项B正确；对于选项C：取11BC的中点M，连接11,,GMAMBC，由题意可知：1//GMBC，因为1//BCEF，所以//GMEF，GM平面AEF，EF平面

AEF，所以//GM平面AEF，因为1AMAE∥，1AMË平面AEF，AE平面AEF，所以1//AM平面AEF，因为11,,AMGMMAMGM=平面1AGM，所以平面AEF//平面1AGM，因为1A

G平面1AGM，所以1//AG平面AEF，故选项C正确；对于选项D：因为111//,//ADEFAGDF，所以异面直线1AG与EF所成的角为1ADF（或其补角），设正方体的棱长为2，则22112253ADDFAFACCF===+=，，，1ADF△中，由余弦定理可得：2221111185910c

os2102225ADDFAFADFADDF+−+−===，故选项D错误，在故选：BC.12.下列命题中，正确的命题有（）A.abab+=−是a，b共线的充要条件B.若//ab，则存在唯一的实数，使得ab=C.对空间中任意一点O和不共线的三点A，B，C，若243OPOAOBO

C=−+，则P，A，B，C四点共面D.若,,abc为空间的一个基底，则,2,3abbcca+++构成空间的另一个基底【答案】CD【解析】【分析】对A，向量a、b同向时abab+=−不成立；对B，b为零向量时不成立；对C，根据空间向量共面的条件判定；对D，根据能

成为基底的条件判定.【详解】对A，向量a、b同向时，abab+−，只满足充分性，不满足必要性，A错误；对B，b应该为非零向量，故B错误；对C，由于243OPOAOBOC=−+得，1324PBPAPC=+，若,PAPC共线，则,,PAPCPB三向量共线，故A

，B，C三点共线，与已知矛盾，故,PAPC不共线，由向量共面的充要条件知,PBPAPC,共面，而,PBPAPC,过同一点P，所以P，A，B，C四点共面，故C正确；对D，若,,abc为空间的一个基底，则a，b，c不共面，假设ab+，2b

c+，3ca+共面，设()()23abxbcyca+=+++，所以13102yxxy===+，无解，故ab+，2bc+，3ca+不共面，则,2,3abbcca+++构成空间的另一个基底，故D正确．故选：CD．三、填空题（每小题5分，共计20分）13.等比数列na中，

39a=−，114a=−，则7a=______．【答案】6−【解析】【分析】由等比数列的性质计算．【详解】因为{}na是等比数列，所以2731136aaa==，又{}na的所有奇数项同号，所以76a=−．故答案为：6−．14.直线230xy+−=被圆()()22214xy−++=截得的

弦长____________【答案】25552555【解析】【分析】首先求出圆心坐标与半径，再利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，最后利用勾股定理与垂径定理计算可得；【详解】圆()()2221

4xy−++=的圆心为()2,1-，半径2r=，圆心()2,1-到直线的距离()22221335512d+−−==+，所以直线被圆截得弦长为22223525522255rd−=−=.故答案为：2555.15.已知数列na.的前n项和为nS，且

()*2120Nnnnaaan+++−=.若11151912aaa++=，则29S=______.【答案】116【解析】【分析】先判断出数列是等差数列，然后运用等差数列的性质可得答案.【详解】()*2112

20N,2,nnnnnnnaaanaaaa+++++−==+为等差数列，111912915111519152,12,4,aaaaaaaaa+=+=++==129291529292941162aaSa+====.故

答案为：116.16.如图，在棱长为1的正方体ABCDABCD−中，M为BC的中点，则AM与DB所成角的余弦值为___________；C到平面DAC的距离为___________.【答案】①.1010②.33【解析】【分析】第一空根据向量法即可求得异面直线

之间的夹角.第二空利用等体积法即可求得.【详解】由已知连接BD，如图所示建立空间直角坐标系,则()0,0,1A，1,1,12M，()0,1,0B，()1,0,0D1,1,02AM=

()1,1,0DB=−10cos,10AMDBAMDBAMDB==AM与DB所成角的余弦值为1010如图所示设C到平面DAC的距离为d因为CADCADCCVV−−=1111322sin6011132323dd==故答案为：1010，33四

、解答题（共计70分）17.已知等差数列{}na的前n项和为nS，等比数列{}nb的前n项和为nT，11221,1,2abab=−=+=.（1）若335ab+=，求{}nb的通项公式；（2）若321T=，求3S.【答案】（1）12nnb−=；（2）当5q=−时，321S=.当4q=时，

36S=−.【解析】【分析】设{}na的公差为d，{}nb的公比为q，（1）由条件可得3dq+=和226dq+=，解方程得12dq==，进而可得通项公式；（2）由条件得2200qq+−=，解得5

,4qq=−=，分类讨论即可得解.【详解】设{}na的公差为d，{}nb的公比为q，则1(1)nand=−+−，1nnbq−=.由222ab+=得3dq+=.①（1）由335ab+=得226dq+=②联立①和②解得30dq==（舍去），12dq==因此{}n

b的通项公式为12nnb−=.（2）由131,21bT==得2200qq+−=.解得5,4qq=−=.当5q=−时，由①得8d=，则321S=当4q=时，由①得1d=−，则36S=−.【点睛】本题主要考查了等差数列和等比数列的基本量运算，属于基础题.18.如图，平行六面体1111ABCDAB

CD−的底面是菱形，且1160CCBCCDBCD===，12CDCC==．（1）求1AC的长；（2）求异面直线1CA与1DC所成的角．【答案】（1）122AC=（2）90°．【解析】【分析】(1)因为1,,CD

CBCC三组不共线，则可以作为一组基底，用基底表示向量1ACuuur，平方即求得模长.(2)求出两条直线1CA与1DC的方向向量，用向量夹角余弦公式即可.【小问1详解】设CDa=uuurr，CBb=uurr，1CCc=uuurr，,,abc构成空间的一

个基底．因为()11()ACCCCDCBcab=−+=−+，所以()22211ACACcab==−+222222cabacbcab=++−−+12222cos608=−=，所以122AC=．【小问2详解】.又1CAabc=++，1DCca=−，

所以()()11CADCabcca=++−220cabcab=−+−=∴11CADC⊥∴异面直线1CA与1DC所成的角为90°．19.已知等差数列na的前n项和为258,224,100nSaaS+

==.（1）求{an}的通项公式；（2）若+11nnnbaa=，求数列{nb}的前n项和Tn.【答案】（1）31nan=−（2）2(32)nnTn=+【解析】【分析】（1）由等差数列的通项公式以及等差数列的前n项和公式展开可求得结果；（

2）由裂项相消求和可得结果.【小问1详解】设等差数列{}na的公差为d，由题意知，1112()4248(81)81002adadad+++=−+=解得：123ad==∴1(1)23(1)

31naandnn=+−=+−=−.故{}na的通项公式为31nan=−.【小问2详解】∵1111()(31)(32)33132nbnnnn==−−+−+111111111111()()()()32535838113313211

1111111()325588113132111=()3232=2(32)nTnnnnnnn=−+−+−++−−+=−+−+−++−−+−++即：{}nb的前n项和2(32)nnTn=+.20.如图，在直

三棱柱111ABCABC-中，2ABAC==，14AA=，ABAC⊥，1BEAB⊥交1AA于点E，D为1CC的中点.（1）求证：BE⊥平面1ABC；（2）求直线1BD与平面1ABC所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）1515.【

解析】【分析】（1）先证明1AAAC⊥，从而可得AC⊥平面11AABB，进而可得ACBE⊥，再由线面垂直的判定定理即得；（2）建立空间直角坐标系，利用线面角的向量求法即得.【小问1详解】因为三棱柱111ABCAB

C-为直三棱柱，所以1AA⊥平面ABC，又AC平面ABC，所以1AAAC⊥,又ACAB⊥，1ABAAA=，AB平面11AABB，1AA平面11AABB，所以AC⊥平面11AABB，因为BE平面11AAB

B，所以ACBE⊥，又因为1BEAB⊥，1ACABA=，AC平面1ABC，1AB平面1ABC，所以BE⊥平面1ABC；【小问2详解】由（1）知AB，AC，1AA两两垂直，如图建立空间直角坐标系Axy

z−，则()0,0,0A，()12,0,4B，()0,2,0C，()2,0,0B，()0,2,2D，设()0,0,Ea，()12,0,4AB=，()2,0,BEa=−，()0,2,0AC=，因为1ABBE⊥，所以440a−=，即1a=，则()2,0,1BE=−，

由（1）平面1ABC的一个法向量为()2,0,1BE=−，又()12,2,2BD=−−，设直线1BD与平面1ABC所成角的大小为π20，则111215sincos,15512BEBDBEBDBEBD====，因此，直线1BD与平面1ABC所成

角的正弦值为1515.21.已知数列1221,2,5,43.++===−nnnnaaaaaa（1）令1nnnbaa+=−，求证：数列{}nb是等比数列；（2）若nncnb=，求数列{}nc的前n项和nS．【答案】（1）见

解析（2）11133244nnSn+=−+【解析】【分析】（1）根据递推公式证明2113nnnnaaaa+++−−为定值即可；（2）利用错位相减法求解即可.【小问1详解】证明：因为2143nnnaaa++=−，所以()2113nnnnaaaa+++−=−，

即13nnbb+=，又1213baa−==，所以数列{}nb是以3为首项，3为公比的等比数列；【小问2详解】解：由（1）得11333nnnnaa+−−==，3nnncnbn==，则23323333nnSn=++++，23413323333nnSn+=++++，两式相减

得()2311131313233333331322nnnnnnSnnn+++−−=++++−=−=−−−，所以11133244nnSn+=−+．22.如图，在多面体ABCDEF中，梯形ADEF与平行四边形ABCD所在平面互相垂直，1//122AFDEDEADADB

EAFADDEAB⊥⊥====，，，，.（1）求证：BF∥平面CDE；（2）求二面角BEFD−−的余弦值；（3）判断线段BE上是否存在点Q，使得平面CDQ⊥平面BEF？若存在，求出BQBE的值，若不存在，说明理由.【答案】（1）详

见解析（2）63（3）存在点Q；17BQBE=【解析】【分析】（1）根据线面平行的判断定理，作辅助线，转化为证明线线平行；（2）证得DA，DB，DE两两垂直，从而建立以D点为原点的空间直角坐标系，求得平面DEF和平面BEF的一个法向量，根据法向

量的夹角求得二面角的余弦值；（3）设()()0,,20,1BQBE==−，求得平面CDQ的法向量为u，若平面CDQ⊥平面BEF，则0mu=，从而解得的值，找到Q点的位置.【小问1详解】取DE的中点M，连结MF，MC，因为12AFDE=，

所以AFDM=，且AFDM=，所以四边形ADMF是平行四边形，所以//MFAD，且MFAD=,又因为//ADBD,且ADBC=，所以//MFBC,MFBC=,所以四边形BCMF是平行四边形，所以//BFCM,因为BF平面CDE,CM平面CDE，所以//BF平面CDE；小问2详解】因平面AD

EF⊥平面ABCD，平面ADEF平面ABCDAD=，DEAD⊥，所以DE⊥平面ABCD，DB平面ABCD，则DEDB⊥，故DA，DB，DE两两垂直，所以以DA，DB，DE所在的直线分别为x轴、y轴和z轴，如图建立空间直角坐标系，则

()0,0,0D，()1,0,0A，()0,1,0B，()1,1,0C−，()0,0,2E，()1,0,1F，所以()0,1,2BE=−，()1,0,1EF=−，()0,1,0n=为平面DEF的一个法向量.设平面BEF的一个法向量为(

),,mxyz=，由0mBE=，0mEF=，得200yzxz−+=−=，令1z=，得()1,2,1m→=.【为所以26cos,36mnmnmn→→→→→→===.如图可得二面角BEFD−−为锐角，所以二面角BEFD−−的余弦值为63.【小问3详解】结论：线段BE上存在点Q

，使得平面CDQ⊥平面BEF.证明如下：设()()0,,20,1BQBE==−，所以(0,1,2)DQDBBQ=+=−.设平面CDQ的法向量为(),,uabc=，又因为()1,1,0DC=−，所以0uDQ

=，0uDC=，即(1)200bcab−+=−+=，若平面CDQ⊥平面BEF，则0mu=，即20abc++=，解得10,17=.所以线段BE上存在点Q，使得平面CDQ⊥平面BEF，且此时17BQBE=.