【文档说明】湖南省名校联考联合体2025届高三上学期第一次联考（暨入学检测）数学试题 Word版含解析.docx，共(17)页，1.142 MB，由小赞的店铺上传

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名校联考联合体2025届高三第一次联考（暨入学检测）数学注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名､考生号､考场号､座位号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择

题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合

6,4,3,6,{3}ABxxx=−−=−∣，则AB=（）A.3,6B.4,3−C.6−D.6【答案】A【解析】【分析】利用不等式的解法化简集合B，再根据交集的定义求解即可.【详解】

因为36,4,3,6,{3}2ABxxxxx=−−=−=∣，所以3,6AB=.故选：A.2.已知复数z在复平面内对应的点为()2,1−，则2z=（）A.2B.3C.4D.5【答

案】D【解析】【分析】利用复数的几何意义，复数的乘法运算及模的求法即得.【详解】复数z在复平面内对应的点为()2,1−，则222i,(2i)34i5zz=−=−=−=.故选：D.3.已知等差数列{𝑎𝑛}中，23a=，前5项和510S=，则数列{𝑎𝑛}的公差为（）A.−2B

.52−C.1−D.4−【答案】C【解析】【分析】根据等差数列的性质可求得32a=，进而根据等差数列定义求公差d.【详解】设等差数列{𝑎𝑛}的公差为53,510dSa==，322aad=+=，又23,1ad==−.故选C.4.

马德堡半球实验是17世纪50年代由马德堡市长进行的一项实验，其主要目的是证明大气压的存在.实验使用两个直径为14英寸的半球壳，将两个半球内的空气抽掉，球不容易被分开，以证明大气压的存在.若把直径为14英寸的一个实心球分割为两个半球，则这两个半球的表面积之和为（）A.1176π

平方英寸B.294π平方英寸C.245π平方英寸D.196π平方英寸【答案】B【解析】【分析】两个半球的表面积之和为球的表面积和两个以球半径为半径的圆面积.【详解】由题意可知球的半径7r=，则两个半球的表面积之和为224π2π294πrr+=平方英寸.故选：B5.

已知向量()()1,2,1,1ab==−，若(),cxy=满足()ca+∥b，则xy+=（）A.-3B.2C.-5D.4【答案】A【解析】【分析】根据向量运算，即可求得正确答案.【详解】设向量(),cxy=，则()1,2caxy+=

++，.因为()ca+∥b，所以12xy+=−−，故3xy+=−.故选：A.6.已知函数2()32ln(1)3fxxxax=−+−+在区间(1,2)上有最小值，则实数a的取值范围是（）A.3a−B.49103a−−C.4933a−

−D.103a−−【答案】D【解析】【分析】求出函数()fx的导数()fx，再求出()fx在区间(1,2)上有变号零点且在零点两侧的函数值左负右正的a值范围.【详解】函数2()32ln(1)3fxxxax=−+−+，求导得226

(1)2()61xaxfxxaxx+−−=−+−=，由2()32ln(1)3fxxxax=−+−+在区间(1,2)上有最小值，得()fx在区间(1,2)上有变号零点且在零点两侧的函数值左负右正，令()()()2612,020hxxaxh=+−−=−，则()hx在区间(1,2)上有变号零

点且在零点两侧的函数值左负右正，因此2Δ(1)4620(1)6120(2)642(1)20ahaha=−+=+−−=+−−，解得103a−−，所以实数a取值范围是103a−−.故选：D7.已知1F为

双曲线2222:1(0,0)xyCabab−=的左焦点，Q为双曲线C左支上一点，2211π,23OFQQFab==+，则双曲线C的离心率为（）A.3B.2C.5D.1313+【答案】D【解析】的【分析】根据双曲线的性质及余弦定理计算可

得.【详解】设2F为双曲线的右焦点，由余弦定理可得2222222121121π111132cos42234224QFFFQFFFQFccccc=+−=+−=，所以2132QFc=，由双曲线的定义可得

212QFQFa−=，即131222cca−=，故双曲线C的离心率213131312cea+===−.故选：D8.若5π,,2π,2，且sin2cossincos2coscos02222+−+−−=−

=，则()sin−=（）A.12B.12C.32D.32−【答案】D【解析】【分析】观察可知22+−=+，22+−=+，因此运用角的变换及两角和的正弦、余弦公式即可化简题目所给条件，变形后再平方，两式相加即可得到(

)1cos2−=，再根据同角三角函数的基本关系求解即可，要注意角的范围.【详解】因为22+−=+，22+−=+所以sinsinsincoscossin222222+−

+−+−=+=+①，sinsinsincoscossin222222+−+−+−=+=+，即sinsincoscossin2222+−+−=−②，①-②得2cossinsins

in22+−=−，.所以sin2cossinsinsinsin022+−−=−+=，同理coscoscoscossinsin222222+−+−+−=+=−③，coscoscoscossinsin222222

+−+−+−=+=+，即coscoscoscossinsin222222+−+−+−=+=+④，③+④得2coscoscoscos22

+−=+所以cos2coscoscoscoscos022+−−=−−=，所以sinsinsin,coscoscos−=−−=，两式平方相加得()22cos1−−=，所以()1cos2−=，因为sinsinsin0−=−

，且sinyx=在5π2π,2上单调递增，所以5ππ2π,022−−，所以()3sin2−=−.故选：D.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对

的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.中国作为全球最大的产茶国和茶叶消势市场，茶叶行业长期保持平稳问好发展的趋势，下表为2014年—2023年中国茶叶产量（单位：万吨），根据该表，则（）年份201420

1520162017201820192020202120222023产量204.9227.7231.3246.0261.0277.7293.2318.0335.0355.0A.2015年中国茶叶产量年增长率大于10%B.2014年—2023年中国茶叶产量的

极差是150.1C.2014年—2023年中国茶叶产量的60%分位数是277.7D.2019年—2023年中国茶叶产量的平均数大于310【答案】ABD【解析】【分析】对于AB，计算出增长率或极差后可求判断AB正误，对于C，计算出60%分位数后可判断其正误，对于D

，计算出平均数后可判断其正误.【详解】对于A，2015年中国茶叶产量年增长率为227.7204.922.811.1%10%204.9204.9−=，故A正确；对于B，2014年—2023年中国茶叶产量的极差是

355.0204.9150.1−=，B正确；对于C,1060%6=，所以60%分位数是2019年与2020年茶叶产量的平均数，即277.7293.2285.452+=，C错误；对于D，2019年-2023年中国茶叶产量的平均数为：277.7293.2318.

0335.0355.0315.783105++++=，D正确.故选：ABD.10.已知2mn，且222log,log1,2log2mxmynzn==+=+，则（）A.若xy=，则12nB.若xy=，则mn+的最大值为2C.若xyz

==，则422410mmm+−+=D.若xyz==，则23204nn−+【答案】ACD【解析】【分析】选项A，根据条件得到()22loglog2mn=，利用2logyx=的性质，即可求解；选项B，根据条件，利用基本不等式，即可求解；选项C，根据条件，得到2log02mn+

，从而有22221log2loglog222mmmnm−=+=+，得到21122mmm=+，即可求解；选项D，利用yz=，的得22221322424mmnnnn

=+=+++，即可求解.【详解】对于选项A，由xy=得，()222loglog1log2mnn=+=，又2mn，可得21mn=，所以12nm=，又01m，所以12n，故选项A正确；对于选

项B，易知，0,0mn，所以22mnmn+=，当且仅当22mn==时取等号，所以选项B错误；对于选项C，由选项A知1122nm=，所以11222mmnm+=+，得到2log02mn+，所以22221log2loglog222mmmnm

−=+=+，所以21122mmm=+，整理得422410mmm+−+=，所以选项C正确；对于选项D，由yz=得到，22221322424mmnnnn=+=+++

，得23204nn−+，所以选项D正确.故选：ACD.11.已知首项为1的正项数列na的前n项和为nS，且11430nnnnSSSS++−+=，设数列nnSa−的前n项和为nT，则（）A.nS为等比数列B.19nna−=C.1819nnT−+=D.(

)182nnaSn−=…【答案】ACD【解析】【分析】利用等差等比数列的性质，即可求得答案.【详解】由题意可得11430nnnnSSSS++−+=，即()()1130nnnnSSSS++−−=，得1nnSS+=或13nnSS+=，若10nnSS+==，

则1nnSS+=，则10na+=，这与0na矛盾，所以不成立；若13nnSS+=，则1119,1nnSSSa+===，所以数列nS是首项为1，公比为9的等比数列，即19nnS−=，故A正确；由19nnSS+=，可得()192nnSSn−=，两式相减得，1

9nnaa+=，且1n=时，219SS=，即1219aaa+=，得28a=，那么2189aa=，故21,1,89,2,nnnan−==故B错误；当1n=时，110Sa−=，当2n时，()()()()()11221212nnn

nnTSaSaSaSSSaaa=−+−++−=+++−+++()118191991119198nnn−−−−−=−+=−−，当1n=时，10T=符合上式，故1918nnT−−=，即1819

nnT−+=，故C正确；易得2n时，18nnaS−=，故D正确.故选：ACD.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.7()xy−的展开式中52xy的系数为__________.【答案】21

【解析】【分析】根据二项式7()xy−的展开式的通项717C(1)rrrrrTxy−+=−，求解问题.【详解】二项式7()xy−的展开式的通项77177C()C(1),0,1,2,,7rrrrrrrrTxyxyr−−+=−=−=，所以7()xy−

的展开式中52xy项的系数为227C(1)21−=.故答案为：21.13.设抛物线212yx=的焦点为F，经过点()4,1P的直线l与抛物线相交于,AB两点，且点P恰为AB的中点，则AFBF+=__________.【答案】14【解析】【分析】设𝐴(𝑥1,𝑦1),𝐵(𝑥2,𝑦2

)，根据抛物线的定义，得123,3AFxBFx=+=+，又根据中点坐标公式，可得128xx+=，代入即可得到()126AFBFxx+=++的值．【详解】由题意可得()3,0F，设𝐴(𝑥1,𝑦1),𝐵(𝑥2,𝑦2)，抛物线的准线：3x=−，过,AB分别作准线的垂线，垂

足分别为,CD，根据抛物线的定义，得123,3AFACxBFBDx==+==+，故()126AFBFxx+=++，因为AB的中点为()4,1P，所以()12142xx+=，可得128xx+=，所以()12614AFBFxx+=++=.故答案

为：14.14.在三棱锥PABC−中，2,ABBCCAPAPB====，二面角PABC−−的大小为π3，则222PAPBPC++最小时，三棱锥PABC−的体积为__________.【答案】312【解析】【分析】本题主要利用余弦定理、二面角以及直角三角形的性质，即可求得一元

二次函数的最小值，进而求得三棱锥PABC−的体积.【详解】如图，取AB的中点D，连接,PDCD，设PDa=，则2221PAPBa==+，3CD=，显然PDC是二面角PABC−−的平面角，所以π3PDC

=，在PDC△中，由余弦定理可得2233PCaa=+−，所以22222319193353644PAPBPCaaa++=−+=−+，当且仅当36a=时取等号，此时三棱锥PABC−的体积1π1333sin33336212ABCVPDS==

=.故答案为：312.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.已知ABCV中，内角,,ABC所对的边分别为,,abc，()()()::5:7:6abbcca+++

=.（1）求cosA；（2）若点D为AB的中点，且10CD=，求ABCV的面积.【答案】（1）78（2）315【解析】【分析】（1）根据比例，设出5(0)abtt+=，联立解得,,abc关于t的表达式，再利用余弦定理求值即可；（2）结合已知条件与（1）中结论，在ACD中利用余弦定理可得

t的值以及sinA的值，进而可知ABCV中边,bc的值，再由三角形面积公式求值即可.【小问1详解】因()()()::5:7:6abbcca+++=，设5(0)abtt+=，则7bct+=，6cat+=，联立解得2at=，3bt=，4ct=，所以由余弦定理得222222291647cos224

8bcatttAbct+−+−===.【小问2详解】为在ACD中，7cos8A=，10CD=，3ACbt==，122ADct==，由余弦定理得22710942328tttt=+−，解得2t=（负值舍去），所以36bt==，48

ct==，因为0πA，所以215sin1cos8AA=−=，所以1115sin68315228ABCSbcA===.16.某机构为了了解某地区中学生的性别和喜爱游泳是否有关，随机抽取了100名中学生进行了问卷调查，得到如下列联表：喜欢游

泳不喜欢游泳合计男生25女生35合计已知在这100人中随机抽取1人，抽到喜欢游泳的学生的概率为35.（1）请将上述列联表补充完整；（2）依据小概率值0.001=的独立性检验，能否认为喜欢游泳与性别有关联；（3）将样本频率视为总体概率，在该地区的所有中学生中

随机抽取3人，计抽取的3人中喜欢游泳的人数为X，求随机变量X的分布列和期望．附：()()()()()22nadbcabcdacbd−=++++.()2Pk0.1000.0500.0100.001k2.7063.8416.63510.828【答案】（1）列联表

见解析（2）认为是否喜欢游泳与性别无关（3）分布列见解析，95【解析】【分析】（1）根据题中信息即可统计数据求解.（2）根据独立性检验计算卡方值即可求解.（3）根据二项分布求概率即可求解分布列和期望.【小问1详解】喜欢游泳不喜欢游泳合计男生252550女生

351550合计6040100【小问2详解】零假设0H:假设是否喜欢游泳与性别无关，()2100251525356040505025<10.8286−==，依据小概率值0.001=的独立性检验，没有充分证据推断0H不成立，因此可以认为0H成

立，即认为是否喜欢游泳与性别无关.【小问3详解】X的可能取值为0，1，2，3，3(3,).5XB3213283236(0),(1)C512555125PXPX======，23233254327(2)C,(3)551255125PXPX======

.X的分布列为X0123P812536125541252712539()355EX==.17.已知椭圆2222:1(0)xyCabab+=的焦距为22，且C的离心率为22.（1）求C的标准方程；（2）若()30A−,，直线:1(0)lxtyt=+交椭圆C于,EF两点，且A

EF△的面积为14，求t的值.【答案】（1）22142xy+=（2）2t=【解析】【分析】（1）根据椭圆的几何性质直接求解；（2）结合韦达定理与题目条件，结合三角形面积公式即可得解.【小问1详解】由题意得：

2222,2ccea===，即2,2ca==，则2222bac=−=，所以C的标准方程为：22142xy+=.【小问2详解】由题意设()()1122,,,ExyFxy，联立221142xtyxy=+

+=，消去x得：()222230tyty++−=，则()222Δ412216240ttt=++=+，则12122223,22tyyyytt+=−=−++，可得()()22212121222224122464222ttyyyyyyttt+−=+−=+=+++，设直线l与x轴的交点为()1,

0D，且()3,0A−，则()134AD=−−=，故2122124621422AEFtSADyyt+=−==+，解得2t=.18.已知正四棱柱1111ABCDABCD−底面ABCD为边长为3的正方形，16AA=，点,,EFG分别在线段11111,,ADAABC上，且1122AFAE==，132

CG=，点H在线段1BB上且EFGH∥.（1）求锐二面角1AFHE−−的余弦值；（2）求平面EFHG将四棱柱分割成两个多面体的体积比.【答案】（1）34623（2）111119719DEFADCGHBCAEFBGHVV−−=【解析】【分析】（1）建立适当的空间直角坐标系，利用EFG

H∥可求得点()3,3,3H，再求出平面11ABHF与平面EFHG的法向量，利用向量夹角的坐标表示求出二面角1AFHE−−的余弦值；（2）利用1AEF与1BGH△位似，延长11,,GEBAHF交于点K，

可求得11AEFBGHV−的体积，再利用正四棱柱1111ABCDABCD−的体积可求得剩余部分的体积，作比即可.【小问1详解】如图，以点D为原点，DA为x轴，DC为y轴，1DD为z轴建立空间直角坐标系，

依题意可得，()13,0,6A，()13,3,6B，()3,0,4F，()2,0,6E，3,3,62G，设()3,3,Ha，则()1,0,2EF=−，3,0,62GHa=−，EFGH∥，EFGH∥，36212a−=−，解得3a=，即()3,3,3H，易

知平面11ABHF的一个法向量()11,0,0n=，且()0,3,1FH=−，设平面EFHG的一个法向量𝑛2⃗⃗⃗⃗=(𝑎,𝑏,𝑐)，由2200nFHnEF==，可得3020bcac−=−=，令1b=，可得6a=，3c

=，则()26,1,3n=，1212126346cos,23146nnnnnn===，故锐二面角1AFHE−−的余弦值为34623.【小问2详解】易知1AEF与1BGH△位似，延长11,,GEBAHF交于点K，则()111111

1113AEFBGHKBGHKAEFBGHAEFVVVSBKSAK−−−=−=−，111123AAKKEBBG==，16AK=，19BK=，111131193912632224AEFBGHV−=

−=，111111111919733644ABCDABCDAEFBGDEFAHDCGHBCVVV−−−=−=−=，体积比111119719DEFADCGHBAEFBCGHVV−−==.19.若函数()fx的定义域为R，且

存在非零常数T，使得对任意xR，都有()()()fxTfxTTfx−++=，则称()fx是类周期为T的“类周期函数”.（1）若函数()fx是类周期为1的“类周期函数”，证明：()fx是周期函数；（2

）已知()2sin(0)fxxx=−是“类周期函数”，求的值及()fx的类周期；（3）若奇函数()fx是类周期为(0)TT的“类周期函数”，且()()31fTfT=，求T的值，并给出符合条件的一个()fx.【答案】（1）证明见解析（2）()()*

π,kkfx=N的类周期为2（3）2T=，()2πsin8=fxx【解析】【分析】（1）利用“类周期函数”的定义，即可证明；（2）利用已知条件()()2sin0fxxx=−是“类周期函数”以及奇函

数的性质，即可证明；（3）利用已知条件，求出()()3,fTfT的关系，进而求出T的值，进行作答.【小问1详解】证明：因为()fx是类周期为1的“类周期函数”，所以()()()11fxfxfx−++=，①用1x+代换x得()()

()21fxfxfx++=+，②①+②得()()21fxfx+=−−，所以()()3fxfx+=−，所以()()()63fxfxfx+=−+=，所以()fx是周期为6的周期函数.【小问2详解】因为()fx是“类周期函数”，所以存在非零常数T

，使得对任意xR，都有()()()fxTfxTTfx−++=，即()()()()2sin2sin2sinxTxTxTxTTxTx−−−++−+=−，整理得42sincos2sinxxTTxTx

−=−，所以42,2cosTTT==所以2,cos21T==，所以()()*π,kkfx=N的类周期为2.【小问3详解】因为奇函数()fx是类周期为T的“类周期函数”，所以()00f=，且()()()fxTfxTTf

x−++=，取xT=，得()()()02ffTTfT+=，所以()()2fTTfT=，取2xT=，得()()()()232fTfTTfTTfT+==，所以()()()231fTTfT=−，因为()()()31,0fTfTfT=，所以211,2TT−==（负值舍去）

，所以()()()222fxfxfx−++=，设()sinfxax=，则()()sin2sin22sinaxaaxaax−++=，整理得2sincos22sinaxaax=，所以2cos22a=，取(

)2π2π,sin88afxx==.【点睛】关键点点睛:此题重点在于把握理解新定义“类周期函数”，并结合周期函数、三角函数的性质解题.