【文档说明】【精准解析】湖南省株洲市第二中学2019-2020学年高二下学期入学考试数学（文）试题.doc，共(20)页，1.997 MB，由小赞的店铺上传

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文科数学试题一､选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共计60分，每小题只有一个正确答案.请将答案填入答题卷中的相应位置.)1.设集合2|log(2)Axyx==−，2|320Bxxx=−+，则AB=ð（）A.(,1]−B.(,1)−C.(2,

)+D.[2,)+【答案】A【解析】【分析】求解对数函数的定义域以及二次不等式，解得集合,AB，再求集合的补运算即可.【详解】要使得对数函数有意义，则20x−，解得2x；由2320xx−+，解得()1,2x；故AB=ð(,1]−.故选：A.【点睛】本题考查对数函数定义域的求解，二次不

等式的求解，集合的补运算，属综合基础题.2.已知复数zai=+，a为实数，若4zz+=，则复数z的共轭复数z=（）A.2i+B.2i−C.2i−+D.2i−−【答案】B【解析】试题分析：42422zzaazi+====−，选B.考点：复数概念【名师点睛】本题

重点考查复数的基本运算和复数的概念，属于基本题.首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如()()()(),(,,.)++=−++abicdiacbdadbciabcdR.其次要熟悉复数相关基本概念，如复数(,)abiabR+的实部为a、虚部为b、模为22ab+、对应点为(

,)ab、共轭为.−abi3.已知等差数列na中，21a=−，前5项和515=−S，则数列na的公差为（）A.3−B.52−C.2−D.1−【答案】C【解析】【分析】由等差数列的前n项和性质，结合已知条件，即可求得结果.【详解】因为515=−S35a=，

解得33a=−，故数列na的公差()32312daa=−=−−−=−.故选：C.【点睛】本题考查等差数列前n项和的性质，属基础题.4.己知命题:p“ab”是“22ab”的充要条件；:,0xqxRe.则（）A.pq为真命题B.pq为假命题C.pq为真命题D

.pq为真命题【答案】D【解析】【分析】先判断命题,pq的真假，再判断复合命题的真假即可.【详解】22ab，等价于ab，故命题p为真；对任意的x，0xe恒成立，故命题q为假；故pq为真命题.故选：D.【点睛】本题考查复合命题真假的判断，涉及指数不等式求解，指数

函数的值域，属综合基础题.5.一组数据共有7个数，从小到大排列依次为2，2，2，x，5，6，8，且知道这组数的平均数､中位数､众数依次成等差数列，x=（）A.2B.3C.4D.5【答案】B【解析】【分析】依次求得数据的平均数、

中位数、众数，即可列出方程，则问题得解.【详解】由题可知，平均数为()1257x+，中位数为x，众数为2，故可得()125227xx++=，解得3x=.故选：B.【点睛】本题考查一组数据的平均数、中位数和众数，涉及等差中项的性质，属

综合基础题.6.设函数()(1)xfxxe=+，则()fx在(1,(1))f的切线的斜率为（）A.1B.2C.3e+D.3e【答案】D【解析】【分析】求导，即可容易求得结果.【详解】由题可知()()2xfxex=+，故可得()13fe=.则()fx在(1,(1))f的切线

的斜率为3e.故选：D.【点睛】本题考查利用导数的几何意义求切线的斜率，属基础题.7.定义某种运算:Smn=的运算原理如右边的流程图所示，则6547−=（）A.3B.1C.4D.0【答案】A【解析】【分析

】根据流程图知运算为分段函数，根据分段函数进行计算.【详解】由流程图得656(51)24,477(41)21,=−==−=所以654724213−=−=,选A.【点睛】算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念，

包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项.8.某几何体的三视图如图所示，则它的最长棱长是（）A.2B.6C.22D.3【答案

】C【解析】【分析】根据三视图还原几何体，则问题得解.【详解】由三视图还原几何体如下所示：容易知：2,2,2,2,22,6ABBDBCCDADAC======，故最长棱长是22AD=.故选：C.【点睛】

本题考查由三视图还原几何体，属基础题.9.将函数()4cos()13fxx=++的图象上所有点的横坐标缩短到原来的12（纵坐标不变）再把图像向左平移6个单位，得到函数()ygx=的图象，则函数()ygx=图象的一个对称中心为（）A.11(,1)12−B.

11(,1)12C.7(,1)12−D.7(,1)12【答案】B【解析】由题意将函数()4cos()13fxx=++的图象上所有点的横坐标缩短到原来的12，可得函数的解析式为()4cos(2)13fxx=++

，再把函数()4cos(2)13fxx=++图像向左平移6个单位，得到函数()24cos(2)13gxx=++，令2232xk+=+，解得,122kxkZ=−+，当2k=时，1112=x

，所以函数()ygx=的一个对称中心的坐标为11(,1)12，故选B.10.函数()2()3ln||fxxx=−的大致图象为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据函数的奇偶性，以及12f

，即可容易求得结果.【详解】因为()2()3ln||fxxx=−()fx=−，且定义域关于原点对称，故()fx是偶函数，图像关于y轴对称，排除,AD；又因为1(1)0,(3)0,02fff==，故排除B.故选：C.【点睛】本题考

查函数奇偶性的判断，函数图像的辨识，涉及对数运算，属综合基础题.11.2018年平昌冬季奥运会于2月9日~2月25日举行，为了解奥运会五环所占面积与单独五个环面积和的比例P，某学生设计了如下的计算机模拟，通过计算机模拟长为8，宽为5的长方形内随机取了N个点，经统计落入五环及其内部的点数为n，圆

环半径为1，如图，则比值P的近似值为A.325πnNB.32πnNC.8πnND.5π32nN【答案】C【解析】设奥运五环所占的面积为1S，矩形的面积为8540S==，由在长方形内随机取了N个点，经统计落入五环及其内部的点数为n，得1SnSN=，则140nnSSNN==，又单独五个圆环的面

积为23515S==，所以奥运会五环所占面积与单独五个环面积和的比例为4085ππnnNPN==，故选C．12.1F､2F分别是椭圆22221(0)xyabab+=的左､右焦点，AB、分别为该椭圆的左右顶点，P为椭圆上一点，1PFx⊥轴，过点A的直线l与线段

1PF交于点M，与y轴交于点E，直线BM与OE交于N，2ENNO=，则该椭圆的离心率为（）A.13B.12C.23D.34【答案】B【解析】【分析】设出直线AE方程，求得,ME坐标，求得直线BM方程，求得N点坐标，由向量关系即可求

得结果.【详解】根据题意，作图如下：设直线AM的方程为()ykxa=+，则容易得()(),Mckac−−，()0,Eak，则直线BM的斜率为()kacca−−−，则其方程为()()kacyxaca−=−−−，则()0,akacNac−+，因为2ENNO=，故可得()3akacakac

−=+，解得12ca=.故选：B.【点睛】本题考查椭圆离心率的求解，属中档题.二､填空题(本大题共4小题，共20分)13.已知实数,xy满足约束条件5,320,3210,xyxyzxyxy+−=+−+则的最小值为_________．【答案】94【

解析】【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案．【详解】由实数,xy满足约束条件5320210xyxyxy+−−+

作出可行域如图，联立320210xyxy−=−+=，解得13,24A，化目标函数3zxy=+为3yxz=−+，由图可知，当直线3yxz=−+过13,24A时，直线在y轴上的截距最小，z有

最小值为1393244+=．故答案为94．【点睛】解决线性规划问题的实质是把代数问题几何化，即数形结合思想.需要注意的是：一，准确无误地作出可行域;二，画目标函数所对应的直线时，要注意让其斜率与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错;三，一般情

况下，目标函数的最大值或最小值会在可行域的端点或边界上取得.14.方程222210xyxym+−+++=表示一个圆，且过点(2,0)有两条直线与该圆相切，则实数m的取值范围是__________.【答案】(1,1)−【解析】【分析】根据2240DE

F+−，以及点在圆外即可求得m的范围.【详解】由题可知：()44410m+−+且4410m−++，解得1m且1m−.故()1,1m−.故答案为：()1,1−.【点睛】本题考查方程表示圆求参数范围，以及根据点和圆的位置关系求参数，属综合基础题.1

5.EF、分别是三棱锥PABC−的棱APBC、的中点，10,6PCAB==，7EF=，则异面直线AB与PC所成的角为_____.【答案】60【解析】【分析】根据题意，取AC中点为M，连接,MEMF，通过余弦定理即可容易求得.【详解】根据题意，取AC中点为M，连

接,MEMF，如下图所示：因为,,EMF分别为,,PAACBC中点，故可得EM//PC，MF//AB，故可得EMF即为AB与PC所成的角或其补角.在EMF中，222122EMMFEFcosEMFEMMF+−==−.故120EMF=，故AB与P

C所成的角为60.故答案为：60.【点睛】将异面直线的夹角转化为三角形中的角度求解问题，涉及余弦定理解三角形，属基础题.16.已知函数()fx是定义在R上的偶函数，且(2)(2)fxfx−−=−，当[2,0]x−时，3()fxx=−则关于x

的方程()8cos2fxx=在[1,5]−上的所有实数解之和为______.【答案】14【解析】【分析】根据题意，求得()fx的对称轴，结合()yfx=与8cos2yx=在[1,5]−上图象即可容易求得结果.【详解】函数()fx是定义在R上的偶函数，(2)(

2),2fxfxx−−=−=−是函数的对称轴，2x=也是对称轴，分别画出()yfx=与8cos2yx=在[1,5]−上图象：交点依次为1234567,,,,,,xxxxxxx，17263544,4,4,2xxxxxxx+=+=+==，1234567432

14xxxxxxx++++++=+=，故答案为：14.【点睛】本题考查函数的对称性，余弦型函数的图像，方程根的求解，属综合中档题.三､解答题(本大题共7小题，共80分)17.在ABC中，角,,ABC的对边分别为,,abc

，(sincos)abCC=+.（1）求角B的大小；（2）若2,1ab==，求ABC的面积.【答案】（1）4.（2）12【解析】【分析】（1）利用正弦定理将边化角，以及正弦的和角公式，即可容易求得结果；（2）由余弦定理求得c，利用面积公式，则问题得解.【详解】（1）在AB

C中，(cossin)sinsin(cossin)abCCABCC=+=+，则sin()sin(cossin)BCBCC+=+，所以cossinsinsin,sin0BCBCC=，所以cossinBB=，即tan1,(0,)BB=

，所以4B=.（2）在ABC中，2,1,4abB===，由余弦定理，得2122cc=+−，所以2210cc−+=，所以1c=所以ABC的面积为112sin22ScB==.【点睛】本题考查利用正余弦定理解三角形，涉及三角形面积的求解，正弦的和角公式，属综合基础题.18.已知四

棱锥PABCD−中，底面是以O为中心的菱形，PO⊥底面ABCD，2,3ABBAD==，M为BC上一点，且12BM=.（1）证明：OA⊥平面PBD；（2）若1OP=，求点M到平面PAB的距离.【答案】（1）证明见解析（2）M到面PAB的距离为2114【解析】【分析】（1）通过证明,AOBDA

OPO⊥⊥，则问题得解；（2）根据MPABPABMVV−−=，利用等体积法求点面距离.【详解】（1）因为PO⊥平面ABCD，OA平面ABCD，故OAPO⊥；又四边形ABCD为菱形，故可得AOBD⊥；又因为,,POBDOPOBD=平面PBD，故

PO⊥平面PBD.即证.（2）由题可知3,2AOPAAB===，2PB=则容易得边PB上的高为2211422ABPB−=.故PABS=n1147222PB=.又1312024ABMSABBMsin==.不妨设M到平面PAB的距离为h，由MPABP

ABMVV−−=，故可得1133PABABMShSPO=nn，解得2114h=.【点睛】本题考查由线线垂直推证线面垂直，涉及利用等体积法求点面距离，属综合中档题.19.某班级数学兴趣小组为了研究人脚的大小与身高的

关系，随机抽测了20位同学，得到如下数据：序号12345678910身高x(厘米)192164172177176159171166182166脚长y(码)48384043443740394639序号111213141

51617181920身高x(厘米)169178167174168179165170162170脚长y(码)43414043404438423941（1）若“身高大于175厘米”为“高个”，“身高小于等于175厘米”的为“非高个”；“脚长大于42码”为“大码”，“脚长小于等于42码”的为“非大码”

.请根据上表数据完成22列联表，求出2K的值(结果精确到小数点后三位有效数字)，并说明有多大的可靠性认为“脚的大小与身高之间有关系”；（2）请根据“序号为5的倍数”的几组数据，求出y关于x的线性回归方程ˆˆyb

xa=+.附表及公式：()2PKk0.150.100.050.0250.0100.0050.001k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.82822()()()()()nadbcKabcdacbd−=++++；()()()121niiiniixxyybx

x==−−=−；aybx=−【答案】（1）22列联表答案见解析，28.802K，有99.5%的把握认为，人的脚的大小与身高之间有关系（2）1ˆ442yx=+【解析】【分析】（1）根据题意，即可容易补充完整表格，结合表格数据，计算2K，故可判断

；（2）分别计算,xy的平均数，根据公式求得ˆˆ,ba，则问题得解.【详解】（1）根据题意，填写22列联表如下：高个非高个合计大脚516非大脚21214合计71320由表中数据，计算2220(51212)8.8027

.879614137K−=，所以，有99.5%的把握认为，人的脚的大小与身高之间有关系；（2）“序号为5的倍数”的数据有4组：1234176,166,168,170xxxx====；123444,39,40,41yy

yy====；则1(176166168170)1704x=+++=，1(44394041)414y=+++=，所以2222(176170)(4441)(166170)(3941)(168170)(4041)(170170)(4141)1(176170)

(166170)(168170)(1702ˆ017)b−−+−−+−−+−−==−+−+−+−，1ˆˆ41170442aybx=−=−=，从而y关于x的线性回归方程是1ˆ442yx=+.【点睛】本题考

查2K的计算，以及线性回归方程的求解，属综合基础题.20.已知与抛物线24xy=有相同的焦点的椭圆2222:1(0)yxEabab+=的上､下顶点分别为(0,2)(0,2)AB−、，过(0,1)的直线与椭圆E

交于MN、两点，（1）求椭圆E的方程；（2）求AMN面积的最大值.【答案】（1）22134xy+=.（2）32【解析】【分析】（1）根据抛物线方程求得焦点，结合顶点坐标，求得,,abc，则方程可解；（2）设出直线MN的方程，联立椭圆方程，根据韦达定理，求得三角形面积的函数关系，利

用导数求函数的最值，则问题得解.【详解】（1）与抛物线24xy=有相同的焦点的椭圆2222:1(0)yxEabab+=的上､下顶点分别为(0,2)(0,2)AB−、，222,1,213acb===−=，椭圆的标准方程

为22134xy+=，（2）设直线:1lykx=+，与22134xy+=联立并消去y，得：()2234690kxkx++−=，设()()3344,,,MxyNxy，则34342269,3434kxxxxkk−+=−=++，

234212134kxxk+−=+，AMN的面积为2342161234kxxk+−=+，令21,1ktt+=，则266(),11313tSttttt==++，记1()3fttt=+，则2231()tftt−=，当1t时，()0ft，()ft单

调递增，1t=时，()ft取最小值，()St取最大值，此时0k=，即MN与x轴平行，AMN面积的最大值为32.【点睛】本题考查由抛物线方程求焦点坐标，考查椭圆方程的求解，椭圆中三角形面积的范围，涉及利用导数求函数的最值，属综合中档题.21.已知函数()()ln

,fxxxgxxa==+.（1）设()()()hxfxgx=−，求函数()yhx=的单调区间；（2）若10a−，函数()()()xgxMxfx=，试判断是否存在()01,x+，使得0x为函数()Mx的极小值点.【答案】（1）见解析；（

2）见解析.【解析】分析：（1）先求导，再利用导数求函数()yhx=的单调区间.(2)先求导得()()2ln1lnaxxMxx−−=，再构造函数()()()ln11,aqxxxx=−−+，研究函数M(

x)的图像和性质.详解：（1）由题意可知：()lnhxxxxa=−−，其定义域为()0,+，则()ln11lnhxxx=+−=.令()0hx，得1x，令()0hx，得01x.故函数()yhx=的单调递增区间为()1,+，单调递减区间为()0,1.（2）由已知有(

)lnxaMxx+=，对于()1,x+，有()()2ln1lnaxxMxx−−=.令()()()ln11,aqxxxx=−−+，则()221axaqxxxx=+=+.令()0qx，有xa−.而10a−，所以01a−，故当1x时，

()0qx.∴函数()qx在区间()1,+上单调递增.注意到()110qa=−−，()0aqee=−.故存在01)xe（，,使得0()0,Mx=且当01)xx（，，)0Mx（＜，当0(,)xxe时，)0M

x（＞.点睛：（1）本题主要考查利用导数求函数的单调区间和极值，意在考查学生对这些基础知识的掌握水平和分析推理的能力.(2)解答本题的关键是二次求导，在求得()()2ln1lnaxxMxx−−=后，由于函数M(x)的单调区间不方便求得，所以要构造()()()ln11,aqxx

xx=−−+，再求导()221axaqxxxx=+=+，再研究函数的图像和性质得解.22.在平面直角坐标系xOy中，直线l的倾斜角45，且经过点(1,1)P−，以坐标系xOy的原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲

线E的极坐标方程为4cos=，直线l与曲线E相交于,AB两点.（1）求直线l的一般方程和曲线E的标准方程；（2）求11||||PAPB+的值.【答案】（1）直线l的一般方程为20xy−−=，曲线E的标准方程为22(

2)4xy−+=.（2）2【解析】【分析】（1）利用点斜式方程，以及公式，即可求得直线的普通方程和曲线E的直角方程；（2）将直线的参数方程代入曲线E的直角方程，利用参数的几何意义，即可容易求得结果.【详解】（1）直线l的倾斜角45，且经

过点(1,1)P−，由题意可知直线l的直角坐标方程为11yx+=−，直线l的一般方程为20xy−−=，曲线E的极坐标方程为4cos=，即24cos=，曲线E的直角坐标方程为224xyx+=，曲线E的标准方程为

22(2)4xy−+=.（2）根据题意，直线l的参数方程是212212xtyt=+=−+，(t是参数)，将其代入曲线E的方程22(2)4xy−+=，可得22220tt−+=，121222,2tttt+=

=，12121211112||||ttPAPBtttt++=+==.【点睛】本题考查极坐标方程，参数方程和普通方程之间的转化，涉及利用参数的几何意义和韦达定理求值，属综合中档题.23.已知函数()222

2fxxx=+−−,xR.（1）求不等式()3fx的解集；（2）若方程()2fxax+=有三个实数根，求实数a的取值范围.【答案】（1）3,4−；（2）11a−【解析】试题分析：（1）通过讨论x的范围，得到关于x的不等式组，求出不等式的解集即可；（2）分离

a，得到11axxx=+−−+，令()11hxxxx=+−−+，结合函数的图象求出a的范围即可．试题解析：（1）原不等式等价于143x−−或1143xx−或143x，得1x−或314x−∴不等式()3fx的解集为3,4−.（2）由方程()

2fxax+=可变形为11axxx=+−−+，令()11hxxxx=+−−+2,1,,11,2,1,xxxxxx+−=−−−，作出图象如下：于是由题意可得11a−.点睛：本题考查了利用分类讨论思想解绝对

值不等式问题，考查数形结合思想处理方程的根的个数问题，是一道中档题．