【文档说明】【精准解析】湖南省株洲市第二中学2019-2020学年高二下学期入学考试数学（文）试题.pdf，共(20)页，682.075 KB，由小赞的店铺上传

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-1-文科数学试题一､选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共计60分，每小题只有一个正确答案.请将答案填入答题卷中的相应位置.)1.设集合2|log(2)Axyx，2|320Bxxx，则ABð（）A.(,1]B.(,1)C.(2,)D.[2,)【答案

】A【解析】【分析】求解对数函数的定义域以及二次不等式，解得集合,AB，再求集合的补运算即可.【详解】要使得对数函数有意义，则20x，解得2x；由2320xx，解得1,2x；故ABð(,1].故选：A.【点睛】本题考查对数函数定义域的求

解，二次不等式的求解，集合的补运算，属综合基础题.2.已知复数zai，a为实数，若4zz，则复数z的共轭复数z（）A.2iB.2iC.2iD.2i【答案】B【解析】试题分析：42422zzaazi，选B.考点：复数概念【名师点睛】本题重点考查复数的基本运算和

复数的概念，属于基本题.首先对于复数的四则运算，要切实掌握其运算技巧和常规思路，如()()()(),(,,.)abicdiacbdadbciabcdR.其次要熟悉复数相关基本概念，如复数(,)abiabR的实部为a、虚部为b、模为22ab、对

应点为(,)ab、共轭为.abi3.已知等差数列na中，21a，前5项和515S，则数列na的公差为（）-2-A.3B.52C.2D.1【答案】C【解析】【分析】由等差数列的前n项和性质，结合已知条件，即可求得结果.【详解】因为515S

35a，解得33a，故数列na的公差32312daa.故选：C.【点睛】本题考查等差数列前n项和的性质，属基础题.4.己知命题:p“ab”是“22ab”的充要条件；:,0xqxRe.则（）A.pq

为真命题B.pq为假命题C.pq为真命题D.pq为真命题【答案】D【解析】【分析】先判断命题,pq的真假，再判断复合命题的真假即可.【详解】22ab，等价于ab，故命题p为真；对任意的x，0xe恒

成立，故命题q为假；故pq为真命题.故选：D.【点睛】本题考查复合命题真假的判断，涉及指数不等式求解，指数函数的值域，属综合基础题.5.一组数据共有7个数，从小到大排列依次为2，2，2，x，5，6，8，且知道这组数的平均数､中位

数､众数依次成等差数列，x（）A.2B.3C.4D.5【答案】B【解析】-3-【分析】依次求得数据的平均数、中位数、众数，即可列出方程，则问题得解.【详解】由题可知，平均数为1257x，中位数为x，众数为2，故可得12

5227xx，解得3x.故选：B.【点睛】本题考查一组数据的平均数、中位数和众数，涉及等差中项的性质，属综合基础题.6.设函数()(1)xfxxe，则()fx在(1,(1))f的切线的斜率为（）A.1B.2C.3eD.3e【答案】D

【解析】【分析】求导，即可容易求得结果.【详解】由题可知2xfxex，故可得13fe.则()fx在(1,(1))f的切线的斜率为3e.故选：D.【点睛】本题考查利用导数的几何意义求切线的斜率，属基础题.7.定义某种运算:S

mn的运算原理如右边的流程图所示，则6547（）A.3B.1C.4D.0【答案】A【解析】-4-【分析】根据流程图知运算为分段函数，根据分段函数进行计算.【详解】由流程图得656(51)24,477(41)21,所以654724213

,选A.【点睛】算法与流程图的考查，侧重于对流程图循环结构的考查.先明晰算法及流程图的相关概念，包括选择结构、循环结构、伪代码，其次要重视循环起点条件、循环次数、循环终止条件，更要通过循环规律，明确流程图研究的数学问题，是求和还是求项.8.某几何体的三视图如图所示，则

它的最长棱长是（）A.2B.6C.22D.3【答案】C【解析】【分析】根据三视图还原几何体，则问题得解.【详解】由三视图还原几何体如下所示：容易知：2,2,2,2,22,6ABBDBCCDADAC，故最长棱长

是22AD.-5-故选：C.【点睛】本题考查由三视图还原几何体，属基础题.9.将函数4cos()13fxx的图象上所有点的横坐标缩短到原来的12（纵坐标不变）再把图像向左平移6个单位，得到函数ygx的图象，则函

数ygx图象的一个对称中心为（）A.11(,1)12B.11(,1)12C.7(,1)12D.7(,1)12【答案】B【解析】由题意将函数4cos()13fxx的图象上所有点的横坐

标缩短到原来的12，可得函数的解析式为4cos(2)13fxx，再把函数4cos(2)13fxx图像向左平移6个单位，得到函数24cos(2)13gxx，令2232xk，解得

,122kxkZ，当2k时，1112x，所以函数ygx的一个对称中心的坐标为11(,1)12，故选B.10.函数2()3ln||fxxx的大致图象为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据函数的奇偶性，以及12f，即可容易求得

结果.-6-【详解】因为2()3ln||fxxxfx，且定义域关于原点对称，故fx是偶函数，图像关于y轴对称，排除,AD；又因为1(1)0,(3)0,02fff，故排除B.故选：C.【点睛】本题考查函数奇偶性的判断，函数图像的

辨识，涉及对数运算，属综合基础题.11.2018年平昌冬季奥运会于2月9日~2月25日举行，为了解奥运会五环所占面积与单独五个环面积和的比例P，某学生设计了如下的计算机模拟，通过计算机模拟长为8，宽为5的长方形内随机取了N个点，经统计落入五环及其内部的点数为n，圆环半径为1，如图，则比值P的

近似值为A.325πnNB.32πnNC.8πnND.5π32nN【答案】C【解析】设奥运五环所占的面积为1S，矩形的面积为8540S，由在长方形内随机取了N个点，经统计落入五环及其内部的点数为n，得1SnSN，则140nnSSNN

，又单独五个圆环的面积为23515S，所以奥运会五环所占面积与单独五个环面积和的比例为4085ππnnNPN，故选C．12.1F､2F分别是椭圆22221(0)xyabab的左､右焦

点，AB、分别为该椭圆的左右顶点，P为椭圆上一点，1PFx轴，过点A的直线l与线段1PF交于点M，与y轴交于点E，直线BM与OE交于N，2ENNO，则该椭圆的离心率为（）-7-A.13B.12C.23D.34【答案】B【解析】【分析】设出直线AE

方程，求得,ME坐标，求得直线BM方程，求得N点坐标，由向量关系即可求得结果.【详解】根据题意，作图如下：设直线AM的方程为ykxa，则容易得,Mckac，0,Eak，则直线BM

的斜率为kacca，则其方程为kacyxaca，则0,akacNac，因为2ENNO，故可得3akacakac，解得12ca.故选：B.【点

睛】本题考查椭圆离心率的求解，属中档题.二､填空题(本大题共4小题，共20分)13.已知实数,xy满足约束条件5,320,3210,xyxyzxyxy则的最小值为_________．【答案】94【解析】-8-【分析】由约束条件作出可行域

，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，代入目标函数得答案．【详解】由实数,xy满足约束条件5320210xyxyxy作出可行域如图，联立320210xyxy，解得13,24A，化目标函数3

zxy为3yxz，由图可知，当直线3yxz过13,24A时，直线在y轴上的截距最小，z有最小值为1393244．故答案为94．【点睛】解决线性规划问题的实质是把代数问题几何化，即数形结合思想.

需要注意的是：一，准确无误地作出可行域;二，画目标函数所对应的直线时，要注意让其斜率与约束条件中的直线的斜率进行比较，避免出错;三，一般情况下，目标函数的最大值或最小值会在可行域的端点或边界上取得.14.方程222210xyxym表示一个圆，且过点(2,0)有两条直线与该

圆相切，则-9-实数m的取值范围是__________.【答案】(1,1)【解析】【分析】根据2240DEF，以及点在圆外即可求得m的范围.【详解】由题可知：44410m且4410m，解得

1m且1m.故1,1m.故答案为：1,1.【点睛】本题考查方程表示圆求参数范围，以及根据点和圆的位置关系求参数，属综合基础题.15.EF、分别是三棱锥PABC的棱APBC、的中点，10,6PCAB，7EF，则异面直线AB与

PC所成的角为_____.【答案】60【解析】【分析】根据题意，取AC中点为M，连接,MEMF，通过余弦定理即可容易求得.【详解】根据题意，取AC中点为M，连接,MEMF，如下图所示：-10-因为,

,EMF分别为,,PAACBC中点，故可得EM//PC，MF//AB，故可得EMF即为AB与PC所成的角或其补角.在EMF中，222122EMMFEFcosEMFEMMF.故120EMF，故AB与PC所成的角为60.故答案为：60.【点睛】将异面直

线的夹角转化为三角形中的角度求解问题，涉及余弦定理解三角形，属基础题.16.已知函数()fx是定义在R上的偶函数，且(2)(2)fxfx，当[2,0]x时，3()fxx则关于x的方程()8cos2fxx在[1,5]上的所有实数解之和为______.【答案】14【解析

】【分析】根据题意，求得fx的对称轴，结合()yfx与8cos2yx在[1,5]上图象即可容易求得结果.【详解】函数()fx是定义在R上的偶函数，(2)(2),2fxfxx是函数的对称轴，2x也是

对称轴，分别画出()yfx与8cos2yx在[1,5]上图象：-11-交点依次为1234567,,,,,,xxxxxxx，17263544,4,4,2xxxxxxx，123456743214xxxxxxx，

故答案为：14.【点睛】本题考查函数的对称性，余弦型函数的图像，方程根的求解，属综合中档题.三､解答题(本大题共7小题，共80分)17.在ABC中，角,,ABC的对边分别为,,abc，(sincos)abCC.（1）求角B的大小；（2）若2,1ab，求ABC的面积.【答案】（1）4

.（2）12【解析】【分析】（1）利用正弦定理将边化角，以及正弦的和角公式，即可容易求得结果；（2）由余弦定理求得c，利用面积公式，则问题得解.【详解】（1）在ABC中，(cossin)sinsin(cossin)abCCABCC，则sin()sin(cossin)B

CBCC，所以cossinsinsin,sin0BCBCC，所以cossinBB，即tan1,(0,)BB，所以4B.（2）在ABC中，2,1,4abB，由余弦定理，得2122cc，所以2210cc，所以1c所以ABC的面积为112sin2

2ScB.【点睛】本题考查利用正余弦定理解三角形，涉及三角形面积的求解，正弦的和角公式，属综合基础题.-12-18.已知四棱锥PABCD中，底面是以O为中心的菱形，PO底面ABCD，2,3ABBAD，M为BC上一点，且12BM.（1）证明：OA平面PBD；（2）若1OP，求点

M到平面PAB的距离.【答案】（1）证明见解析（2）M到面PAB的距离为2114【解析】【分析】（1）通过证明,AOBDAOPO，则问题得解；（2）根据MPABPABMVV，利用等体积法求点面距离.【详解】（1）因为PO平面ABCD，OA平面ABCD，故OAPO；又四边形AB

CD为菱形，故可得AOBD；又因为,,POBDOPOBD平面PBD，故PO平面PBD.即证.（2）由题可知3,2AOPAAB，2PB则容易得边PB上的高为2211422ABPB.故

PABSn1147222PB.又1312024ABMSABBMsin.不妨设M到平面PAB的距离为h，-13-由MPABPABMVV，故可得1133PABABMShSPOnn，解得2114h.【点睛】

本题考查由线线垂直推证线面垂直，涉及利用等体积法求点面距离，属综合中档题.19.某班级数学兴趣小组为了研究人脚的大小与身高的关系，随机抽测了20位同学，得到如下数据：序号12345678910身高x(厘米)19216417217

7176159171166182166脚长y(码)48384043443740394639序号11121314151617181920身高x(厘米)169178167174168179165170162

170脚长y(码)43414043404438423941（1）若“身高大于175厘米”为“高个”，“身高小于等于175厘米”的为“非高个”；“脚长大于42码”为“大码”，“脚长小于等于42码”的为“非大码”.请根据上表数据完成22列

联表，求出2K的值(结果精确到小数点后三位有效数字)，并说明有多大的可靠性认为“脚的大小与身高之间有关系”；（2）请根据“序号为5的倍数”的几组数据，求出y关于x的线性回归方程ˆˆybxa.附表及公式：2PKk0.150.100.050.0250.0100.0050.001k2.072

2.7063.8415.0246.6357.87910.828-14-22()()()()()nadbcKabcdacbd；121niiiniixxyybxx；aybx【答案】（1）22列联表答案见解析，28.80

2K，有99.5%的把握认为，人的脚的大小与身高之间有关系（2）1ˆ442yx【解析】【分析】（1）根据题意，即可容易补充完整表格，结合表格数据，计算2K，故可判断；（2）分别计算,xy的平均数，根据公式求得ˆˆ,ba，则问题得解.【详解】（1

）根据题意，填写22列联表如下：高个非高个合计大脚516非大脚21214合计71320由表中数据，计算2220(51212)8.8027.879614137K，所以，有99.5%的把握认为，人的脚的大小与身高之间有关系；（2）“序号为5的倍数”的数据有

4组：1234176,166,168,170xxxx；123444,39,40,41yyyy；则1(176166168170)1704x，-15-1(44394041)414y，所以222

2(176170)(4441)(166170)(3941)(168170)(4041)(170170)(4141)1(176170)(166170)(168170)(1702ˆ017)b

，1ˆˆ41170442aybx，从而y关于x的线性回归方程是1ˆ442yx.【点睛】本题考查2K的计算，以及线性回归方程的求解，属综合基础题.20.已知与抛物线24xy有相同的焦点的椭圆2222:1(0)yxEabab的上､下顶点分别为(

0,2)(0,2)AB、，过(0,1)的直线与椭圆E交于MN、两点，（1）求椭圆E的方程；（2）求AMN面积的最大值.【答案】（1）22134xy.（2）32【解析】【分析】（1）根据抛物线方程求得焦点，结合顶点坐标，求得,,abc，则方程可解；（2）设出直线MN的方程，联立椭圆

方程，根据韦达定理，求得三角形面积的函数关系，利用导数求函数的最值，则问题得解.【详解】（1）与抛物线24xy有相同的焦点的椭圆2222:1(0)yxEabab的上､下顶点分别为(0,2)(0,2)AB、，222,1,213acb

，椭圆的标准方程为22134xy，-16-（2）设直线:1lykx，与22134xy联立并消去y，得：2234690kxkx，设3344,,,MxyNxy，则34342269,

3434kxxxxkk，234212134kxxk，AMN的面积为2342161234kxxk，令21,1ktt，则266(),11313tSttttt，记1()3fttt，则2231()tftt，当1t时，()0ft

，()ft单调递增，1t时，()ft取最小值，()St取最大值，此时0k，即MN与x轴平行，AMN面积的最大值为32.【点睛】本题考查由抛物线方程求焦点坐标，考查椭圆方程的求解，椭圆中三角形面积的范围，涉及利

用导数求函数的最值，属综合中档题.21.已知函数ln,fxxxgxxa.（1）设hxfxgx，求函数yhx的单调区间；（2）若10a，函数xgxMxfx，试判断

是否存在01,x，使得0x为函数Mx的极小值点.【答案】（1）见解析；（2）见解析.【解析】-17-分析：（1）先求导，再利用导数求函数yhx的单调区间.(2)先求导得2ln1lnaxxMxx

，再构造函数ln11,aqxxxx，研究函数M(x)的图像和性质.详解：（1）由题意可知：lnhxxxxa，其定义域为0,，则ln11lnhxxx.令0hx

，得1x，令0hx，得01x.故函数yhx的单调递增区间为1,，单调递减区间为0,1.（2）由已知有lnxaMxx，对于1,x，有2ln1lnaxxMxx.令ln11,aqxxxx

，则221axaqxxxx.令0qx，有xa.而10a，所以01a，故当1x时，0qx.∴函数qx在区间1,上单调递增.注意到110qa，0aqee

.故存在01)xe（，,使得0()0,Mx且当01)xx（，，)0Mx（＜，当0(,)xxe时，)0Mx（＞.点睛：（1）本题主要考查利用导数求函数的单调区间和极值，意在考查学生对这些基础知识的掌握水平和分析推理的能力

.(2)解答本题的关键是二次求导，在求得2ln1lnaxxMxx后，由于函数M(x)的单调区间不方便求得，所以要构造ln11,aqxxxx，再求导221axaqxxxx

，再研究函数的图像和性质得解.22.在平面直角坐标系xOy中，直线l的倾斜角45，且经过点(1,1)P，以坐标系xOy的原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲线E的极坐标方程为4cos，直线l-18-与曲线E相交于,AB两点.（1）求直线l的一般方

程和曲线E的标准方程；（2）求11||||PAPB的值.【答案】（1）直线l的一般方程为20xy，曲线E的标准方程为22(2)4xy.（2）2【解析】【分析】（1）利用点斜式方程，以及公式，即可求得直线的普通方程和曲线E的直角方程；

（2）将直线的参数方程代入曲线E的直角方程，利用参数的几何意义，即可容易求得结果.【详解】（1）直线l的倾斜角45，且经过点(1,1)P，由题意可知直线l的直角坐标方程为11yx，直线l的一般

方程为20xy，曲线E的极坐标方程为4cos，即24cos，曲线E的直角坐标方程为224xyx，曲线E的标准方程为22(2)4xy.（2）根据题意，直线l的参数方程是

212212xtyt，(t是参数)，将其代入曲线E的方程22(2)4xy，可得22220tt，121222,2tttt，12121211112||||ttPAPBtttt

.【点睛】本题考查极坐标方程，参数方程和普通方程之间的转化，涉及利用参数的几何意义和韦达定理求值，属综合中档题.23.已知函数2222fxxx,xR.-19-（1）求不等式3fx的解

集；（2）若方程2fxax有三个实数根，求实数a的取值范围.【答案】（1）3,4；（2）11a【解析】试题分析：（1）通过讨论x的范围，得到关于x的不等式组，求出不等式的解集即可；（2）分离a，得

到11axxx，令11hxxxx，结合函数的图象求出a的范围即可．试题解析：（1）原不等式等价于143x或1143xx或143x，得1x或314x∴不等式3fx的解

集为3,4.（2）由方程2fxax可变形为11axxx，令11hxxxx2,1,,11,2,1,xxxxxx，作出图象如下：于是由题意可得11a

.点睛：本题考查了利用分类讨论思想解绝对值不等式问题，考查数形结合思想处理方程的根的个数问题，是一道中档题．-20-