【文档说明】山东省济宁市实验中学2024-2025学年高二上学期9月月考数学试题 Word版含解析.docx，共(13)页，862.841 KB，由小赞的店铺上传

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济宁市实验中学高二年级第一学期九月模块测试数学试题注意事项：1．答卷前，先将自己的考生号等信息填写在试卷和答题纸上，并在答题纸规定位置贴条形码.2．本试卷满分150分，分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，第Ⅰ卷为第1页至第2页，第Ⅱ卷为第3页至第4页.3．选择题的作答：每小题选出答案

后，用28铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.4．非选择题的作答：用0.5mm黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.第Ⅰ卷

（选择题）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.以下事件是随机事件的是（）A.标准大气压下，水加热到100C，必会沸腾B.走到十字路口，遇到红灯C.长和宽分别为,ab的矩形，其面积为abD.实系数一元一次

方程必有一实根【答案】B【解析】【分析】根据随机事件的概念判断即可【详解】解：A．标准大气压下，水加热到100℃必会沸腾，是必然事件；故本选项不符合题意；B．走到十字路口，遇到红灯，是随机事件；故本选项符合题意；C．长和宽分别为,ab的矩形，其面积为ab是必然事件；故本选

项不符合题意；D．实系数一元一次方程必有一实根，是必然事件．故本选项不符合题意．故选：B．2.抽查10件产品，设事件A：至少有两件次品，则A的对立事件为A.至多两件次品B.至多一件次品C至多两件正品D.至少两件正品【答案】B【解析】.【

详解】试题分析：事件A不包含没有次品或只有一件次品，即都是正品或一件次品9件正品，所以事件A的对立事件为至多一件次品．故B正确．考点：对立事件．3.两名同学分3本不同的书，其中一人没有分到书，另一人分得3本书的概率为（）A.12B.14C.13D.16【答案】B【解析】

【分析】列举出所有的可能事件，结合古典概型概率计算公式，计算出所求概率.【详解】两名同学分3本不同的书，记为,,abc，基本事件有(0，3)，(1a，2)，(1b，2)，(1c，2)，(2，1a)，(2，1b)，(2，1c)，(3，0)，共8个，其中一人没有分到书，另一人

分到3本书的基本事件有2个，∴一人没有分到书，另一人分得3本书的概率p＝28＝14.故选:B4.掷一个骰子的试验，事件A表示“小于5的偶数点出现”，事件B表示“小于5的点数出现”，则一次试验中事件AB+发生的概率为（）A.13B.1

2C.23D.56【答案】C【解析】【分析】由互斥事件的概率可知()()(1())PABPAPB+=+−，从而得解.【详解】由已知得：1()3PA=，2()3PB=，事件B表示“小于5点数出现”，则事件B表示“出现5点或6点”故事件A与事件B互斥，12

2()()(1())(1)333PABPAPB+=+−=+−=故选：C5.直三棱柱111ABCABC−中，若1,,CAaCBbCCc===，则1AB=（）的A.abc+−rrrB.abc−+rrrC.abc−++D.abc−+−【答案】D【解析】【

分析】由空间向量线性运算法则即可求解．【详解】()11111AABBabBABcCCCCB=+=−+=−+−−+.故选：D．6.已知空间向量0abc++=，2a=，3b=，4c=，则cos,ab=（）

A.12B.13C.12−D.14【答案】D【解析】【分析】设,,ABaBCbCAc===，在ABCV中由余弦定理求解.【详解】空间向量0abc++=，2a=，3b=，4c=，则,,abc三向量可能构成三角形的三边

.如图，设,,ABaBCbCAc===2a=，则ABCV中，||2,||3,||4ABBCCA===2a=，222||||cos,cos2ABBCCAabABCABBC+−=−=−491612234+−=−=.故选：D7.端午节放假

，甲回老家过节的概率为13，乙,丙回老家过节的概率分别为11,45.假定三人的行动相互之间没有影响，那么这段时间内至少1人回老家过节的概率为（）A.5960B.35C.12D.160【答案】B【解析】【分析】这段时间内至少1人回

老家过节的对立事件是这段时间没有人回老家过节，由此能求出这段时间内至少1人回老家过节的概率.【详解】端午节放假，甲回老家过节的概率为13，乙,丙回老家过节的概率分别为11,45.假定三人的行动相互之间没有影响，这段时间内至少1人回老家过节的对立

事件是这段时间没有人回老家过节，这段时间内至少1人回老家过节的概率为：111311113455p=−−−−=.故选：B.8.在调查运动员是否服用过兴奋剂的时候，给出两个问题作答，无关紧要的问题是：“你的身份证号码的尾数是奇数吗？”敏感的问题是：“你服用过

兴奋剂吗？”然后要求被调查的运动员掷一枚硬币，如果出现正面，就回答第一个问题，否则回答第二个问题．由于回答哪一个问题只有被测试者自己知道，所以应答者一般乐意如实地回答问题．如我们把这种方法用于300个被调查的运

动员，得到80个“是”的回答，则这群人中服用过兴奋剂的百分率大约为（）A.4.33%B.3.33%C.3.44%D.4.44%【答案】B【解析】【分析】推理出回答第一个问题的150人中大约有一半人，即75人回答了“是”，故回答服用过兴奋剂的人有5人，从而得到答案.【详解】因为抛硬币出现正面朝上的

概率为12，大约有150人回答第一个问题，又身份证号码的尾数是奇数或偶数是等可能的，在回答第一个问题的150人中大约有一半人，即75人回答了“是”，共有80个“是”的回答，故回答服用过兴奋剂的人有5人，因此我们估计这群人中，服用过兴奋剂的百分率大约为51503.33

%.故选：B二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分．9.在平行六面体ABCDABCD−中，若AB所在直线的方向向量为(2,1,3)−，

则CD所在直线的方向向量可能为（）A.(2,1,3)B.(2,1,3)−−C.(4,2,6)−D.(4,2,6)−【答案】BC【解析】【分析】由已知可得//ABCD，所以它们的方向向量共线，利用向量共线的坐标关系，即可判断各个选项.【详解】由已知可得//

ABCD，故它们的方向向量共线，对于B选项，(2,1,3)(2,1,3)−−=−−，满足题意；对于C选项，(4,2,6)2(2,1,3)−=−，满足题意；由于A、D选项不满足题意．故选：BC.10.下列各组事件中，是互斥事件的是（）A.一个射手进行一次射击，

命中环数大于8与命中环数小于6B.统计一个班的数学成绩，平均分不低于90分与平均分不高于90分C.播种100粒菜籽，发芽90粒与发芽80粒D.检验某种产品，合格率高于70%与合格率低于70%【答案】ACD【解析】【分析】

根据互斥事件的定义，两个事件不会同时发生，命中环数大于8与命中环数小于6，发芽90粒与发芽80粒，合格率高于0070与合格率为0070均为互斥事件，而平均分数不低于90分与平均分数不高于90分，当平均分为90分时可同时发生，即得解.【详解】根据互

斥事件的定义，两个事件不会同时发生，对于A，一个射手进行一次射击，命中环数大于8与命中环数小于6,为互斥事件；对于B，统计一个班级数学期中考试成绩，平均分数不低于90分与平均分数不高于90分当平均分为90分时可同时发生，不为互斥事件；对于C，播种菜籽

100粒，发芽90粒与发芽80粒,为互斥事件；对于D，检查某种产品，合格率高于0070与合格率0070,为互斥事件；故选：ACD.11.已知点P为三棱锥OABC−的底面ABC所在平面内的一点，且12OPOA

mOBnOC=+−（m，nR），则m，n的值可能为（）A.1m=，12n=−B.12m=，1n=C.12m=−，1n=−D.32m=，1n=【答案】CD【解析】【分析】根据平面向量基本定理，结合空间向量加法的几何意义进行求解即可.【详解】因

为点P为三棱锥OABC−的底面ABC所在平面内的一点，所以由平面向量基本定理可知：()()APyACzABAOOPyAOOCzAOOB=++=+++，化简得：(1)OPyzOAyOCzOB=−−++，显然有11yzyz−−++=，而12OPOAmOBnOC=+−，所以有11122mnmn

+−=−=，当1m=，12n=−时，32mn−=，所以选项A不可能；当12m=，1n=时，12mn−=−，所以选项B不可能；当12m=−，1n=−时，12mn−=，所以选项C可能；当32m=，1n=时，12mn−=，所以选项D可能，故选：CD第Ⅱ卷（非选择题）三．填空题：本题共3小题，

每小题5分，共15分．12.从长度分别为2,3,4,5的四条线段中任意取出三条，则以这三条线段为边可以构成三角形的概率是________．为【答案】34【解析】【详解】从长度分别为2,3,4,5的四条线段中任意取出三条这一事件共有4种

，而不能构成三角形的情形为2,3,5.所以这三条线段为边可以构成三角形的概率是P＝34.13.已知事件A，B，C两两互斥，且()0.3PA=，()0.6PB=，()0.2PC=，则()PABC=______．【答案】0.9##910

【解析】【分析】由互斥事件与对立事件的相关公式求解详解】由题意得()1()0.4PBPB=−=，则()()()()0.9PAPPABCBPC=++=．故答案为：0.914.在长方体1111ABCDABCD−中，122ABAAAD===，

以D为原点，DA，DC，1DD方向分别为x轴，y轴，z轴正方向建立空间直角坐标系，则1AC=______，若点P为线段AB的中点，则P到平面11ABC距离为______．【答案】①.(1,2,2)−②.66##166【解析】【分析】第一空，根据向量的坐标运算可得答案；第二空，求出平面11A

BC的法向量，利用向量法求点到平面的距离即可得解.【详解】如图，建立空间直角坐标系，因为122ABAAAD===，【则(1,0,0)A，1(0,2,2)C，1(1,0,2)A，(1,2,0)B，(1,1,0

)P，所以1(1,2,2)AC=−，11(1,2,0)AC=−，1(0,2,2)AB=−，(0,1,0)PB=，设平面11ABC的法向量为(,,)nxyz=，则11100ABnACn==，即22020yzxy−=−+=，令1y=，

则2,1xz==，故(2,1,1)n=，则P到平面11ABC距离为16=64+1+1nPBdn==.故答案为：(1,2,2)−；66.四．解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.（1）已知

2,3ab==，且ab⊥求2abab+（）（-）（2）已知abab+=−，求ab【答案】（1）1−（2）0【解析】【分析】（1）由已知，利用向量数量积运算，结合向量垂直的向量表示即可求解；（2）由abab+=−，两边平方，展开运算即可.【详解】（1）因

为2,3ab==，且ab⊥，所以22222222031ababaabb++−=+−=−（）（-）=.（2）因为abab+=−，则22abab+=−，所以222222aabbaabb++=−+，化简得22abab=−，所以0ab=.1

6.已知某校甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数分别为240，160，160．现采用分层抽样的方法从中抽取７名同学去某敬老院参加献爱心活动．（Ⅰ）应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取多少人？（Ⅱ）设抽出的7名同学分别用A，B，C，D，E，F，G表示，现从中随机抽取2名同学承担敬老院的卫

生工作．（i）试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；（ii）设M为事件“抽取的2名同学来自同一年级”，求事件M发生的概率．【答案】（1）3，2，2（2）（i）见解析（ii）521【解析】【详解】分析：（Ⅰ）结合人数的比值可知应

从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取3人，2人，2人．（Ⅱ）（i）由题意列出所有可能的结果即可，共有21种．（ii）由题意结合（i）中的结果和古典概型计算公式可得事件M发生的概率为P（M）=521．详解：（Ⅰ）由已知，甲、乙、丙三个年级的学生志愿者人数之比为3∶2∶2，由于采

用分层抽样的方法从中抽取7名同学，因此应从甲、乙、丙三个年级的学生志愿者中分别抽取3人，2人，2人．（Ⅱ）（i）从抽出的7名同学中随机抽取2名同学的所有可能结果为{A，B}，{A，C}，{A，D}，{A，E}，{A，F}，{A，G}，{B，C}，{B，D}，{

B，E}，{B，F}，{B，G}，{C，D}，{C，E}，{C，F}，{C，G}，{D，E}，{D，F}，{D，G}，{E，F}，{E，G}，{F，G}，共21种．（ii）由（Ⅰ），不妨设抽出的7名同学中，来自甲年级的是A，B，C，来自乙年级的是D，E

，来自丙年级的是F，G，则从抽出的7名同学中随机抽取的2名同学来自同一年级的所有可能结果为{A，B}，{A，C}，{B，C}，{D，E}，{F，G}，共5种．所以，事件M发生的概率为P（M）=521．点睛：本小题主要考查随机抽样、用列举法计算随机事件所含的基本事件数、古典概型及其概率计算公式等基本

知识．考查运用概率知识解决简单实际问题的能力．17.甲、乙二人进行一次围棋比赛，采用5局3胜制，约定先胜3局者获得这次比赛的胜利，同时比赛结束．假设在一局中，甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，各局比赛结果相互独立．已知前2局中，甲、乙各胜

1局．（1）求再赛2局结束这次比赛的概率；（2）求甲获得这次比赛胜利的概率．【答案】（1）0.52（2）0.648【解析】【分析】（1）再赛2局结束这次比赛分“第三、四局甲胜”与“第三、四局乙胜”两类情况，根据根据互斥事件的概率和及独立事件同时发生的概率求解可得；（2）由题意，甲获得这次

比赛胜利只需后续比赛中甲先胜两局即可，根据互斥事件的概率和及独立事件同时发生的概率求解即可.【小问1详解】用iA表示事件“第i局甲胜”，jB表示事件“第j局乙胜”（,3,4,5ij=），设“再赛2局结束这次比赛”为事件A

，则3434AAABB=+，由于各局比赛结果相互独立，且事件34AA与事件34BB互斥.所以()()()()()()()()343434343434PAPAABBPAAPBBPAPAPBPB=+=+=+0.60.60.40.4

0.52=+=．故再赛2局结束这次比赛的概率为0.52.【小问2详解】记“甲获得这次比赛胜利”为事件B，因前两局中，甲、乙各胜一局，故甲成为胜方当且仅当在后面的比赛中，甲先胜2局，从而34345345BAABAAABA=++，由于各局比赛结果相互独立，且事件34AA，345

BAA，345ABA两两互斥，所以()0.60.60.40.60.60.60.40.60.648PB=++=.故甲获得这次比赛胜利的概率为0.648.18.如图所示，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB＝2，AF＝1，M是线段EF的中点．求证：(1)AM∥平

面BDE；(2)AM⊥平面BDF.【答案】（1）见解析（2）见解析【解析】【详解】(1)建立如图所示的空间直角坐标系，设AC∩BD＝N，连结NE.则N22,,022，E(0，0，1)，A(2，2，0)，M22,,

122.∴NE＝22,,122−−，AM＝22,,122−−.∴NE＝AM且NE与AM不共线．∴NE∥AM.∵NE平面BDE，AM平面BDE，∴AM∥平面BDE.(2)由(1)知AM＝22,,122−−

，∵D(2，0，0)，F(2，2，1)，∴DF＝(0，2，1)，∴AM·DF＝0，∴AM⊥DF.同理AM⊥BF.又DF∩BF＝F，∴AM⊥平面BDF.19.在长方体1111ABCDABCD−中，11AAAD==，E为线段CD中点．（1）求直线1BE与直线1AD所成的角的余弦值；（

2）在棱1AA上是否存在一点P，使得//DP平面1BAE？若存在，求AP的长；若不存在，说明理由．【答案】（1）0（2）存在，12AP=【解析】【分析】（1）建立空间直角坐标系，设ABa=，写出点坐标，求出110BEAD=，得到

异面直线夹角余的弦值为0；（2）设()00,0,Pz，求出平面1BAE的一个法向量1,,2ana=−−，根据0DPn=得到方程，求出12z=，故存在点P，使得//DP平面1BAE，此时12AP=.【小问1详解】以A为坐标原点，1,

,ABADAA所在直线分别为,,xyz轴，建立空间直角坐标系，设ABa=，则()()()11,0,1,,1,0,0,0,0,0,1,12aBaEAD，故()()()()11,1,0,0,1,1,

1,0,1,10,0,00,1,122aaBEaAD=−=−−=−=，则()11,1,10,1,11102aBEAD=−−=−=，故直线1BE与直线1AD所成的角的余弦值为0；【小问2详解】存在满足要求的点P，理由如

下：设棱1AA上存在点()00,0,Pz，使得//DP平面1BAE，𝐷(0,1,0)，则()00,1,DPz=−，设平面1BAE的一个法向量为(),,nxyz=，则()()()1,,,0,10,,,1,0022nABxy

zaaxzaanAExyzxy==+===+=，取1x=得,2ayza=−=−，故1,,2ana=−−，要使//DP平面1BAE，则nDP⊥，即()00,1,1,,02aDPnza=−−−=，所以002aaz−=，解得012z=，故存在

点P，使得//DP平面1BAE，此时12AP=.