【文档说明】《九年级数学全一册重点题型通关训练（人教版）》专题03 根与系数的关系（韦达定理）（归纳型专题）（解析版）.docx，共(9)页，43.524 KB，由管理员店铺上传

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1专题03根与系数的关系（韦达定理）（归纳型专题）一、直接运用【例1】若x1，x2是一元二次方程2x2-4x+1=0的两根，则x1+x2=_____，x1x2=_____.【答案】212【解析】∵x1，x2是一元

二次方程2x2-4x+1=0的两根，∴x1+x2=-−42=2，x1x2=12．同步练习1.若x1，x2是一元二次方程x2-2x-2021=0的两个实数根，则x1+x2+x1x2=______.【答案】-2019【解析】∵x1，x2是

一元二次方程x2-2x-2020=0的两根，∴x1+x2=2；x1x2=-2021．则x1+x2+x1x2=2+（-2021）=-2019．变式训练1：设a，b是方程x2+x-2020=0的两个实数根，则a

2+2a+b的值是_____.【答案】2019【解析】∵a，b是方程x2+x-2020=0的两个实数根，∴a2+a=2020，a+b=-1，∴a2+2a+b=（a2+a）+（a+b）=2020-1=2019．变式训练2：设a、b是方程x2+x-2020=0的两

个实数根，则（a-1）（b-1）的值为________.【答案】-2018【解析】∵a、b是方程x2+x-2020=0的两个实数根，∴a+b=-1，ab=-2020，则原式=ab-a-b+1=ab-（a+b）+1=-2020+1+1=-201

8．二、反向运用【例2】关于x的一元二次方程x2+（k-1）x-3=0的一个根是1，则另一根为______.【答案】-32【解析】x1·x2=1×x2=-3，x2=-3.变式训练1：如果x=4是关于x的方程（x-3）（x-2）-p2=0的一个根，则另

一个根是（）A．x=2B．x=3C．x=1D．与p有关，不能确定【答案】C【解析】（x-3）（x-2）-p2=0，x2-5x+6-p2=0，设方程的另一个解为x=t，根据题意得4+t=5，解得t=1，∴另一个根是x=1．三、公式变形常见式子：x12+x221x1±1x2x1-x2【例3

】关于x的一元二次方程x2+2x-4=0的两根x1，x2，则x12+x22的值是_____.【答案】12【解析】根据题意得x1+x2=-2，x1x2=-4，所以x12+x22=（x1+x2）2-2x1x2=（-2）2-2×

（-4）=12．同步练习1：设x1，x2是方程x2+10x-2=0的两个根，则1x1+1x2的值是_____.【答案】53【解析】因为x1、x2是方程x2+10x-2=0的两个根，所以x1+x2=-10，x1x2=-2．1x1+1x2=x1+x2x1x2＝−10−2＝5.同

步练习2：已知x1，x2是一元二次方程x2-4x-7=0的两个实数根，则x12+4x1x2+x22的值是______.【答案】2【解析】根据题意得x1+x2=4，x1x2=-7所以，x12+4x1x2+x22=（x1

+x2）2+2x1x2=16-14=2.变式训练1：已知关于x的一元二次方程x2-mx+2m-1=0的两根x1，x2满足x12+x22＝14，求m的值.【解析】∵关于x的一元二次方程x2-mx+2m-1=0

的两根是x1、x2，∴x1+x2=m，x1x2=2m-1，∴x12+x22=（x1+x2）2-2x1x2=m2-2（2m-1），∵x12+x22=14，∴m2-2（2m-1）=14，解得m=6或m=-2，当m=6时，方程为x

2-6x+11=0，此时△=（-6）2-4×11=36-44=-8＜0，不合题意，舍去，∴m=-2.【例4】已知关于x的一元二次方程x2+bx+c=0的两个实数根分别为x1、x2，若b+2c=0，则1x1+1x2+x1x2x1+x2=______.【答案】52【解析】x1

+x2=-b，x1x2=c，b=-2c，bc=-21x1+1x2+x1x2x1+x2=x1+x2x1x2+x1x2x1+x2=−bc+c−b=2+12=52.4变式训练1：已知实数α，β满足α2+3α-1=0，β2-3β-1=0，且αβ≠1，则1α2+3β的

值为________.【答案】10【解析】解：∵实数α，β满足α2+3α-1=0，β2-3β-1=0，且αβ≠1，∴1α、β是方程x2-3x-1=0的两根，∴1α+β=3，βα=-1，1α2=1+3α，∴原式=1+3α+3β=1+3（1α+β）=1+3

×3=10.四、结合根的判别式【例5】关于x的一元二次方程x2+2x+k+1=0的两根x1，x2，满足x1+x2-x1x2＜-1，则k的取值范围是______.【答案】-2＜k≤0【解析】由题意可知：x1+x2=-2，x1x2=k+1，∵x

1+x2-x1x2＜-1，∴-2-k-1＜-1，∴k＞-2，∵Δ=4-4（k+1）≥0，∴k≤0，∴-2＜k≤0.同步练习1：已知关于x的一元二次方程x2-2x+n=0有两个不相等的实数根．（1）求n的取值范围；（2）若该方程的两

根x1，x2满足（x1x2）2-2x1x2=4x1+4x2，求n的值．【解析】（1）∵关于x的一元二次方程x2-2x+n=0有两个不相等的实数根，∴b2-4ac=（-2）2-4n＞0，解得：n＜1；（2）∵关于x的一元二次方程x2-2x+n=0的两根为x1，x2，∴x1+x2=2

，x1x2=n．∵（x1x2）2-2x1x2=4x1+4x2，∴n2-2n=4×2，整理，得：n2-2n-8=0，5解得n1=-2，n2=4，又∵n＜1，∴n=-2．【专题练习】1.设m、n是一元二次

方程x2+2x-7=0的两个根，则m+n=____.【答案】-22.若一元二次方程x2-2x-1=0的两个根为m，n，则一次函数y=（m+n）x+mn的图象是（）【答案】B【解析】解：∵一元二次方程x2-2x-

1=0的两个根为m，n，∴m+n=2，mn=-1，∴一次函数解析式为y=2x-1，则一次函数图象经过第一、三、四象限．3.关于x的一元二次方程x2+（a2-3a）x+a=0的两个实数根互为倒数，则a的值为______.【答案】1

6【解析】∵关于x的一元二次方程x2+（a2-3a）x+a=0的两个实数根互为倒数，∴x1•x2=a=1．4.已知m，n是方程x2+x-3=0的两个实数根，则m2-n+2019的值是_____.【答案】2023【解析】∵m，n是方程x2+x-3=0的两个实数根，∴m2+m

-3=0，即m2=3-m；∵m+n=-1，∴m2-n+2019=3-（m+n）+2019=3+1+2019=2023．5.若关于x的一元二次方程x2+（2k+1）x+k2-2=0的两个实根的平方和等于11，则k的值为______.【答案】1【解析】∵关于x的一元

二次方程x2+（2k+1）x+k2-2=0的有两个实根，∴△=（2k+1）2-4（k2-2）≥0，∴k≥-94.设方程x2+（2k+1）x+k2-2=0两根为x1，x2，则x1+x2=-（2k+1），x1•x2=k2-2，∵x12+x22=11，∴（x1+x2）2-2x1x2=

11，∴（2k+1）2-2（k2-2）=11，解得k=1或-3（舍去），故k=1.6.设α、β是方程x2+2013x-2=0的两根，则（α2+2016α-1）（β2+2016β-1）=______.【

答案】-6056【解析】∵α、β是方程x2+2013x-2=0的两实数根，∴α2+2013α-2=0，β2+2013β-2=0，α+β=-2013，αβ=-2，则（α2+2016α-1）（β2+2016β-1）=（α2+2013α-2+3α+1）（β2+2013

β-2+3β+1）=（3α+1）（3β+1）=9αβ+3（α+β）+1=-18-6039+1=-6056．77.已知α、β是方程x2+x-1=0的两个实根，则α4-3β=_____.【答案】5【解析】∵α是方程x2+x-1=0的根，∴α2+α-1=0，

∴α2=1-α，∴α4=1-2α+α2=1-2α+（1-α）=2-3α．又∵α、β是方程x2+x-1=0的两个实根，∴α+β=-1．∴α4-3β=2-3α-3β=2-3（α+β）=2-3×（-1）=5．8.已知关于x的一元二

次方程x2-2x+2m-1=0有两个实数根x1，x2，且m为正整数．（1）求m的值；（2）求1x1+1x2的值．【解析】（1）根据题意得△=22-4（2m-1）≥0，解得m≤1，而m为正整数，所以m的值为1；（2）方程为x2-2x+1=0，根据题意得x1+x2=2，x1x2=1，所以1x1+1x2

=x1+x2x1x2=21=2．9.已知关于x的一元二次方程x2-（2k-1）x+k2-3=0有两个实数根．（1）求k的取值范围；（2）设方程两实数根分别为x1，x2，且满足x12+x22=23，求k的值．【解析】

（1）∵关于x的一元二次方程x2-（2k-1）x+k2-3=0有两个实数根，∴△≥0，即[-（2k-1）]2-4×1×（k2-3）=-4k+13≥0，解得k≤134（2）由根与系数的关系可得x1+x2=2k-1，x1x2=k2-3，∴x

12+x22=（x1+x2）2-2x1x2=（2k-1）2-2（k2-3）=2k2-4k+7，∵x12+x22=23，∴2k2-4k+7=23，解得k=4，或k=-2，∵k≤134，∴k=4舍去，∴k=-2．810.已知关于x的一元二次方程（x-3）（x-2）=p（p+1）

．（1）试证明：无论p取何值此方程总有两个实数根；（2）若原方程的两根x1，x2，满足x12+x22-x1x2=3p2+1，求p的值．【解析】（1）证明：原方程可变形为x2-5x+6-p2-p=0．∵△=（-5）2-4（6-p2-p）=25-24+4p2+4

p=4p2+4p+1=（2p+1）2≥0，∴无论p取何值此方程总有两个实数根；（2）∵原方程的两根为x1、x2，∴x1+x2=5，x1x2=6-p2-p．又∵x12+x22-x1x2=3p2+1，∴（x1+x2）2-3x1x2=3p2+1，

∴52-3（6-p2-p）=3p2+1，∴25-18+3p2+3p=3p2+1，∴3p=-6，∴p=-2．11.已知关于x的一元二次方程（m-2）x2+（2m+1）x+m=0有两个实数根x1，x2．（1）求m的取值范围．（2）若|x1|=|

x2|，求m的值及方程的根．【解析】（1）∵关于x的一元二次方程（m-2）x2+（2m+1）x+m=0有两个实数根x1，x2，∴{m−2≠0，Δ=（2m+1）2−4m(m−2)≥0，解得：m≥-112且m≠2．（2）由|x1|=|x2|，可得：x1=x2或x1=-x2．当x1=x2时

，△=（2m+1）2-4m（m-2）=0，解得：m=-112，此时x1=x2=-2m+12（m−2）=15.当x1=-x2时，x1+x2=-2m+1m−2=0，∴m=-12，∵m≥-112且m≠2，9∴此时方程无解．综上

所述：若|x1|=|x2|，m的值为-112，方程的根为x1=x2=15．