【文档说明】江苏省南京市2023-2024学年高二上学期期中学情调研测试+数学+含答案.docx，共(12)页，85.075 KB，由小赞的店铺上传

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南京市2023－2024学年度第一学期期中调研测试高二数学2023.11注意事项：1．本试卷共6页，包括单项选择题(第1题~第8题)、多项选择题(第9题~第12题)、填空题(第13题~第16题)、解答题(第17题~第22题)四部分．本试卷满

分为150分，考试时间为120分钟．2．答卷前，考生务必将自己的学校、姓名、考生号填涂在答题卡上指定的位置．3．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上指定位置，在其他位置作答

一律无效．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．某工厂生产A，B，C三种不同型号的产品，它们的产量之比为2：3：5，用分层抽样的方法抽取一个容量为n的样本．若样本中A型号的产品有20件，则样本容量n为

A．50B．80C．100D．2002．已知复数z0＝3＋i，其中i为虚数单位，复数z满足zz0＝3z＋z0，则z＝A．1－3iB．1＋3iC．3＋iD．3－i3．已知圆C1：x2＋y2－x－ay＝0与圆C2：x2＋y2－2x－4y＋2＝0的公共弦所在直线与x轴垂直，则实数a的值为

A．－4B．－2C．2D．44．《数书九章》天池测雨：今州郡都有天池盆，以测雨水．但知以盆中之水为得雨之数．不知器形不同，则受雨多少亦异，未可以所测，便为平地得雨之数，即平地降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积．假令器形为圆台，盆口径(直径)一尺四寸，底径(直径)六寸、深一尺二寸，

接雨水深六寸(一尺等于十寸)，则平地降雨量为A．1B．2C．3D．45．已知cosx＋sinx＝23，则sin2xcos(x－π4)＝A．－716B．－726C．－76D．－736．在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C：

x2a2－y2b2＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，A为双曲线右支上一点，连接AF1交y轴于点B．若△ABF2为等边三角形，则双曲线C的离心率为A．23B．32C．3D．3327．在平面直角坐标系xOy中，P为直线3x＋4y＋1＝0上一点．若向量a＝(3，4)，则向量

OP→在向量a上的投影向量为A．－15B．(－35，－45)C．(－325，－425)D．无法确定8．已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω＞0)．若x∈R，f(x)≤f(π3)，且f(x)在(0，π)上恰有1

个零点，则实数ω的取值范围为A．(0，32]B．(34，32]C．(34，94]D．(32，94]二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的

得0分．9．某研究小组依次记录下10天的观测值：26，28，22，24，22，78，32，26，20，22，则A．众数是22B．80百分位数是28C．平均数是30D．前4个数据的方差比最后4个数据的方差小10．声音是由物体的振动产生的声波，一个声

音可以是纯音或复合音，复合音由纯音合成，纯音的函数解析式为y＝Asinωx．设声音的函数为φ(x)，音的响度与φ(x)的最大值有关，最大值越大，响度越大；音调与φ(x)的最小正周期有关，最小正周期越大声音越低沉．假设

复合音甲的函数解析式是f(x)＝sinx＋12sin2x，纯音乙的函数解析式是g(x)＝32sinωx(ω＞0)，则下列说法正确的有A．纯音乙的响度与ω无关B．纯音乙的音调与ω无关C．若复合音甲的音调比纯音乙的音调低沉，则ω＞1D．复合音甲的响度与纯音乙的响度一样大11．在

平面直角坐标系xOy中，抛物线C：y2＝4x的焦点为F，A(x1，y1)，B(x2，y2)，D(x3，y3)为抛物线C上的任意三点(异于O点)，FA→＋FB→＋FD→＝0，则下列说法正确的有A．设A，B到直线x

＝－1的距离分别为d1，d2，则d1＋d2＜ABB．FA＋FB＋FD＝6C．若FA⊥FB，则FD＝ABD．若直线AB，AD，BD的斜率分别为kAB，kAD，kBD，则1kAB＋1kAD＋1kBD＝012．在长方体ABCD−A1B1C1D1中，AB＝8，AD＝6，点E是正方形BCC

1B1内部或边界上异于点C的一点，则下列说法正确的有A．若D1E∥平面ABB1A1，则EC1CB．设直线D1E与平面BCC1B1所成角的最小值为θ，则tanθ＝223C．存在EBB1，使得∠D1EC＞π2D．若∠D1EC＝π2，

则EB的最小值为35－3三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．在平面直角坐标系xOy中，已知点M(2，3)和N(4，0)，点Q在x轴上．若直线MQ与直线MN的夹角为90°，则点Q的坐标为▲________．1

4．在△ABC中，AB＝36，∠ABC＝45°，∠BAC＝75°，D是射线BC上一点，且CD＝10，则AD＝▲________．15．某商场为了促销，每天会在上午和下午各举办一场演出活动，两场演出活动相互独立．每个时段演出的概率分别如下：若某顾客打算第二天11

：00抵达商场并逛3.5小时后离开，则他当天能观看到演出的概率为▲________．16．已知向量a＝(1，3)，b＝(1，0)，|a－c|＝12，则向量b，c最大夹角的余弦值为▲________．上午演出时段9：00－9：3010：00－10：3011：00－11：30下午演出时段

14：00－14：3015：00－15：3016：00－16：30相应的概率161213四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．(本小题满分10分)已知函数f(x)＝sinxcosx－sin2x＋t(x∈R)的

最大值为22．（1）求f(x)的解析式；（2）若x∈[π12，π2]，f(x)－m≤0，求实数m的最小值．18．(本小题满分12分)在平面直角坐标系xOy中，已知圆C的圆心在l：x－2y＝0上，且圆C与x轴相切，直线l1：x－ay＝0(a

∈R)，D(6，0)．（1）若直线l1与圆C相切，求a的值；（2）若直线l1与圆C相交于A，B两点，将圆C分成的两段弧的弧长之比为1∶3，且DA＝DB，求圆C的方程．19．(本小题满分12分)如图，一个质地均匀的正二十面体骰子的各面上标有数字0~9这10

个数字(相对的两个面上的数字相同)，抛掷这个骰子，并记录下朝上一面(与地面或桌面平行)的数字．记事件A1为“抛两次，两次记录的数字之和大于16”，记事件A2为“抛两次，两次记录的数字之和为奇数”，事件A3为“抛两次，第一次记录的数字为奇数”．（1）求P

(A1)，P(A2)；（2）判断事件A1A2与事件A3是否相互独立，并说明理由．（第19题图）20．(本小题满分12分)在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，AB→·AC→＝b2－12ab．（1）求角C的大小；（2）若△ABC的面积为32，且CM→＝

2MB→，AN→＝3NM→，求|CN→|的最小值．21．(本小题满分12分)如图，在所有棱长都等于1的三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ABB1＝π2，∠B1BC＝π3．（1）证明：A1C1⊥B1C；（2）求直线BC与平面ABB1A1所成角的大小．22．(本小

题满分12分)在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1(a＞b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，且焦距为23，椭圆C的上顶点为B，且BF1→·BF2→＝－2．（1）求椭圆C的方程；（2）若直线l过点A(2，－1)，且与椭圆C交于M，N两点（不与B重合），直线BM与直线BN

分别交直线x＝4于P，Q两点．判断是否存在定点G，使得点P，Q关于点G对称，并说明理由．ABB1A1C1C（第21题图）南京市2023－2024学年度第一学期期中学情调研测试高二数学参考答案2023.11一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题

给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上．1．C2．A3．D4．B5．D6．C7．C8．B二、选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，请把答案填涂在答题卡相应位置上．全部选对得5分，

部分选对得2分，不选或有错选的得0分．9．ACD10．AC11．BCD12．ABD三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把答案填写在答题卡相应位置上．13．(12，0)14．1415．4916．15－38四、解答题：本大题共6小题，共70分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要

的文字说明，证明过程或演算步骤．17．（本小题满分10分）解：（1）f(x)＝sinxcosx－sin2x＋t＝12sin2x－1－cos2x2＋t···············································

·2分＝12sin2x＋12cos2x－12＋t＝22sin(2x＋π4)－12＋t．············································4分因为f(x)的最大值为22，所以22－12＋t＝22，解得t＝12，所以f(x)＝22sin(2

x＋π4)．·················································································6分（2）由（1）可知f(x)＝22sin(2x＋π4)，当x∈[π12，π2]时，5π12≤2x＋π4≤5

π4，当2x＋π4＝π2时，即x＝π8时，f(x)max＝22．····························································8分因为f(x)－m≤0恒成立，所以m≥f(x)ma

x恒成立，即m≥22恒成立，因此m的最小值为22．··················································································10分18．（本小题满分12分）解：（1）因

为圆心C在直线l上，可设C(2m，m)，m≠0．因为圆C与x轴相切，所以r＝|m|．························································2分又因为直线l1与圆C相切，所以|m|＝|2m－am

|a2＋1．······································4分因为m≠0，解得a＝34．··········································································

········5分（2）因为A，B把圆C分成的两段弧长之比为1∶3，所以弦AB所对劣弧圆心角为2π×14＝π2，····························································6分所以圆心C到l1的距离d等于圆C半径的22倍，即22|m|＝

|2m－am|a2＋1，由（1）得m≠0，解得a＝1或a＝7．·······························································8分又因为DA＝DB，所以AB的垂直平分线经过D(6，0)和圆

心C(2m，m)，所以m2m－6＝－a，··················································································

·······10分所以，当a＝1时，m＝2，圆C方程为(x－4)2＋(y－2)2＝4，当a＝7时，m＝145，圆C方程为(x－285)2＋(y－145)2＝19625．·························12分19．（本小题满分12分）解：

若用(i，j)表示第一次抛掷骰子数字为i，用j表示第二次抛掷骰子数字为j，则样本空间Ω＝{(i，j)|0≤i≤9，0≤j≤9，i，j∈Z}，共有100种等可能的样本点．············1分（1）A1

＝{(8，9)，(9，8)，(9，9)}，························································2分所以P(A1)＝3100．····························

·························································4分因为A2＝{(0，1)，(0，3)…(9，8)}共有50个样本点，所以P(A2)＝50100＝12．·····

···········································································6分（2）因为A1A2＝{(8，9)，(9，8)}，所以P(A1A2)＝2100＝150．········

··························8分因为A3＝{(1，0)，(1，1)…(9，9)}，共有50个样本点，所以P(A3)＝50100＝12．······················································

································9分因为A1A2A3＝{(9，8)}，所以P(A1A2A3)＝1100．····················································10分因为P(A1A2)P(A3)＝150×12＝P(

A1A2A3)，所以事件A1A2与事件A3独立．········································································12分20．（本小题满分12分）解：（1）方法1因为AB→·AC→＝b2－12ab，所以bcco

sA＝b2－12ab．···················································2分由余弦定理得bc×b2＋c2－a22bc＝b2－12ab，化简得b2＋a2－c22ab＝12，所以cosC＝12．··

···················································································4分因为C为△ABC内角，所以C＝π3

．···································································5分方法2因为AB→·AC→＝b2－12ab，所以bccosA＝b2－12ab．···········

·······································2分由正弦定理得sinBsinCcosA＝sin2B－12sinAsinB．因为B为△ABC内角，所以sinB≠0，所以sinCcosA＝sinB－12sinA．因为A＋B＋C＝π，所以

sinCcosA＝sin(A＋C)－12sinA，即sinCcosA＝sinAcosC＋cosAsinC－12sinA，化简得sinAcosC＝12sinA．因为A为△ABC内角，所以sinA≠0，所以cosC＝12．····················

·············4分因为C为△ABC内角，所以C＝π3．···································································5分（2）因为S△ABC＝12absinC＝32，所以ab＝2．···········

··········································6分因为CM→＝2MB→，AN→＝3NM→，所以CN→＝CA→＋AN→＝CA→＋34AM→＝CA→＋34(CM→－CA→)＝14CA→＋34CM→＝14CA→＋12CB→，······

······················································8分从而|CN→|2＝(14CA→＋12CB→)2＝116b2＋14a2＋14CA→·CB→＝116b2＋14a2＋14················

···························································10分≥2116b2×14a2＋14＝34．当且仅当116b2＝14a2，即a＝1，b＝2时取等号．所以|C

N→|的最小值为32．················································································12分21．（本小题满分12分）

（1）证明：连接AB1，在△ABB1中，∠ABB1＝π2，AB＝BB1＝1，所以AB1＝2，在△BCB1中，∠B1BC＝π3，BC＝BB1＝1，所以B1C＝1，所以在△ACB1中，AB1＝2，B1C＝1，AC＝1，所以AB1

2＝AC2＋B1C2，所以AC⊥B1C．···························································································2

分又因为在三棱柱ABC－A1B1C1中，AC∥A1C1，所以A1C1⊥B1C．·······································································

··················4分（2）方法1解：连接AB1，A1B，交于点O，连接BC1，连接CO．在边长都为1的正方形A1ABB1中，O是AB1的中点，又因为B1C＝AC＝1，所以CO⊥AB1．······

··········································································6分因为四边形B1BCC1边长都为1，所以B1C⊥BC1．由(1)知B

1C⊥A1C1．又因为A1C1∩BC1＝C1，A1C1，BC1平面A1BC1，所以B1C⊥平面A1BC1．因为A1B平面A1BC1，所以B1C⊥A1B．因为在边长都为1的四边形A1ABB1中，A1B⊥AB1．又因为AB1∩B1C＝B1，A

B1，B1C平面AB1C，所以A1B⊥平面AB1C．因为CO平面AB1C，所以CO⊥A1B．···················································8分又因为A1B∩AB1＝O，A1B，AB1平面A1

ABB1，所以CO⊥平面A1ABB1，所以∠CBO即为直线BC与平面ABB1A1所成的角．································10分在边长都为1的四边形A1ABB1中，∠ABB1＝π2，所以BO＝22．OABB

1A1C1C（第21题图）因为BC＝1，所以cos∠CBO＝22，所以∠CBO＝π4，所以直线BC与平面ABB1A1所成角的大小为π4．·····································12

分方法2解：取AB1中点O，连接BO，CO．在△ACB1中，AC＝B1C＝1，所以CO⊥AB1，··········································6分在边长都为1的正方形A1ABB1中，BO＝22，A1B＝2．又因为

AC2＋B1C2＝A1B2，所以△ACB1为直角三角形，所以CO＝22．在△ACB1中，CO2＋BO2＝BC2，所以CO⊥BO．…………………………………………8分又因为AB1∩BO＝O，AB1，BO平面

A1ABB1，所以CO⊥平面A1ABB1，所以∠CBO即为直线BC与平面ABB1A1所成的角．···········································10分在边长都为1的

四边形A1ABB1中，∠ABB1＝π2，所以BO＝22．因为BC＝1，所以cos∠CBO＝22，所以∠CBO＝π4，所以直线BC与平面ABB1A1所成角的大小为π4．·····································

············12分22．（本小题满分12分）解：（1）因为BF1→＝(－3，－b)，BF2→＝(3，－b)，所以BF1→·BF2→＝b2－3＝－2，所以b2＝1．················································

·············2分因为c＝3，所以a2＝4，所以椭圆C的方程为x24＋y2＝1．········································································4

分（2）设直线MN的方程为y＝k(x－2)－1，M(x1，y1)，N(x2，y2)，联立x2＋4y2＝4，y＝k(x－2)－1，消去y得，(1＋4k2)x2－8k(1＋2k)x＋16k2＋16k＝0，

所以x1＋x2＝8k(1＋2k)1＋4k2，x1x2＝16k2＋16k1＋4k2，··························································6

分OABB1A1C1C（第21题图）直线BM的方程为y＝y1－1x1x＋1，直线BN的方程为y＝y2－1x2x＋1，设P，Q两点的纵坐标分别为yP，yQ，所以yP＝4×y1－1x1＋1，yQ＝4×y2－1

x2＋1．··························································8分因为yP＋yQ＝4×(y2－1x2＋y1－1x1)＋2＝4×[k(x2－2)－2x2＋k(x1－2)－2x1]＋2＝4×(2k－2k＋2x2－2k＋2x1)

＋2＝4×[2k－(2k＋2)x1＋x2x1x2]＋2·····························································10分＝4×[2k－(2k＋2)8k(1＋2k)16(k＋

k2)]＋2＝4×[2k－(2k＋1)]＋2＝－2，所以yP＋yQ2＝－1，所以存在G(4，－1)，使得点P，Q关于点G对称．·············································12分获得更多资源请扫码加入享学资源

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