【文档说明】安徽省蚌埠市2021届高三下学期第三次教学质量检查考试（三模）数学（文）试题.pdf，共(8)页，590.963 KB，由小赞的店铺上传

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蚌埠市２０２１届高三年级第三次教学质量检查考试数学（文史类）本试卷满分１５０分，考试时间１２０分钟注意事项：１答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。２回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标

号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。一、选择题：本题共１２小题，每小题５分，共６０分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。１复数ｚ满足（１＋ｉ）·ｚ＝１－ｉ，则ｚ—的虚部为Ａ１Ｂ－１ＣｉＤ－ｉ２已知集合Ｐ＝

｛ｘ｜ｘ２－２ｘ－３≤０｝，Ｑ＝｛ｍ｝．若Ｐ∩Ｑ＝Ｑ，则实数ｍ的取值范围是Ａ（－１，３）Ｂ（－∞，３］Ｃ（－∞，－１］∪［３，＋∞）Ｄ［－１，３］３下面四个条件中，使ａ＞ｂ成立的必要不充分条件是Ａａ－２＞ｂＢ

ａ＋２＞ｂＣ｜ａ｜＞｜ｂ｜Ｄ１ａ＞１ｂ４已知等差数列｛ａｎ｝的前ｎ项和为Ｓｎ，且Ｓ１＝１，Ｓ５＝２５，则Ｓ３３＝Ａ３Ｂ６Ｃ９Ｄ１２５国家统计局官方网站２０２１年２月２８日发布了《中华人民

共和国２０２０年国民经济和社会发展统计公报》，全面展示了一年来全国人民顽强奋斗取得的令世界瞩目、可载入史册的伟大成就如图是２０１６－２０２０年国内生产总值及其增长速度统计图和三次产业增加值占国内生产总值比重统计图给出

下列说法：①从２０１６年至２０２０年国内生产总值逐年递增；②从２０１６年至２０２０年国内生产总值增长逐年递减；③从２０１６年至２０２０年第三产业增加值占国内生产总值比重逐年递增；④从２０１６年至２０２０年第二产业增加值占国内生产

总值比重逐年递减其中正确的的是Ａ①④Ｂ②③Ｃ②④Ｄ①③第５题图）页４共（页１第卷试学数级年三高市埠蚌６已知向量ａ，ｂ满足｜ａ｜＝２，（ａ＋ｂ）·ａ＝２，｜ａ－ｂ｜＝槡２３，则｜ｂ｜＝槡Ａ１Ｂ３Ｃ２Ｄ４７已知ａ＝ｌｏｇ３１．５，ｂ＝ｌｏｇ０．５０．１，ｃ＝０．５０．２，则ａ

、ｂ、ｃ的大小关系为Ａａ＜ｂ＜ｃＢａ＜ｃ＜ｂＣｂ＜ｃ＜ａＤｃ＜ａ＜ｂ８已知函数ｆ（ｘ）＝ｅ２－ｘ，ｘ≤１，ｌｇ（ｘ＋２），ｘ＞１{，则不等式ｆ（ｘ）＜１的解集为Ａ（１，７）Ｂ（０，８）Ｃ（１，８）Ｄ（－∞，８）９

已知平面α，β，γ仅有一个公共点，直线ａ，ｂ，ｃ满足：ａα，ｂβ，ｃγ，则直线ａ，ｂ，ｃ的位置关系不可能獉獉獉是Ａ两两垂直Ｂ两两平行Ｃ两两相交Ｄ两两异面１０若把定义域为Ｒ的函数ｆ（ｘ）的图象沿ｘ轴左右平移后，可以得到关于原点对称的图象，也可以得到关于ｙ轴对称的图象，则关于函数

ｆ（ｘ）的性质叙述一定正确獉獉獉獉的是Ａｆ（－ｘ）＋ｆ（ｘ）＝０Ｂｆ（ｘ－１）＝ｆ（１－ｘ）Ｃｆ（ｘ）是周期函数Ｄｆ（ｘ）存在单调递增区间１１在曲线ｙ＝２ｓｉｎπ２ｘ与ｙ＝２ｃｏｓπ２ｘ的所有公共点中，任意两点间的最小距离为槡槡Ａ

２３Ｂ２２Ｃ２Ｄ１１２已知圆Ｃ∶（ｘ＋７４）２＋ｙ２＝２５４ｐ２（ｐ＞０），若抛物线Ｅ∶ｙ２＝２ｐｘ与圆Ｃ的交点为Ａ，Ｂ，且ｓｉｎ∠ＡＢＣ＝４５，则ｐ＝Ａ６Ｂ４Ｃ３Ｄ２二、填空题：本题共４小题，每小题５分，共２０分１３

已知实数ｘ，ｙ满足２ｘ－ｙ－２≤０，ｘ＋ｙ－２≥０，ｘ－ｙ＋１≥０{，则ｚ＝ｘ＋ｙ的最小值为１４“天问一号”推开了我国行星探测的大门，通过一次发射，将实现火星环绕、着陆、巡视，是世界首创，也是我国真正意义上的首次深空探测２０２１年２月１０日，天问一号探测器顺利进入火

星的椭圆环火轨道（将火星近似看成一个球体，球心为椭圆的一个焦点）２月１５日１７时，天问一号探测器成功实施捕获轨道“远火点（椭圆轨迹上距离火星表面最远的一点）平面机动”，同时将近火点高度调整至约２６５公里若此时远

火点距离约为１１９４５公里，火星半径约为３４００公里，则调整后“天问一号”的运行轨迹（环火轨道曲线）的离心率约为（精确到０１）１５正方体ＡＢＣＤ－Ａ１Ｂ１Ｃ１Ｄ１棱长为２，Ｍ为ＣＤ１中点，则四面体ＡＢＤＭ外接球的体积为１６已知数列｛ａｎ｝满足：ａ１＝１，ａ２＝１３，ｂ

１ａ１＋ｂ２ａ２＋…＋ｂｎａｎ＝ｂｎ＋１ａｎ－１＋６（ｎ≥２且ｎ∈Ｎ＋），等比数列｛ｂｎ｝公比ｑ＝２，则数列｛ｂｎａｎ｝的前ｎ项和Ｓｎ＝）页４共（页２第卷试学数级年三高市埠蚌三、解答题：共７０分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第１７～２１题为必考题，每

个试题考生都必须作答第２２、２３题为选考题，考生根据要求作答（一）必考题：共６０分１７（１２分）已知△ＡＢＣ中，角Ａ，Ｂ，Ｃ的对边分别为ａ，ｂ，ｃ，ａ２＋ｃ２＝４３ａ２ｓｉｎ２Ｂ＋２ａｃｃｏｓＢ（１）求ｓｉｎＡ；（２）若角Ａ为锐角，且△ＡＢＣ的面积为槡３，求ａ

的最小值１８（１２分）已知平面四边形ＡＢＣＤ中，ＡＢ⊥ＡＣ，ＡＢ＝ＡＣ＝ＡＤ＝ＣＤ＝２，现将△ＡＢＣ沿ＡＣ折起，使得点Ｂ移至点Ｐ的位置（如图），且ＰＣ＝ＰＤ（１）求证：ＣＤ⊥ＰＡ；（２）若Ｍ为ＰＤ的中点，求点Ｄ到平面ＡＣＭ的距离第１８题图１９（１２分）

数独是源自１８世纪瑞士的一种数学游戏，玩家需要根据９×９盘面上的已知数字，推理出所有剩余空格的数字，并满足每一行、每一列、每一个粗线宫（３×３）内的数字均含１－９，不重复数独爱好者小明打算报名参加“丝路杯”全国数独大赛初级组的比赛赛前小明在某数独ＡＰＰ上进行一段时间的训

练，每天的解题平均速度ｙ（秒）与训练天数ｘ（天）有关，经统计得到如下的数据：ｘ（天）１２３４５６７ｙ（秒）９９０９９０４５０３２０３００２４０２１０（１）现用ｙ＝ａ＋ｂｘ作为回归方程模型，请利用表中数据，求出该回归方程；（２）请用第（１）题的结论预测，

小明经过１００天训练后，每天解题的平均速度ｙ约为多少秒？参考数据（其中ｔｉ＝１ｘｉ）：∑７ｉ＝１ｔｉｙｉｔ—∑７ｉ＝１ｔｉ２－７×ｔ—２１８４５０３７０５５）页４共（页３第卷试学数级年三高市埠蚌参考公式：对于一组数据（ｕ１，ｖ

１），（ｕ２，ｖ２），…，（ｕｎ，ｖｎ），其回归直线ｖ∧＝α∧＋β∧ｕ的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：β∧＝∑ｎｉ＝１ｕｉｖｉ－ｎｕ—ｖ—∑ｎｉ＝１ｕｉ２－ｎｕ—２，α∧＝ｖ—－β∧ｕ—２０（１２分）已知双曲线Ｃ∶ｘ２ａ２－ｙ２ｂ２＝１（ａ＞０，ｂ＞０）的虚轴长为４，直线２ｘ－ｙ＝

０为双曲线Ｃ的一条渐近线．（１）求双曲线Ｃ的标准方程；（２）记双曲线Ｃ的左右顶点分别为Ａ，Ｂ，过点Ｔ（２，０）的直线ｌ交双曲线Ｃ于点Ｍ，Ｎ（点Ｍ在第一象限），记直线ＭＡ斜率为ｋ１，直线ＮＢ斜率为ｋ２，求证：ｋ１ｋ２为定值２１（１

２分）已知函数ｆ（ｘ）＝ｘｅａｅｘ－ｌｎｘ＋ｘ－２ａ，其中ａ∈Ｒ（１）若ａ＝１，求函数ｆ（ｘ）在ｘ＝１处的切线方程；（２）证明：ａ≤１时，ｆ（ｘ）≥０恒成立（二）选考题：共１０分请考生在第２２、２

３题中任选一题作答如果多做，则按所做的第一题计分２２．［选修４—４：坐标系与参数方程］（１０分）在平面直角坐标系ｘＯｙ中，直线ｌ的参数方程为ｘ＝ｔｃｏｓ２π３，ｙ＝３＋ｔｓｉｎ２π３{，（ｔ为参数），以坐标原点

Ｏ为极点，ｘ轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线Ｃ的极坐标方程为ρ＝２ａｓｉｎθ（ａ＞０），曲线Ｃ与ｌ有且只有一个公共点（１）求实数ａ的值；（２）若Ａ，Ｂ为曲线Ｃ上的两点，且∠ＡＯＢ＝π３，求｜ＯＡ｜·｜ＯＢ｜的最大值．２３［选修４—５：不等式选讲］（１０分）已知函数ｆ（ｘ）＝ｍ－｜ｘ｜－｜

ｘ－１｜，ｍ∈Ｒ，且ｆ（ｘ）的最大值为１．（１）求实数ｍ的值；（２）若ａ＞０，ｂ＞０，ａ＋ｂ＝ｍ，求证：１ａ＋１ｂ＋２ａｂ≥４）页４共（页４第卷试学数级年三高市埠蚌蚌埠市２０２１届高三年级第三次教学质量检查考试数学（文史类）参考答案及评分标准一、选择题：题号１２３

４５６７８９１０１１１２答案ＡＤＢＡＤＣＢＣＢＣＡＤ二、填空题：１３２１４０６１５槡８２π３１６（２ｎ－３）·２ｎ＋１＋６三、解答题：１７（１２分）解：（１）由ａ２＋ｃ２＝４３ｓｉｎ２Ｂ＋２ａｃｃｏｓＢ得，ｂ２

＝４３ａ２ｓｉｎ２Ｂ，２分…………………………即ｓｉｎ２Ｂ＝４３ｓｉｎ２Ａｓｉｎ２Ｂ４分…………………………………………………………∵Ａ，Ｂ为△ＡＢＣ的内角∴ｓｉｎＢ≠０则ｓｉｎＡ＝槡３２６分……………………………………………………………………（２）若△ＡＢＣ的面积为槡３，则１２ｂｃｓｉｎＡ

＝槡３，解得ｂｃ＝４，８分………………………∵Ａ为锐角，且ｓｉｎＡ＝槡３２，∴ｃｏｓＡ＝１２．１０分……………………………………由余弦定理得ａ２＝ｂ２＋ｃ２－２ｂｃｃｏｓＡ＝ｂ２＋ｃ２－ｂｃ≥２ｂｃ－ｂｃ＝４当且仅当ｂ＝ｃ＝

２时，ａ取最小值２１２分………………………………………１８（１２分）解：（１）由题意ＰＡ⊥ＡＣ，即∠ＰＡＣ＝９０°∵ＡＣ＝ＡＤ，ＰＣ＝ＰＤ，ＰＡ＝ＰＡ，∴△ＰＡＣ≌△ＰＡＤ，∠ＰＡＤ＝∠ＰＡＣ＝９０°，∴ＰＡ⊥ＡＤ，３分……

……………又ＰＡ⊥ＡＣ，ＡＣ∩ＡＤ＝Ａ，∴ＰＡ⊥平面ＡＣＤ，∵ＣＤ平面ＡＣＤ，∴ＰＡ⊥ＣＤ６分………………………………………………（２）∵Ｍ为ＰＤ的中点，∴ＭＤ＝槡２，又ｃｏｓ∠ＭＤＣ＝１２ＣＤＰＤ＝１槡２２，在△ＭＣＤ中，ＭＣ２＝ＭＤ２

＋ＤＣ２－２ＭＤ·ＤＣｃｏｓ∠ＭＤＣ＝２＋４－２×槡２×２×１槡２２＝４∴ＭＣ＝２８分………………………………………………………………………）页４共（页１第案答考参）类史文（学数级年三高市埠蚌在△ＡＭＣ中，ＡＣ＝ＭＣ＝２，ＡＭ＝槡２，∴ｃｏｓ∠ＡＣＭ＝３４，ｓｉｎ∠ＡＣＭ＝槡７４

．∴Ｓ△ＡＭＣ＝１２ＡＣ·ＣＭｓｉｎ∠ＡＣＭ＝１２×２×２×槡７４＝槡７２，１０分…………………设Ｄ到平面ＡＣＭ的距离为ｄ，则由ＶＤ－ＡＭＣ＝ＶＭ－ＡＤＣ得１３Ｓ△ＡＭＣ·ｄ＝１３Ｓ△ＡＤＣ·１２ＰＡ，即槡７２ｄ＝槡３４×２２×１，得ｄ＝槡２２１７，∴Ｄ到平面ＡＣＭ的距离为槡２２

１７１２分……………………………………………１９（１２分）解：（１）由题意ｙ—＝１７（９９０＋９９０＋４５０＋３２０＋３００＋２４０＋２１０）＝５００，２分………令ｔ＝１ｘ，设ｙ关于ｔ的线性回归方程为ｙ＝ｂｔ＋ａ，则ｂ＝∑７ｉ＝１ｔｉ·ｙｉ－７ｔ—·ｙ—∑７ｉ＝１ｔ

２ｉ－７×ｔ—２＝１８４５－７×０．３７×５０００．５５＝１０００，４分…………………则ａ＝５００－１０００×０．３７＝１３０，６分……………………………………………∴ｙ＝１０００ｔ＋１３０，又ｔ＝１ｘ，所以ｙ关于ｘ的回归方程为ｙ＝１０００ｘ＋１３０

，１０分……………………（２）当ｘ＝１００时，ｙ＝１４０，所以经过１００天训练后，小明每天解题的平均速度约为１４０秒１２分…………２０（１２分）解：（１）由题意知，ｂ＝２，２分…………………………………………………………………因为一条渐近线为ｙ＝２ｘ，所以ｂａ＝２，解

得ａ＝１，４分…………………………则双曲线Ｃ的标准方程为ｘ２－ｙ２４＝１６分………………………………………（２）易知Ａ（－１，０），Ｂ（１，０），设直线ｌ∶ｘ＝ｎｙ＋２，Ｍ（ｘ１，ｙ１），Ｎ（ｘ２，ｙ２），联立ｘ２－ｙ２４＝１ｘ＝ｎｙ＋{２，整理得（４ｎ２－１）ｙ２＋１６ｎｙ＋１２＝０，得

ｙ１＋ｙ２＝－１６ｎ４ｎ２－１，ｙ１ｙ２＝１２４ｎ２－１８分…………………………………………设直线ＭＡ的斜率ｋ１＝ｙ１ｘ１＋１，设直线ＮＢ的斜率ｋ２＝ｙ２ｘ２－１，）页４共（页２第案答考参）类史文（学数级年三高市埠蚌ｋ１ｋ２＝ｙ１

ｘ１＋１ｙ２ｘ２－１＝ｙ１（ｎｙ２＋１）ｙ２（ｎｙ１＋３）＝ｎｙ１ｙ２＋ｙ１ｎｙ１ｙ２＋３ｙ２１０分…………………………………又ｎｙ１ｙ２＝－３４（ｙ１＋ｙ２），所以ｋ１ｋ２＝－３４（ｙ１＋ｙ２）＋ｙ１－３４（ｙ

１＋ｙ２）＋３ｙ２＝－１３１２分……………………………………２１（１２分）解：（１）ｆ（ｘ）定义域为（０，＋∞），由ａ＝１，得ｆ′（ｘ）＝（１－ｘ）ｅｅｘ－１ｘ＋１，３分………ｆ′（１）＝０，ｆ（１）＝０，则

函数ｆ（ｘ）在ｘ＝１处的切线方程为ｙ＝０６分………（２）ｆ′（ｘ）＝（１－ｘ）ｅａｅｘ－１ｘ＋１＝（ｘ－１）（ｅｘ－ａ－ｘ）ｘｅｘ－ａ，令ｇ（ｘ）＝ｅｘ－ａ－ｘ，则ｇ′（ｘ）＝ｅｘ－ａ－１，１°若ａ≤０，则ｇ′（ｘ）＞０在（０，＋∞）恒成立，ｇ（ｘ）在（０，＋∞）单调递增，

因为ｇ（０）＝１ｅａ＞０，所以ｇ（ｘ）＞０；８分…………………………………………２°若０＜ａ≤１，令ｇ′（ｘ）＝０，解得ｘ＝ａ，当０＜ｘ＜ａ时，ｇ′（ｘ）＜０，ｇ（ｘ）单调递减；当ｘ＞ａ时，ｇ′（ｘ）＞０，ｇ（ｘ）单调递增，所以ｇ（ｘ）≥ｇ（ａ）＝１－ａ≥０，即当ａ≤１时，

ｅｘ－ａ－ｘ≥０在（０，＋∞）恒成立．１０分…………………………所以当ｘ＞１时，ｆ′（ｘ）＞０，ｆ（ｘ）单调递增，当０＜ｘ＜１时，ｆ′（ｘ）＜０，ｆ（ｘ）单调递减，所以ｆ（ｘ）ｍｉｎ＝ｆ（１）＝ｅａ－１＋１－２ａ．下证ｅａ－１－ａ≥０（略），又１－ａ≥０，从而ｆ（１）≥０．∴ｆ（ｘ）

≥０恒成立综上，当ａ≤１时，ｆ（ｘ）≥０在（０，＋∞）恒成立１２分…………………………２２（１０分）解：（１）由ｘ＝ｔｃｏｓ２π３ｙ＝３＋ｔｓｉｎ２π{３（ｔ为参数），消去参数ｔ，得直线ｌ的方程为槡３ｘ＋ｙ－３＝０，１分………………………………………

……由ρ＝２ａｓｉｎθ（ａ＞０），得ρ２＝２ａρｓｉｎθ将ρ２＝ｘ２＋ｙ２，ρｓｉｎθ＝ｙ代入得ｘ２＋ｙ２＝２ａｙ，３分……………………………）页４共（页３第案答考参）类史文（学数级年三高市埠蚌即曲线Ｃ的直角坐标方程为ｘ２＋（ｙ－ａ）２＝ａ２，∵曲线Ｃ与ｌ有且只有一个公共点∴｜０＋ａ－３｜３＋槡１

＝ａ，又ａ＞０，解得ａ＝１５分…………………………………（２）由已知，不妨设Ａ（ρ１，θ），Ｂ（ρ２，θ＋π３），θ∈［０，２π）则｜ＯＡ｜·｜ＯＢ｜＝｜ρ１｜｜ρ２｜＝｜２ｓｉｎθ·２ｓｉｎ（θ＋π３）｜７分………………………＝｜１＋２ｓｉｎ（２θ－π６）｜≤３∴当θ＝π３时，｜ＯＡ｜·

｜ＯＢ｜取最大值３１０分………………………………２３（１０分）解：（１）∵｜ｘ｜＋｜ｘ－１｜≥｜ｘ－（ｘ－１）｜＝１（当ｘ（ｘ－１）≤０时，取到等号），３分……………………………………………∴ｆ（ｘ）ｍａｘ＝ｍ－１＝１，∴ｍ＝２５分…………………………………

…………（２）由ａ＞０，ｂ＞０，ａ＋ｂ＝２≥２槡ａｂ，∴ａｂ≤１７分………………………………１ａ＋１ｂ＋２ａｂ＝ａ＋ｂａｂ＋２ａｂ＝４ａｂ≥４当且仅当ａ＝ｂ＝１时取等号１０分………………………………………………（以上答案仅供参考，其它解法请参考以上评分

标准酌情赋分））页４共（页４第案答考参）类史文（学数级年三高市埠蚌