【文档说明】宁夏回族自治区石嘴山市三中2021-2022学年高三上学期第二次月考 数学（理）试题 含解析.docx，共(20)页，1.082 MB，由管理员店铺上传

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2021-2022-1石嘴山市三中高三年级第二次月考试卷理科数学第I卷（选择题）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，满分60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知复数z满足()2iz5i+=，则z=（）A.2i+B.2

i−C.12i+D.12i−【答案】C【解析】【分析】直接由()2iz5i+=求解复数z【详解】由()2iz5i+=，得()()()()()5i2i5i2i5ii2i12i2i2i2i5z−−====−=+++−，故选：C2.已知集合|28

xAx=，{2,3,4,6}B=，则AB=（）A.2,3,4B.3,4,6C.2,3D.2【答案】C【解析】【详解】由28x得：3x，即(,3A=−，又2,3,4,6B=，∴2,3AB=.

故选：C.3.已知随机变量服从正态分布()2,N，若(2)(6)0.1PP==，则(24)P为A.0.7B.0.5C.0.4D.0.35【答案】C【解析】【分析】由已知及正态分布的对称性可得4=，再结合对称性可得：1(24)(2

)2PP=−，问题得解．【详解】因为(2)(6)0.1PP==，所以2642+==所以11(24)(2)0.10.422PP=−=−=故选C【点睛】本题主要考查了正态分布的对称性，还考查了转化思想，属于中档题．4.如图是一边长为8的正

方形苗圃图案，中间黑色大圆与正方形的内切圆共圆心，圆与圆之间是相切的，且中间黑色大圆的半径是黑色小圆半径的2倍.若在正方形图案上随机取一点，则该点取自黑色区域的概率为（）A.8B.16C.18−D.116

−【答案】C【解析】【分析】设黑色小圆的半径为r，则黑色大圆的半径为2r，由题意求得r，进一步求出黑色区域的面积，由测度比是面积比得答案．【详解】解：设黑色小圆的半径为r，则黑色大圆的半径为2r，由题意可知，88r=，即1r=．

图中黑色区域的面积为222884412648−++=−，又正方形的面积为64．在正方形图案上随机取一点，则该点取自黑色区域的概率为6481648−=−．故选：C．【点睛】本题考查几何概型的概率的求法，考查数形结合的解题思想方法，属于中档题．5.若二项式(

)()12Nnxn++的展开式中所有项的二项式系数和为128，则该二项式展开式中含有5x项的系数为（）A.1344B.672C.336D.168【答案】B【解析】【分析】先求出n，再写出二项式展开式的通项，令x的指数等于5即可求解.【详解

】因为二项式()()12Nnxn++的展开式中所有项的二项式系数和为128所以2128n=，解得7n=，所以()712x+的展开式通项为：()71712kkkkTCx−+=，令5k=可得5555672672TCxx==，所以该二项式展开式中含有5x项的系数为672.故选：B.6.已知

函数()3213fxaxxbx=−+(0a且12a，0b)的一个极值点为2，则11ab+的最小值为（）A.74B.94C.85D.7【答案】B【解析】【分析】求出函数()fx的导数，由给定极值点可得a与b的关系，再

借助“1”的妙用求解即得.【详解】对()3213fxaxxbx=−+求导得：()22fxaxxb=−+，因函数()fx的一个极值点为2，则()2440fab=−+=，此时，44ba=−+，22()244(2)(2)2(2)(2)(2)fxaxxaaxxxaxxa=−−+=−+−−=−+

−，因12a，即222a−，因此，在2左右两侧邻近的区域()fx值一正一负，2是函数()fx的一个极值点，则有44ab+=，又0a，0b，于是得1111114149(4)()(5)(52)4444babaababababab+=+

+=+++=，当且仅当4baab=，即423ba==时取“=”，所以11ab+的最小值为94.故选：B7.已知数列na是公比为q的等比数列，若1342aaa=，且5a是4a与6−的等差中项，则q的值是（

）A.1−B.1C.2D.1−或13【答案】D【解析】【分析】利用na是等比数列，将已知条件用基本量表示，化简求值即可【详解】解析：数列na是公比为q的等比数列，由1342aaa=可得：21152a

aq=，即62a=，代入5426aa=−，得22226qq=−，23210qq+−=，()()3110qq−+=，解得：1q=−或13q=，故选：D．8.函数||()sinxfxex=的部分图象大致为（）A.B.C

.D.【答案】A【解析】【分析】通过函数的奇偶性，02f，02f，可分别排除D，C，B，即得解【详解】因为||||()sin()sin()xxfxexexfx−−=−=−=−，所以()fx是奇函数，排除D；当0x时，()

sinxfxex=，()(sincos)2sin4xxfxexxex=+=+．由02f，可排除C；02f，排除B故选：A9.凸n多边形有f(n)条对角线，则凸(n＋1

)边形的对角线的条数f(n＋1)为A.f(n)＋n＋1B.f(n)＋nC.f(n)＋n－1D.f(n)＋n－2【答案】C【解析】【详解】试题分析：凸多边形边数增加1条，即增加一个顶点，自这一顶点向其它不相邻的k-2个顶点可引k-2条对角线，原来一条边变为对角线，所以共增加k-1条，故选C．考

点：本题主要考查数学归纳法的概念及方法步骤，多边形．点评：简单题，注意认真分析图形的变化．10.以原点为圆心的圆全部都在平面区域36020xyxy−+−+内，则圆的面积的最大值为（）A.185B.95C.2D.【答案】C【解析】

【分析】已知原点为圆心的圆全部在区域36020xyxy−+−+……内，画出可行域，发现只有圆与直线20xy−+=相切时，圆的半径最大，从而求解．【详解】解：据条件画出线性可行域，结合图形，要使得以原点为圆心的圆的半径最大，根据点到直线的距离公式可知，原点到直线20

xy−+=的距离为：1|2|22d==，以原点为圆心的圆的半径大于2时，由所画图中的阴影部分的可行域可知此时圆有部分面积不在此可行域内，只有圆与直线20xy−+=相切时，圆的半径最大1Rd=，即222R==，此时圆的最大面积为

2(2)2S==．故选：C．11.已知0，函数()sin()4fxx=+在(,)2上单调递减，则的取值范围是（）A.15[,]24B.13[,]24C.1(0,]2D.(0,2]【答案】A【解析】【详解】由题

意可得,322,22442kkkZ++++，1542,24kkkZ++，0，1524．故A正确．考点：三角函数单调性．12.已知函数()22,0,()2,0xxxfxgxxxex==−+（其中e是自然对数的底数），若关于x的方程(

())0gfxm−=恰有三个不等实根123,,xxx，且123xxx，则21322xxx−−的最小值为（）A.ln33−B.3ln22−C.ln23−D.1−【答案】A【解析】【分析】设()fxt=，则根据题意得2()20gtttm=−+−=必有两个不相等的实根

12,tt，不妨设12tt，故122tt+=，212tt=−再结合()fx的图象可得1221xxet==，312xt=−，101t，进而21311223ln4xxxtt−−=−−，再构造函数()3ln4,(01)htttt=−−，研究函数的最值即可得答案.【详解】由

题意设()fxt=，根据方程(())0gfxm−=恰有三个不等实根，即2()20gtttm=−+−=必有两个不相等的实根12,tt，不妨设12tt122tt+=，则212tt=−，作出()fx的图象，函数yt=与()fx三个不等实根123,,xxx，且

123xxx，那么1221xxet==，可得312xt=−，101t，所以21311223ln4xxxtt−−=−−，构造新函数1()3ln4(01),()3htttthtt=−−=−当()

0ht时，10,,()3tht在10,3单调递减；当()0ht时，1,1,()3tht在1,13单调递增；∴当13t=时，(t)h取得最小值为ln33−，即21322xxx−−的最小值为ln33

−；故选：A【点睛】本题考查复合函数与分段函数的应用，同时考查导数的综合应用及最值问题，应用了数形结合的思想及转化构造的方法，是难题.本题解题的关键在于设()fxt=，进而122tt+=，212tt=−，再结合()f

x的图像可得1221xxet==，312xt=−，101t，将问题转化为求函数()3ln4,(01)htttt=−−的最值问题.第II卷（选择题）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13.已知(

)3,am=−，()4,1b=−，若()//2aab−，则实数m的值为______.【答案】34##0.75【解析】【分析】先用向量的坐标运算法则求出2ab−，再根据向量平行所满足的公式进行求解.【详解】()()()23,8,211,2abm

m−=−−−=−+，由于()//2aab−，所以()32110mm−++=，解得：34m=故答案为：3414.若cos222sin4=−−，则sin2=_____．【答案】34−【解析】【分析】由已知等式，应用二倍角余弦公式、两角差正弦公式并整理得(cossi

n)[2(cossin)1)0−+−=，进而可得cossin0−=或1cossin2+=，即可求sin2，注意验证是否符合题设.【详解】cos222sin4=−−，则有2cos22sin4

=−，()222cossincossin−=−，即(cossin)[2(cossin)1)0−+−=，cossin0−=或1cossin2+=，平方易得1sin20−=或11sin24+=，sin21=或3sin24=−，而sin21

=有cos20=不合题意，故舍去.故答案为：34−.15.4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学，则不同的安排方法共有__________种.【答案】36【解析】【分析】根据题意，有且只有2名同学在同一个小区，利用先选后排的思想，结合排列组合和

乘法计数原理得解.【详解】4名同学到3个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去1个小区，每个小区至少安排1名同学先取2名同学看作一组，选法有：246C=现在可看成是3组同学分配到3个小区，分法有：336A=根据分步乘法原理，可得不同的安排方法6636=种故答案为：36.【点睛】本题主

要考查了计数原理的综合应用，解题关键是掌握分步乘法原理和捆绑法的使用，考查了分析能力和计算能力，属于中档题.16.在ABC中，角A､B､C的对边分别为a､b､c，点P是ABC的重心，且273AP=，若2b=，()()cos243sin231ABC+++

=+，则=a______.【答案】23或213##213或23【解析】【分析】根据()()cos243sin231ABC+++=+，利用二倍角公式解得3sin2A=，得到3A=或23A=，再由点P是ABC的重心，得到()13APABAC=+，利用平方解得边c，再利用余弦定理求解.【详

解】因为()()cos243sin231ABC+++=+，所以()212sin43sin231AA−++=+，即()22sin43sin230AA−++=，解得3sin2A=，因为()0,A，所以3A=或23A=，因为点P是ABC的重心，所

以()13APABAC=+，则()222129APABABACAC=++，因为273AP=，2b=，所以()22814cos499ccA=++，当3A=时，4c=，此时21416224122a=+−=，解得23a=；当23A=时，6c=，此时21436226522a

=+−−=，解得213a=；故答案为：23或213三、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．1

7.已知向量(sin,cos),(3cos,cos)axxbxx==.（1）求函数()fxab=的最小正周期；（2）在ABC中，7,sin3sinBCBC==，若()1fA=，求ABC的周长.【答案】（1）；（2）47+.【解析】【分析】（1

）利用平面向量的数量积公式得到关于三角函数的表达式，然后利用三角恒等变换化简为一个正弦型函数，最后利用周期公式得到所求；（2）首先利用（1）的结论求出A，然后利用余弦定理得到关于b，c的一个等式，再根据条件求解b，c，从而可得三角形的周长.【详解】（1）()23sincoscosfxxxx=+3

111sin2cos2sin222262xxx=++=++，所以()fx的最小正周期22T==.（2）由题意可得1sin262A+=，又0A，则132666A+，所以52

66A+=，故3A=.设角,,ABC的对边分别为,,abc，则2222cosabcbcA=+−.所以2227abcbc=+−=，又sin3sinBC=，所以3bc=，故222793ccc=+−，解得1c=，则3b=，所以ABC的周长为47+.【点睛】本题主要考查三

角函数的计算化简和性质，也考查了余弦定理的应用，注意熟记公式，认真计算，属中档题.18.正项数列na的前n和为nS，11a=，且11nnSS+−=.（1）求数列na的通项公式；（2）求数列2nana+的前n和nT.【答案】（1）21nan=−（2）22(41)3nnTn=+−【解析】【

分析】（1）、根据11nnSS+−=可知nS是等差数列，求出数列nS的通项公式，进而求出nS的表达式；根据2n时，1nnnaSS−=−计算na的表达式，验证当1n=时是否符合，写出数列n

a的通项公式；（2）、将数列na的通项公式代入2nana+中，得到数列2nana+的通项公式，再利用分组求和求数列2nana+的前n和nT.【小问1详解】11nnSS+−=111Sa==，数列nS是以1为公差的等差数列，()1

11nSn=+−，2nSn=，当2n时，()221121nnnaSSnnn−=−=−−=−，经检验1n=时符合上式，21nan=−数列na的通项公式21nan=−.【小问2详解】由（1）可知21nan=−21=2122nannna−−++()

()()()3121232=22+2nanaaanaaaaT+++++++()()()()13521=1+35212222nnTn−++++++−+()()13521=121357222+2nnTn−++−+++++++()()214121=+214nnnnT

−+−−22(41)3nnTn=+−19.某普通高中为了解本校高三年级学生数学学习情况，对一模考试数学成绩进行分析，从中抽取了n名学生的成绩作为样本进行统计（该校全体学生的成绩均在60,150），按下列分组)60,70，)70,80，)80

,90，)90,100，)100,110，)110,120，)120130,，)130140,，140,150作出频率分布直方图，如图1；样本中分数在)70,90内的所有数据的茎叶图如图2：根据往

年录取数据划出预录分数线，分数区间与可能被录取院校层次如表．（1）求n的值及频率分布直方图中的,xy值；（2）根据样本估计总体的思想，以事件发生的频率作为概率，若在该校高三年级学生中任取2人，求此2人都不能录取为专科的概率；（3）在选取的样本中，从可能录取

为自招和专科两个层次的学生中随机抽取3名学生进行调研，用表示所抽取的3名学生中为自招的人数，求随机变量的分布列和数学期望．【答案】（1）0.014；（2）484625；（3）见解析【解析】【分析】（1）由图2知分数在)70,80的学生有4名，由图1知，频率为0.08，

由此能求出n的值及频率分布直方图中的,xy值；（2）能被专科院校录取的人数为6人，抽取的50人中，成绩能被专科院校录取的频率是635025=，从而从该校高三年级学生中任取1人能被专科院校录取的概率为325，记该校高三

年级学生中任取2人，都不能被专科院校录取的事件为A，由此可求出此2人都不能录取为专科的概率；（3）选取的样本中能被专科院校录取的人数为6人，成绩能过自招线人数为12人，随机变量的所有可能取值为0,1,2,3，分别求出随机变量的分布列和数学期望．【详

解】（1）由图2知分数在)70,80的学生有4名，又由图1知，频率为：0.008100.08=，则：4500.08n==50.015010x==，()10.0420.0820.10.120.160.240.01410y−+++++==

（2）能被专科院校录取的人数为：()500.0040.008106+=人抽取的50人中，成绩能被专科院校录取的频率是：635025=从该校高三年级学生中任取1人能被专科院校录取的概率为325记该校高三年级学生中任取2人，都不能被专科院校录取的事

件为A则此2人都不能录取为专科的概率：()23125654824PA=−=（3）选取的样本中能被专科院校录取的人数为6人成绩能过自招线人数为：()500.0120.0040.0081012

++=人，又随机变量的所有可能取值为0,1,2,3∴()363182050816204CPC====；()2161231818015181668CCPC====；()1261231839633281668CC

PC====；()03612318220553816204CCPC====随机变量的分布列为：0123P52041568336855204()5153355012322046868204E=+++=【点睛】本题考

查频率、频数、离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查频率分布直方图、对立事件概率计算、排列组合等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题．20.某地开发一片荒地，如图，荒地的边界是以C为圆心，半径为1千米的圆周．已有两条互相垂直的道

路OE，OF，分别与荒地的边界有且仅有一个接触点A，B．现规划修建一条新路（由线段MP，PQ，线段QN三段组成），其中点M，N分别在OE，OF上，且使得MP，QN所在直线分别与荒地的边界有且仅有一个接触点P，Q，

PQ所对的圆心角为6．记∠PCA＝2（道路宽度均忽略不计）．（1）若512=，求QN的长度；（2）求新路总长度的最小值．【答案】（1）1千米；（2）236+．【解析】【分析】（1）连接CB，CN，CM，可得，OM，ON

，PM，QN均与圆C相切，通过圆心角为2可求出∠QCB＝2，从而得到四边形BCQN是正方形，进而可得QN＝CQ＝1，（2）因为∠PCA＝2，所以∠MCP＝，∠NCQ＝23−，利用弧长公式可求得MP

＝tan，6PQ=，NQ＝tan33tan1+−，由于0NQ，所以（6，2），设新路长为()f，则()fMPPQNQ=++，然后结合基本不等式进行计算即可得解【详解】（1）连接CB，CN，CM，因为OM⊥ON，所以OM，ON，PM，QN均与圆C相切所以CB⊥ON，CA

⊥OM，CP⊥MP，CQ⊥NQ，所以CB⊥CA因为∠PCA＝526=，∠PCQ＝6，所以∠QCB＝526622−−−=，此时四边形BCQN是正方形，所以QN＝CQ＝1，答：QN的长度为1千米；（2）∵∠PCA＝2，可得∠MCP＝，∠NCQ＝23

−，则MP＝tan，6PQ=，NQ＝2tantan2tan33tan233tan11tantan3−+−==−+设新路长为()f，其中（6，2），即3tan3∴tan33423()tantan63363tan13tan3f

+=++=−+++−−，34232tan2333663tan3−++=+−，当tan3=时取“＝”，答：新路总长度的最小值为236+．【点睛】本小题主要考查直线和圆的位置关系，考查

三角函数在实际生活中的应用，考查基本不等式求最值，考查化归与转化的数学思想方法，属于难题．21.已知函数ln()xfxx=．（1）判断()fx的单调性，并比较20212020与20202021的大小；（2）若函数2()(2)(2()1)2agxxxfx=−+−，其中122ea，判断

()gx的零点的个数，并说明理由．参考数据：ln20.693．【答案】（1）函数()fx在(0,)e上单调递增；在(,)e+上单调递减；2021202020202021；（2）有且仅有1个零点；答案见解析．【解析】【分析】（1）求出()fx，由()0fx，()0fx

求出其单调区间，由函数()fx在(,)e+上单调递减，可得(2020)(2021)ff，即可得答案.（2）由题意可得(1)(2)()axxgxx−−=，当12a=时可得出()fx的单调性，根据零点存在原理可判断得出结论；当122ea

，先得出()gx的单调性，得出函数的极值，分析其极值的符号，再根据零点存在原理可判断得出结论；【详解】（1）已知()fx的定义域为21ln(0,),()xfxx−=+，当0xe时，()0fx，

所以函数()fx在(0,)e上单调递增；当xe时，()0fx，所以函数()fx在(,)e+上单调递减．因为函数()fx在(,)e+上单调递减，所以：(2020)(2021)ff，即ln2020ln20212020202

1，所以2021ln20202020ln2021，即20212020ln2020ln2021，所以2021202020202021．（2）()21()442ln222aegxxxxxa=−+

+−，所以：22(21)2(1)(2)()21axaxaxxgxaxaxxx−++−−=+−−==．当12a=时，221(2)()(2)2ln,()042xgxxxxgxx−=−+−=，所以()gx在(0,)+

上单调递增，由(2)2ln220,(6)2ln620gg=−=−，知当12a=时，存在()00(2,6),0xgx=，即函数()gx有且仅有1个零点．当122ea时，(1)(2)()axxgxx−−=，注意到12a，所以：10xa时，()

0,()gxgx在10,a上单调递增；12xa时，()0,()gxgx在1,2a上单调递减：2x时，()0,()gxgx在[2,)+上单调递增．所以()gx在(0,)+上有极小值(2)

2ln220g=−，有极大值1122ln22gaaaa=−−−．一方面，注意到(6)82ln6642ln662ln620ga=+−+−=−，所以存在唯一的()00[2,6),0xgx=

．另一方面，设1()22ln22haaaa=−−−，则：221211()2210,2222ehaaaaa=+−=−，故()ha在1,22e上单调递增，所以：1()22ln022eehahee=−−−

，所以()gx在10,a上恒小于0，在1,2a上恒小于0，即()gx在(0,2)上不存在零点．综上所述：当1,22ea时，()gx有且仅有1个零点．【点睛】关键点睛：本题考查求函数的单调区间和利用单调性比较大小以讨论函数零点的个数问题，解答本题的关

键是当122ea，得出()gx的单调性，从而()gx的极值，(2)g，1122ln22gaaaa=−−−，分析其符号，属于难题.（二）选考题：共10分．请考生在第22、23两题中任选一题做答，如果多做．则按所做的第一题记分．[选修4-4：坐标系与

参数方程]22.数学中有许多寓意美好的曲线，在极坐标系中，曲线:sin3()C=R被称为“三叶玫瑰线”（如图所示）．（1）当[0,)，求以极点为圆心，22为半径的圆与三叶玫瑰线交点的极坐标；（2）设点P是由（1）中的交点所确定的圆M上的动点，直线:cos24l+=

，求点P到直线l的距离的最大值．【答案】（1）2223211,,,,,,,2122424212；（2）322.【解析】【分析】（1）由sin322==可得2sin32=，然后解出的值

即可；（2）将圆M和直线l的极坐标方程转化为直角坐标方程，然后可求出答案.【详解】（1）由sin322==可得2sin32=，所以324k=+或()3324kkZ=+所以2312k=+或()23

4kkZ=+因为[0,)，所以311,,,124412=所以交点的极坐标为2223211,,,,,,,2122424212（2）由（1）可得圆M的极坐标方程为22=，转化为直角坐标方程为

2212xy+=直线:cos24l+=的直角坐标方程为2xy−=所以点P到直线l的距离的最大值为2232222+=[选修4-5：不等式选讲]23.设不等式2|1||2|0xx−−−+的解集为M，a，bM.（1）证明：11136

4ab+；（2）比较|14|ab−与2||ab−的大小，请说明理由.【答案】（1）证明见解析；（2）|14|2||abab−−，证明见解析.【解析】【分析】（1）首先设()3,21221,213,1xfxxxxxx

−=−−+=−−−−，利用绝对值不等式的解法得到11,22M=−，再利用绝对值三角不等式即可证明111364ab+.（2）首先根据题意得到214a，214b，再计算22|14|4||abab−−−，即可得到答案.【详解】（1）记()

3,21221,213,1xfxxxxxx−=−−+=−−−−由2210x−−−，解得1122x−，则11,22M=−.所以111111111||||363632624a

bab+++=.（2）由（1）得214a，214b.因为()()222222|14|4||181642ababababaabb−−−=−+−−+()()2241410ab=−−，所以22|14|4||abab−

−，故|14|2||abab−−.【点睛】本题第一问考查绝对值不等式的解法，同时考查了绝对值三角不等式，第二问考查绝对值不等式的证明，属于中档题.获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com