【文档说明】《精准解析》甘肃省兰州第一中学2021-2022学年高二下学期期中考试数学理科试题（解析版）.docx，共(16)页，597.179 KB，由小赞的店铺上传

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兰州一中2021-2022-2学期高二年级期中考试试卷数学（理科）说明：本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.满分150分，考试时间120分钟.答案写在答题卡上.交卷时只交答题卡.一．选择题（共12小题，满分60分，每小

题5分）1.复数2iz=−（i为虚数单位）的共轭复数的虚部为（）A.－1B.1C.i−D.i【答案】B【解析】【分析】先求出共轭复数，再求出虚部即可.【详解】由题意知：2iz=+，则虚部为1.故选：B.2.在用反证法证明“已知x，yR，且0

xy+，则x，y中至多有一个大于0”时，假设应为（）A.x，y都小于0B.x，y至少有一个大于0C.x，y都大于0D.x，y至少有一个小于0【答案】C【解析】【分析】反证法，应假设命题结论的否定.【详解】“至多有一个大于0”包括“都不大于0和有且仅有一个大于0”，故其对立面为“x，

y都大于0”．故选：C3.函数y＝x2cos2x的导数为（）A.y′＝2xcos2x－x2sin2xB.y′＝2xcos2x－2x2sin2xC.y′＝x2cos2x－2xsin2xD.y′＝2xcos2x＋2x2sin2x【答案】B【解析】【分析

】利用复合函数的导数运算法则计算即可．【详解】y′＝(x2)′cos2x＋x2(cos2x)′＝2xcos2x＋x2(－sin2x)·(2x)′＝2xcos2x－2x2sin2x故选：B4.函数21ln2yxx=−的单调递减区间为（）A.()1,1−B.()1,+C.(

)0,1D.()0,+【答案】C【解析】【分析】求出函数21ln2yxx=−的定义域，利用导数研究函数的单调性，从而得解.【详解】函数21ln2yxx=−的定义域为()0,+，()()21111xxxyxxxx+−−=−==′，()()1

100xxxx+−，解得01x，所以函数21ln2yxx=−的单调递减区间为()0,1.故选：C.【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，属于基础题.函数与导数的问题中，要注意定义域优先法则的应用.5.用S表示图中阴影部分的面积，则S的值是（）A.()dcafxxB.(

)dcafxxC.()d()dbcabfxxfxx+D.()d()dcbbafxxfxx−【答案】D【解析】【详解】试题分析：先将阴影部分的面积用定积分表示∫bcf（x）dx﹣∫abf（x）dx，然后根据定积分的意义进

行选择即可．详解：由定积分的几何意义知区域内的曲线与X轴的面积代数和．即∫bcf（x）dx﹣∫abf（x）dx选项D正确．故选D．点睛：本题考查定积分在求面积中的应用，解题是要注意分割，关键是要注意在x轴下方的部分积分为负（积分的几何意义强调代数和），属于基础题．注意

积分并不等于面积，当被积函数为正时积分和面积相等，当被积函数为负时积分等于面积的相反数.6.把3封信投到4个信箱中，所有可能的投法共有（）A.7种B.12种C.43种D.34种【答案】D【解析】【分析】由题意可得每封信都有4种投法，再由分步乘法计数原理可求出结果【

详解】由题意可得，第1封信投到信箱中有4种投法，第2封信投到信箱中有4种投法，第3封信投到信箱中有4种投法，所以由分步乘法计数原理可得共有34444=种投法，故选：D7.设函数f（x）在定义域内可导，y=f（x）的图象如图所示，则

导函数y=f′（x）的图象可能是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据原函数的单调性，判断导数的正负，由此确定正确选项.【详解】根据()fx的图像可知，函数从左到右，单调区间是：增、减、增、减，也即导数从左到右，是：正、负、正、负.结合选项可知，只有A选项符合，故本题选A.【点睛】本

小题主要考查导数与单调性的关系，考查数形结合的思想方法，属于基础题.8.已知函数()33fxxxm=−+只有一个零点，则实数m的取值范围是（）A.22−,B.()(),22,−−+C.()2,2−D.(

),22,−−+【答案】B【解析】【分析】将题目转化为函数33yxx=−+的图像与ym=的图像只有一个交点，利用导数研究函数33yxx=−+的单调性与极值，作出图像，利用数形结合求出m的取值范围.【详解】由函数()33fxxxm

=−+只有一个零点，等价于函数33yxx=−+的图像与ym=的图像只有一个交点，33yxx=−+Q，求导233yx=−+，令0y=，得1x=当1x−时，0y，函数在(),1−−上单调递减；当11x−时，0y，函数在()1,1−上单调

递增；当1x时，0y，函数在()1,+上单调递减；故当1x=−时，函数取得极小值2y=−；当1x=时，函数取得极大值2y=；作出函数图像，如图所示，由图可知，实数m的取值范围是()(),22,−−+故选：B【点睛】方

法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后

在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.9.将5名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行培训，每名志愿者只分配到1个项目，每个项目至少分配1名志愿者，则不同的分配方案共有（）A.120种B.240种C.360种D.480种【答案】B【解析】【分析】先

将5名志愿者分为4组，然后再将4组分到4个项目，再根据分布乘法原理即可得解.【详解】先将5名志愿者分为4组，有25C种分法，然后再将4组分到4个项目，有44A种分法，再根据分步乘法原理可得不同的分配方案共有2454240CA=种.故选：B.10

.（1+2x2）（1+x）4的展开式中x3的系数为A.12B.16C.20D.24【答案】A【解析】【分析】本题利用二项展开式通项公式求展开式指定项的系数．【详解】由题意得x3的系数为314424812CC+=+=，故选A．【点睛】本题主要考查二项式定理，利用展开式通项公式求展开式指定项的系数

．11.下列说法正确的是：①设函数()yfx=可导，则()()()011lim13xfxffx→+−=△△△；②过曲线()yfx=外一定点做该曲线的切线有且只有一条；③已知做匀加速运动的物体的运动方程是()2sttt=+米，则该物体在时刻2t=秒的

瞬时速度是5米/秒；④一物体以速度232vtt=+（米/秒）做直线运动，则它在0=t到2t=秒时间段内的位移为12米；⑤已知可导函数()yfx=，对于任意(),xab时，()0fx是函数()yfx=在(),ab上单调递增的充要条件．A.①③B.③

④C.②③⑤D.③⑤【答案】B【解析】【分析】本题考查了导数的概念，导数的几何意义，以及导数的单调性，根据条件逐项判断即可．【详解】对于选项①，设函数()fx则()()()()001(1)1111limlim1333xxfxffxffxx→→+−+−==，故①错．对于

选项②，过曲线()yfx=外一定点做该曲线的切线可以有多条，故②错．对于选项③，已知做匀速运动物体的运动方程为()2Sttt=+，则()21Stt=+，所以()25S=，故③正确．对于选项④，一物体以速度232vtt=+做直线运动，则它在0=t

到2t=时间段内的位移为()223220032d(|2)1ttttt+=+=，故④正确．对于选项⑤，已知可导函数()yfx=，对于任意(),xab时，()0fx是函数()yfx=在(),ab上单调递增的充分不必要条

件，例如()3,'()0fxxfx=，故⑤错．故选B．【点睛】本题考查了导数的概念，导数的几何意义，以及利用导数研究函数的单调性，属于基础题.12.已知()2cosfxxx=+，xR，若()()1120ftft−−−成立，则实数t取值范围是（）A.20,3

B.20,3C.()2,0,3−+D.23−，【答案】B【解析】【分析】由奇偶性的定义得出函数()yfx=为偶函数，利用导数知函数()yfx=在区间)0,+上为增函数

，由偶函数的性质将不等式()()1120ftft−−−变形为()()112ftft−−，利用单调性得出112tt−−，从而可解出实数t的取值范围.的的【详解】函数()yfx=的定义域为R，关于原点对称，()()()

2cos2cosfxxxxxfx−=−+−=+=Q，函数()yfx=为偶函数，当0x时，()2cosfxxx=+，()2sin0fxx=−，则函数()yfx=在)0,+上为增函数，由()()1120ftft−−−得()()112ftft−−，由偶函数的性质得()()11

2ftft−−，由于函数()yfx=在)0,+上为增函数，则112tt−−，即()()22112tt−−，整理得2320tt−，解得203t，因此，实数t的取值范围是20,3.故选：B.二．填空题（共5小题，满分25分，每小题5分）13.

1201(1)xxdx−−−=___________.【答案】142−【解析】【分析】根据定积分的几何意义及性质计算即可.【详解】11122000[1(1)]1(1)xxdxxdxxdx−−−=−−−，根据定积分的几何意义可知，1201(1)x

dx−−表示以()1,0为圆心，1为半径的圆的四分之一面积，所以122011(1)144xdx−−==，而1210011|22xdxxc=+=，所以1201[1(1)]42xxd

x−−−=−．故答案为：142−.14.在二项式214nxx−的展开式中，所有二项式系数的和是32，则展开式中各项系数的和为______．【答案】243【解析】【分析】由二项式系数的性质可求n，再利用赋

值法求各项系数和.【详解】因为二项式214nxx−的展开式中，所有二项式系数的和是32，所以232n=，故5n=，取1x=可得二项式5214xx−的展开式中各项系数和为53，即243.故答案为：243.15.若函数()yfx=在区间D上是凸函数，则对于区间D内的任意

1x，2x，…，nx都有()()()12121nnxxxfxfxfxfnn++++++，若函数()sinfxx=在区间(0,)上是凸函数，则在△ABC中，sinsinsinABC++的最大值是______.【

答案】332##332【解析】【分析】根据题设凸函数的性质可得1(sinsinsin)sin()33ABCABC++++即可求最大值，注意等号成立条件.【详解】由题设知：13(sinsinsin)sin()sin3332ABCABC++++==，∴33sinsinsin

2ABC++，当且仅当3ABC===时等号成立.故答案为：332.16.在平面直角坐标系xOy中，点A在曲线y=lnx上，且该曲线在点A处的切线经过点（-e，-1)(e为自然对数的底数），则点A的坐标是____.【答案】(e,1).【解析】【分析】设出切点坐标，得到切线方程，然后求解方

程得到横坐标的值可得切点坐标.【详解】设点()00,Axy，则00lnyx=.又1yx=，当0xx=时，01yx=，点A在曲线lnyx=上的切线为0001()yyxxx−=−，即00ln1xyxx−=−，代入点(),1

e−−，得001ln1exx−−−=−，即00lnxxe=，考查函数()lnHxxx=，当()0,1x时，()0Hx，当()1,x+时，()0Hx，且()'ln1Hxx=+，当1x时，()()'0,HxHx单调递增，注意到()Hee=，故00ln

xxe=存在唯一的实数根0xe=，此时01y=，故点A的坐标为(),1Ae.【点睛】导数运算及切线的理解应注意的问题：一是利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆．二是直线与曲线公共点的个数不是切线的

本质，直线与曲线只有一个公共点，直线不一定是曲线的切线，同样，直线是曲线的切线，则直线与曲线可能有两个或两个以上的公共点．17.若函数()2lnfxaxxx=+有两个极值点，则实数a的取值范围是________

__．【答案】102a−【解析】【详解】分析：2012fxxlnxaxxfxlnxax=+=++（）（＞），（）．令12gxlnxax=++（），由于函数函数()2lnfxaxxx=+有两个极值点点0gx=（）在区间（0，

+）上有两个实数根．求出gx（）的导数，当0a时，直接验证；当0a时，利用导数研究函数gx（）的单调性可得，要使gx（）有两个不同解，只需要11022glnaa（）＞，−=−解得即可．详解：2012fxxlnxaxxfxlnxax=+=++（）（＞），（

）．令12gxlnxax=++（），由于函数函数()2lnfxaxxx=+有两个极值点点0gx=（）在区间（0，+）上有两个实数根．1122axgxaxx+=+=（），当0a时，0gx（）＞，则函数gx（）在区间（0，+）单调递增，

因此0gx=（）在区间（0，+）上不可能有两个实数根，应舍去．当0a时，令0gx=（），解得12xa=−，令0gx（）＞，解得102xa＜＜−，此时函数gx（）单调递增；令0gx（）＜，解得12xa＞−，此时函数gx（）单调递减．∴当12xa=−时，函数gx（）取得极大值．

要使0gx=（）在区间（0，+）上有两个实数根，则11022glnaa（）＞，−=−，解得102a−．∴实数a的取值范围是（102a−.点睛：本题考查了利用导数研究函数单调性极值，考查了等价转化方法，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．三．解答题（共5小题，

满分65分）18.设i为虚数单位，Ra，复数12iza=+，243iz=−.（1）若12zz是实数，求a的值；（2）若12zz是纯虚数，求1z.【答案】（1）32a=（2）103【解析】【分析】（1）先利用复数的乘法化简，再根据12zz是实数求解；（2）先利用复数的除法化简，再根据

12zz是纯虚数求解.【小问1详解】解：()()()()122i43i3846izzaaa=+−=++−，的因为12zz是实数，则460a−=，解得32a=.【小问2详解】()()()()122i43i2i8346i43i43i43i2525azaaaz+++−+===+−−+

，因为12zz为纯虚数，则830460aa−=+，解得83a=.所以16410493z=+=.19.用分析法证明7586−−．【答案】见证明【解析】【分析】用分析法证明，直到推出显然成立的结论，即可.【详解】证明：要证7586−−，只要证7685++只要证22(76)(85)++

只要证1324213240++只要证4240只要证4240显然成立，故原结论成立．【点睛】本题主要考查分析法证明不等式，只需熟记分析法的一般步骤即可，属于常考题型.20.数列na满足26a=，()*1111nnan

nNan+−−=+.（1）试求出1a，3a，4a；（2）猜想数列na的通项公式并用数学归纳法证明.【答案】（1）11a=,315a=,428a=（2）(21)nann=−，证明见详解.【解析】【分析】（1）由题意得,在()*1111nnannNan+−−=+中分别令1,2

,3n=可求结果；（2）由数列前四项可猜想(21)nann=−运用数学归纳法可证明.【详解】解：（1）26a=,()*1111nnannNan+−−=+当1n=时,1211111aa−−=+,11a=,当2n=时,3212121aa−−=+,315a=,当3

n=时,3413131aa−−=+,428a=,所以11a=,315a=,428a=（2）猜想(21)nann=−下面用数学归纳法证明：假设nk=时,有(21)kakk=−成立,则当1nk=+时,有()1211111112k

kkakakk+++−−+−==+++,()()()122111kkkaka+++−=+−()()11211kakk+=++−故对*,(21)nnanNn=−成立.【点睛】该题考查由数列递推式求数列的项、通项公式,考查数学归纳法,考查学生的运算求解能力.21.已知函数()e

cosxfxxx=−．（Ⅰ）求曲线()yfx=在点(0,(0))f处的切线方程；（Ⅱ）求函数()fx在区间π[0,]2上的最大值和最小值．,【答案】(Ⅰ)1y=；（Ⅱ）最大值1；最小值2−【解析】【详解】试题分析：（Ⅰ）根据导数的几何意义，先求斜率，再代入切

线方程公式()()()000yffx¢-=-中即可；（Ⅱ）设()()hxfx=，求()hx，根据()0hx确定函数()hx的单调性，根据单调性求函数的最大值为()00h=，从而可以知道()()0hxfx=

恒成立，所以函数()fx是单调递减函数，再根据单调性求最值.试题解析：（Ⅰ）因为()ecosxfxxx=−，所以()()()ecossin1,00xfxxxf−=−=.又因为()01f=，所以曲线()yfx=

在点()()0,0f处的切线方程为1y=.（Ⅱ）设()()ecossin1xhxxx=−−，则()()ecossinsincos2esinxxhxxxxxx=−−=−−.当π0,2x时，()0hx，所以()hx在区间π0,2上单调递减.所以对

任意π0,2x有()()00hxh=，即()0fx.所以函数()fx在区间π0,2上单调递减.因此()fx在区间π0,2上的最大值为()01f=，最小值为22f=−.【名师点睛】这道导数题并不难，比一般意义上的压轴题要简单很多，第二问比

较有特点的是需要两次求导数，因为通过()fx不能直接判断函数的单调性，所以需要再求一次导数，设()()hxfx=，再求()hx，一般这时就可求得函数()hx的零点，或是()0hx(()0hx

)恒成立，这样就能知道函数()hx的单调性，再根据单调性求其最值，从而判断()yfx=的单调性，最后求得结果.22.设函数()fx()20xaxxaae++=＞，e为自然对数的底数．（1）求f（x）的单调区间：（2）若ax2+x+a﹣exx+exlnx≤0成立，求正实数a

的取值范围．.【答案】（1）()fx的单调增区间为1,1axa−，单调减区间为1,aa−−，()1,+；（2）0＜a12e−．【解析】【分析】（1）求导得()()11xaaxxafxe−−−−=，求得()0fx、()0fx的解集即可得解；（2）

ax2+x+a﹣exx+exlnx≤0成立⇔2xaxxae++x﹣lnx，由（1）可得当x＝1时，函数y2xaxxae++=取得极大值21ae+，令g（x）＝x﹣lnx,(x>0)，利用导数研究其单调性即可得出x﹣lnx≥

1．进而得出a的取值范围．【详解】（1）函数()()20xaxxafxae++=，e为自然对数的底数，则()()11xaaxxafxe−−−−=，令()0fx=可得11x=，21111axaa−==−，∴当1,axa−−，()1,+时，()0fx，()

fx单调递减；当1,1axa−时，()0fx，()fx单调递增；∴()fx的单调增区间为1,1axa−，单调减区间为1,aa−−，()1,+；（2）ax2+x+a﹣exx+exlnx≤0成立⇔2xaxxae++x

﹣lnx，x∈(0,+∞),由（1）可得当x=1函数y2xaxxae++=取得极大值21ae+，令g(x)=x﹣lnx,(x>0)，g′(x)=11x−，可得x=1时，函数g(x)取得极小值即最小值．∴x﹣lnx≥g(1)=1，当(0,1a时，21ae+即为函数y2xaxxae++=的最大

值，∴2xaxxae++x﹣lnx成立⇔21ae+1，解得a12e−；当()1,a+时，211ae+，不合题意；综上所述，0<a12e−．【点睛】本题考查了导数的综合应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

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