【文档说明】广东省湛江市2023届高三下学期3月普通高考测试（一）（一模） 数学 含解析.docx，共(19)页，991.423 KB，由小赞的店铺上传

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保密★启用前湛江市2023年普通高考测试（一）数学2023.3本试卷共6页，22小题，满分150分．考试用时120分钟．注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡指定位置上，将条形码横贴在答题卡右上角“贴条形码区”．2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2

B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．答案不能答在试卷上．3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作

答无效．4．考生必须保持答题卡的清洁，考试结束后，将试卷和答题卡一并交回．一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知i为虚数单位，若1ii1ib+=−，则实数b=（）A．1B．-1C．

2D．-22．已知R为实数集，集合211Axx=−，1242xBx=，则图中阴影部分表示的集合为（）A．13xx−B．23xxC．12xxD．12xx−3．小明在设置银行卡的数字密码时，计划将自己出生日期的后6个数字

0，5，0，9，1，9进行某种排列得到密码．如果排列时要求两个9相邻，两个0也相邻，则小明可以设置多少个不同的密码（）A．16B．24C．166D．1804．在平行四边形ABCD中，E为边BC的中点，记ACa=，DBb=，则AE=（）

A．1124ab−B．2133ab+C．12ab+D．3144ab+5．元宵节是春节之后的第一个重要节日，元宵节又称灯节，很多地区家家户户都挂花灯．下图是小明为自家设计的一个花灯，该花灯由上面的正六棱台与下面的正六棱柱组成，若正六棱台的上、下两个底面的边长分别为

40cm和20cm，正六棱台与正六棱柱的高分别为10cm和60cm，则该花灯的体积为（）A．3460003cmB．3480003cmC．3500003cmD．3520003cm6．已知F为抛物线2:8Cxy=的焦点，过F的直线l与抛

物线C交于A，B两点，与圆()2224xy+−=交于D，E两点，A，D在y轴的同侧，则ADBE=（）A．1B．4C．8D．167．已知0.199,log10,lg1111abc===，则（）A．bcaB．cb

aC．bacD．cab8·已知函数()fx及其导函数()fx的定义域均为R，且()1fx−为奇函数，()()22fxfx−+=，()12f−=，则()25121ifi=−=（）A．13B．16C．25D．51二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出

的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．某服装生产商为了解青少年的身高和体重的关系，在15岁的男生中随机抽测了10人的身高和体重，数据如下表所示：编号12345678910身高/cm1651

68170172173174175177179182体重/kg55896165677075757880由表中数据制作成如下所示的散点图：由最小二乘法计算得到经验回归直线1l的方程为11ybxa=+，相关系数为1r，决定系数为21R；经过残差分析确定（168，

89）为离群点（对应残差过大），把它去掉后，再用剩下的9组数据计算得到经验回归直线2l的方程为22ybxa=+，相关系数为2r，决定系数为22R．则以下结论中正确的有（）A．12aaB．12bbC．12rrD．2212RR

10．在棱长为2的正方体1111ABCDABCD−中，点E，F分别为棱BC与11DC的中点，则下列选项正确的有（）A．1//AB平面1ECB．EF与1BC所成的角为30°C．EF⊥平面1BACD．平面1AEC截正方体1111ABCDABCD−的截面面积为2611．已知0，函数()c

os3fxx=+，下列选项正确的有（）A．若()fx的最小正周期2T=，则=B．当2=时，函数()fx的图象向右平移3个单位长度后得到()cos2gxx=的图象C．若()fx在区间2,3上单调递增，则的取值范围是51,3D．若()fx在

区间()0,上只有一个零点，则的取值范围是17,6612．已知12,FF分别为双曲线()2222:10,0xyCabab−=的左、右焦点，点()11,Axy为双曲线C在第一象限的右支上一点，以A为切点作双曲线C的切线交x轴于点()2,0Bx

，则下列结论正确的有（）A．20xaB．12FABFAB=C．12xxab=D．若121cos3FAF=，且123FBBF=，则双曲线C的离心率2e=三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知nS为等差数列na的前n项和，若31510,0aS==，则1

6S=______．14．cos70cos20cos65−=______．15．若函数()2exfxaxa=−−存在两个极值点12,xx，且212xx=，则a=______．16．已知函数()21fxx=+，记()()()()()2221143

fxffxxx==++=+为函数()fx的2次迭代函数，()()()()()()3421387fxfffxxx==++=+为函数()fx的3次迭代函数，…，依次类推，()()()()()()nnfxffffx=个为函数()fx的n次迭代函数，则()()nfx=______；()()

10032f除以17的余数是______．（第一空2分，第二空3分）四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（本小题满分10分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2co

s3bCa=−．（1）求A；（2）若△ABC的面积为332，2b=，求a．18．（本小题满分12分）已知nS，为数列na的前n项和，242nnSan=−+．（1）证明：数列4na+为等比数列；（2）设数列12nnnaa+的前n项和

为nT，证明：16nT．19．（本小题满分12分）如图，在四棱锥PABCD−中，PAB△是边长为2的等边三角形，底面ABCD为平行四边形，且2AD=，PBBC⊥，45ADC=．（1）证明：点P在平面ABCD的正投影在直线AD上；（2）求平面

PBC与平面PDC夹角的余弦值．20．（本小题满分12分）某工厂一台设备生产一种特定零件，工厂为了解该设备的生产情况，随机抽检了该设备在一个生产周期中的100件产品的关键指标（单位：cm），经统计得到下面的频率分布直方图：（1）由频率分布直方图估计抽检样本关键指标的平均数x和方差2s．（用每

组的中点代表该组的均值）（2）已知这台设备正常状态下生产零件的关键指标服从正态分布()2,N，用直方图的平均数估计值x作为的估计值，用直方图的标准差估计值s作为估计值．i．为了监控该设备的生产过程，每个生产周期中都要随机抽测

10个零件的关键指标，如果关键指标出现了()3,3−+之外的零件，就认为生产过程可能出现了异常，需停止生产并检查设备．下面是某个生产周期中抽测的10个零件的关键指标：0.81.20.951.011.231.121.330.971

.210.83利用和判断该生产周期是否需停止生产并检查设备．ii．若设备状态正常，记X表示一个生产周期内抽取的10个零件关键指标在()3,3−+之外的零件个数，求()1PX及X的数学期望．参考公式：直方图的方差()221niiisxx

p==−，其中ix为各区间的中点，ip为各组的频率．参考数据：若随机变量X服从正态分布()2,N，则()330.9973PX−+，0.0110.105，0.0120.110，90.99730.976

0，100.99730.9733．21．（本小题满分12分）已知12,FF分别为椭圆()2222:10xyEabab+=的左、右焦点，椭圆E的离心率为12，过2F且不与坐标轴垂直的直线l与椭圆E交于A，B两点，1FAB△的周长为8．（1）求椭圆E的标准方程；（2）过1F且

与l垂直的直线l与椭圆E交于C，D两点，求四边形ACBD面积的最小值．22．（本小题满分12分）已知函数()ecos2xfxx=+−．（1）证明：函数()fx只有一个零点；（2）在区间()0,+上函数()sinfxaxx−恒成立，求a的取值范围．湛江市2023

年普通高考测试（一）数学参考答案及评分标准2023.3一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．【答案】A【解析】由1ii1ib+=−，得1i1i1iib+−==

−，所以1b=．故选A．2．【答案】C【解析】图中阴影部分表示RBAð，由211x−，得1x或3x，所以R13Axx=ð，由1242x，解得12x−，所以12Bxx=−，故R1

2BAxx=ð，故选C．3．【答案】B【解析】将两个0视为一个元素，将两个9也视为一个元素，所以共有4424A=（种）不同的结果，故选B．4．【答案】D【解析】因为11112222CBDBACba=−=−，所以111131222244AEACCEACCBabaab=+

=+=+−=+，故选D．5．【答案】C【解析】由题意，花灯的体积等于上面的正六棱台体积与下面的正六棱柱体积的和，正六棱台的两个底面积分别为()21162020sin606003cm2S==，()22164040sin6024003cm2S==，所以

花灯的体积()()112121160106060031060032400360032400333VSSSSS=+++=+++()350003cm=，故选C．6．【答案】B【解析】由题可知()0,2F，设直线l的方程为2ykx=+

，()()1122,,AxyBxy．由22,8,ykxxy=+=得28160xkx−−=，故1216xx=−．又2118xy=，2228xy=，所以()21212464xxyy==．圆()2224xy+−=的

圆心为()0,2F，半径2r=，所以2ADAFrAF=−=−，2BEBFrBF=−=−．又12AFy=+，22BFy=+，所以1122ADyy=+−=，2222BEyy=+−=所以12·4ADBEyy=

=，故选B．7．【答案】A【解析】因为0.10991111a=，99log10log9b=，lg11lg101c==，2lg100lg99lg9lg112lg9lg11==+，所以1lg9lg11，故1lg11lg9．又91log10lg9b==，所以b

c，所以bca．故选A．8．【答案】C【解析】由()()22fxfx−+=，令1x=，得()212f=，所以()11f=．由()1fx−为奇函数，得()()11fxfx−=−−−，所以()()11fxfx−=−−，故()()2fx

fx=−−①．又()()22fxfx−+=②，由①和②得()()222fxfx−+−−=，即()()4222fxfx−−+−−=，所以()()42fxfx++=，③令1x=−，得()()132ff−+=，得()30f=，令1x=，得()()152ff+=，得()5

1f=．又()()482fxfx+++=④，由③-④得()()80fxfx−+=，即()()8fxfx=+，所以函数()fx是以8为周期的周期函数，故()()712ff=−=，所以()()()()135710124ffff+++=+++=，所以()()()()

()()25121135749ififffff=−=+++++()()()()()()613574924125fffff=++++=+=．故选C．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，

有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．【答案】AC【解析】因为离群点（168，89）的横坐标168小于平均值173.5，纵坐标89相对过大，所以去掉离群点后经验回归直线的截距变小而斜率变大，所以12aa

，12bb，所以A正确，B错误；去掉离群点后成对样本数据的线性相关程度更强，拟合效果会更好，所以221212,rrRR，所以C正确，D错误．故选AC．10．【答案】ABD【解析】如图1，设点M为棱11AD的中点，则1//MCAE，所以四边

形1AECM为平行四边形，又1//ABME，1AB平面1AEC，ME平面1AEC，所以1//AB平面1AEC，故A正确；由上可知，四边形1AECM为平面1AEC截正方体1111ABCDABCD−的截口平面，易得115AEE

CCMMA====，故四边形1AECM为菱形，又其对角线22EM=，123AC=，故其面积为12223262=，故D正确；设1CC的中点为N，连接EN，FN．因为E，N分别为BC与1CC的中点，所以1//E

NBC，故NEF为EF与1BC所成的角，又2ENFN==，6EF=，由余弦定理可得2222623cos22226ENEFNFNEFENEF+−+−===，所以EF与1BC所成的角为30，故B正确；如图2，假设EF⊥平面1BAC正确，则1EF

BC⊥，又11FCBC⊥，1EFFCF=，所以1BC⊥平面1EFC，得11BCEC⊥．在正方形11BCCB中，11BCEC⊥，显然不成立，所以假设错误，即EF⊥平面1BAC错误，故C错误．故选ABD．11．

【答案】ACD【解析】由22T==，得=，所以A正确；当2=时，()cos23fxx=+，所以函数()fx的图象向右平移3个单位长度后得()cos2cos23333fxxxgx−

=−+=−，所以B错误；若()fx在区间2,3上单调递增，则22,3322,3kk++++kZ，解得5132,3kkk++Z，又0，所以只有当0k=时，此不等式有解，即513，所以C正确

；若()fx在区间()0,上只有一个零点，则,323,32++解得1766，所以D正确．故选ACD．12．【答案】AB【解析】由22221xyab−=，得()2222byxbxaa=−，所以222222bxaybxba=−，则在点()11,Axy处的

切线斜率为221212212212bxbxayaybxba==−，所以在点()11,Axy处的切线方程为()211121bxyyxxay−=−，又有2211221xyab−=，化简即可得切线方程为11221xxyy

ab−=，所以1212201xxyab−=，所以212xxa=，故C错误；由212xxa=，得221axx=，又1xa，所以20xa，故A正确；由()()2121,0,,0,,0aFcFcBx−，得221211,aaFBcBFcxx=+=−,故2211122211acFBxc

xaaBFcxacx++==−−，由2211221xyab−=，得2222112bxyba=−所以()()22222222211111111222bxccAFxcyxcbxcxaxaaaa=++=++−=++=+，所以2112cAFAFaxaa=−=−，所以2111122121cxaAFF

BcxaacAFcxaBFxaa++===−−，设点A到x轴的距离为h，则111111sin22AFBSFBhAFABFAB==△，222211sin22AFBSFBhAFABFAB==△，12111222sinsinAFBAFBSFBAFFABSFBAFFAB==△△，又

1122AFFBAFBF=，所以12FABFAB=，故B正确；由上可得221211,0,,0aaFBcBFcxx=+=−，因为123FBBF=，则22113aaccxx+=−，得212axc=，21123ccaAFxaaaaac=

+=+=，2212ccaAFxaaaaac=−=−=所以222222121221221294521cos26333AFAFFFaacFAFeAFAFa+−+−===−=，解得2e=，故D错误，故选AB．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，

共20分．13．【答案】-16【解析】因为150S=，所以8170aad=+=，又31210aad=+=，所以2d=−，114a=，所以215nSnn=−+，所以21616151616S=−+=−．14．【答案】2−【解析】()cos70cos20sin20cos20sin20c

os202cos65cos4520cos45cos20sin45sin20−−−===−+−15．【答案】1ln2【解析】因为()2exfxaxa=−−，定义域为R，所以()e2xfxax=

−，故11e20xax−=，22e20xax−=；又212xx=，所以121e40xax−=．又1e0x，故1e2x=，所以1ln2x=，所以11e12ln2xax==．16．【答案】()211nx+−0【解析】由题意，()()()120122222221112nnnnnnnfxxxx−−−

=++++=+=+−−，所以()()()251001002532332133161331711f=−=−=−−()25252424232322221252525252533C17C17C17C17C1711=−+−++−−()25252424232322

221252525252533C17C17C17C17C1734=−+−++−()2524242323222221125252525251733C17C17C17C17C2=−+−++−又()2524242323

2222211252525252533C17C17C17C17C2−+−++−为正整数，所以()()10032f除以17的余数为0．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．解：（1）由2co

s2coscos2sinsincos3sin333CCCCC−=+=+，1分所以cos3sinbCCa=+，故3sincosbaCaC=+．由正弦定理得sin3sinsinsincosBACAC=+．2分又()BAC=−+，所以()()

sinsinsin3sinsinsincosBACACACAC=−+=+=+，3分故sincoscossinsincos3sinsinACACACAC+=+，所以cos3sinAA=，4分所以3tan3A=，所以6A=．5分（2）由题意，11133sin22222ABCSbcAc==

=△，所以33c=．7分由余弦定理可得22232cos4272233132abcbcA=+−=+−=，9分所以13a=．10分18．证明：（1）因为1112412aSa==−+，所以12a=，146a+=．1分由242nnSan=−+，得()112412,2nnSann−−=−−

+，所以()()1112422412224,2nnnnnnnaSSanaaan−−−=−=−+−−−+=−−，3分所以124,2nnaan−=+，故142,24nnana−+=+，所以数列

4na+是以6为首项，2为公比的等比数列．5分（2）由（1）得1462324nnna−+==−，故()()111221113324324324324nnnnnnnnaa+++==−−−−−，9分所以212231222nnnnT

aaaaaa+=+++11111111328820324324nn+=−+−++−−−11111633246n+=−−．12分19．（1）证明：如图，过点B在平面ABCD内作BO垂直于AD，交DA的延长线于点O，连接OP．1分因为P

BBC⊥，//ADBC，所以PBDO⊥．又BODO⊥，PB，BO平面POB，BOPBB=，所以DO⊥平面POB．2分又PO平面POB，所以DOPO⊥，即AOPO⊥．因为45ADC=，//ABDC，所以45OAB=又OAOB⊥，所以45OBAOAB==，故OAOB=

．3分因为PAB△为等边三角形，所以PAPB=．又POP=，所以POAPOB≌△△．又POOA⊥，所以POOB⊥．4分又OA，OB平面ABCD，OAOBO=，所以PO⊥平面ABCD，所以点O为点P在平面ABCD的正投影又点O在直

线AD上，故点P在平面ABCD的正投影在直线AD上．5分（2）解：由（1）得PO，OB，OA两两垂直，以O为坐标原点，分别以OB，OA，OP所在直线为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz−．6分易得2POOBOA===．又2AD=，所以()2,0,0B，()

0,0,2P，()2,2,0C，()0,22,0D，故()0,2,0BC=，()2,2,2PC=−，()2,2,0DC=−．7分设()111,,nxyz=为平面PBC的法向量，则有0,0,nBCnPC==即111120,

2220,yxyz=+−=可取()1,0,1n=．9分设()222,,mxyz=为平面PDC的法向量，则有0,0,mDCmPC==即22222220,2220,xyxyz−=+−=可取()1,1,2m=，10分所以3cos,2nmnmnm==，

所以平面PBC与平面PDC夹角的余弦值为32．12分20．解：（1）由频率分布直方图，得0.80.10.90.210.351.10.31.20.051x=++++=．2分()()()()()2

222220.810.10.910.2110.351.110.31.210.050.011s=−+−+−+−+−=．4分（2）i．由（1）可知1=，0.0110.105=，所以310.3150.685

−=−=，310.3151.315+=+=，5分显然1.331.315，故需停止生产并检查设备．7分ii．抽测一个零件关键指标在()3,3−+之内的概率为0.9973，所以抽测一个零件关键指标在()3,3−+之外的概率为10.

99730.0027−=，8分故()10,0.0027XB，所以()()1011010.99730.0267PXPX=−==−，10分X的数学期望()100.00270.027EX==．12分21．解：（1）由题意得12ca=．1分由椭圆的定义可知48a

=，所以2a=，所以1c=．2分又222abc=+，所以23b=，3分所以椭圆E的标准方程为22143xy+=．4分（2）设()()1122,,AxyBxy，直线l的方程为1xmy=+，由221,431

xyxmy+==+整理得()2234690mymy++−=，则有122634myym−+=+，122934yym−=+，6分故()()()222221212222636114112343434mmABmyyyymmmm−+=++−=++

=+++7分直线l的方程为11xym=−−，设()33,Cxy，()44,Dxy，由221,4311,xyxym+==−−整理得2236490yymm++−=，则有34263

4myym−+=+，342934yym−=+，8分则()222343422211111412123434mmCDyyyymmm++=++−==++，9分所以四边形ACBD的面积()()2222222222111117272

7211234433114113411mmmmSABCDmmmmmm++++====+++++−+−++，10分2211723411mm+−++，当且仅当21m=时，等号成立，11分所以22722881149341

1Smm=+−+=，综上，四边形ACBD面积的最小值为28849．12分22．（1）证明：()00ecos020f=+−=，1分当0x时，e1x，cos1x，所以ecos2xx+，故ecos20xx+−，故()fx在区间(),0−上无零点．2分

当0x时，()esinxfxx=−，e1x，sin1x−−，所以()esin0xfxx=−，3分所以当0x时，函数()fx单调递增，所以()()00fxf=，故函数()fx在区间)0,+上有唯一零点0．综上，函数()fx在定义域上有唯一零点．4分（2

）解：由()sinfxaxx−，得ecos2sinxxaxx+−−，即esincos20xxxax++−−．设()esincos2xgxxxax=++−−，则()ecossinxgxxxa=+−−，则()esincosxgxxx=−−．5分设()e1xhxx=−−，则()e1xhx=

−，当0x时，()0hx，所以函数()hx在区间()0,+上单调递增，故在区间()0,+上，()()00hxh=，．即在区间()0,+上e1xx+．6分设函数()sinpxxx=−，则()1co

s0px=−，所以函数()px在区间()0,+上单调递增故，在区间()0,+上()()00pxp=，即在区间()0,+上，sinxx，7分所以在区间()0,+上，e1sincosxxxx++，即

()esincos0xgxxx=−−，所以在区间()0,+上函数()gx单调递增．8分当2a时，()020ga=−，故在区间()0,+上函数()0gx，所以函数()gx在区间()0,+上单调递增．又()00g=，故()0gx，即函数

()sinfxaxx−在区间()0,+上恒成立．9分当2a时，()020ga=−，()()()()ln22cosln2sinln222sinln204gaaaaaa+=+++−+−=−+−，在区间()()0,ln2a+上函数()

gx存在零点0x．10分又在区间()0,+上函数()gx单调递增，故在区间()00,x上函数()0gx，所以在区间()00,x上函数()gx单调递减．又()00g=，所以在区间()00,x上函数()0gx，与题设矛盾．11分综上，a的取值范围为(,2−．

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