【文档说明】四川省自贡市第一中学2024-2025学年高二上学期开学考试数学试题 Word版含解析.docx，共(16)页，1.151 MB，由小赞的店铺上传

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自贡一中2024——2025学年度上期高二年级开学考试数学试题一、选择题（共8小题，满分40分，每小题5分）1.已知i为虚数单位，则复数103zi=−在复平面内对应的坐标为（）A.(3,1)−B.(3,1)−−C.(3,1)D.(3,1)−

【答案】B【解析】【分析】将103zi=−化简即可得出答案【详解】1010(3)33(3)(3)iziiii−−===−−−−−−，z所对应的向量坐标为(3,1)−−.故选：B【点睛】本题考查的是复数的计算及其几何意义，较简单.2.体育老师记录了班上10

名同学1分钟内的跳绳次数，得到如下数据：88，94，96，98，98，99，100，101，101，116.这组数据的60%分位数是（）A.98B.99C.99.5D.100【答案】C【解析】【分析】根据分位数的定义即可求得答案.【详解】这组数据的60%分位数是9910099.52+=

.3.若直线l的一个方向向量为()1,2,1a=−−，平面的一个法向量为()2,4,2b=−，则（）AlB.//lC.l⊥D.//l或l【答案】C【解析】【分析】推导出//abrr，利用空间向量

法可得出线面关系.【详解】因为()1,2,1a=−−，()2,4,2b=−，则2ba=−，即//abrr，因此，l⊥..故选：C.4.如图，在平行六面体1111ABCDABCD−中，M为AC和BD的交点，

若ABa=，ADb=，1AAc=，则下列式子中与1MB相等的是（）A.1122−+abcB.1122abc+−C.1122abc−++D.1122−−+abc【答案】A【解析】【分析】根据空间向量的加减运算，表示出向量1MB，即得答案.【详解】111111()22MBMBBBDBA

AABADAA=+=+=−+1122abc=−+,故选;A5.已知两个平面,，两条直线lm,，则下列命题正确的是（）A.若⊥，l，则l⊥B.若l，m，ml⊥，则⊥C.若l，m，m，l，则∥D.若lm,是异面直线，l，l，m

，m，则∥【答案】D【解析】【分析】对于A，l与相交、平行或l；对于B，与相交或平行；对于C，与相交或平行；对于D，由面面平行的判定定理得∥．【详解】两个平面,，两条直线lm,，对于A，若⊥，l，则l与相交、平行或l

，故A错误；对于B，若l，m，ml⊥，则与相交或平行，故B错误；对于C，若l，m，m，l，则与相交或平行，故C错误；对于D，过m作平面与平面交于n，如图，∵m，∴mn∥，又n

，m，∴n，∵lm,是异面直线，l，∴n与l相交，又∵l，,ln，∴∥，故D正确．故选：D．6.在ABCV中，a、b、c分别是内角A、B、C所对的边，若2a=，6b=，30A=，则边c=（）

A.2B.22或6C.2或22D.22【答案】C【解析】【分析】根据余弦定理可得出关于c的等式，解之即可.【详解】因为2a=，6b=，30A=，由余弦定理可得2222cosabcbcA=+−，即2362622cc+−=，即23240cc−+=，解得2c=或22.故选

：C.7.在空间直角坐标系中，点()0,2,1A，()1,1,3B−，()1,1,0C，则（）A.()1,1,2AB=−B.()1,1,1AC=−C.23BC=D.2cos,3ABAC=−【答案】D【解析】【分析】根据向量坐标表

示判断AB，根据向量模的坐标运算判断C，根据向量夹角计算公式判断D.【详解】因为()0,2,1A，()1,1,3B−，()1,1,0C，所以()1,1,2AB=−−uuur，()1,1,1AC=−−，故AB错误；因为(2,0,3)BC=−，所以22220(3)1323

BC=++−=，故C错误；因为1122cos,363ABACABACABAC−+−===−，故D正确.故选：D8.已知圆锥的顶点为S，母线SA，SB所成角的余弦值为78，SA与圆锥底面所成角为45°.若SAB△

的面积为515，则该圆锥的侧面积为（）.A.202B.302C.402D.502【答案】C【解析】【分析】根据条件算出母线长和底面半径即可求出侧面积.【详解】如图：其中O是底面圆心，设半径为r，则AO=r，7cos8ASB=，()2150,,sin1cos8ASB

ASBASB=−=，由于SA，SB都是母线，所以SA=SB，SAB△的面积21115sin515,45228SABSSASBASBSASA====，在等腰直角三角形SAO中，22102AOrSA===，所以侧面积=124022SAr=；故选：C.

二、多选题（共3小题，满分18分，每小题6分）9.下面四个结论正确是（）A.向量(),0,0abab，若ab⊥，则0ab=B.若空间四个点P，A，B，C，1344PCPAPB=+，则A，B，C三点共线C.已知向量()1,1,ax=，()2,,4bx=−，若//ab，则2x=−D.

任意向量a，b满足()()abcabc=rrrrrr【答案】ABC【解析】【分析】由空间向量的数量积及其运算性质可判断A，由空间向量的基本定理与共线定理以及向量基底可判断B，根据空间向量共线的坐标表示可判断C，利用数量积的定义判断D.【详解】对于A：因为0,0abrrrr，ab

⊥，则0ab=，正确；对于B：因为1344PCPAPB=+，则11334444PCPAPBPC−=−，即3ACCB=，又AC与CB有公共点，所以,,ABC三点共线，正确；对于C：因为向量()1,1,ax=，()2,,4bx=−，//ab，所以存在R，使得ba=，即()()2,,41,1

,xx−=，则2114xx−===，解得22x=−=−，正确；对于D：()abc表示平行于c的向量，()abc表示平行于a的向量，当a与c不平行时，()()abcbca=一定不成立，错误.故选：ABC10.设A，B为两个随机事件，若()(

)13,24PAPB==，则下列结论中正确的是（）A.若AB，则()12PAB=B.若()38PAB=，则A，B相互独立C.若A与B相互独立，则()58PAB=D.若A与B相互独立，则()18PAB=的【答

案】BD【解析】【分析】根据并事件的概率的计算公式即可判断A；根据相互独立事件及对立事件的交事件的概率公式即可判断BD；根据相互独立事件的并事件的概率公式即可判断C.【详解】A，若AB，则()3()4PABPB==，A错误；B，因为()()13,24PAPB==，则()()

()BPAPBPA==38，B正确；C，因为A与B相互独立，则,AB也相互独立，则()()()()PABPABPAPB=−=−=−−−=13711111248，C错误；D，若A与B相互独立，则,AB也相互独立，则()()()

PABPAPB==−−=13111248，D正确.故选：BD11.如图，在正方体1111ABCDABCD−中，P为线段1BC上的一个动点，下列结论中正确的是（）A.11ADDP⊥B.平面1PAD⊥平面11BCCB

C.存在唯一的点P，使得1CPD为90°D.当点P为1BC中点时，1CPPD+取得最小值【答案】AB【解析】【分析】根据正方体的性质，结合空间位置关系，对选项逐一分析，得到正确结果.【详解】对于A项，利用正方体的特征可

知11ADBC⊥，111ADCD⊥，且1111BCCDC=，所以1AD⊥平面11BCD，可得11ADDP⊥，所以A项正确；对于B项，因为平面1PAD即为平面11ABCD，因为AB⊥平面11BCCB，所以平面1PAD⊥平面11BCCB，所以B项正确；对于C项，

设正方体棱长为1，1,02CPxx=，在1CCP△中，222211112cos124CPCCCPCCCPxx=+−=+−在11RtCDP△中，222211111DPCPCDx=+=+，当190CPD=时，2222112222CDCPDPxx==

+=+−，即2220,0xxx−==或22x=，所以当P与1C重合或P为1BC的中点时，满足1CPD为90°，所以满足条件的点P不唯一，所以C项不正确；对于D项，将正方体的对角面进行翻折，可得图形如图所示：根据平面内两点之间直线段最短，所以当P为图中的点时，1CPPD+取得最小值

，显然P不为1BC中点，所以D项不正确；故选：AB.【点睛】该题以正方体为载体，考查空间线面位置关系，涉及到线线、线面和面面垂直等基础知识，要注的意空间与平面间的相互转化，属于基础题目.三、填空题（共3小题，满分15

分，每小题5分）12.O为空间任意一点，若3148OPOAOBtOC=++，若ABCP四点共面，则t=______________．【答案】18##0.125【解析】【分析】利用空间向量共面基本定理的推论可求出t的值.【详解】空间向量共面的基本定理的推论：OPxOAyOBzOC

=++，且A、B、C不共线，若A、B、C、P四点共面，则1xyz++=，因为O为空间任意一点，若3148OPOAOBtOC=++，且A、B、C、P四点共面，所以，31148t++=，解得18t=.故答案为：18.13.在平面四边形ABCD中，1AB=，2BC=，6DADC==，若60B

=，则ACD的面积为_________.【答案】374【解析】【分析】利用余弦定理求出AC、cosD，进而可求得sinD，再利用三角形的面积公式可求得ACD的面积.【详解】连接AC，如下图所示：由余弦定理可得222cos3A

CABBCABBCB=+−=，由余弦定理可得2223cos24ADCDACDADCD+−==，则D为锐角，所以，27sin1cos4DD=−=，因此，11737sin62244ACDSADCDD===△.故答案为：374.【点睛】方法点睛：在解三角形的问题中，

若已知条件同时含有边和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要选择“边化角”或“角化边”，变换原则如下：（1）若式子中含有正弦的齐次式，优先考虑正弦定理“角化边”；（2）若式子中含有a、b、c的齐次式，优先考虑正弦定理“边化角”；（3）

若式子中含有余弦的齐次式，优先考虑余弦定理“角化边”；（4）代数式变形或者三角恒等变换前置；（5）含有面积公式的问题，要考虑结合余弦定理求解；（6）同时出现两个自由角（或三个自由角）时，要用到三角形的内角和定理.14

.如图，在棱长为2的正方体1111ABCDABCD−中，M，N分别为棱11CD，1CC的中点，则△MAD的重心到直线BN的距离为___________.【答案】53##213【解析】【分析】以1,,DADCDD为,,xyz轴建立空间直角坐标系，由重心

坐标公式求得ADM△的重心G的坐标，用空间向量法求点到直线的距离．【详解】以1,,DADCDD为,,xyz轴建立空间直角坐标系，如图，则(2,0,0)A，(2,2,0)B，(0,2,1)N，(0,1,2)M，(0,0,0)D，设ADM△的重心是(,,)Gxyz，则020233x++==，010

133y++==，002233z++==，即212(,,)333G，452(,,)333BG=−−，(2,0,1)BN=−，82100333BGBN=++=，222452()()()5333BG=−+−+=，5BN=，1023cos,355BGBNBGBNBGBN

===，则,BGBN是锐角，225sin,1()33BGBN=−=，所以G到直线BN的距离为55sin,533hBGBGBN===．故答案为：53．四、解答题（共5小题，第15题13分，第16、17题15分，第18、19题17分，

满分77分）15.已知空间三点()2,0,2A−，()1,1,2B−，()3,0,4C−，设aAB=，bAC=．（1）若kab+与2kab−互相垂直，求实数k的值；（2）若3c=，//cBC，求c．【答案】（1）2k=或52−（2）()2,1,

2−−或()2,1,2−【解析】【分析】（1）根据空间向量垂直得到方程，求出答案；（2）设(),,cxyz=，根据平行和模长得到方程组，求出答案.【小问1详解】()()1,1,0,1,0,2ab==−，故()()(),,0

1,0,21,,2kabkkkk+=+−=−，()()()2,,02,0,42,,4kabkkkk−=−−=+−，因为,2kabkab+−互相垂直，所以()()21280kkk−++−=，解得2k=或52−；【小问2详解】()()()3,0,41,1,22,1,2BC

=−−−=−−，设(),,cxyz=，则212xyz==−−且2229xyz++=，解得212xyz=−=−=或212xyz===−，故()2,1,2c=−−或()2,1,2c=−；16.某公司为了解员工对食堂满意程度，对全体100名员

工做了一次问卷调查，要求员工对食堂打分，将最终得分按[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]分成6段，并得到如图所示频率分布直方图.（1）估计这100

名员工打分的众数和中位数（保留一位小数）；（2）现从[70,80)，[80,90)，[90,100]这三组中用比例分配的分层随机抽样的方法抽取11个人，求[70,80)这组抽取的人数.【答案】（1）众数为75，中位数为71.4；（2）7人.的【解析】【分析】（1）根据中位数和众数的定义

结合频率分布直方图即可得出答案；（2）根据频率分布直方图分别求出[70,80)，[80,90)，[90,100]的人数，任何根据分层抽样即可求出从[70,80)抽取的人数.【详解】解：（1）由题意得众数为75，[40,70)的频率为(0.0050.0

150.025)100.45++=，[40,80)的频率为(0.0050.0150.0250.035)100.8+++=，设中位数为a，(70)0.0350.05a−=，71.4a.（2）[70,80)的人数

：0.0351010035=，[80,90)的人数：0.011010010=，[90,100]的人数：0.011010010=，抽样比例为111555=，从[70,80)抽取的人数：13575=.17.在中国共产

主义青年团成立100周年之际，某校举办了“强国有我，挑战答题”的知识竞赛活动，已知甲、乙两队参加，每队3人，每人回答且仅回答一个问题，答对者为本队赢得1分，答错得0分.假设甲队中3人答对的概率分别为34，23，12，乙队中每人答对的概率均为23，且各人回答问题正确与否互不影响.（1）分

别求甲队总得分为1分和2分的概率；（2）求活动结束后，甲、乙两队共得4分的概率.【答案】（1）甲队总得分为1分的概率为14，2分的概率为1124；（2）13【解析】【分析】（1）利用相互独立事件和互斥事件的概率公式计算可得；（2）首先求出活动结束甲、

乙两队得分及所对应的概率，再利用相互独立事件和互斥事件的概率公式计算可得；【小问1详解】解：依题意记甲队总得分为1分为事件A，甲队总得分为2分为事件B，则()32123112311111114323422344PA=−−+−−+−−=

，()3211321231111143224323424PB=−+−+−=，所以甲队总得分为1分的概率为14，2分的概率为1124；【小问2详解】解：依题意甲队总得分为0分的概率为2

31111134224−−−=，得1分的概率为14，得2分的概率为1124，得3分的概率为32114324=；乙队总得分为0分的概率为3211327−=，得1分的概率为222213339−=，

得2分的概率为222413339−=，得3分的概率为328327=；则活动结束后，甲、乙两队共得4分的概率18114121427249493P=++=.18.如图，在直三棱柱111ABCABC−中，90ACB=，12AAACBC==

=，D，E分别为1CC，1AB的中点．（1）证明：//ED平面ABC；（2）求直线1CC与平面1ABD所成角的余弦值．【答案】（1）证明见解析（2）33【解析】【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用平面法向量的性质进行运算证明即可；（2）利用空间向量夹角公

式进行求解即可.【小问1详解】如图建立空间直角坐标系，则()0,0,1D，()0,2,0B，()12,0,2A，()1,1,1E，()10,0,2C，所以()1,1,0DE=，因为111ABCABC−是直棱柱，所以1AA⊥平面ABC，因此平面ABC的一个法向量为()0,0,1n=，所以0D

En=uuurr，即DEn⊥，又ED平面ABC，所以//ED平面ABC；【小问2详解】因为()10,0,2CC=，()0,2,1BD=−，()12,2,2BA=−，设平面1ABD的法向量为𝑚⃗⃗=(𝑥,𝑦,𝑧)，则12022

20mBDyzmBAxyz=−+==−+=，令2z=，得()1,1,2m=−，设直线1CC与平面1ABD所成角为，则1146sin326mCCmCC===，所以263cos1sin193=−=−=.19.在

ABCV中，角A，B，C的对边分别是a，b，c满足()()()sinsinsinsinbaBAcCA−+=−．（1）求B；（2）若2a=，23b=，求ABCV的面积；（3）求2acbcabb−−的取值范围．【答案】（1）π3（2）23（3）13,112−−【解析

】【分析】（1）利用正弦定理将已知等式统一成角形式，化简后利用余弦定理可求出角B；（2）利用余弦定理求出c，再由三角形面积公式可求得结果；、（3）利用正弦定理统一成角的形式22sinsinsinsin

sinsinsinacbcabACBCABbB−−−−=，然后利用三角函数恒等变换公式化简变形得24ππ1sin2sin3663CC+−+−，令πsin6tC=+，然后利用二次函数的性质可求其范围

.【小问1详解】()(sinsin)(sinsin)baBAcCA−+=−，由正弦定理，得()()()babacca−+=−，222acbac+−=．由余弦定理，得2221cos222acbacBacac+−===，(0,π)B，π3B

=．【小问2详解】在ABCV中，2a=，23b=，π3B=．由余弦定理2222cosacacBb+−=，得2π422cos123cc+−=，即2280cc−−=，解得2c=−（舍）或4c=．ABC的面积为11πsin24sin23223acB==．【小问3详解】由（1

）知π3B=．的223sinsin(sinsin)sinsinsinsinsinsin23sin4ACACacbcabACBCABbB−+−−−−==42342π232πsinsin(sinsin)sinsinsinsin333333ACACCCCC=−+=−−−+

4312331cossinsincossinsin322322CCCCCC=+−++2232sincossincos3sin33CCCCC=+−−31cos22π1πsin

2cos3sincos22sin333336CCCCCC−=+−−=−++−+222π1π4ππ112sin2sinsin2sin36363663CCCC=−−++−+=+−+−

．令πsin6tC=+，2π0,3C，ππ5π,666C+，π1sin,162tC=+．2224143132333412bcabacttta−−=−−

=−−，当3t4=时，2bcabaca−−取得最小值，最小值为1312−．当1t=时，2bcabaca−−取得最大值，最大值为1−．2bcabaca−−的取值范围是13,112−−．