【文档说明】高中数学培优讲义练习（人教A版2019必修一）专题5.4 三角函数的概念-重难点题型检测 Word版含解析.docx，共(12)页，54.488 KB，由小赞的店铺上传

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专题5.4三角函数的概念-重难点题型检测参考答案与试题解析一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）1．（3分）（2021·福建·高一阶段练习）cos(−23π6)的值为（）A．−12B．12C．−√32D．√32【解题思路】由诱导公式一即可值【解答过程】cos(−23π6)=cos(−2

3π6+4π)=cosπ6=√32故选：D.2．（3分）（2022·全国·高一课时练习）已知𝑃(−2,𝑦)是角𝜃终边上一点，且sin𝜃=2√25，则𝑦的值是（）A．−2√25B．2√25C．−4√3417D．4√3417【解

题思路】根据sin𝜃>0，可判断点𝑃(−2,𝑦)位于第二象限，利用正弦函数的定义列方程求解即可.【解答过程】解：因为𝑃(−2,𝑦)是角𝜃终边上一点，sin𝜃=2√25>0，故点𝑃(−2,𝑦)位于第二象限，所以𝑦>0，sin𝜃=𝑦√(−2)2+𝑦2=2√25，整理

得：17𝑦2=32，因为𝑦>0，所以𝑦=4√3417.故选：D.3．（3分）（2022·湖北·高三期中）已知tan𝛼=2，则sin𝛼cos𝛼=（）A．−25B．−52C．52D．25【解题思路】由条件利用同角三角函数的基本关系求得sin𝛼cos𝛼的值.【解答

过程】因为tan𝛼=2，则sin𝛼cos𝛼=sin𝛼cos𝛼sin2𝛼+cos2𝛼=tan𝛼tan2𝛼+1=25.故选：D.4．（3分）（2022·宁夏·高三期中（理））已知角𝛼的终边经过点𝑃(1,3)，则sin𝛼+co

s𝛼sin𝛼-cos𝛼=（）A．43B．53C．2D．83【解题思路】根据角𝛼的终边经过点𝑃(1,3)，求得tan𝛼=3，根据同角的三角函数关系化简sin𝛼+cos𝛼sin𝛼-cos𝛼，代入求值，可得答案.【解答过程】由角𝛼的终边经过点𝑃(1,3)，则tan𝛼

=3，故sin𝛼+cos𝛼sin𝛼-cos𝛼=tan𝛼+1tan𝛼-1=3+13-1=2，故选:C.5．（3分）（2022·四川·高三开学考试（文））已知cos𝛼−3sin𝛼=0，则2cos𝛼−sin𝛼cos𝛼+sin𝛼的值为（）A．−54

B．−45C．54D．45【解题思路】根据给定条件，求出tan𝛼，再利用齐次式法计算作答.【解答过程】因cos𝛼−3sin𝛼=0，则tan𝛼=13，所以2cos𝛼−sin𝛼cos𝛼+sin𝛼=2

−tan𝛼1+tan𝛼=2−131+13=54.故选：C.6．（3分）（2023·四川资阳·模拟预测（文））已知角𝛼的顶点与坐标原点𝑂重合，始边与𝑥轴的非负半轴重合．若角𝛼终边上一点𝑃的坐标为(cos

2π3,sin2π3)，则sin𝛼tan𝛼=（）A．−32B．−√32C．√32D．32【解题思路】计算得到𝑃(−12,√32)，在根据三角函数定义计算得到答案.【解答过程】𝑃(cos2π3,sin2π3)，即𝑃(−12,√32)，则sin𝛼=𝑦√𝑥2+𝑦2=√32，

tan𝛼=𝑦𝑥=−√3.故sin𝛼tan𝛼=−32.故选：A.7．（3分）如果𝜃是第二象限角，且满足cos𝜃2−sin𝜃2=√1−sin𝜃，那么𝜃2（）A．是第一象限角B．是第三象限角C．可能是第一象限角，也可能是第三象限角D．是第二象限角【解题思路】由𝜃是第二象限角

，有2𝑘π+π2<𝜃<2𝑘π+π，结合cos𝜃2≥sin𝜃2，即可求𝜃2的范围，进而确定其所在象限.【解答过程】因为√1−sin𝜃=√cos2𝜃2+sin2𝜃2−2sin𝜃2cos𝜃

2=√(cos𝜃2−sin𝜃2)2=|cos𝜃2−sin𝜃2|=cos𝜃2−sin𝜃2，所以cos𝜃2−sin𝜃2≥0，即cos𝜃2≥sin𝜃2，∵𝜃是第二象限角，故2𝑘π+π2<𝜃<2𝑘π+π，𝑘∈Z，∴𝑘π+π4<�

�2<𝑘π+π2，𝑘∈Z，所以此时𝜃2可能在第一象限角，也可能在第三象限角又cos𝜃2≥sin𝜃2，∴2𝑘π+5π4<𝜃2<2𝑘π+3π2，𝑘∈Z.所以𝜃2在第三象限角故选：B.8．（3分）（2022·江苏扬州·高三期中）我国古代数学家赵爽在注

解《周髀算经》一书时介绍了“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的大正方形如图所示，记直角三角形较小的锐角为α，大正方形的面积为𝑆1，小正方形的面积为𝑆2，若𝑆1𝑆2=5，则sin𝛼+cos𝛼的值为（

）A．3√55B．2√55C．75D．85【解题思路】设大正方形的边长为𝑎，则直角三角形的两直角边分别为𝑎sin𝛼,𝑎cos𝛼，分别求出𝑆1,𝑆2，再根据𝑆1𝑆2=5可求得sin𝛼cos𝛼，再根据si

n𝛼+cos𝛼=√1+2sin𝛼cos𝛼即可得解.【解答过程】解：设大正方形的边长为𝑎，则直角三角形的两直角边分别为𝑎sin𝛼,𝑎cos𝛼，故𝑆1=𝑎2,𝑆2=𝑎2−4×12𝑎si

n𝛼⋅𝑎cos𝛼=𝑎2(1−2sin𝛼cos𝛼)，则𝑆1𝑆2=11−2sin𝛼cos𝛼=5，所以sin𝛼cos𝛼=25，又𝛼为锐角，则sin𝛼>0,cos𝛼>0，所以sin𝛼+cos𝛼=√1+2sin𝛼

cos𝛼=3√55.故选：A.二．多选题（共4小题，满分16分，每小题4分）9．（4分）（2022·福建省高三阶段练习）给出下列各三角函数值：①sin(−100∘)；②cos(−220∘)；③tan(

−10)；④cos𝜋3．其中符号为负的是（）A．①B．②C．③D．④【解题思路】根据三角函数在各象限的符号即可判断.【解答过程】解：对①：因为−180∘<−100∘<−90∘是第三象限角，所以sin(

−100∘)<0；对②：因为−270∘<−220∘<−180∘是第二象限角，所以cos(−220∘)<0；对③：因为−7π2<−10<−3π是第二象限角，所以tan(−10)<0；对④：因为𝜋3是第一象限角，所以cos𝜋3>0.所以符号为负的是①②③，故选：ABC.10．

（4分）（2022·广西钦州·高一期末）已知𝜃∈(0,𝜋)，sin𝜃+cos𝜃=√55，则下列结论正确的是（）A．sin𝜃cos𝜃<0B．sin𝜃−cos𝜃=3√55C．cos𝜃=√55D．sin𝜃=2√55【解题思路】考

虑角𝜃所在的象限，以及同角关系和题目所给的条件即可.【解答过程】由sin𝜃+cos𝜃=√55…①，以及sin2𝜃+cos2𝜃=1，对等式①两边取平方得1+2sin𝜃cos𝜃=15，sin𝜃cos𝜃=−25…②，∵𝜃∈(0,𝜋

)，∴sin𝜃＞0，由②，cos𝜃＜0，由①②sin𝜃，cos𝜃可以看作是一元二次方程𝑥2−√55𝑥−25=0的两个根，解得sin𝜃=2√55，cos𝜃=−√55，故A正确，B正确，C错误，D正确；故选：ABD.11．（4分）（2021·江苏·

高一课时练习）阅读下列命题：其中正确的命题为（）A．终边落在𝑥轴上的角的集合{𝛼|𝛼=180°𝑘,𝑘∈𝑍}B．同时满足sin𝛼=12，cos𝛼=√32的角有且只有一个C．设tan𝛼=12且𝜋<𝛼<3𝜋2，则sin𝛼=

−√55D．√1−sin2440°=cos80°【解题思路】A,利用终边相同的角即可判断；B,利用特殊角的三角函数值及诱导公式判断即可得到结果；C,由tan𝛼的值及𝛼的范围，利用同角三角函数间基本关系求出cos𝛼的值，进而求出sin𝛼的值，即

可做出判断;D,利用同角三角函数及诱导公式变形即可判断.【解答过程】对于A,终边落在𝑥轴上的角的集合{𝛼|𝛼=180°𝑘,𝑘∈𝑍},故A正确；对于B,同时满足sin𝛼=12，cos𝛼=√32的角有无数个

，此时𝛼=2𝑘𝜋+𝜋6，故B错误；对于C.设tan𝛼=12且𝜋<𝛼<3𝜋2，则cos𝛼=−√21+tan2𝛼=−2√55,则sin𝛼=−√1−cos2𝛼=−√55，故C正确；对于D,√1−sin2440°=√cos2440°=√cos280°=cos80°,故D正确

.故选：ACD.12．（4分）（2022·辽宁·高一期中）下列四个选项，正确的有（）A．𝑃(tan𝛼,cos𝛼)在第三象限，则𝛼是第二象限角B．已知扇形OAB的面积为4，周长为10，则扇形的圆心角（正角）的弧度数为12C．若角�

�的终边经过点(𝑎,2𝑎)(𝑎≠0)，则sin𝛼=2√55D．sin3cos4tan5>0【解题思路】根据三角函数在各个象限的正负，扇形周长和面积的计算公式，三角函数的定义，三角函数值的正负，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择.【解答过程】对A：由题可得tan𝛼<

0，则𝛼属于第二或者第四象限；cos𝛼<0，则𝛼属于第二或者第三象限或角度终边落在𝑥轴的负半轴上；故𝛼属于第二象限，A正确；对B：设扇形𝑂𝐴𝐵的圆心角为𝛼(𝛼>0)，半径为𝑅，圆心角对的弧长为𝑙，则12𝑙𝑅=4，𝑙+2𝑅=10，解得𝑙=2,

𝑅=4，又𝑙=𝛼𝑅，即2=4𝛼，解得𝛼=12，B正确；对C：根据题意可得sin𝛼=2𝑎√(2𝑎)2+𝑎2=2𝑎√5|𝑎|=±2√55，故C错误；对D：因为3∈(𝜋2,𝜋)，4∈(𝜋,32𝜋),5∈(3𝜋2,2𝜋)，故sin3>0,cos4<0,tan5<

0，故sin3cos4tan5>0，D正确.故选：ABD.三．填空题（共4小题，满分16分，每小题4分）13．（4分）（2022·黑龙江·高二期中）若角𝛼的终边过点𝑃(𝑚,−1)，且cos𝛼=−2√55，则

𝑚=−2.【解题思路】根据已知条件及三角函数的定义即可求解.【解答过程】因为角𝛼的终边过点𝑃(𝑚,−1)，所以cos𝛼=𝑚√𝑚2+1，又cos𝛼=−2√55<0，所以𝑚<0，所以𝑚√𝑚2+1=−2√55，即𝑚2=4，解得𝑚=2或𝑚=−2，又𝑚<0，所以𝑚=−2

.故答案为：−2.14．（4分）（2022·陕西·高一期中）比较大小：cos(−174𝜋)>cos(−235𝜋)．【解题思路】化简可得cos(−174𝜋)=√22>0，cos(−235𝜋)=co

s(75𝜋)<0，即可得答案.【解答过程】cos(−174𝜋)=cos(4𝜋−174𝜋)=cos(−𝜋4)=cos(𝜋4)=√22>0，cos(−235𝜋)=cos(6𝜋−235𝜋)=cos(75𝜋)<0，所以cos(−174𝜋)>cos(−

235𝜋).故答案为：>.15．（4分）（2022·全国·高三专题练习）若𝐴∈(0,π)，且sin𝐴+cos𝐴=713，则5sin𝐴+4cos𝐴15sin𝐴−7cos𝐴=843.【解题思路】根据题中条件，利用同

角三角函数基本关系，先求出sin𝐴−cos𝐴，进而求得sin𝐴和cos𝐴，代入所求式子，即可得出结果.【解答过程】由sin𝐴+cos𝐴=713得，(sin𝐴+cos𝐴)2=49169，即1+sin2𝐴=49169，所以sin2𝐴=−120169.因为𝐴∈(0,π)，所以𝐴

∈(π2,π)，则sin𝐴−cos𝐴>0，所以(sin𝐴−cos𝐴)2=1−sin2𝐴=289169，因此sin𝐴−cos𝐴=1713.联立{sin𝐴+cos𝐴=713sin𝐴−cos𝐴=1713解得{sin𝐴=1213cos𝐴=−513，所以5sin𝐴

+4cos𝐴15sin𝐴−7cos𝐴=843.故答案为：843.16．（4分）（2022·辽宁·高一期中）若𝛼，𝛽∈(0,π2)，且(1+sin2𝛼)sin𝛽=sin𝛼cos𝛼cos𝛽，则tan𝛽的最大值为√24．【解题思路】由题意结合商数关系及平方关系可得tan𝛽=ta

n𝛼2tan2𝛼+1，再利用基本不等式即可得出答案.【解答过程】解：由(1+sin2𝛼)sin𝛽=sin𝛼cos𝛼cos𝛽，得tan𝛽=sin𝛼cos𝛼1+sin2𝛼=sin𝛼cos𝛼2sin2𝛼+cos2𝛼=t

an𝛼2tan2𝛼+1，因为𝛼∈(0,π2)，所以tan𝛼∈(0,+∞)，则tan𝛽=tan𝛼2tan2𝛼+1=12tan𝛼+1tan𝛼≤12√2tan𝛼⋅1tan𝛼=√24，当且仅当2tan𝛼=1tan𝛼，即tan𝛼=√22时，取等号，所以tan𝛽的最

大值为√24.故答案为：√24.四．解答题（共6小题，满分44分）17．（6分）（2022·全国·高一课时练习）已知顶点在原点，始边与𝑥轴非负半轴重合的角𝛼的终边上有一点𝑃(−√3,𝑚)，且sin𝛼=√24𝑚(𝑚≠0)

，求𝑚的值，并求cos𝛼与tan𝛼的值．【解题思路】根据三角函数定义可由sin𝛼=𝑚√3+𝑚2=√24𝑚(𝑚≠0)求得𝑚的值；结合𝑚的值，由三角函数定义可求得cos𝛼,tan𝛼.【解答过程】∵sin𝛼=𝑚√3+𝑚2=√24𝑚(𝑚≠0)，∴𝑚=±√5；当𝑚

=√5时，cos𝛼=−√3√3+𝑚2=−√64，tan𝛼=−𝑚√3=−√153；当𝑚=−√5时，cos𝛼=−√3√3+𝑚2=−√64，tan𝛼=−𝑚√3=√153.18．（6分）（2022·湖南·高一课时练习）确定下列各三角函数值的符号：(1)sin4𝜋3

；(2)cos3；(3)tan250∘；(4)sin5𝜋3⋅cos5𝜋3．【解题思路】（1）（2）（3）（4）确定角的终边所在的象限，结合三角函数值的符号与象限角的关系可判断各三角函数式的符号.【解答过程】(1)解：∵𝜋<4𝜋3<3𝜋2，则4𝜋3为第三象限角，则sin4𝜋3<

0.(2)解：∵𝜋2<3<𝜋，则3为第二象限角，则cos3<0.(3)解：∵180∘<250∘<270∘，则250∘为第三象限角，则tan250∘>0.(4)解：∵3𝜋2<5𝜋3<2𝜋，则5𝜋3为第四象限角，

则sin5𝜋3<0，cos5𝜋3>0，故sin5𝜋3⋅cos5𝜋3<0.19．（8分）（2021·全国·高一课时练习）用定义法、公式一求下列角的三个三角函数值（可用计算工具）：(1)−17𝜋3；(2)21𝜋4；(3)−23𝜋6；(4)150

0°．【解题思路】对于各个角，直接利用诱导公式一和三角函数定义化简求解三个三角函数值即可．【解答过程】(1)解：sin(−17𝜋3)=sin(−6𝜋+𝜋3)=sin𝜋3=√32；cos(−17𝜋

3)=cos(−6𝜋+𝜋3)=cos𝜋3=12；tan(−17𝜋3)=sin(−17𝜋3)cos(−17𝜋3)=√3212=√3．(2)解：sin21𝜋4=sin(6𝜋−3𝜋4)=sin(−3𝜋4)=−√22；cos21𝜋4=cos(6𝜋−3𝜋4)=cos(

−3𝜋4)=−√22；tan21𝜋4=sin21𝜋4cos21𝜋4=−√22−√22=1；(3)解：sin(−23𝜋6)=sin(−4𝜋+𝜋6)=sin𝜋6=12；cos(−23𝜋6)=cos(−4𝜋+𝜋6)=cos𝜋6=√32；tan(−23𝜋6)=sin(

−23𝜋6)cos(−23𝜋6)=12√32=√33.(4)解：sin1500°=sin(4×360°+60°)=sin60°=√32；cos1500°=cos(4×360°+60°)=cos60°=12；tan1500°=sin1

500°cos1500°=√3212=√3.20．（8分）（2022·辽宁·高一期中）已知sin𝛼+cos𝛼=12，0<𝛼<𝜋.(1)求sin𝛼cos𝛼的值.(2)求sin𝛼−cos𝛼的值.(3)求√1−

sin𝛼1+sin𝛼−√1−cos𝛼1+cos𝛼的值.【解题思路】（1）将已知平方结合平方关系即可得解；（2）由（1），可得sin𝛼>0,cos𝛼<0，则sin𝛼−cos𝛼=√(sin𝛼−cos𝛼)2，从而可得出答案

；（3）根据√1−sin𝛼1+sin𝛼−√1−cos𝛼1+cos𝛼=√(1−sin𝛼)2(1+sin𝛼)(1−sin𝛼)−√(1−cos𝛼)2(1+cos𝛼)(1−cos𝛼)结合正余弦得符号去掉根号，化简，从

而可求出答案.【解答过程】(1)解：因为sin𝛼+cos𝛼=12，所以(sin𝛼+cos𝛼)2=sin2𝛼+cos2𝛼+2sin𝛼cos𝛼=1+2sin𝛼cos𝛼=14，所以sin𝛼cos𝛼=−38；(2)解：因为0<𝛼<𝜋，sin𝛼cos𝛼=−38，所以s

in𝛼>0,cos𝛼<0，所以sin𝛼−cos𝛼=√(sin𝛼−cos𝛼)2=√1−2sin𝛼cos𝛼=√72；(3)解：由（2）得sin𝛼>0,cos𝛼<0，则√1−sin𝛼1+sin𝛼−√1−cos𝛼1+cos𝛼=√(1−sin𝛼)2(1+sin�

�)(1−sin𝛼)−√(1−cos𝛼)2(1+cos𝛼)(1−cos𝛼)=√(1−sin𝛼)2cos2𝛼−√(1−cos𝛼)2sin2𝛼=1−sin𝛼−cos𝛼−1−cos𝛼s

in𝛼=−sin𝛼(1−sin𝛼)+cos𝛼(1−cos𝛼)sin𝛼cos𝛼=−sin𝛼+cos𝛼−1sin𝛼cos𝛼=−12−1−38=−43.21．（8分）（2022·全国·高一课

时练习）已知𝑓(𝛽)=sin(𝜋−𝛽)cos(2𝜋−𝛽)tan(𝛽+𝜋)tan(−𝛽−𝜋)sin(−𝜋−𝛽).(1)若角𝛽是第三象限角，且sin(𝛽−𝜋)=15，求𝑓(𝛽)的值；(2)若𝛽=2220°，求𝑓(𝛽

)的值.【解题思路】（1）利用诱导公式化简𝑓(𝛽)，由已知利用诱导公式及同角三角函数基本关系式求得cos𝛽，则答案可求；（2）由𝛽=2220°=6×360°+60°，再由诱导公式求得求𝑓(𝛽)的值．【解答过程】（1）解：𝑓(𝛽)=

sin(𝜋−𝛽)cos(2𝜋−𝛽)tan(𝛽+𝜋)tan(−𝛽−𝜋)sin(−𝜋−𝛽)=sin𝛽cos𝛽tan𝛽−tan𝛽sin𝛽=−cos𝛽.因为sin(𝛽−𝜋)=−sin𝛽=15，所以sin𝛽=−15，又角𝛽

是第三象限角，所以cos𝛽=−√1−sin2𝛽=−2√65，所以𝑓(𝛽)=−cos𝛽=2√65.（2）解：因为𝛽=2220°=6×360°+60°，所以𝑓(𝛽)=−cos𝛽=−cos2220°=−cos6

0°=−12.22．（8分）（2022·湖南·高一课时练习）证明：(1)cos𝛼1−sin𝛼=1+sin𝛼cos𝛼；(2)tan2𝛽⋅sin2𝛽=tan2𝛽−sin2𝛽．【解题思路】利用同角三角函数的基本关系证明可得；【解答过程】(1)证明：左边=cos𝛼1−sin𝛼

=cos𝛼(1+sin𝛼)(1−sin𝛼)(1+sin𝛼)=cos𝛼(1+sin𝛼)1−sin2𝛼=cos𝛼(1+sin𝛼)cos2𝛼=1+sin𝛼cos𝛼=右边；即cos𝛼1−sin𝛼=1+sin𝛼cos𝛼(2)证明：右边=tan2𝛽−sin2𝛽=(tan

𝛽−sin𝛽)(tan𝛽+sin𝛽)=(sin𝛽cos𝛽−sin𝛽)(sin𝛽cos𝛽+sin𝛽)=(sin𝛽cos𝛽−sin𝛽cos𝛽cos𝛽)(sin𝛽cos𝛽+sin𝛽cos𝛽cos𝛽)=sin2𝛽(1cos𝛽−1)(1c

os𝛽+1)=sin2𝛽(1−cos𝛽cos𝛽)(1+cos𝛽cos𝛽)=sin2𝛽⋅1−cos2𝛽cos2𝛽=sin2𝛽⋅sin2𝛽cos2𝛽=sin2𝛽⋅tan2𝛽=左边，即tan2𝛽⋅sin2𝛽=tan2𝛽−sin2𝛽.