【文档说明】江西省南昌市第二中学2020届高三下学期校测（一）数学（文）试题含答案.doc，共(15)页，6.402 MB，由小赞的店铺上传

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南昌二中2020届高三校测(一)文科数学试卷命题：高三数学备课组第I卷一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知全集U=R，集合}10|{=xRxA，B={-1,0,1}，则=BACU)(A．{}1−B．{1}C．{

1,0}−D．{0,1}2．若复数2iz=−，i为虚数单位，则(1)(1)zz+−=A．24i+B．24i−+C．24i−−D．4−3．已知实数.ab，则“2ab”是“224ab+”的A．充分不必要条件B

．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4．若函数()()sin3cos0xfxx=−的图象的一条对称轴为3x=,则的最小值为A．32B．2C．52D．35．已知数列na为

等比数列，nS是它的前n项和，若2312aaa=，且4a与72a的等差中项为54，则5S=A．35B．33C．31D．296．已知向量(3,0)a=，(,2)bx=−，且(2)aab⊥−，则ab=A．23−B．23C．32−D．327．我国明朝数学家程大位著的《算法统宗》里有一道闻名世界

的题目：“一百馒头一百僧，大僧三个更无争.小僧三人分一个，大小和尚各几丁？”.如右图所示的程序框图反映了对此问题的一个求解算法，则输出n的值为A．20B．25C．30D．358．已知某样本的容量为50，平均数为70，方差为75．现发现在收集这些数据

时，其中的两个数据记录有误，一个错将80记录为60，另一个错将70记录为90．在对错误的数据进行更正后，重新求得样本的平均数为x，方差为2s，则A．270,75xs=B．270,75xs=C．270,75xsD．270,75xs9．下列图象可以作为函数()2x

fxxa=+的图象的有A．1个B．2个C．3个D．4个10．已知P，A，B，C是半径为2的球面上的点，O为球心，2PAPBPC===，90ABC=，则三棱锥OABC−体积的最大值是A．3B．1C．12D．3411．已知1F，2F分别是双曲线C：2214

3xy−=的左，右焦点，动点A在双曲线的左支上，点B为圆E：()2231xy++=上一动点，则2ABAF+的最小值为A．7B．8C．63+D．233+12．若函数()()1,{21,xxexafxxxa−+=−−有最大值，则实数a的

取值范围是A．211,22e−−+B．21,2e−+C．)2−+D．2112,22e−−−第II卷二、填空题:本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.13．函数xyax

e=的图象在0x=处的切线与直线yx=−互相垂直,则a=_____．14．如图在平行四边形ABCD中，AB=4，AD=3，E为边CD的中点，13DFDA=，若4AEBF=−则cosDAB=.15．如图，在一个底面边长为4cm的正六棱柱容器内有一个半径为23cm的铁球，现向容器内注水，使得

铁球完全浸入水中，若将铁球从容器中取出，则水面下降______cm.16．在数列na中，11a=，122133232(2)nnnnnaan−−−−=−+，nS是数列1nan+的前n项和，则nS为.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或

演算步骤.第17-21题为必考题，每道试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.(一)必考题：共60分.17．(12分)已知3()3cos22sin()sin()2fxxxx=++−，xR，（1）求()fx的最小正周期

及单调递增区间；（2）已知锐角ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且()3fA=−，3a=，求BC边上的高的最大值．18．(12分)为响应党中央“扶贫攻坚”的号召，某单位指导一贫困村通过种植紫甘薯来提高经济收入.紫甘薯对环境温度要求较高，根据以往的

经验，随着温度的升高，其死亡株数成增长的趋势.下表给出了2017年种植的一批试验紫甘薯在温度升高时6组死亡的株数：温度x（单位：C）212324272932死亡数y（单位：株）61120275777经计算：611266iixx==

=，611336iiyy===，61()()557iiixxyy=−−=，621()84iixx=−=，621()3930iiyy=−=，621()23.6ˆ64iiyy=−=，8.0653167e，其中i

x，iy分别为试验数据中的温度和死亡株数，1,2,3,4,5,6i=.（1）若用线性回归模型，求y关于x的回归方程^^^ybxa=+（结果精确到0.1）；（2）若用非线性回归模型求得y关于x的回归方程0.23030.06ˆxye=，且相关指数为20.9522R=.(i)试与

（1）中的回归模型相比，用2R说明哪种模型的拟合效果更好；（ii）用拟合效果好的模型预测温度为35C时该紫甘薯死亡株数（结果取整数）.附：对于一组数据11(,)uv，22(,)uv，，(,)nnuv，其回归直线ˆˆvu=+的斜率和截距的最小二乘估计分别为：121(

)()()niiiniiuuvvuu==−−=−，avu=−；相关指数为：22121()1()niiiniiivvRvv==−=−−.注：相关指数越趋近于1拟合效果越好19．(12分)已知四棱台ABCD-A1B1C1D1的下底面是边长为4的正方形，AA1=4，且A

A1⊥面ABCD，点P为DD1的中点，点Q在BC上，BQ=3QC，DD1与面ABCD所成角的正切值为2.（Ⅰ）证明：PQ//面A1ABB1；（Ⅱ）求证：AB1⊥面PBC，并求三棱锥Q-PBB1的体积.20．(12分)已知曲线C上的点到点()1,0F的距离比到直线:20lx+=的距离小

1，O为坐标原点.（1）过点F且倾斜角为45的直线与曲线C交于M、N两点，求MON△的面积；（2）设P为曲线C上任意一点，点()2,0N，是否存在垂直于x轴的直线l，使得l被以PN为直径的圆截得的弦长恒

为定值？若存在，求出l的方程和定值；若不存在，说明理由.21．(12分)已知函数()2ln2fxxxx=+−.（1）讨论函数()fx的单调性；（2）判断并说明函数()()cosgxfxx=−的零点个数.若函数()gx所有

零点均在区间()mnmnZZ，，内，求nm−的最小值.(二)选考题：共10分.22.在直角坐标系xOy中，曲线1cos:1sinxtCyt==+（t为参数），以坐标原点O为极点，以x轴的正半轴为极轴建立极坐标

系，曲线2C的极坐标方程为2cos333−=.（1）求曲线1C的极坐标方程；（2）已知点()2,0M，直线l的极坐标方程为6=，它与曲线1C的交点为O，P，与曲线2C的交点为Q，求MPQ的面积.23.已知(

)11fxxax=+−−.（1）当1a=时，求不等式()1fx的解集；（2）若()0,1x时不等式()fxx成立，求a的取值范围.南昌二中2020届高三校测(一)文科数学试卷参考答案第I卷一、选

择题:本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．已知全集，集合，则（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由题意，全集，集合，可得或，又由集合，所以.故选：C.2．若复数，为虚数单位，则A．B．C．D．【答案

】B【解析】,选B.3．已知实数，则“”是“”的A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】本题考查充分必要条件的判断、不等式等知识．充分性：由均值不等式；必要性：

取，显然得不到．故“”是“”的充分不必要条件，选A．4．若函数的图象的一条对称轴为，则的最小值为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】∵，且函数的图象的一条对称轴为，∴当时，取最大值或最小值，∴，∴，

∵，∴的最小值为.故选：C.5．已知数列为等比数列，是它的前项和，若，且与的等差中项为，则（）．A．B．C．D．【答案】C试题分析：由题意得，设等比数列的公比为，则，所以，又，解得，所以，故选C．6．已知向量，，且，则（）A．B．C．D．【答案】D【解析】向量

，,所以=（,4）,因为，故（）+0=0解得,则.故答案为D.7．我国明朝数学家程大位著的《算法统宗》里有一道闻名世界的题目：“一百馒头一百僧，大僧三个更无争.小僧三人分一个，大小和尚各几丁？”.如右图所示的程

序框图反映了对此问题的一个求解算法，则输出的值为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】输出；；；；；，退出循环，输出，故选B.8．已知某样本的容量为50，平均数为70，方差为75．现发现在收集这些数据时，其中的两个数据记录有误，一个错将80记录为60，

另一个错将70记录为90．在对错误的数据进行更正后，重新求得样本的平均数为，方差为，则A．B．C．D．【答案】A【解析】由题意，根据平均数的计算公式，可得，设收集的48个准确数据分别记为，则，，故．选A．9．下列图象可以作为函数的图象的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】C【解析】当

a<0时,如取a=−4,则其定义域为：{x|x≠±2}，它是奇函数，图象是③，所以③选项是正确的；当a>0时，如取a=1，其定义域为R，它是奇函数，图象是②。所以②选项是正确的；当a=0时,则,其定义域为：{x|x≠0}，它是奇函数，图象是④，所以④选项

是正确的。本题选择C选项.10．已知P，A，B，C是半径为2的球面上的点，O为球心，，，则三棱锥体积的最大值是()A．B．1C．D．【答案】B【解析】如图,设交平面于.因为,由球的对称性有底面.又,.故.,因为,所以.又.故.故.当且仅当时取等号.故选：B11．已知，分别是双曲线：的左，右焦

点，动点在双曲线的左支上，点为圆：上一动点，则的最小值为（）A．7B．8C．D．【答案】A【解析】双曲线中，，，，圆半径为，，，（当且仅当，，共线且在，之间时取等号.）当且仅当是线段与双曲线的交点时取等号．的最小值是7.故选：A.12．若函数有最大值，则实数的取值

范围是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】设，，可得在上递增，在递减，当时，函数在上递增，在递减，有最大值，可排除选项D；时，，而，，即无最大值，可排除选项C；当时，在上递增，在上递减，在递减，且有，有最大值，可排除选项B,故选A.第II卷二、填空题:本大

题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.13．函数的图象在处的切线与直线互相垂直,则_____．【答案】1.【解析】函数的图象在处的切线与直线垂直,函数的图象在的切线斜率本题正确结果：14．如图在平行四边

形ABCD中，AB=4，AD=3，E为边CD的中点，，若则=---------.【答案】【解析】因为平行四边形中，，，是边的中点，，∴，，∴===∴.15．如图，在一个底面边长为cm的正六棱柱容器内有一个半径为cm的铁球，现向容器内注水，使得

铁球完全浸入水中，若将铁球从容器中取出，则水面下降______cm.【答案】【解析】解：假设铁球刚好完全浸入水中，球的体积，水面高度为，此时正六棱柱容器中水的体积为，若将铁球从容器中取出，则水面高度，则水面下降.故答案为:.16．在数列中，，，是数列

的前项和，则为.【答案】【解析】：由得，即，所以数列是以为首项、为公比的等比数列，所以，由，.三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每道试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.(一)必考题：共60

分.17．已知，，（1）求的最小正周期及单调递增区间；（2）已知锐角的内角，，的对边分别为，，，且，，求边上的高的最大值．17.【解析】（1）的最小正周期为：；当时，即当时，函数单调递增，所以函数单调递

增区间为：；（2）因为，所以设边上的高为，所以有，由余弦定理可知：（当用仅当时，取等号），所以，因此边上的高的最大值.18．为响应党中央“扶贫攻坚”的号召，某单位指导一贫困村通过种植紫甘薯来提高经济收入.紫甘薯对环境温度要求较高，根据以往的经验，随着温度的升高，其死亡株数成增长

的趋势.下表给出了2017年种植的一批试验紫甘薯在温度升高时6组死亡的株数：温度（单位：）212324272932死亡数（单位：株）61120275777经计算：，，，，，，，其中，分别为试验数据中的温度和死亡株数，.（1）若用线性回归模型，求关于的回归方程（结果精

确到0.1）；（2）若用非线性回归模型求得关于的回归方程，且相关指数为.(i)试与（1）中的回归模型相比，用说明哪种模型的拟合效果更好；（ii）用拟合效果好的模型预测温度为时该紫甘薯死亡株数（结果取整数）.附：对于一组数据，，，，其回归直线的斜率和截距的最小二

乘估计分别为：，；相关指数为：.【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ)详见解析．试题解析：(Ⅰ)由题意得，∴33−6.63´26=−139.4，∴关于的线性回归方程为：=6.6x−139.4．（注：若用计算出，则酌情扣1分）(Ⅱ)（i）线性回归方程=6.6x−138.6对应的相关指数为：，因为0.93

98＜0.9522，所以回归方程比线性回归方程=6.6x−138.6拟合效果更好．（ii）由（i）知，当温度时，，即当温度为35°C时该批紫甘薯死亡株数为190.19．已知四棱台的下底面是边长为4的正方形，，且面，点为的中点，点在上，，与面所成角的正切值为2.（Ⅰ

）证明：面；（Ⅱ）求证：面，并求三棱锥的体积.【答案】（Ⅰ）见解析;（Ⅱ）6.试题解析：（Ⅰ）证明：取中点为，连接、，过作于.∵面，，∴面.∴为与面所成角.∴，又，∴.∴.而，，∴，又，∴，∴四边形为平行四边形，又面，面，∴面.（Ⅱ）由面，∴面面且

交于.又，∴面，∴.在梯形中，可证，∴面..20．已知曲线上的点到点的距离比到直线的距离小，为坐标原点.（1）过点且倾斜角为的直线与曲线交于、两点，求的面积；（2）设为曲线上任意一点，点，是否存在垂直于轴的直线，使得被以为直径的圆截得的弦长恒为定值？若存在，求出的方程和定值；若不存在，说明理由.2

0．（1）；（2）直线存在，其方程为，定值为.【解析】（1）依题意得，曲线上的点到点的距离与到直线的距离相等，所以曲线的方程为：.过点且倾斜角为的直线方程为，设，，联立，得，则，，则；（2）假设满足条件的直线存在，其方程为，设点，则以为直径的圆

的方程为，将直线代入，得，则，设直线与以为直径的圆的交点为、，则，，于是有，当，即时，为定值.故满足条件的直线存在，其方程为.21．已知函数.（1）讨论函数的单调性；（2）判断并说明函数的零点个数.若函数所有零点均在区间内

，求的最小值.21．（1）函数的单调增区间为，单调减区间为（2）存在两个零点，详见解析；的最小值为3解：（1）的定义域为，，令，得，（舍）.当时，，当时，，所以在上单调递增，在上单调递减，因此，函数的单调增区间为，

单调减区间为.（2），当时，，因为单调递减，所以，在上单调递增，又，，所以存在唯一，使得.当，，，所以单调递减，又，所以，在上单调递增.因为，所以，故不存在零点.当时，，，所以单调递减，又，，所以存在，使得.当时，，单调递增，当时，，单调递减.又，，

，所以存在唯一，使得.当时，，故不存在零点.综上，存在两个零点，，且，，因此的最小值为3.22.在直角坐标系中，曲线（为参数），以坐标原点为极点，以轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（1

）求曲线的极坐标方程；（2）已知点，直线的极坐标方程为，它与曲线的交点为，，与曲线的交点为，求的面积.22.【解析】（1），其普通方程为，化为极坐标方程为（2）联立与的极坐标方程：，解得点极坐标为联立与的极坐标方程：，解得点极坐标为，所以，又点到直线的

距离，故的面积.23.已知.（1）当时，求不等式的解集；（2）若时不等式成立，求的取值范围.23.【解析】（1）当时，，即故不等式的解集为．（2）当时成立等价于当时成立．若，则当时；若，的解集为，所以，故．综上，的取值

范围为．