【文档说明】山东省济南市十一学校2021届高三下学期3月校际联考数学试题 含答案.doc，共(17)页，1.441 MB，由小赞的店铺上传

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济南市2021届高三十一学校联考数学试题本试卷共5页，22题，全卷满分150分.考试用时120分钟.注意事项:1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上

对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.参考公式:锥体的体积公式:13VSh=(其中S为锥体的底面积，h为锥体的高)一、单项选择题:本题共8小题，每小题

5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合M={x|x2-2x-3≤0}，N={x|log2x>1}，则M∩N=A.[-1，2]B.[-1，+∞]C.(2，3］D.(2，+∞))2

.函数y=f(x)满足f(x+2)=-f(x)，当x∈(-2，2］时，f(x)=x2-1，则f(x)在［0，2020］上零点的个数为A.1009B.1010C.2019D.20203.2<m<6是方程22126xymm+=−−表示椭圆的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不

充分也不必要条件4.我国古代数学名著《九章算术》的论割圆术中有:“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣.”它体现了一种无限与有限的转化过程，比如在表达式11111+++中“…”即代表无限次重复，但原式却是个定值，它可以通过方程11xx+=求得152x+=，类似

上述过程及方法.则77++的值为A.1312+B.2912+C.7D.225.山东烟台苹果因“果形端正、色泽艳丽，果肉甜脆、香气浓郁”享誉国内外.据统计，烟台苹果(把苹果近似看成球体)的直径(单位:mm)服从正态分布N(80，52)，则直径在(75，90］内的概率为附:若X~N(μ

，σ2)，则P(μ-σ<X≤μ+σ)=0.6826，P(μ-2σ<X≤μ+2σ)=0.9544.A.0.6826B.0.8413C.0.8185D.0.95446.椭圆与双曲线共焦点F1，F2，它们在第一象限的

交点为P，设∠F1PF2=2θ，椭圆与双曲线的离心率分别为e1，e2，则A.222212cossin1ee+=B.222212sincos1ee+=C.2212221cossinee+=D.221222cos1sinee+=7.某

同学10次测评成绩的数据如茎叶图所示，总体的中位数为12，若要使该总体的方差最小，则4x+2y的值是A.12B.14C.16D.188.正四面体ABCD的体积为4，O为其中心，正四面体EFGH与正四面体ABCD关于点O对称，则这两个正四面体公共部分

的体积为A.3B.83C.2D.43二、多项选择题:本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9.欧拉公式exi

=cosx+isinx(其中i为虚数单位，x∈R)是由瑞士著名数学家欧拉创立的，该公式将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论里面占有非常重要的地位，被誉为数学中的天骄，依据欧拉公式，下列选项正确的是A.复数e2i对应的点位于第三象限B.

2ie为纯虚数C.复数i3ixe+的模长等于12D.6ie的共轭复数为1322−i10.在三棱锥P-ABC中，AB⊥BC，P在底面ABC上的投影为AC的中点D，DP=DC=1.下列结论中正确的是A.三棱锥P-ABC的三条侧棱长均相等;B.∠PAB的取值范围是(,42);C.若三棱锥的四

个顶点都在球O的表面上，则球O的表面积为2π;D.若AB=BC，E是线段PC上一动点，则DE+BE的最小值为622+.11.已知数列{Fn}:1，1，2，3，5，8，13，…，从第三项开始，每项等于其前相邻两项之和.记数列{Fn}的前n项和为Sn

，则下列结论正确的是A.S6=a8B.S2019=F2021-1C.F1+F3+F5+…+F2021=F2022D.2222123202020202021FFFFFF++++=…12.意大利画家列奥纳多·达·芬奇(1452.4-1519.5)的画作《抱银貂的女人》中，女士脖颈上悬挂的黑色珍

珠项链与主人相互映衬呈现出不一样的美与光泽，达·芬奇提出固定项链的两端，使其在重力的作用下自然下垂，项链所形成的曲线是什么?这就是著名的“悬链线问题”，后人给出了悬链线的函数解析式:()coshxfxaa=，其中a为悬链线系数，coshx称为双曲余弦函数，其表达式为cosh2xxeex−+=

，相应地，双曲正弦函数的函数表达式为sinh2xxeex−−=.若直线x=m与双曲余弦函数C1和双曲正弦函数C2分别交于A，B，曲线C1在点A处的切线与曲线C2在点B处的切线相交于P，则下列结论中正确的是A.cosh2x-sinh2x=1B.cosh(x+y))=coshxcoshy-sinhx

sinhyC.|BP|随m的增大而减少D.△PAB的面积随m的增大而减小三、填空题:本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知向量m=(-1，2)，n=(2，λ).若m⊥n，则2m+n与m的夹角余弦值为.14.已知m是常数，55432543210(1)mxaxaxa

xaxaxa−=+++++，且12345aaaaa++++=-2，则1a=.15.已知点M(-4，-2))，抛物线x2=4y的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，过P作PQ⊥l，点Q为垂足，过P作抛物线的切线l1，

l1与l交于点R，则|QR|+|MR|的最小值为.16.如果两个函数存在零点，分别为α，β，若满足|α-β|<n，则称两个函数互为“n度零点函数”.若f(x)=ln(x-2)与g(x)=ax2-lnx互为“2度零点函数”，则实数a的取

值范围为.四、解答题:本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(10分)在①3(cos)3sinbcAaC−=，②1tan12tanaCbB=+，③sincos6cBbC=−这三

个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答问题.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足.(1)求C;(2)若△ABC的面积为103，D为AC的中点，求BD的最小值.注:如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.18.(12分)已知正项等差

数{an}中，a1a5=33，22a=25.(1)求数列{an}的通项公式;(2)若an∈N，243nnnba−=+，求{bn}的前n项和Tn.19.(12分)在多面体ABCDE中，平面ACDE⊥平面ABC，四边形ACDE为直角梯形，CD∥AE，AC⊥AE，AB⊥BC，CD=1，AE=

AC=2，F为DE的中点，且点E满足4EBEG=.(1)证明:GF∥平面ABC;(2)当多面体ABCDE的体积最大时，求二面角A-BE-D的余弦值.20.(12分)为实现有效利用扶贫资金，增加贫困村民的收入，扶贫工作组结合某贫困村水质优良的特点，

决定利用扶贫资金从外地购买甲、乙、丙三种鱼苗在鱼塘中进行养殖试验，试验后选择其中一种进行大面积养殖，已知鱼苗甲的自然成活率为2p-1，鱼苗乙、丙的自然成活率均为p，且甲、乙、丙三种鱼苗是否成活相互独立.(1)试验时从甲、乙、丙三种鱼苗中各取一尾，记自然成活的尾数为x，求x

的分布列.(2)试验后发现乙种鱼苗较好，扶贫工作组决定购买n尾乙种鱼苗进行大面积养殖，若将(1)中满足数学期望E(x)不超过2.6的p的最大值作为乙种鱼苗成活的概率，养殖后发现乙种鱼苗有个别因不能适应环境而不能自然成活，对这些因不适应环境而不能自然成活的80%鱼苗采取增氧、换鱼塘等措施，

采取措施后成活的概率为62.5%.若每尾乙种鱼苗最终成活后可获利100元，不成活则亏损20元，若扶贫工作组的扶贫目标是获利不小于376万元，问需至少购买多少尾乙种鱼苗?21.(12分)[www.yun^%li#ankao.n&e*t]已知函数2()ln1xfxxx−=

++(λ∈R).(1)讨论函数f(x)的单调性;(2)当λ=2时，求证:f(x)>0在(1，+∞)上恒成立;(3)求证:当x>0时，(ex-1)ln(x+1)>x2.22.(12分)已知F1，F2分别是椭圆2222:1(0)xy

Cabab+=的左右焦点，P是椭圆C上异于左右顶点A，B的任一点，当△PF1F2的面积最大值为3时，△PF1F2为正三角形.(1)求椭圆C的标准方程;(2)设PB交直线x=4于M，AM交椭圆C于Q.[w@ww.yunliank~ao.ne^#t%](ⅰ)证明:kAP·kAQ为定值;

(ⅱ)求△APQ面积的最大值.济南市2021届高三十一学校联考数学试题答案一、单项选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分.1-8ABBB5-8CBAC二、多项选择题:本题共4小题，每小题5分，共20分.9、BD10、ABD1

1、BCD12、AD三、填空题:本题共4小题，每小题5分，共20分.13、25514、10−15、511602e、，注：16题求取值范围答案形式：集合，区间，不等式均得分四、解答题:本题共6小题

，共70分.17．（10分）【解析】（1）方案一：选条件①.由3(cos)3sinbcAaC−=可得3cossin3bcAaC−=，由正弦定理得3sinsincossinsin3BCAAC−=，（2分）因为()BAC=−+，所以sinsin()BAC=+，所

以3sincoscossinsincossinsin3ACACCAAC+−=，故3sincossinsin3ACAC=，（4分）又sin0A，于是sin3cosCC=，即tan3C=，因为(0,)C，所

以3C=.（6分）注：6分处如果少sin0A或(0,)C，扣1分。方案二：选条件②.因为1tan(1)2tanaCbB=+，所以由正弦定理及同角三角函数的基本关系式，得sin1sincos(1)sin2cossinACBBCB=+，（2分）即sinsincoscossinsin(

)sin2cossin2cossinACBCBCBBCBCB++==，（4分）因为ABC++=，所以BCA+=−，sin()sinBCA+=，又sin0A，所以1cos2C=，因为(0,)C，所以3C=.（6分）注：6分处如果少sin0A或(0,)C，扣1分

。方案三：选条件③.在ABC中，由正弦定理得sinsinbCcB=，又sincos()6cBbC=−，所以sincos()6bCbC=−（3分）所以31sincos()cossin622CCCC=−=+，所以sin3cosCC=，即tan3C=，又(0,)C，所以3C=.（6分）注

：6分处如果少(0,)C，扣1分。（2）由题意知113sin103222ABCSabCab===，得40ab=.（8分）由余弦定理得22222111cos220442222bbbBDaabCaabaabab=+−=+−−==，当且仅当12ab=且

40ab=，即25a=，45b=时取等号，所以BD的最小值为25.（10分）注：10分处没有指明取等条件的，扣1分。18．（12分）18、【解析】（1）设正项等差数列na的公差为d，因为2225a=，所以25a=，所以15ad

+=，（1分）又1533aa=，所以11(4)33aad+=，得2d=或43d=（2分）当2d=时，13a=，此时32(1)21nann=+−=+；（4分）当43d=时，1113a=，此时11447(1)3333nann=+−=+.（6

分）注：得到d的两个值得2分，只算出一个的扣1分；这一问整体只得到一个正确的通项公式的得3分。（2）因为naN，所以21nan=+.（8分）因为243nnnba−=+，所以243(21)nnbn−=++，（9分）所以1012433435

43743(21)nnTn−−=+++++++++1012(4444)3[357(21)]nn−−=++++++++++1(14)(321)43142nnn−++=+−124136312nnn−=++−.

（12分）注：1、没有写出21nan=+直接得到243(21)nnbn−=++不扣分。2、若求和是分步求解的，每一个和式各1分，最后答案合并1分。19．（12分）【解法一】（1）分别取EBAB,中点NM,，连结NDMNCM,,.在梯形ACD

E中，EADC//且EADC21=，且NM,分别为BEBA,中点EAMNEAMN21,//=CDMNCDMN=,//四边形CDNM是平行四边形DNCM//（3分）又EBEG41=，N为EB中点，G为EN中点，又F为ED中点DNGF//CMGF//又CM平面ABC

，GF平面ABC//GF平面ABC（5分）注：1、3分处，必须有CDMNCDMN=,//，其它条件不全不扣分；2、5分处，线在面外，线在面内至少有一个，否则扣1分。【解法二】取AE中点N,NE的中点M,连接MF,ND.ABMGEBEGEAEM//

,41,41则由题意==,(1分)NDMFNEMEDF//中点，为中点，为又(2分)为平行四边形即四边形且且又ACDNDCNADCNADCAEDCAE,,//2,//==ACMFACND//,//则（3分）AC

BMFGAABACGMGMF面面又//,,==（4分）ABCGFMFGGF面面//,（5分）注：1分，2分，3分处不写理由不扣分；5分处没有线在面内扣1分,,ACDEABCACACAEAEABCAxAC⊥⊥⊥⊥【解法三】由面面交于又则面作示的坐标系为

正交基底建立如图所以AEACAx,,（1分）()()得由，，设,4,23,1,0,2,0,00,EGEBFEbaB=23,4,4baG（2分）()1,0,0,0,41,4=−−=nABCbaGF法向量为面（4分）nGFnGF⊥=•即则,0（5分）

ABCGFABCGF面面又//,（6分）注：该解法将第2问建系分数给第1问；2分处必须写出G点坐标；4分处向量GF与法向量各1分；6分处需写出线不在面内。（2）在平面ABC内，过B作ACBH⊥交AC于H.平面⊥ACDE平面ABC，平面ACDE平面ACABC=，BH平面ABC，ACBH

⊥，⊥BH平面ACDE（6分）BH即为四棱锥ACDEB−的高，又底面ACDE面积确定，所以要使多面体ABCDE体积最大，即BH最大，此时2ABBC==过点H作AEHP//，易知HPHCHB,,两两垂直，以HPHCHB,,为正交基底建

立如图所示的空间直角坐标系xyzH−（7分）则)1,1,0(),2,1,0(),0,0,1(),0,1,0(DEBA−−)1,2,0(),2,1,1(),0,1,1(−=−−==DEBEAB设),,(1

111zyxn=为平面ABE的一个法向量，则==0011BEnABn，所以=+−−=+02011111zyxyx，取)0,1,1(1−=n（8分）设),,(2222zyxn=为平面DBE的一个法向量，则==0022BEnD

En，所以=+−−=+−020222222zyxzy，取)2,1,3(2=n（10分）所以77||||,cos212121==nnnnnn，（11分）二面角DBEA−−为钝二面角，所以二面角DBEA−−的余弦值为77−（12分）注：1、7分处必须说明什么时候体积最大，

否则扣1分。2、其它建系办法参考给分，建系说明垂直1分，体积最大说明1分，两个法向量简单的1分，复杂的2分，余弦值1分，结论1分.20．（12分）【解析】（1）随机变量x的所有可能取值为0,1,2,3,则P（x=0）=P（x=1）=P（x=2）=P（x=

3）==2（4分）故x的分布列为x0123P2（5分）注：1、概率计算一个一分，出现一个错误分布列的1分不再给；2、没有单独求解但分布列都正确不扣分。（2）由（1）知E（x）=4p-1（6分）因为4p-1，所有,即乙种鱼苗自然成活的概率为0.9依题意知一尾乙种鱼苗最终成活的概率为0.9+0

.1（8分）那么n尾乙种鱼苗最终成活的尾数为0.95n，不成活的尾数是（1-0.95）n（9分）设F（n）为购买n尾乙种鱼苗最终可获得的利润，则F（n）=100（11分）所有需至少购买40000尾乙种鱼苗，才能确保获利不低于376万元。（12分）注：

6分处没有说明直接得到概率值为0.9，不扣分；没有作答扣1分。21．（12分）【解析】（1）【解法一】:函数()fx的定义域为(0,)+，()()()22212111xxfxxxxx+−+=−=++()22

1,4gxxx=−+=−（1分）（求出导数1分，两种形式都可以，定义域不占分）()()20,0,xfx−当时，g()()0+fx在，单增；（2分）()()2200,0,xfx当-时，，g()()0+fx在，单增；221212442

0,,0,022xxxx−−+−==当时,设两根为则()()()()12120<0,0,<0,0,xxxxxfxxxxxfx当或时，g当时，g()()()()1212,0,.fxxxx

x+故在单减，在，和单增(4分)（写对一个给1分）()()20+fx综上：当时,在，上是增函数；()()()222222224420,,22440,.224444,0,.2222fxxfxxxfx−−+−−−+−

−−+−−−+−+当时，解得解得0或在单减，在，和单增（没综上不扣分）【解法二】函数()fx的定义域为(0,)+，()()()()22221121=111xxxxfxxxxxx+−+−

+=−=+++（1分）()()()12,20,0+xxfxfx+当时，在，上是增函数；（2分）(4分)（写对一个给1分）()()20+fx综上：当时,在，上是增函数；（没综上不扣分）()()()()()220+00.fxfxf==

当时,在，单增，()0fx故在(1,)+上恒成立；（6分）注：不说明单调性扣1分（3）【解法一】()()()222210,ln,0ln+1.12xxxfxxxxxx−++由知，当时，即当时,()222244442,0,.2222

fx−−+−−−+−+当时，在单减，在，和单增()222244442,0,.2222fx−−+−−−+−+

当时，在单减，在，和单增()()()222211ln1,1,1.22xxxxexxexexxx−+−+++要证只需证只需证（8分）注：两个转化各1分()()()()()()()()()()()222110,1,210,00,10+0

0.1.e1ln2(1)0xxxxxhxexxxhxxxexhxehxhhxhxhexxx=−−−=−−=−==−+++令在，单增，即故当时，（12分）注：构造新函数并求导得2分，二阶求导得一阶导函数的单调

性1分，最终结论1分【解法二】()()()222210,ln,0ln+1.12xxxfxxxxxx−++由知，当时，即当时,()()()2222211ln1,1,1,22111.2xxxxxexxe

xexxxxxe−−+−+++++要证只需证只需证只需证（8分）注：两个转化各1分()()()()()()22111,0,220+01,xxxxxexxexx−−=++=−

=令在，单减，得证.（12分）注：构造新函数并求导得2分，说明函数的单调性1分，最终结论1分【解法三】()()()()()2ln11ln1ln11ln1,.11xxxxexxxexxxexe−+++

−+−−要证只需证只需证（8分）注：两个转化各1分()()()()()()()()()22ln1,g1.ln11ln111xxgxxgexxxxxxxgxxxx+=−−+−+++==+设只需证则()()()()()()()()()()()()()()1ln1,ln10,00,

0,0+1.k1,k10,kk00.xxxtxxxxtxxtxtgxgxxexexxex=−++=−+=−=−−=−=令则在，单减.故只需证即可得证（12分）注：构造新函数并求导得1分，t(x)求导得其单调性1分，新函

数的单调性1分，最终结论1分。22．（12分）【解析】：（1）由题意可得：()3max21==bcSFPFcacbFPF2,321==为正三角形可得：由（1分）解得：1,3,2===cba椭圆C的标准方程为13422=+yx（3分）

注：a,b,c值错一个则后面分都没有，没有写出a,b,c的值，椭圆标准方程对不扣分。（1）（i）证明:由题意设),(11yxP，()0,4yM，()22,yxQ,又()()0,2,0,2BA−211+=xykAP,62400yykkAMAQ=+==（4分）()22:11−

−=xxyylBP，224110−==xyyx时，当（5分）注：表示出M点的纵坐标得1分，只写出直线BP方程没有分。()()432326221211111011−=−+=+=xyxyxyyxykkAQAP此时，()2121212121443413134xxyyx−=−==+

则又代入上式可得：41-=AQAPkk（7分）注：没有化简得过程直接得出结果扣1分()0123643:)(ii222=−++++=tmtyymtmyxPQ与椭圆方程联立可得：设直线+−=+−=+431234362221221mtyymmtyy由韦达定理

+−=+=+4312443822221221mmtxxmtxx又（8分）注：表示出一组韦达定理得1分，只写出联立得到的一元二次方程没有分。()()41-222221212211=++=++=xxyyxyxykkAQAP由411616412322

−=++−ttt化简可得：()舍或解得：化简可得：21,02-2−===+tttt（9分）0,1:+=满足为此时直线myxPQ()43118423212221221212++=−+=−=mmyyyyyyAFSAPQ（10分）1,11222−=+=mm则令)1:,02911131318

13182===+++=+=xlmSSPQAPQAPQ，此时最小值为时故单调递增，在，则，（12分）注：最值求解也可利用导数处理，没有说明单调性的不扣分；没有写出m=0不扣分。