【文档说明】山东省济南市十一学校2021届高三下学期3月校际联考数学试题含答案.doc，共(17)页，1.443 MB，由小赞的店铺上传

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济南市2021届高三十一学校联考数学试题本试卷共5页，22题，全卷满分150分.考试用时120分钟.注意事项:1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上.2.回答选择题时，选出每小题

答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.参考公式:锥体的体积公式:13VSh=(其中S为锥体的底面积，h为锥体的高)一、单项选

择题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合M={x|x2-2x-3≤0}，N={x|log2x>1}，则M∩N=A.[-1，2]B.[-1，+∞]C.(2，

3］D.(2，+∞))2.函数y=f(x)满足f(x+2)=-f(x)，当x∈(-2，2］时，f(x)=x2-1，则f(x)在［0，2020］上零点的个数为A.1009B.1010C.2019D.20203.2<m<6是方程

22126xymm+=−−表示椭圆的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件4.我国古代数学名著《九章算术》的论割圆术中有:“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合

体而无所失矣.”它体现了一种无限与有限的转化过程，比如在表达式11111+++中“…”即代表无限次重复，但原式却是个定值，它可以通过方程11xx+=求得152x+=，类似上述过程及方法.则77++的值为A.1312+B.2912+C.7D.225.山东烟台苹果因

“果形端正、色泽艳丽，果肉甜脆、香气浓郁”享誉国内外.据统计，烟台苹果(把苹果近似看成球体)的直径(单位:mm)服从正态分布N(80，52)，则直径在(75，90］内的概率为附:若X~N(μ，σ2)，则P(μ-σ

<X≤μ+σ)=0.6826，P(μ-2σ<X≤μ+2σ)=0.9544.A.0.6826B.0.8413C.0.8185D.0.95446.椭圆与双曲线共焦点F1，F2，它们在第一象限的交点为P，设∠F1PF2=2θ，椭圆与双曲线的

离心率分别为e1，e2，则A.222212cossin1ee+=B.222212sincos1ee+=C.2212221cossinee+=D.221222cos1sinee+=7.某同学1

0次测评成绩的数据如茎叶图所示，总体的中位数为12，若要使该总体的方差最小，则4x+2y的值是A.12B.14C.16D.188.正四面体ABCD的体积为4，O为其中心，正四面体EFGH与正四面体ABCD关于点O对称，则这两个正四面体公共部分的体积为A.3B.83C.2D.43二、多项选择题:本

题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.9.欧拉公式exi=cosx+isinx(其中i为虚数单位，x∈R)是由瑞士著名数学家欧拉创立的，该公式将指数函数的定义域扩大到复数，

建立了三角函数与指数函数的关联，在复变函数论里面占有非常重要的地位，被誉为数学中的天骄，依据欧拉公式，下列选项正确的是A.复数e2i对应的点位于第三象限B.2ie为纯虚数C.复数i3ixe+的模长等于12

D.6ie的共轭复数为1322−i10.在三棱锥P-ABC中，AB⊥BC，P在底面ABC上的投影为AC的中点D，DP=DC=1.下列结论中正确的是A.三棱锥P-ABC的三条侧棱长均相等;B.∠PAB的取值范围是(,42);C.若三棱锥的四个顶点都在球O的表面上，则球O的表面积为

2π;D.若AB=BC，E是线段PC上一动点，则DE+BE的最小值为622+.11.已知数列{Fn}:1，1，2，3，5，8，13，…，从第三项开始，每项等于其前相邻两项之和.记数列{Fn}的前n项和为Sn，则下列结论正确的是A.S6=a8B.S2019=F2021-1C.F1+F3+F5+…

+F2021=F2022D.2222123202020202021FFFFFF++++=…12.意大利画家列奥纳多·达·芬奇(1452.4-1519.5)的画作《抱银貂的女人》中，女士脖颈上悬挂的黑色珍珠项链与主人相互映衬呈现出不一样的美与光泽，达·芬奇提出固定项链的两

端，使其在重力的作用下自然下垂，项链所形成的曲线是什么?这就是著名的“悬链线问题”，后人给出了悬链线的函数解析式:()coshxfxaa=，其中a为悬链线系数，coshx称为双曲余弦函数，其表达式为cosh2xxeex−+=，相应地，双曲正弦函数

的函数表达式为sinh2xxeex−−=.若直线x=m与双曲余弦函数C1和双曲正弦函数C2分别交于A，B，曲线C1在点A处的切线与曲线C2在点B处的切线相交于P，则下列结论中正确的是A.cosh2x-sinh2x=1B

.cosh(x+y))=coshxcoshy-sinhxsinhyC.|BP|随m的增大而减少D.△PAB的面积随m的增大而减小三、填空题:本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知向量m=(-1，2)，n=(2

，λ).若m⊥n，则2m+n与m的夹角余弦值为.14.已知m是常数，55432543210(1)mxaxaxaxaxaxa−=+++++，且12345aaaaa++++=-2，则1a=.15.已知点M(-4，-2))，

抛物线x2=4y的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，过P作PQ⊥l，点Q为垂足，过P作抛物线的切线l1，l1与l交于点R，则|QR|+|MR|的最小值为.16.如果两个函数存在零点，分别为α，β，若满足|α-β|<n，则称两个函数互为“n度零点函数”.若f(x

)=ln(x-2)与g(x)=ax2-lnx互为“2度零点函数”，则实数a的取值范围为.四、解答题:本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(10分)在①3(cos)3sinbcAaC−=，②1tan12tanaCbB=+，③sincos6cBbC

=−这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答问题.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足.(1)求C;(2)若△ABC的面积为103，D为AC的中点，求BD的最小值.注:如果选择多个条件分别解答，按第一个

解答计分.18.(12分)已知正项等差数{an}中，a1a5=33，22a=25.(1)求数列{an}的通项公式;(2)若an∈N，243nnnba−=+，求{bn}的前n项和Tn.19.(12分)在多面体ABCDE中，平面ACDE⊥平面ABC，

四边形ACDE为直角梯形，CD∥AE，AC⊥AE，AB⊥BC，CD=1，AE=AC=2，F为DE的中点，且点E满足4EBEG=.(1)证明:GF∥平面ABC;(2)当多面体ABCDE的体积最大时，求二面

角A-BE-D的余弦值.20.(12分)为实现有效利用扶贫资金，增加贫困村民的收入，扶贫工作组结合某贫困村水质优良的特点，决定利用扶贫资金从外地购买甲、乙、丙三种鱼苗在鱼塘中进行养殖试验，试验后选择其中一种进行大面积养殖，已知鱼苗甲的自然成活率为2p-1，鱼苗乙、丙的自然

成活率均为p，且甲、乙、丙三种鱼苗是否成活相互独立.(1)试验时从甲、乙、丙三种鱼苗中各取一尾，记自然成活的尾数为x，求x的分布列.(2)试验后发现乙种鱼苗较好，扶贫工作组决定购买n尾乙种鱼苗进行大面积养殖，若将(1)中满足数学期望E(x)

不超过2.6的p的最大值作为乙种鱼苗成活的概率，养殖后发现乙种鱼苗有个别因不能适应环境而不能自然成活，对这些因不适应环境而不能自然成活的80%鱼苗采取增氧、换鱼塘等措施，采取措施后成活的概率为62.5%.若每尾乙种鱼苗最终成活后可获利100元，不成活则亏损20元，若扶

贫工作组的扶贫目标是获利不小于376万元，问需至少购买多少尾乙种鱼苗?21.(12分)[www.yun^%li#ankao.n&e*t]已知函数2()ln1xfxxx−=++(λ∈R).(1)讨论函数f(x)的单调性;(2)当λ=2时，求证:f(x)>0在(1，+∞)上恒成立;(3)求证

:当x>0时，(ex-1)ln(x+1)>x2.22.(12分)已知F1，F2分别是椭圆2222:1(0)xyCabab+=的左右焦点，P是椭圆C上异于左右顶点A，B的任一点，当△PF1F2的面积最大值为3时，△PF1

F2为正三角形.(1)求椭圆C的标准方程;(2)设PB交直线x=4于M，AM交椭圆C于Q.[w@ww.yunliank~ao.ne^#t%](ⅰ)证明:kAP·kAQ为定值;(ⅱ)求△APQ面积的最大值.济南市2021届高三十一学校联考

数学试题答案一、单项选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分.1-8ABBB5-8CBAC二、多项选择题:本题共4小题，每小题5分，共20分.9、BD10、ABD11、BCD12、AD三、填空题:本题共4小题，

每小题5分，共20分.13、25514、10−15、511602e、，注：16题求取值范围答案形式：集合，区间，不等式均得分四、解答题:本题共6小题，共70分.17．（10分）【解析】（1）方案一：选条件①.由3(cos)3sinbcAaC−=可得3co

ssin3bcAaC−=，由正弦定理得3sinsincossinsin3BCAAC−=，（2分）因为()BAC=−+，所以sinsin()BAC=+，所以3sincoscossinsincossinsin3ACACCAAC+−=，故3sincossinsin3ACAC=，（4分）

又sin0A，于是sin3cosCC=，即tan3C=，因为(0,)C，所以3C=.（6分）注：6分处如果少sin0A或(0,)C，扣1分。方案二：选条件②.因为1tan(1)2tanaCbB=+，

所以由正弦定理及同角三角函数的基本关系式，得sin1sincos(1)sin2cossinACBBCB=+，（2分）即sinsincoscossinsin()sin2cossin2cossinACBC

BCBBCBCB++==，（4分）因为ABC++=，所以BCA+=−，sin()sinBCA+=，又sin0A，所以1cos2C=，因为(0,)C，所以3C=.（6分）注：6分处如果少sin0A或(0,)C，扣1分。方案三：选条件③.在ABC中，由正弦定理得sinsinbCcB

=，又sincos()6cBbC=−，所以sincos()6bCbC=−（3分）所以31sincos()cossin622CCCC=−=+，所以sin3cosCC=，即tan3C=，又(0,)C，所以3C

=.（6分）注：6分处如果少(0,)C，扣1分。（2）由题意知113sin103222ABCSabCab===，得40ab=.（8分）由余弦定理得22222111cos220442222bbbBDaabCaabaabab=+−=+−−==，当且仅

当12ab=且40ab=，即25a=，45b=时取等号，所以BD的最小值为25.（10分）注：10分处没有指明取等条件的，扣1分。18．（12分）18、【解析】（1）设正项等差数列na的公差为d，因为2225a=，所以25a=，所以15ad+=，（1分）又1533aa=，所以11(4

)33aad+=，得2d=或43d=（2分）当2d=时，13a=，此时32(1)21nann=+−=+；（4分）当43d=时，1113a=，此时11447(1)3333nann=+−=+.（6分）注：得到d

的两个值得2分，只算出一个的扣1分；这一问整体只得到一个正确的通项公式的得3分。（2）因为naN，所以21nan=+.（8分）因为243nnnba−=+，所以243(21)nnbn−=++，（9分）所以101243343543743(21)nnTn−−=+++++++++1012(4

444)3[357(21)]nn−−=++++++++++1(14)(321)43142nnn−++=+−124136312nnn−=++−.（12分）注：1、没有写出21nan=+直接得到243(21)nnbn−=++不扣分。2

、若求和是分步求解的，每一个和式各1分，最后答案合并1分。19．（12分）【解法一】（1）分别取EBAB,中点NM,，连结NDMNCM,,.在梯形ACDE中，EADC//且EADC21=，且NM,分别为BEBA,中点EAMNEAMN21,//=CD

MNCDMN=,//四边形CDNM是平行四边形DNCM//（3分）又EBEG41=，N为EB中点，G为EN中点，又F为ED中点DNGF//CMGF//又CM平面ABC，GF平面ABC//GF

平面ABC（5分）注：1、3分处，必须有CDMNCDMN=,//，其它条件不全不扣分；2、5分处，线在面外，线在面内至少有一个，否则扣1分。【解法二】取AE中点N,NE的中点M,连接MF,ND.ABMGEBEGEAEM//,41,41则由题意==,(1分)NDMFNEMEDF//中

点，为中点，为又(2分)为平行四边形即四边形且且又ACDNDCNADCNADCAEDCAE,,//2,//==ACMFACND//,//则（3分）ACBMFGAABACGMGMF面面又//,,==（4分）ABCGFMFGGF面面//,（5分）注：1分，2分，3分处

不写理由不扣分；5分处没有线在面内扣1分,,ACDEABCACACAEAEABCAxAC⊥⊥⊥⊥【解法三】由面面交于又则面作示的坐标系为正交基底建立如图所以AEACAx,,（1分）()()得由，，设,4,23,1,0,2

,0,00,EGEBFEbaB=23,4,4baG（2分）()1,0,0,0,41,4=−−=nABCbaGF法向量为面（4分）nGFnGF⊥=•即则,0（5分）ABCGFABCGF面面又//,（6分）注：该解法将第2问

建系分数给第1问；2分处必须写出G点坐标；4分处向量GF与法向量各1分；6分处需写出线不在面内。（2）在平面ABC内，过B作ACBH⊥交AC于H.平面⊥ACDE平面ABC，平面ACDE平面ACABC=，BH平面ABC，ACBH⊥，⊥BH平面ACDE（6分）BH即为四棱

锥ACDEB−的高，又底面ACDE面积确定，所以要使多面体ABCDE体积最大，即BH最大，此时2ABBC==过点H作AEHP//，易知HPHCHB,,两两垂直，以HPHCHB,,为正交基底建立如图所示的空间

直角坐标系xyzH−（7分）则)1,1,0(),2,1,0(),0,0,1(),0,1,0(DEBA−−)1,2,0(),2,1,1(),0,1,1(−=−−==DEBEAB设),,(1111zyxn=为平面ABE的一个法向量，则==0011BEnABn，所以=

+−−=+02011111zyxyx，取)0,1,1(1−=n（8分）设),,(2222zyxn=为平面DBE的一个法向量，则==0022BEnDEn，所以=+−−=+−020222222zyxzy，取)2,1,3(2=n（10分）所以77|

|||,cos212121==nnnnnn，（11分）二面角DBEA−−为钝二面角，所以二面角DBEA−−的余弦值为77−（12分）注：1、7分处必须说明什么时候体积最大，否则扣1分。2、其它建系办法参考给分，建系说明垂直1分，体积最大说明1分，两个法向量简单的1分，复

杂的2分，余弦值1分，结论1分.20．（12分）【解析】（1）随机变量x的所有可能取值为0,1,2,3,则P（x=0）=P（x=1）=P（x=2）=P（x=3）==2（4分）故x的分布列为x0123P2（5分

）注：1、概率计算一个一分，出现一个错误分布列的1分不再给；2、没有单独求解但分布列都正确不扣分。（2）由（1）知E（x）=4p-1（6分）因为4p-1，所有,即乙种鱼苗自然成活的概率为0.9依题意知一尾乙种鱼苗最终

成活的概率为0.9+0.1（8分）那么n尾乙种鱼苗最终成活的尾数为0.95n，不成活的尾数是（1-0.95）n（9分）设F（n）为购买n尾乙种鱼苗最终可获得的利润，则F（n）=100（11分）所有需至少购买40000尾乙种鱼苗，才能确保获利不低于376万元。（12分）注：6分处没有说

明直接得到概率值为0.9，不扣分；没有作答扣1分。21．（12分）【解析】（1）【解法一】:函数()fx的定义域为(0,)+，()()()22212111xxfxxxxx+−+=−=++()221,4gxxx=−+=−（1分）（求

出导数1分，两种形式都可以，定义域不占分）()()20,0,xfx−当时，g()()0+fx在，单增；（2分）()()2200,0,xfx当-时，，g()()0+fx在，单

增；2212124420,,0,022xxxx−−+−==当时,设两根为则()()()()12120<0,0,<0,0,xxxxxfxxxxxfx当或时，g当时，g()()()()1212,

0,.fxxxxx+故在单减，在，和单增(4分)（写对一个给1分）()()20+fx综上：当时,在，上是增函数；()()()222222224420,,22440,.224444,0,.2222fxxfxxxfx−−+−−−+−

−−+−−−+−+当时，解得解得0或在单减，在，和单增（没综上不扣分）【解法二】函数()fx的定义域为(0,)+，()()()()22221121=111xxxxf

xxxxxx+−+−+=−=+++（1分）()()()12,20,0+xxfxfx+当时，在，上是增函数；（2分）(4分)（写对一个给1分）()()20+fx综上：当时,在，上是增函数；（没综上不扣分）()()()()()

220+00.fxfxf==当时,在，单增，()0fx故在(1,)+上恒成立；（6分）注：不说明单调性扣1分（3）【解法一】()()()222210,ln,0ln+1.12xxxfxxxxxx−++由知，当时，即当时,()2222444

42,0,.2222fx−−+−−−+−+当时，在单减，在，和单增()222244442,0,.2222fx−−+−−−+−+

当时，在单减，在，和单增()()()222211ln1,1,1.22xxxxexxexexxx−+−+++要证只需证只需证（8分）注：两个转化各1分()()()()()()()()()()()222110,1

,210,00,10+00.1.e1ln2(1)0xxxxxhxexxxhxxxexhxehxhhxhxhexxx=−−−=−−=−==−+++令在，单增，即故当时，（12分

）注：构造新函数并求导得2分，二阶求导得一阶导函数的单调性1分，最终结论1分【解法二】()()()222210,ln,0ln+1.12xxxfxxxxxx−++由知，当时，即当时,()()()2222211ln1,1,1,22111.2xx

xxxexxexexxxxxe−−+−+++++要证只需证只需证只需证（8分）注：两个转化各1分()()()()()()22111,0,220+01,xxxxxexxexx−−=++=−

=令在，单减，得证.（12分）注：构造新函数并求导得2分，说明函数的单调性1分，最终结论1分【解法三】()()()()()2ln11ln1ln11ln1,.11xxxxexxxexxxexe

−+++−+−−要证只需证只需证（8分）注：两个转化各1分()()()()()()()()()22ln1,g1.ln11ln111xxgxxgexxxxxxxgxxxx+=−−+−+++==+设

只需证则()()()()()()()()()()()()()()1ln1,ln10,00,0,0+1.k1,k10,kk00.xxxtxxxxtxxtxtgxgxxexexxex=−++=−+=

−=−−=−=令则在，单减.故只需证即可得证（12分）注：构造新函数并求导得1分，t(x)求导得其单调性1分，新函数的单调性1分，最终结论1分。22．（12分）【解析】：（1）由题意可得：()3max21==bcSFPFcacbFPF2,321==为正三角形可得：由（1分）解得

：1,3,2===cba椭圆C的标准方程为13422=+yx（3分）注：a,b,c值错一个则后面分都没有，没有写出a,b,c的值，椭圆标准方程对不扣分。（1）（i）证明:由题意设),(11yxP，()0,4yM，()22,yxQ,又()()0,2,0,2BA

−211+=xykAP,62400yykkAMAQ=+==（4分）()22:11−−=xxyylBP，224110−==xyyx时，当（5分）注：表示出M点的纵坐标得1分，只写出直线BP方程没有分。()()432326221211111011−=−+=+=xyxyxyyxykkAQAP此时，

()2121212121443413134xxyyx−=−==+则又代入上式可得：41-=AQAPkk（7分）注：没有化简得过程直接得出结果扣1分()0123643:)(ii222=−++++=tmtyymtmyxPQ与椭圆方程联立可得：设直线

+−=+−=+431234362221221mtyymmtyy由韦达定理+−=+=+4312443822221221mmtxxmtxx又（8分）注：表示出一组韦达定理得1分，只写出联立得到的一

元二次方程没有分。()()41-222221212211=++=++=xxyyxyxykkAQAP由411616412322−=++−ttt化简可得：()舍或解得：化简可得：21,02-2−===+tttt（9分）0,1:+=满足为

此时直线myxPQ()43118423212221221212++=−+=−=mmyyyyyyAFSAPQ（10分）1,11222−=+=mm则令)1:,0291113131813182===+++=+=xlmSSPQAPQAPQ，此时最小值为时故单调递增，在，则

，（12分）注：最值求解也可利用导数处理，没有说明单调性的不扣分；没有写出m=0不扣分。