【文档说明】（课时练习） 2022-2023学年高二数学北师版（2019）选择性必修一 3.4.3课时1空间角 含解析【高考】.docx，共(15)页，503.348 KB，由小赞的店铺上传

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13.4.3课时1空间角学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题（本大题共7小题，共35.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）1.已知两个平面的法向量分别为，，则这两个平面所成的二面角的平面角

的大小为（）A.B.C.或D.2.直三棱柱中,分别是的中点,,则与所成的角的余弦值为()A.B.C.D.3.已知二面角，其中平面的一个法向量，平面的一个法向量，则二面角的大小可能为()A.B.C.或D.4.已知向量，分别是直线l和lˈ的方向向量，

若，则直线l与lˈ所成的角为（）A.30°B.60°C.120°D.150°5.如图，在正方体中，是棱的中点，则异面直线与所成角的正弦值为（）A.B.C.D.6.如图，正方体中，的中点为，的中点为，则异面直线与所成角的余弦值为（）2A.B.C.D.7.已知三棱柱

ABC-的底面边长和侧棱都相等，侧棱底面ABC，则直线与AC所成角的余弦值是（）A.B.-C.D.-二、多选题（本大题共1小题，共5.0分。在每小题有多项符合题目要求）8.如图，一个结晶体的形状为平行六面

体，其中，以顶点A为端点的三条棱长都相等，且它们彼此的夹角都是，下列说法中正确的是（）A.B.C.向量与的夹角是D.与AC所成角的余弦值为三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）39.在长方体ABC

D-A′B′C′D′中，AB=BC=2，AA′=1，则BC′与平面BB′D′D所成角的正弦值为．10.在底面是直角梯形的四棱锥S-ABCD中，∠ABC＝90°，AD//BC，SA⊥平面ABCD，SA＝AB＝BC＝1，AD＝，则平面SCD与平面SAB所成

锐二面角的余弦值是．11.如图，在长方体中，，，点E在棱AB上若二面角的大小为，则．12.如图，在长方体中，是的中点，点是上一点，，，，动点在上底面上，且满足三棱锥的体积等于，则直线与所成角的正切值的最小

值为.四、解答题（本大题共8小题，共96.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）13.(本小题12.0分)在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为A1B1，CD的中点．4（1）求||；（2）求直线EC与AF所成角的余弦值；（3）求二面角E-AF-B的余弦值．14.(本

小题12.0分)如图，直三棱柱ABC-A1B1C1的底面三角形ABC中，CA=CB=1，∠BCA=90°，棱AA1=2，M、N分别是A1B1、A1A的中点．（1）求的长；（2）求的值．15.(本小题12.0分)如图，直角三角形AB

C中，,A=,ABC=,AB=2，E为线段BC上一点，且BE=BC，沿AC边上的中线BD将ABD折起到PBD的位置.（1）求证：PEBD；（2）当三棱锥的体积最大时，求二面角的余弦值.516.(本小题12.0分

)如图，△ABC中，AB=BC=4，∠ABC=90°，E，F分别为AB，AC边的中点，以EF为折痕把△AEF折起，使点A到达点P的位置，且PB=BE．（1）证明：BC⊥平面PBE；（2）求平面PBE与平面PCF所成锐二面角的余弦值．17.(

本小题12.0分)如图①，在菱形ABCD中，且，E为AD的中点.将沿BE折起使，得到如图②所示的四棱锥.（Ⅰ）求证：平面平面ABC；（Ⅱ）若P为AC的中点，求三棱锥的余弦值.18.(本小题12.0分)在三棱锥A-BCD中，已知CB=CD=，BD

=2，O为BD的中点，AO⊥平面BCD，AO=2，E为AC中点．（1）求直线AB与DE所成角的余弦值；6（2）若点F在BC上，满足BF=BC，设二面角F-DE-C的大小为θ，求sinθ的值．19.(本小题12.0分)三棱柱ABC-A1B1C1中，侧面BB1C1C为菱形，

∠CBB1＝60°，AB⊥AC，AB＝AC，BC＝AB1＝2．（1）求证：面ABC⊥面BB1C1C；（2）在线段C1A1上是否存在一点M，使得二面角M-CB1-C1为，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由．20.(本小题12.0分)如图，四棱锥S-ABCD的底面是正方形，每条侧

棱的长都是底面边长的倍，P为侧棱SD上的点．(1)求证：AC⊥SD；(2)若SD⊥平面PAC，求平面PAC与平面ACD的夹角大小；(3)在(2)的条件下，侧棱SC上是否存在一点E，使得BE//平面PAC.若存在，求SE∶EC的值；若不

存在，试说明理由．71.【答案】C2.【答案】C3.【答案】C4.【答案】B5.【答案】A6.【答案】A7.【答案】C8.【答案】AB9.【答案】10.【答案】11.【答案】2−12.【答案】13.【答案】解：（1）在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，建立如图所示的空间直角坐

标系．则A（2，0，0），F（0，1，0），C（0，2，0），E（2，1，2），，∴（2）∵，，∴∴直线EC与AF所成角的余弦值为．（3）平面ABCD的一个法向量为，设平面AEF的一个法向量为，∵，，8∴，令x=1，则y=2，z=-1，则由图知二面角E-

AF-B为锐二面角，其余弦值为．14.【答案】解：（1）以C为坐标原点，以CA、CB、CC1为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系C-xyz，如图所示：由题意得N（1，0，1），B（0，1，0），∴||==．（2）依题意得A1（1，0，2），B（0，1，0），C（0，0，0

），B1（0，1，2），C1（0，0，2）．∴=（1，-1，2），=（0，1，2），∴=3．∴||=，||=，∴cos＜，＞===．15.【答案】（1）证明：取BD中点O，连接OE,PO，由已知得DC=PD=PB=BD=2,BC=2,OB=1,BE=且OBE=,OE=,+

=OEBD,又∵PB=PD,O为BD的中点,所以POBD,9又POOE=O,OE，PO面POE，所以BD平面POE,又PE面POE，所以BDPE（2）因为三棱锥P-BCD的体积最大,即P到平面BCD的距离最大，∴平面PBD⊥平面BCD，PO平面BCD,所以OE,OB

,OP两两垂直.以O为坐标原点,以OE、OB、OP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系.则B(0,1,0),P(0,0,),C(,-2,0),D(0,-1,0),E(,0,0)=(0,-1,),=(,-3,0),=(,1,0),=(,0,-)设平面PBC的法向量为，则，

不妨令，得.设平面PDE的法向量为，则,则所以，即二面角C-PE-D的余弦值为.16.【答案】（1）证明：∵E，F分别为AB，AC边的中点，∴EF∥BC，∵∠ABC=90°，∴EF⊥BE，EF⊥PE，10又∵BE∩PE=E，BE、PE平面PBE，∴EF⊥平面PBE，∵EF

∥BC，∴BC⊥平面PBE；（2）解：取BE的中点O，连接PO，由（1）知BC⊥平面PBE，BC⊂平面BCFE，∴平面PBE⊥平面BCFE，∵PB=BE=PE，∴PO⊥BE，又∵PO⊂平面PBE，平面PBE∩平面

BCFE=BE，∴PO⊥平面BCFE，过O作OM∥BC交CF于M，分别以OB，OM，OP所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，则P（0，0，），C（1，4，0），F（-1，2，0）．=（1，4，-），=（-1，2，-），设平面PCF的法向量为=（x，y

，z），由，取y=1，得=（-1，1，），结合图可知=（0，1，0）为平面PBE的一个法向量，∴cos<>=，∴平面PBE与平面PCF所成锐二面角的余弦值．17.【答案】证明:(Ⅰ)在图中,连接BD.四边形ABCD为菱形,A=,ABD是等边三角形.11E为AD的中点,BEAE,BEDE.又AB

=2,AE=DE=1.在图中,AD=,+=.AEED.BCDE,BCBE,BCAE.又BEAE=E,AE,BE平面ABE.BC平面ABE.BC平面ABC,平面ABE平面ABC.解：(Ⅱ)由(Ⅰ),知AEDE,AEBE.BEDE=

E,BE,DE平面BCDE.AE平面BCDE.以E为坐标原点,,,的方向分别为x轴,y轴,z轴正方向,建立如图所示的空间直角坐标系E—xyz.则E(0,0,0),A(0,0,1),B(,0,0),C(,2,0),D(0,1,0).

P为AC的中点,P(,1,).=(,-1,-),=(-,0,-).设平面PBD的一个法向量为=(x,y,z).由得令z=,得=(-1,-,).又平面BCD的一个法向量为=(0,0,1).设二面角P-BD-C的大小为,由题意知该二面角得平面角为锐角.

12则===.二面角P-BD-C的余弦值为.18.【答案】解：（1）如图，连接OC，∵CB=CD，O为BD的中点，∴CO⊥BD．以O为坐标原点，分别以OB，OC，OA所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系．∵BD=2，∴OB=OD=1，则OC=．∴B（1，0，0），A（0，0

，2），C（0，2，0），D（-1，0，0），∵E是AC的中点，∴E（0，1，1），∴，．设直线AB与DE所成角为α，则cosα=，即直线AB与DE所成角的余弦值为；（2）∵BF=BC，∴，设F（x，y，z），则（x-1，y，z）=（，，0），∴F（，，0）．∴，，．设平面DEF的一个法

向量为，由，取x1=-2，得；设平面DEC的一个法向量为，13由，取x2=-2，得．∴|cosθ|==．∴sin．19.【答案】(1)证明：取BC中点O,连AO,O,AB=AC,ABAC,BC=2，AO=1,AOBC,又B

C=,=,BC,=,又=2,+=,AO,∵，面BB1C1C，面BB1C1C，AO面BB1C1C,∵AO面ABC，面ABC面BB1C1C.(2)解：由（1）可知OA,OB,OB1两两垂直，以O为坐标原点，分别以OB,OB1,OA所在

直线为x,y,z轴建立如图空间直角坐标系,则A(0,0,1),B(1,0,0),C(-1,0,0),(0,,0),设=,=(01),=(-1,,0),=(1,0,1),=(1,,0)，=+=+=+=(-1+,，),设平面

的法向量为=(x,y,z),则，即取x=3,则y=-,z=,故=(3,-,),14又=(0,0,1)是面C1C的一个法向量,===,01,=.即存在一点M满足条件，且=.20.【答案】（1）证明：连BD，设AC交BD于O，由题

意知SO⊥平面ABCD．以O为坐标原点，分别为x轴、y轴、z轴正方向，建立坐标系O-xyz如图．设底面边长为a，则高．于是，，，，故OC⊥SD从而AC⊥SD;（2）解:由题设知，平面PAC的一个法向量，平面DAC的一个法向量．设所求二面角为θ，θ为锐角，则，所求二面角的大小为30°;（3）解:在

棱SC上存在一点E使BE∥平面PAC．由（2）知是平面PAC的一个法向量，且，设，则，而，15即当SE：EC=2：1时，，而BE不在平面PAC内，故BE∥平面PAC.