【文档说明】云南省云天化中学2020-2021学年高二上学期期中考试数学（理）试题.docx，共(11)页，576.131 KB，由小赞的店铺上传

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秘密★启用前云天化中学2020～2021学年秋季学期半期测试题高二理科数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷第1页至第2页，第Ⅱ卷第3页至第4页．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．满分150分，考试用时120分钟．第Ⅰ卷（

选择题，共60分）注意事项：1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚．2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．在试题卷上作答无

效．一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．已知集合{|22}Axx=−剟，{|1}Bxx=N„，则AB=（）A．{2,1}−−B．{2,1,0}−−C．{0,1}D．{1}2．平面向量a与b的夹角为60°，(2,0)a=

，||1b=，则|2|ab+等于（）A．22B．23C．12D．103．下列有关命题的说法正确的是（）A．若命题p：0xR，01xe，则命题p：xR，1xe…B．“3sin2x=”的一个必要不充分条件是“3x=”C．若

||||||abab+=−，则ab⊥D．，是两个平面，m，n是两条直线，如果mn⊥，m⊥，//n，那么⊥4．设na是等差数列，若23a=，713a=，则数列na前8项的和为（）A．128B．80C．64D．565．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A．13B．

12C．23D．436．设双曲线22221(0)xyabab−=的虚轴长为2，焦距为23，则双曲线的渐近线方程为（）A．2yx=B．2yx=C．22yx=D．12yx=7．已知()fx是定义在R上

的偶函数，且在区间(,0)−上单调递增，若实数a满足()|1|2(2)aff−−，则a的取值范围是（）A．1,2−B．13,,22−+C．13,22D．3,2+8．过

点(1,2)M的直线与圆C：22(2)9xy−+=交于A，B两点，当ACB最小时，直线的方程为（）A．1x=B．1y=C．230xy−+=D．10xy−+=9．函数()2sin()0,||2fxx=+的最小正周期为，若其图象向右平移6个单位后得到函

数为奇函数，则函数()fx的图象（）A．关于点,03对称B．在,22−上单调递增C．关于直线3x=对称D．在6x=处取最大值10．在如图所示的三棱锥VABC−中，已知

ABBC=，90VABVACABC===，P为线段VC的中点，则（）A．PB与AC不垂直B．PB与VA平行C．点P到点A，B，C，V的距离相等D．PB与平面ABC所成的角大于VBA11．已知,03−，43cossin65+−=，则

sin12+=（）A．235−B．210−C．235D．45−12．已知函数3log,03,()|4|,3,xxfxxx=−„若函数()()2hxfxmx=−+有三个不同的零点，则实数m的取值范围是（）A．1,12B．1,(1,)2−

+C．1,[1,)2−+D．1,12第Ⅱ卷（非选择题，共90分）注意事项：第Ⅱ卷用黑色碳素笔在答题卡上各题的答题区城内作答，在试题卷上作答无效．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．设x，

y满足约束条件220,10,240,xyxyxy+−−−+−…„则目标函数2zxy=−的最大值是_________．14．在ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若3sincos3aBbA=−，2bc=，则ABC的面积是_____

____．15．已知三棱锥SABC−的所有顶点都在球O的球面上，ABC是边长为1的正三角形，SC为球O的直径，且2SC=，则此棱锥的体积为________．16．设1F，2F是双曲线C：22221(0,0

)xyabab−=的左、右焦点，O是坐标原点．过2F作C的一条渐近线的垂线，垂足为P．若16||PFOP=，则C的离心率为_________．三、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（本小题满分10分）求下列椭圆的标准方程：

（Ⅰ）焦点在x轴上，离心率35e=，且经过点85,5A；（Ⅱ）以坐标轴为对称轴，且长轴长是短轴长的3倍，并且与双曲线22135yx−=有相同的焦点．18．（本小题满分12分）ABC的内角A，B，C的对边分

别为a，b，c．已知2cos(coscos)CaBbAc+=．（Ⅰ）求角C；（Ⅱ）若7c=，332ABCS=，求ABC的周长．19．（本小题满分12分）如图所示，在梯形ABCD中，//,,1,ADBCABBCABBCPA⊥==⊥平面ABCD，CDPC⊥．（Ⅰ）设M为PC的中点，

证明：CDAM⊥；（Ⅱ）若PAAD=，求AC与平面PCD所成角的正弦值．20．（本小题满分12分）已知数列na的前n项和为nS，且满足()221nnSann=−−N．（Ⅰ）求证：数列2na+是等比数列；（Ⅱ）求数列()2nna+的前n项和．21．（本小题满分12分）

如图，在ABC中，23AC=，2BC=，4AB=，P，Q分别为边AB，AC上的中点，现将APQ沿PQ折起至TPQ的位置．（Ⅰ）证明：平面TQC⊥平面ABC；（Ⅱ）若异面直线PQ与BT所成的角为45°，求二面角PTCQ−−的正弦值．22．（本小题满分12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，已

知椭圆22221(0)xyabab+=的左、右焦点分别为1F，2F，焦距为2，点P是椭圆上的动点，且12PFF的面积的最大值为1．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）若直线l与椭圆有且只有一个公共点P，且l与直线2x=−相交于Q．点T是x轴上一点，若总有0PTQT=，求

T点坐标．云天化中学2020～2021学年秋季学期半期测试题高二理科数学参考答案第Ⅰ卷（选择题，共60分）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）题号123456789101112答案CBACDCCCACBA第Ⅱ卷（非选择题，共90分）二、填空题

（本大题共4小题，每小题5分，共20分）题号13141516答案112263三、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（本小题满分10分）解：（Ⅰ）因为焦点在x轴上，即设椭圆的标准方程为22221(0)xyabab+=

，∵椭圆经过点85,5A，∴2256415ab+=，①由已知35e=，∴35ca=，∴35ca=，∴2222235bacaa=−=−，即221625ba=，②把②代入①，得225201aa+=，解得225a=，∴2

16b=，∴椭圆的标准方程为2212516xy+=．（5分）（Ⅱ）依题意知椭圆的焦点在y轴上，设方程为22221(0)yxabab+=，且2222232,9,81,abaabb==−==∴椭圆的标准方程为2219yx+=．（10分

）18．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由已知及正弦定理可得2cos(sincossincos)sinCABBAC+=，∴2cossin()sinCABC+=，∵ABC++=，∴sin()sinABC+=，∴2c

ossinsinCCC=，又∵(0,)C，∴sin0C，∴12cos1cos2CC==，∵(0,)C，∴3C=．（6分）（Ⅱ）1313sin362222ABCSabCabab===，又∵2222cosababCc+−=

，∴2213ab+=，∴2()255abab+=+=，∴ABC的周长为57+．（12分）19．（本小题满分12分）（Ⅰ）证明：∵PA⊥平面ABCD，CD平面ABCD，∴PACD⊥．又PCCD⊥，PAPCP=，PA

平面PAC，PC平面PAC，∴CD⊥平面PAC．又M为PC的中点，所以AM平面PAC，所以CDAM⊥．（5分）（Ⅱ）解：法一：设PAADm==，如图，过C作CK垂直AD于K点，因为1ABBC==，ABBC⊥，所以在直角三角形AB

C中，2AC=，在直角三角形PAC中，22PCm=+，又//,ADBCABBC⊥，所以CKAB=，所以在直角三角形CKD中，21(1)CDm=+−，在直角三角形PAD中，2PDm=，由（Ⅰ）可知三角形PCD为直角三角形，所以222PDPCCD=+，即222(1)1

22mmm−+++=，所以2m=，所以，设A到平面PCD的距离为h，又PACDAPCDVV−−=，所以1133ACDPCDPAShS=，所以1111221623232h=，所以233h=，所以AC与平面PCD所成角的正弦值为236332

hAC==．（12分）法二：由（Ⅰ）证知,,ABADAP两两互相垂直，故以A为原点建系如图，不妨设PAADm==，则(0,0,0),(1,0,0),(1,1,0),(0,,0),(0,0,)ABCDmPm，(1,1,0),(1,

1,),(1,1,0)ACPCmCDm==−=−−，∵PCCD⊥，∴01102PCCDmm=−+−==．∴(1,1,2),(1,1,0)PCCD=−=−，设平面PCD的法向量为(,,)mxyz=，则由0,(1,1,1)0mPCmmCD

===，故26cos,3||||23ACmACmACm===，所以AC与平面PCD所成角的正弦值为63．（12分）20．（本小题满分12分）（Ⅰ）证明：令1n=，11123aSa==−，解得13a=；（1分）当2n…且nN时，

221nnSan=−−，11221nnSan−−=−+，∴11222nnnnnaSSaa−−=−=−−，即122nnaa−=+，∴()1222nnaa−+=+，∴2na+是以125a+=为首项，2

为公比的等比数列．（6分）（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知：1252nna−+=，∴()1252nnnan−+=．设数列()2nna+的前n项和为nT，则01221521021525(1)252nnnTnn−−=++++−+，①∴1

2312521021525(1)252nnnTnn−=++++−+，②①-②得()()11212125525222552512nnnnnTnn−−−−=−++++=−+−5525210(55)25nnnnn=−+−=−−．∴(55)25nnTn=−+（12分）21．（本

小题满分12分）（Ⅰ）证明：∵P，Q分别为AB，AC边上的中点，∴1//,2PQBCPQBC=．∵23AC=，2BC=，4AB=，∴222ACBCAB+=，∴ACBC⊥，则PQAC⊥，故翻折后TQPQ⊥，且1PQ=．∴,,PQACPQTQTQAC

QPQ⊥⊥=⊥平面TQC．又//BCPQ，故BC⊥平面,TQCBC平面ABC，故平面TQC⊥平面ABC．（6分）（Ⅱ）由（Ⅰ）证知//BCPQ，∴异面直线PQ与BT所成的角即为TBC，故45TBC=．∵BC⊥平面TQC，∴BCT

C⊥，即BTC为等腰直角三角形，∴2TCBC==．又由（Ⅰ）证知13,12TQQCPQBC====．在TQC中过点T作THQC⊥于点H．∵平面TQC⊥平面ABC，平面TQC平面ABCQC=，故TH⊥平面ABC．∵2212(3)122T

QCS=−=．在TQC中由等面积法可求得263TH=．以C点为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz−，其中z轴//TH．则2326(0,0,0),(23,0,0),(0,2,0),(3,1,0),,0,33CABPT

．（备注：也可以待定坐标法求T．设(,0,)Txz，利用||3,||2TQTC==求解．）设平面PTC的法向量为(,,)mxyz=，∵2326,0,,(3,1,0)33CTCP==．由0,(2,6,1

)0mCTmmCP==−=．又平面TQC的法向量为(0,1,0)n=，∴6cos,||3mnmnmn==．二面角PTCQ−−的正弦值为33．（12分）22．（本小题满分12分）解：（Ⅰ）依题意得2

22121,2,222,1,1,cbacbabcc=====+=解得2,1,ab==所以椭圆的方程为2212xy+=．（5分）（Ⅱ）当直线l的斜率不存在时，l与直线2x=−无交点，不符合题意，故直线l的斜

率一定存在，设其方程为ykxm=+，由22,1,2ykxmxy=++=得()222214220kxkmxm+++−=，因为直线l与椭圆有且只有一个公共点，所以()()22221681210kmmk=−−+=，化简得2221mk=+，所以244221

Pkmkxkm=−=−+，2Pkxm=−，1PPykxmm=+=，即21,kPmm−，因为直线l与直线2x=−2相交于Q，所以(2,2)Qmk−−，设(),0Tt，所以22(2)10kkTPTQ

ttmm=−−−−+−=，即21(1)0kttm+++=对任意的k，m恒成立，所以10t+=，即1t=−，所以点T的坐标为(1,0)−．（12分）