【文档说明】云南省云天化中学2020-2021学年高二上学期期中考试数学（文）试卷 【精准解析】.doc，共(22)页，2.056 MB，由管理员店铺上传

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云天化中学2020～2021学年秋季学期半期测试题高二文科数学本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷第1页至第2页，第Ⅱ卷第3页至第4页．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．满分150分，考试用时120分钟．第Ⅰ卷（选择题，共

60分）注意事项：1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚．2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂

其他答案标号．在试题卷上作答无效．一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题所给的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.已知集合{|22}Axx=−剟，{|1}Bxx=N„，则AB=（）A.{2,1}−−B.{2,1,0}−−C.{0,1}D.

{1}【答案】C【解析】【分析】先列出集合B，根据交集定义即可求出.【详解】{|1}0,1Bxx==N{,}01AB=.故选：C.2.平面向量a与b的夹角为60，()2,0,1ab==，则2+ab等于()A.22B.23C.12D.10【答案】B【解析】因为||2,||1a

b==，a与b的夹角为60，故||||cos601abab==，则244423ab+=++=，应选答案B．3.下列有关命题的说法正确的是（）A.若命题p：0xR，01xe，则命题p：xR，1xeB.“3sin2x=”的一个必要不充

分条件是“3x=”C.若+=−abab，则ab⊥D.，是两个平面，m，n是两条直线，如果mn⊥，m⊥，n//，那么⊥【答案】A【解析】【分析】对选项逐个分析，对于A项，根据特称命题的否定是全称命题，得到其正确；对于B项，根据充分必要条件的定义判断正误；对

于C项根据向量垂直的条件得到其错误，对于D项，从空间直线平面的关系可判断正误.【详解】对于A，命题p：0xR，01xe，则命题p：xR，1xe，A正确；对于B，当3x=时，3sin2x=成立，所以“3x=”是“3sin2x=”的

充分条件，所以B错误；对于C，ab且两向量反向时+=−abab成立，ab⊥不成立C错误；对于D，若mn⊥，m⊥，n//，则，的位置关系无法确定，故D错误.故选：A.【点睛】该题考查的是有关选择正确

命题的问题，涉及到的知识点有含有一个量词的命题的否定，充分必要条件的判断，空间直线和平面的关系，属于简单问题.4.设na是等差数列，若723,13aa==，则数列na前8项的和为()A.128B.80C.64D.56【答案】C【解析】【分析】由等差数列的求和公

式以及角标之和的性质求解即可.【详解】()()87128886422aaaaS++===故选：C【点睛】本题主要考查了等差数列的求和公式以及角标之和的性质，属于基础题.5.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）A

.12πB.18πC.24πD.36π【答案】A【解析】【分析】根据三视图可知，该几何体为一个底面半径为3，母线长为5的圆锥，可求出圆锥的高，进而求出体积即可.【详解】由空间几何体的三视图知，该几何体为一个底面半径为3，母线长为5的圆锥，则圆锥的高为22534−=，所以该圆锥的体积2

1π3412π3V==.故选：A．【点睛】本题考查三视图、圆锥体积的计算，考查学生的空间想象能力与计算能力，属于基础题.6.设双曲线22221xyab−=(a>0，b>0)的虚轴长为2，焦距为23，则双曲线的渐近线方程为()A.y＝±2xB.y＝±2xC.y＝±22xD.y＝

±12x【答案】C【解析】由题意知2b=2,2c=23,∴b=1,c=3,a2=c2-b2=2,a=2,∴渐近线方程为y=±bax=±12x=±22x.故选C.7.已知()fx是定义在R上的偶函数，且在区间(,0)−

上单调递增，若实数a满足()|1|2(2)aff−−，则a的取值范围是（）A.1(,)2−B.13(,)22C.13(,),22−+D.3(,)2+【答案】B【解析】【分析】根据()fx是定义在R上的偶函数，且

在区间(,0)−上单调递增，得到()fx在区间(0.)+上单调递减，再将()|1|2(2)aff−−，转化为()|1|2(2)aff−求解.【详解】因为()fx是定义在R上的偶函数，且在区间(,0)−上

单调递增，所以()fx在区间(0.)+上单调递减，因为a满足()|1|2(2)aff−−，即()|1|2(2)aff−，所以|1|12222a−=，即112a−，解得1322a，故选：B8.已知1sin35−=，则sin2

6−=（）A.225−B.2325−C.225D.2325【答案】D【解析】【分析】利用诱导公式及二倍角余弦公式求值即可.【详解】22223sin2sin2cos212sin6323325−=−+=−=−−=

．故选：D【点睛】本题考查了诱导公式、倍角余弦公式转化函数式，结合已知函数值求值，属于简单题.9.已知直线()()():21110lkxkykR++++=与圆()()221225xy−+−=交于A，B两点，则弦长AB的取值范围是（）A.4,10

B.3,5C.8,10D.6,10【答案】D【解析】【分析】由直线()()21110kxky++++=，得出直线恒过定点()1,2P−，再结合直线与圆的位置关系，即可求解.【详解】由直线()()():2

1110lkxkykR++++=，可得()210kxyxy++++=，又由2010xyxy+=++=，解得12xy==−，即直线恒过定点()1,2P−，圆心()1,2C，当CPl⊥时弦长最短，此时2222ABCPr+=，解得min6AB=，再由l经过圆心时弦长最长为直径

210r=，所以弦长AB的取值范围是6,10.故选D.【点睛】本题主要考查了直线系方程的应用，以及直线与圆的位置关系的应用，其中解答中熟练利用直线的方程，得出直线恒过定点，再结合直线与圆的位置关系求解是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试

题.10.函数()2sin()0,||2fxx=+的最小正周期为，若其图象向右平移6个单位后得到函数为奇函数，则函数()fx的图象（）A.关于点,03对称B.在22-,上单调递增C.关于直线3x

=对称D.在6x=处取最大值【答案】A【解析】【分析】由最小正周期为得出2=，由()fx的图象向右平移6个单位后得到函数为奇函数得出3=，进而得出()2sin(2)3fxx=+，然后根据正弦型函数的图像与性质逐一对选型进行判断即可得出答案.【详解】解：函数()

fx的最小正周期为，可得2=，()fx向右平移6个单位后得到的函数为2sin2()2sin(2)63yxx=−+=−+，因为此函数为奇函数，又2，所以3=.故函数()2sin(2)3fxx=+，对于选项A：2()sin()0,33

3fA=+=正确；对于选项B：当24(),2(,)22333-,xx+−，()fx不具有单调性，故B错；对于选项C：2,,32xkkZ+=+,122kxkZ=+，故C错

；对于选项D：2()2sin363f==，没有取到最大值，，故D错.故选：A【点睛】本题主要考查正弦型函数的图像与性质，属于中档题.11.在如图所示的三棱锥VABC−中，已知ABBC=，90VABVACABC===，P为线段VC的中点

，则（）A.PB与AC不垂直B.PB与VA平行C.点P到点A、B、C、V的距离相等D.PB与平面ABC所成的角大于VBA【答案】C【解析】【分析】取AC的中点D，连接PD、BD，证明出AC⊥平面PBD，可判断A选项的正误；假设P

B与VA平行，利用平行线的传递性可判断B选项的正误；推导出PA、PB、PC、PV与VC的等量关系，可判断C选项的正误；利用线面角的定义可得出PB与平面ABC所成的角为PBD，比较sinPBD和sinVBA的大小关系，可判断D选项的正误.【详解】对于A选项，取AC的中点D，连

接PD、BD，P、D分别为VC、AC的中点，则//PDVA，90PDCVAC==，即ACPD⊥，ABBC=，D为AC的中点，ACBD⊥，PDBDD=，AC⊥平面PBD，PB平面PBD，ACPB⊥，A选项错误；对于B选项，由

A选项可知，//PDVA，若//PBVA，则//PBPD，这与PBPDP=矛盾，B选项错误；对于C选项，VAAB⊥，VAAC⊥，ABACA=，VA⊥平面ABC，BC平面ABC，BCVA⊥，BCAB⊥，VAABA=，BC⊥平面VAB，VB平面VAB，BCVB⊥，P为V

C的中点，所以，12PBVC=，同理可得12PAVCPVPC===，则PAPBPCPV===，C选项正确；对于D选项，VA⊥平面ABC，//PDVA，PD⊥平面ABC，所以，直线PB与平面ABC所成的角为PBD，sinPDPBDPB=，90VAB=，222sinsin2VAP

DPDPDVBAPBDVBVBVCPB====，所以，VBAPBD，D选项错误.故选：C.【点睛】方法点睛：计算线面角，一般有如下几种方法：（1）利用面面垂直的性质定理，得到线面垂直，进而确定线面角的垂足，明确斜线在平面内的射影，即

可确定线面角；（2）在构成线面角的直角三角形中，可利用等体积法求解垂线段的长度h，从而不必作出线面角，则线面角满足sinhl=（l为斜线段长），进而可求得线面角；（3）建立空间直角坐标系，利用向量法求解，设a为直

线l的方向向量，n为平面的法向量，则线面角的正弦值为sincos,an=.12.已知函数()3log,03|4,3xxfxxx=−，若函数()()2hxfxmx=−+有三个不同的零点，则实数

m的取值范围是（）A.1,12B.()1,1,2−+C.)1,1,2−+D.1,12【答案】A【解析】【分析】令()2gxmx=−，作出()fx和()gx图象，由图即可解题.【详解】函数()()2hxfxmx=−+有三个不同的

零点，即()20fxmx−+=有三个不同的实根，令()2gxmx=−，又()3log,03|4,3xxfxxx=−，分别作出()fx和()gx图象，如图，()0,2A−，()3,1B，()4,0C，所以1ABk=，12ACk=，则()gx图

象界于AB与AC之间，所以ACABkmk，即112m.故选：A【点睛】本题主要考查方程解的个数或函数零点个数问题，考查学生数形结合的能力.第Ⅱ卷（非选择题，共90分）注意事项：第Ⅱ卷用黑色碳素笔在答题卡上各题的答题区城内作答，在试题卷上作答无效．二、填空题（本大题共4小题，

每小题5分，共20分）13.设x，y满足约束条件22010240xyxyxy+−−−+−，目标函数2zxy=−的最大值是_________．【答案】1【解析】【分析】画出不等式组表示的平面区域，数形结合即可求出最大值.【详解】画出不等式组表示的平面区域，如图阴影部分，将2zxy=

−化为122zyx=−，则观察图形可知，当直线122zyx=−经过点C时，z取得最大值，联立方程10220xyxy−−=+−=可得()1,0C,max101z=−=.故答案为：1.14.在ABC中，

内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若3cosi3snabBA=−，2bc=，则ABC的面积是______．【答案】12【解析】【分析】根据3cosi3snabBA=−，由正弦定理得到sinsinssin3in3ABBA=−．再结合两角差的正

弦公式化简，然后利用三角形面积公式求解.【详解】因为3cosi3snabBA=−，由正弦定理得sinsinssin3in3ABBA=−．因为0B，得sin0B，所以ssin3co3AA

=−，化简得sincoss1322in3AAA=+，解得3tan3A=，又因为0A，所以6A=．所以ABC的面积11sin22SbcA==．故答案为：12【点睛】本题主要考查正弦定理解三角形以及两角和与差的三角函数，还考查了逻辑推理和运算求解的能

力，属于中档题．15.已知三棱锥SABC−的所有顶点都在球O的球面上，ABC是边长为1的正三角形，SC为球O的直径，且2SC=，则此棱锥的体积为_______.【答案】26【解析】试题分析：根据题意作出图形：设球心为O，过ABC三点的小圆的圆心为1O，则1OO⊥平面ABC，延长1CO交球

于点D，则SD⊥平面ABC.∵1233323CO==，∴221361()33OO=−=，∴高12623SDOO==，∵ABC是边长为1的正三角形，∴34ABCS=，∴132623436SABCV−==.考点：棱锥的体积.16.设12,FF是双曲线()2

222:10,0xyCabab−=的左、右焦点，O是坐标原点，过2F作C的一条渐近线的垂线，垂足为P．若16PFOP=，则C的离心率为_______________________．【答案】3【解析】【分析】由1POF与2POF互补，得到两角的余弦值互为相反数，两次利用余弦定理得到

关于,ac的方程.【详解】如图所示：因为焦点2F到渐近线的距离为b，所以2||PFb=，则OPa=，所以16PFa=，因为12coscosPOFPOF=−，所以222222(6)22acaacbacac+−+−=−，

解得：2233cae==.【点睛】求圆锥曲线的离心率主要有几何法和代数法，本题主要通过两次利用余弦定理进行代数运算，找到,ac关系求得离心率.三、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17.求下

列椭圆的标准方程：（Ⅰ）焦点在x轴上，离心率35e=，且经过点85,5A；（Ⅱ）以坐标轴为对称轴，且长轴长是短轴长的3倍，并且与双曲线22135yx−=有相同的焦点．【答案】（Ⅰ）2212516xy+=；

（Ⅱ）2219yx+=.【解析】【分析】（Ⅰ）设椭圆的标准方程为22221(0)xyabab+=，将点代入可得2256415ab+=，再由35ca=即可求解.（Ⅱ）设方程为22221(0)yxabab+=，根据题意可得22

2328abab=−=，解方程即可求解.【详解】（Ⅰ）因为焦点在x轴上，设椭圆的标准方程为22221(0)xyabab+=，∵椭圆经过点85,5A，∴2256415ab+=，①由已知35e=，∴35ca=，∴35ca=，∴2222235bacaa=−=−

，即221625ba=，②把②代入①，得225201aa+=，解得225a=，∴216b=，∴椭圆的标准方程为2212516xy+=．（Ⅱ）依题意知椭圆的焦点在y轴上，设方程为22221(0)yxabab+=，且2222232,9,81,abaabb==−==∴椭圆

的标准方程为2219yx+=．18.ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知2cos(coscos)CaBbAc+=.（1）求角C；（2）若7c=，332ABCS=，求ABC的周长.【答案】（1）3C=（2）57+【解析】【详解】试题分析：（1）

根据正弦定理把2cos(coscos)CaBbAc+=化成2cos(sincossincos)sinCABBAC+=，利用和角公式可得1cos,2C=从而求得角C；（2）根据三角形的面积和角C的值求得6ab=，由余弦定理求得边a得到ABC的周长.试题解析：（1）由已知可得2cos(si

ncossincos)sinCABBAC+=12cossin()sincos23+===CABCCC（2）1313sin362222===ABCSabCabab又2222cos+−=ababCc2213ab+=，2()255+=+=a

babABC∴的周长为57+考点：正余弦定理解三角形.19.如图所示，在梯形ABCD中，//,,1,ADBCABBCABBCPA⊥==⊥平面ABCD，CDPC⊥．（Ⅰ）设M为PC的中点，证明：CDAM⊥；（Ⅱ）若2PAAD

==，求点A到平面PCD的距离．【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）233.【解析】【分析】（Ⅰ）利用线面垂直的判定定理可得PACD⊥，再由PCCD⊥，利用线面垂直的判定定理即可证明.（Ⅱ）设A到平面PCD的距离为h，根据等体法：PACD

APCDVV−−=，由锥体的体积公式即可求解.【详解】（Ⅰ）证明：∵PA⊥平面ABCD，CD平面ABCD，∴PACD⊥．又PCCD⊥，PAPCP=，PA平面PAC，PC平面PAC，∴CD⊥平面P

AC．又M为PC的中点，所以AM平面PAC，所以CDAM⊥．（Ⅱ）解：如图，取AD的中点K，连接CK．∵//,2,1ADBCADABBC===，∴1AKKD==，//AKBC且AKBC=，故四边形ABCK

为平行四边形，又ABBC⊥，∴ABCK为矩形，则2,1ACCKAB===，所以2CD=，在RtPAC△中，∵2PAAD==，∴6PC=，设A到平面PCD的距离为h，由PACDAPCDVV−−=，所以1

133ACDPCDPAShS=VV，所以1111221623232h=，所以233h=，所以A与平面PCD的距离为233．【点睛】方法点睛：本题考查了证明异面直线垂直，常用方法如下：①利用特殊图形中的垂直关系；②利用等腰三角形底

边中线的性质；③利用勾股定理的逆应用；④利用直线与平面垂直的性质.20.在数列na中，112a=，()1122nnnaan+=−N，数列nb满足()2nnnban=N．（Ⅰ）求证：数列nb是等差数

列，并求数列na的通项公式；（Ⅱ）设2lognnnca=，求数列12nncc+的前n项和nT．【答案】（Ⅰ）证明见解析；2nnna=；（Ⅱ）21nnTn=+.【解析】【分析】（Ⅰ）由1122nnnaa+=−，变形

为11221nnnnaa++=−，再利用等差数列的定义证明；（Ⅱ）由（Ⅰ）得到ncn=，则121121nnccnn+=−+，然后利用裂项相消法求解.【详解】（Ⅰ）由1122nnnaa+=−，得11221nnnnaa++=−，2nnnba=，∴11nnbb+=−

，即11nnbb+−=，又1121ba==，∴数列nb是首项和公差均为1的等差数列．所以1(1)12nnnbnna=+−==，∴2nnna=．（Ⅱ）∵22loglog2nnnncna===，∴122112(1)1nnccnnnn+==−++．∴1111111112

12233411nTnnnn=−+−+−++−+−−+122111nnn=−=++.【点睛】方法点睛：求数列的前n项和的方法(1)公式法：①等差数列的前n项和公式，()()11122nnnaannSnad+

−==+②等比数列的前n项和公式()11,11,11nnnaqSaqqq==−−；(2)分组转化法：把数列的每一项分成两项或几项，使其转化为几个等差、等比数列，再求解．(3)裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差求和，正负相消剩下首尾若干项．(4)倒序相加法：把数列分别正着写和倒着写再相

加，即等差数列求和公式的推导过程的推广．(5)错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列对应项之积构成的，则这个数列的前n项和用错位相减法求解.(6)并项求和法：一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则

称之为并项求和．形如an＝(－1)nf(n)类型，可采用两项合并求解．21.如图，在四棱锥PABCD−中，底面ABCD为菱形，PAD△为正三角形，平面PAD⊥平面ABCD，E、F分别是AD、CD的中点．（1）证明：BD⊥平面PEF；（2）若M是PB棱上一点，且3MBPM=，求三棱锥MPAD−与三

棱锥PDEF−的体积之比．【答案】（1）证明见解析；（2）1:1.【解析】【分析】（1）连接AC，利用菱形的性质可得出BDAC⊥，由中位线的性质得出//EFAC，可得出BDEF⊥，利用面面垂直的性质定理推导出PE⊥平面ABCD，可得出BDPE⊥，利用线面垂直的判定定理

可证得BD⊥平面PEF；（2）计算出MPADV−与PABDV−、PDEFV−与PABDV−的等量关系，由此计算得出三棱锥MPAD−与三棱锥PDEF−的体积之比．【详解】（1）证明：如图，连接AC，PAPD=且E是AD的

中点，PEAD⊥，又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD平面ABCDAD=，PE平面PAD，PE⊥平面ABCD．又BD平面ABCD，BDPE⊥，E、F分别为棱AD、CD的中点，//EFAC，因为四边形ABCD为菱形，BDAC⊥，BDEF⊥，

又BDPE⊥，PEEFE=，BD⊥平面PEF；（2）解：如图，连接MA、MD，3MBPM=，14PMPB=，1144MPADBPADPABDVVV−−−==，又底面ABCD为菱形，E、F分别是AD、CD的中点．11112444

PDEFFPEDCPEDCPADPADCPABDVVVVVV−−−−−−=====，故1MPADPDEFVV−−=．因此，三棱锥MPAD−与三棱锥PDEF−的体积之比为1:1.【点睛】方法点睛：证明线面垂直的方法：一是线面垂直的判定定理；二是利用面面垂直的性质定理；三是平行线法

（若两条平行线中一条垂直于这个平面，则另一条也垂直于这个平面），解题时，注意线线、线面与面面关系的相互转化；另外，在证明线线垂直时，要注意题中隐含的垂直关系，如等腰三角形的底边上的高、中线和顶角的角平分线三

线合一、矩形的内角、直径所对的圆周角、菱形的对角线互相垂直、直角三角形（或给出线段长度，经计算满足勾股定理）、直角梯形等等．22.设椭圆22:12xCy+=的右焦点为F，过F的直线l与C交于,AB两点，点M的坐标为(2,0).（1）当l与x轴垂直时，求直线AM的方程；（2）设O为坐标原点，证

明：OMAOMB=.【答案】（1）AM的方程为222yx=−+或222yx=−；（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）首先根据l与x轴垂直，且过点()1,0F，求得直线l的方程为1x=，代入椭圆方程求得点A的坐标为21,2或21,2−

，利用两点式求得直线AM的方程；（2）分直线l与x轴重合、l与x轴垂直、l与x轴不重合也不垂直三种情况证明，特殊情况比较简单，也比较直观，对于一般情况将角相等通过直线的斜率的关系来体现，从而证得结果.【详解】（1）由已知得()1,0F，l的方程为1x=

.由已知可得，点A的坐标为21,2或21,2−.所以AM的方程为222yx=−+或222yx=−.（2）当l与x轴重合时，0OMAOMB==o.当l与x轴垂直时，OM为AB的垂直平分线，所以

OMAOMB=.当l与x轴不重合也不垂直时，设l的方程为()()10ykxk=−，()()1122,,,AxyBxy，则122,2xx，直线MA、MB的斜率之和为121222MAMByykkxx+=+−−.由1122,ykkx

ykxk=−=−得()()()12121223422MAMBkxxkxxkkkxx−+++=−−将()1ykx=−代入2212xy+=得()2222214220kxkxk+−+−=.所以，22121222422,2121kkxxxxkk−+==++.则()333121224412842340

21kkkkkkxxkxxkk−−++−++==+.从而0MAMBkk+=，故MA、MB的倾斜角互补，所以OMAOMB=.综上，OMAOMB=.【点睛】该题考查的是有关直线与椭圆的问题，涉及到的知识点有

直线方程的两点式、直线与椭圆相交的综合问题、关于角的大小用斜率来衡量，在解题的过程中，第一问求直线方程的时候，需要注意方法比较简单，需要注意的就是应该是两个，关于第二问，在做题的时候需要先将特殊情况说明，一般情况下，涉及到直线与曲线相交都需要联立方程组，之后

韦达定理写出两根和与两根积，借助于斜率的关系来得到角是相等的结论.