【文档说明】（人教B版2019必修第一册第一_三章）高一数学期中模拟卷（全解全析）.docx，共(12)页，123.623 KB，由小赞的店铺上传

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2024-2025学年高一数学上学期第一次月考卷注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时

，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。4．测试范围：人教B版2019必修第一册（第一章~第三章，集合与常用逻辑用语、等式与不等式、函数）5．难度系数：0.65。第一部分（选择题共58分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题

给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知集合𝐴={𝑥∈Z|𝑥2−2𝑥−3≤0}，则集合𝐴的真子集个数为（）A．4B．8C．32D．31【答案】D【解析】由集合𝐴={𝑥∈Z|𝑥2−2𝑥−3≤0}={𝑥∈Z|−1≤𝑥≤3}={−1,0,1,2,3}，所以集

合𝐴的真子集个数为25−1=31个.故选D.2．已知函数𝑦=𝑓(2𝑥−1)的定义域是[−1,3]，则𝑦=𝑓(𝑥)√𝑥+2的定义域是（）A．(−2,5]B．(−2,3]C．[−1,3]D．[−2,5]【答案】A【解析】由函数𝑦=�

�(2𝑥−1)的定义域是[−1,3]，得−3≤2𝑥−1≤5，因此在函数𝑦=𝑓(𝑥)√𝑥+2中，{−3≤𝑥≤5𝑥+2>0，解得−2<𝑥≤5，所以所示函数的定义域为(−2,5].故选A．3．下列关于方程{𝑦=𝑘𝑥+1𝑦=2𝑘𝑥+3的解的说法中正确的是（）．A．该方程一

定有唯一解B．该方程没有解C．𝑘=0时，方程有无数解D．𝑘≠0时，方程有唯一解【答案】D【解析】由题意得，𝑘𝑥+1=2𝑘𝑥+3，即𝑘𝑥=−2，当𝑘=0时，0=−2不成立，方程组无解；当𝑘≠0时，𝑥=−2𝑘，方程组有唯一解.故选D.4．下列各组函数是同一组函数的

是（）A．𝑦=1𝑥−1与𝑦=𝑥+1𝑥2−1B．𝑦=|𝑥+1|+|𝑥|与𝑦={2𝑥+1,𝑥>01,−1≤𝑥<0−2𝑥−1,𝑥<−1C．𝑦=|𝑥|与𝑦=√𝑥2D．𝑦=|𝑥|与𝑦=(√𝑥)2

【答案】C【解析】对于A中，由函数𝑦=1𝑥−1的定义为(−∞,1)∪(1,+∞)，函数𝑦=𝑥+1𝑥2−1的定义域为(−∞,−1)∪(−1,1)∪(1,+∞)，两个函数的定义域不同，所以不是同一组函数，所以A不符合题意；对于B中，由函数𝑦=|𝑥+1|+|𝑥|=

{2𝑥+1,𝑥>01,−1≤𝑥≤0−2𝑥−1，𝑥<−1与函数𝑦={2𝑥+1,𝑥>01,−1≤𝑥<0−2𝑥−1,𝑥<−1，其中两个函数的定义域不同，所以不是同一组函数，所以B不符合题意；对于C中，函数𝑦=|𝑥|与

𝑦=√𝑥2=|𝑥|，两个函数的定义域与对应关系都相同，所以两个函数是同一组函数，所以C符合题意；对于D中，函数𝑦=|𝑥|的定义域为R，函数𝑦=(√𝑥)2的定义域为[0,+∞)，两个函数的定义域不同，所以不是同一组函数，所以D不符合题意

.故选C.5．已知函数𝑓(𝑥)=1−|𝑥−2|+|𝑥|，则下列函数为奇函数的是（）A．𝑦=𝑓(𝑥+1)+1B．𝑦=𝑓(𝑥−1)+1C．𝑦=𝑓(𝑥+1)−1D．𝑦=𝑓(𝑥−1)−1【答案】C【解析】因为𝑓(�

�)=1−|𝑥−2|+|𝑥|，所以𝑓(𝑥+1)−1=1−|𝑥+1−2|+|𝑥+1|−1=−|𝑥−1|+|𝑥+1|，令𝑔(𝑥)=𝑓(𝑥+1)−1=−|𝑥−1|+|𝑥+1|，定义

域为R，且𝑔(−𝑥)=−|−𝑥−1|+|−𝑥+1|=−(−|𝑥−1|+|𝑥+1|)=−𝑔(𝑥)，所以𝑔(𝑥)=𝑓(𝑥+1)−1为奇函数，故C正确；又𝑦=𝑓(𝑥+1)+1=−|𝑥−1|+|𝑥+1|+2，令𝑔(𝑥)=𝑓(𝑥+1)+1，∵g(

−x)≠±g(x),∴g(x)为非奇非偶函数，故A错误；𝑦=𝑓(𝑥−1)+1=1−|𝑥−1−2|+|𝑥−1|+1=−|𝑥−3|+|𝑥−1|+2，同理可得，该选项为非奇非偶函数，故B错误；𝑦=𝑓(𝑥−1)−1=1−|𝑥−1−2|+|𝑥−1|−1=−|𝑥−3|+|𝑥−

1|，同理可得，该选项为非奇非偶函数，故D错误.故选C．6．已知实数𝑥>1，则函数𝑦=2𝑥+2𝑥−1的最小值为（）A．5B．6C．7D．8【答案】B【解析】∵实数𝑥>1，∴𝑥−1>0∴𝑦=2𝑥+2𝑥−1=2(𝑥−1)+2𝑥−1

+2≥2√2(𝑥−1)⋅2𝑥−1+2=6，当且仅当2(𝑥−1)=2𝑥−1，即𝑥=2时等号成立，∴函数𝑦=2𝑥+2𝑥−1的最小值为6.故选B.7．定义在(0,+∞)上的函数𝑓(𝑥)满足∀𝑥1，𝑥2∈(0,+∞)且𝑥1≠𝑥2，有[𝑓(𝑥1)−𝑓(𝑥2

)](𝑥1−𝑥2)>0，且𝑓(𝑥𝑦)=𝑓(𝑥)+𝑓(𝑦)，𝑓(4)=23，则不等式𝑓(2𝑥)−𝑓(𝑥−3)>1的解集为（）.A．(0,4)B．(0,+∞)C．(3,4)D．(2,3)【答案】C【解析】∵𝑓(�

�𝑦)=𝑓(𝑥)+𝑓(𝑦)，∴𝑓(4)=𝑓(2×2)=𝑓(2)+𝑓(2)=23，即𝑓(2)=13，∵𝑓(8)=𝑓(4×2)=𝑓(4)+𝑓(2)=3𝑓(2)=3×13=1，∴𝑓(2𝑥)−𝑓(𝑥−3)>1，可转化为：𝑓(2𝑥)−𝑓(𝑥−3)>𝑓(8)，

即𝑓(2𝑥)>𝑓(8)+𝑓(𝑥−3)，即𝑓(2𝑥)>𝑓[8×(𝑥−3)]=𝑓(8𝑥−24)，∵𝑓(𝑥)满足∀𝑥1，𝑥2∈(0,+∞)且𝑥1≠𝑥2，有[𝑓(𝑥1)−𝑓(𝑥2)](𝑥1−𝑥2)>0，∴

𝑓(𝑥)在(0,+∞)上单调递增，即{2𝑥>0𝑥−3>02𝑥>8𝑥−24，解得：3<𝑥<4，即不等式𝑓(2𝑥)−𝑓(𝑥−3)>1的解集为：(3，4).故选C.8．已知函数𝑓(�

�)={2𝑥−1,𝑥≤0𝑙𝑔𝑥,𝑥>0，若方程𝑓2(𝑥)−2𝑓(𝑥)−𝑚2+1=0有3个不同的实根，则实数m取值范围值是（）A．(−∞,−1]∪[1,+∞)B．(−2,2)C．(−2,−1]∪[1,2)D．[−1,1]【答案】C【解析】由𝑓2(𝑥)−2𝑓(

𝑥)−𝑚2+1=[𝑓(𝑥)−(𝑚+1)][𝑓(𝑥)+(𝑚−1)]=0，得𝑓(𝑥)=𝑚+1或𝑓(𝑥)=1−𝑚，作出𝑦=𝑓(𝑥)的图象，如图所示，由图可知，要使方程𝑓2(𝑥)−2𝑓(𝑥)−𝑚2+1=0有3个不同的实根，当−1<1−𝑚≤0，即1≤𝑚<2时

，2≤1+𝑚<3，符合题意，当−1<1+𝑚≤0，即−2<𝑚≤−1时，2≤1−𝑚<3，符合题意，所以所求范围是𝑚∈(−2,−1]∪[1,2).故选C.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分

选对的得部分分，有选错的得0分．9．下列四个命题中正确的是（）A．由|𝑎|𝑎+|𝑏|𝑏+|𝑐|𝑐(𝑎,𝑏,𝑐∈R)所确定的实数集合为{−3,−2,−1,1,2,3}B．同时满足{2𝑥+4>01+𝑥≥2𝑥−1的整数解的集合为{−1,0,1,

2}C．集合{(𝑥,𝑦)|3𝑥+2𝑦=16,𝑥∈N,𝑦∈N}可以化简为{(0,8),(2,5),(4,2)}D．𝐴={𝑎|63−𝑎∈N，𝑎∈Z}中含有三个元素【答案】BC【解析】对于选项A，当𝑎,𝑏,𝑐都是正数时，原式=1+1+1

=3;当𝑎,𝑏,𝑐都是负数时，原式=−1−1−1=−3;当𝑎,𝑏,𝑐两正一负时，原式=1+1−1=1;当𝑎,𝑏,𝑐两负一正时，原式=−1−1+1=−1.故A错误；对于选项B，由{2𝑥+4>01+𝑥≥2𝑥

−1，得−2<𝑥≤2，所以符合条件的整数解的集合为{−1,0,1,2}，故B正确；对于选项C，由3𝑥+2𝑦=16，𝑥∈N，𝑦∈N，可以得到符合条件的数对有(0,8)，(2,5)，(4,2)，故C正确；对于选

项D，当𝑎=2时，63−𝑎=63−2=6∈N；当𝑎=1时，63−𝑎=63−1=3∈N;当𝑎=0时，63−𝑎=63−0=2∈N；当𝑎=−1时，63−𝑎=63+1∉N；当𝑎=−2时，63−𝑎

=65∉N；当𝑎=−3时，63−𝑎=66=1∈N，所以集合A含有四个元素2，1，0，−3，故D错误.故选BC.10．下列说法正确的是（）A．至少有一个实数𝑥，使𝑥2+1=0B．“𝑎>𝑏>0”是“1𝑎<1�

�”的充分不必要条件C．命题“∃𝑥∈𝑅,𝑥2−𝑥+14<0”的否定是假命题D．“集合𝐴={𝑥|𝑎𝑥2+𝑥+1=0}”中只有一个元素是“𝑎=14”的必要不充分条件【答案】BD【解析】对于A，在实数范围内，𝑥2>0，𝑥2+1>0，故A错误；对于B，若𝑎>𝑏>0，则1𝑎<

1𝑏，充分性成立，若1𝑎<1𝑏，如𝑎=−1,𝑏=−2，此时0>𝑎>𝑏，必要性不成立，所以“𝑎>𝑏>0”是“1𝑎<1𝑏”的充分不必要条件，故B正确；对于C，命题“∃𝑥∈𝑅,𝑥2−𝑥+14<0”的否定是∀𝑥∈𝑅,𝑥2−𝑥+14≥0，

由二次函数的性质可得𝑓(𝑥)=𝑥2−𝑥+14开口向上，Δ=0，所以𝑓(𝑥)≥0恒成立，故C错误；对于D，若集合𝐴={𝑥|𝑎𝑥2+𝑥+1=0}中只有一个元素，当𝑎=0时，𝑥=−1；当𝑎≠0时，可得Δ=1−4

𝑎=0⇒𝑎=14，所以必要性成立，故D正确；故选BD.11．已知函数𝑓(𝑥),𝑔(𝑥)的定义域均为𝑅,𝑓(𝑥+1)的图象关于𝑥=−1对称，𝑔(𝑥−1)+1是奇函数，且𝑔(𝑥)=𝑓(𝑥+2)+4,𝑓(4)=−3，则下列说法

正确的有（）A．𝑓(𝑥)=𝑓(−𝑥)B．𝑔(−1)=0C．𝑔(2)=1D．∑⬚2023𝑖=1𝑔(𝑖)=−2021【答案】ACD【解析】A选项，因为𝑓(𝑥+1)的图象关于𝑥=−1对称，所以𝑓(𝑥)关于𝑦轴对称，故𝑓(𝑥

)是偶函数，则𝑓(𝑥)=𝑓(−𝑥)，故A正确；B选项，因为𝑔(𝑥−1)+1是奇函数，所以𝑔(0−1)+1=0，即𝑔(−1)=−1，故B错误；CD选项，由𝑔(−𝑥−1)+1=−[𝑔(𝑥−1)+1]得𝑔(−𝑥−1)+𝑔(𝑥−1)=−2，又𝑔(𝑥

)=𝑓(𝑥+2)+4，所以𝑓(𝑥)=𝑔(𝑥−2)−4，又𝑓(−𝑥)=𝑓(𝑥)，即𝑔(𝑥−2)−4=𝑔(−𝑥−2)−4，即𝑔(𝑥−2)=𝑔(−𝑥−2)，则𝑔(𝑥−3)=𝑔(−𝑥

−1)，所以𝑔(𝑥−3)+𝑔(𝑥−1)=−2，所以𝑔(𝑥)+𝑔(𝑥+2)=−2①，即𝑔(𝑥+4)+𝑔(𝑥+2)=−2②，②-①得𝑔(𝑥)=𝑔(𝑥+4)，所以函数𝑔(𝑥)的周期为4，令𝑥=1，由𝑔(𝑥)+𝑔(𝑥+2)=−2，得𝑔(1)+𝑔

(3)=−2，再令𝑥=2，则𝑔(2)+𝑔(4)=−2，所以𝑔(1)+𝑔(2)+𝑔(3)+𝑔(4)=−4，又𝑓(4)=−3，由𝑔(2)=𝑓(4)+4⇒𝑔(2)=1，所以∑⬚2023𝑖

=1𝑔(𝑖)=𝑔(1)+𝑔(2)+⋯+𝑔(2023)=505×(−4)+𝑔(1)+𝑔(2)+𝑔(3)=−2020+(−2)+1=−2021，故C，D正确.故选ACD.第二部分（非选择题共92分）三、填空题：本题共3小题

，每小题5分，共15分。12．若函数𝑓(𝑥)=𝑥2−4𝑎𝑥−3在区间(−4,+∞)上单调递增，则实数𝑎的取值范围是．【答案】(−∞,−2]【解析】因为函数𝑓(𝑥)=𝑥2−4𝑎𝑥−3的对称轴为𝑥=2𝑎，图象开口向上，所以函数在[2𝑎,+∞)上单调递增，因为

函数𝑓(𝑥)在区间(−4,+∞)上单调递增，所以2𝑎≤−4，解得𝑎≤−2.故答案为：(−∞,−2].13．已知𝑓(𝑥)是二次函数，且𝑓(0)=0，𝑓(𝑥+1)=𝑓(𝑥)+𝑥+1，则𝑓(𝑥)=．【答案】12𝑥2+12𝑥【解析】设𝑓(𝑥)=𝑎𝑥2+𝑏𝑥+�

�(𝑎≠0)，因为𝑓(0)=0，可得𝑐=0，又因为𝑓(𝑥+1)=𝑓(𝑥)+𝑥+1，可得𝑎(𝑥+1)2+𝑏(𝑥+1)=𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑥+1，即𝑎𝑥2+(2𝑎+𝑏)𝑥+𝑏+𝑎=𝑎𝑥2+(𝑏+1)𝑥+1

，所以2𝑎+𝑏=𝑏+1,𝑎+𝑏=1,解得𝑎=𝑏=12，所以𝑓(𝑥)=12𝑥2+12𝑥．故答案为：12𝑥2+12𝑥.14．对于非空实数集合𝐴，记𝐴∗={𝑦|∀𝑥∈𝐴,𝑦≤𝑥}，设非空实数集合𝑃满足条件“若𝑥<1，

则𝑥∉𝑃”且𝑀⊆𝑃，给出下列命题：①若全集为实数集𝑅，对于任意非空实数集合𝐴，必有∁R𝐴=𝐴∗；②对于任意给定符合题设条件的集合𝑀，𝑃，必有𝑃∗⊆𝑀∗；③存在符合题设条件的集合𝑀，𝑃，使得𝑀∗∩𝑃=∅；④存在符合题设条件的集合𝑀，𝑃，使得𝑀∩𝑃

∗≠∅．其中所有正确命题的序号是．【答案】②③④【解析】由于非空实数集𝐴，记𝐴∗={𝑦|∀𝑥∈𝐴,𝑦≤𝑥}，则𝐴∗中元素为不大于𝐴中所有值的数，即不大于𝐴中最小元素的数组成的集合．①当𝐴集合下边界趋向负无穷大时，如𝐴=(−∞,2],∁R𝐴=(2

,+∞),𝐴∗=∅，故①错误；②由于𝑀⊆𝑃，假设𝑀中最小值为𝑚，𝑃最小值为𝑝，那么𝑚≥𝑝.因此𝑀∗表示不大于𝑚所有数组成的集合，𝑃∗表示所有不大于𝑝的数组成的集合，则𝑃∗⊆𝑀∗，故②正确；③令𝑀=𝑃={𝑥|1<𝑥<32}，则𝑀∗={𝑥|�

�≤1}，故𝑀∗∩𝑃=∅，故③正确；④令𝑀=𝑃={𝑥|2≤𝑥<3}，则𝑃∗={𝑥|𝑥≤2}，故𝑀∩𝑃∗={𝑥|𝑥=2}≠∅，故④正确；故答案为：②③④.四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或

演算步棸。15．(13分)（1）设集合𝐴={𝑥|−1≤𝑥+1≤6}，𝐵={𝑥|𝑚−1<𝑥<2𝑚+1}，当𝐵⊆𝐴时，求实数𝑚的取值范围.（2）已知𝑀={𝑥|𝑥2−3𝑥+2=0}，𝑁

={𝑥|𝑥2−2𝑥+𝑎=0}，若𝑁⊆𝑀，求实数a的取值范围．【解析】（1）𝐴={𝑥|−2≤𝑥≤5}，当𝑚−1≥2𝑚+1，即𝑚≤−2时，𝐵=∅，满足𝐵⊆𝐴；当𝑚>−2时，𝐵≠∅，因此，要使𝐵⊆𝐴，则需{𝑚−1≥−22𝑚+1≤5，解得−1≤𝑚≤2，综上所述，

𝑚的取值范围是𝑚≤−2或−1≤𝑚≤2；（2）𝑀={𝑥|𝑥2−3𝑥+2=0}={1,2}，因为𝑁⊆𝑀，所以𝑁=∅或𝑁={1}或𝑁={2}或𝑁={1,2}，当𝑁=∅时，方程𝑥2−2𝑥+𝑎=0的

判别式Δ=4−4𝑎<0，即𝑎>1；当𝑁={1}时，由韦达定理有{1+1=21×1=𝑎，所以𝑎=1；当𝑁={2}时，有{2+2=22×2=𝑎，不成立；当𝑁={1,2}时，有{1+2=21×2=𝑎

，不成立；综上所述，实数a的取值范围为𝑎≥1．16．(15分)已知函数𝑓(𝑥)=|𝑥+3|(𝑥−1)．(1)在坐标系中画出函数𝑓(𝑥)的图象；(2)判断函数𝑓(𝑥)在区间[−2,1]上的单调性，

并用定义证明；【解析】（1）函数𝑓(𝑥)=|𝑥+3|(𝑥−1)，得𝑓(𝑥)={(𝑥+3)(𝑥−1)，𝑥≥−3−(𝑥+3)(𝑥−1),𝑥<−3，得𝑓(𝑥)={𝑥2+2𝑥−3，

𝑥≥−3−𝑥2−2𝑥+3,𝑥<−3，函数𝑓(𝑥)的图象如下：（2）函数𝑓(𝑥)在区间[−2,−1]上单调递减，在区间(−1,1]上单调递增.设−2≤𝑥1<𝑥2≤−1，则𝑓(𝑥1)−𝑓(𝑥2)=𝑥12+2𝑥1−3−(𝑥22+2𝑥2−3)=𝑥12

−𝑥22+2(𝑥1−𝑥2)=(𝑥1−𝑥2)(𝑥1+𝑥2+2)，因为𝑥1−𝑥2<0，−4≤𝑥1+𝑥2≤−2，𝑥1+𝑥2+2≤0，所以𝑓(𝑥1)−𝑓(𝑥2)≥0，所以函数𝑓(𝑥)在区间[−2,−1]上单调递减；设−1<𝑥1<𝑥2≤1，则𝑥1−𝑥2<0

，−2<𝑥1+𝑥2≤2，𝑥1+𝑥2+2>0，所以𝑓(𝑥1)−𝑓(𝑥2)<0，所以函数𝑓(𝑥)在区间(−1,1]上单调递增.17．(15分)某企业为响应国家节水号召，决定对污水进行净化再利用，以降低自来水的使用量.经测算，企业拟安装一种

使用寿命为4年的污水净化设备.这种净水设备的购置费（单位：万元）与设备的占地面积𝑥（单位：平方米）成正比，比例系数为0.2，预计安装后该企业每年需缴纳的水费𝐶（单位：万元）与设备占地面积𝑥之间的函数关系为𝐶(𝑥)=20𝑥+5(

𝑥>0)，将该企业的净水设备购置费与安装后4年需缴水费之和合计为𝑦（单位：万元）.(1)要使𝑦不超过7.2万元，求设备占地面积𝑥的取值范围；(2)设备占地面积𝑥为多少时，𝑦的值最小？【解析】（1）由题意得𝑦=0.2𝑥+80𝑥+5(𝑥>0)，令𝑦≤

7.2即0.2𝑥+80𝑥+5≤7.2，整理得𝑥2−31𝑥+220≤0即(𝑥−11)(𝑥−20)≤0，所以解得11≤𝑥≤20，所以设备占地面积𝑥的取值范围为[11,20].（2）𝑦=0.2𝑥+80𝑥+5=𝑥+55+80𝑥+5−1≥

2√𝑥+55×80𝑥+5−1=2√16−1=7，当且仅当𝑥+55=80𝑥+5即𝑥=15时等号成立，所以设备占地面积为15m2时，𝑦的值最小.18．(17分)已知命题𝑝:∃𝑥∈(−1，1)，𝑥2−(𝑎+2)𝑥+2𝑎=0，命题𝑞:𝑥1和𝑥2是方程𝑥2−2𝑚�

�−3=0的两个实根，不等式𝑎2−3𝑎≥|𝑥1−𝑥2|对任意实数𝑚∈[−1，1]恒成立;(1)若命题p为真命题，求实数a的取值范围;(2)若命题𝑝,𝑞有且只有一个为真命题，求实数a的取值范围.【解析】（1）𝑝:𝑥2−(𝑎+2)𝑥+2�

�=0得(𝑥−𝑎)(𝑥−2)=0，两根𝑥1=𝑎,𝑥2=2，∃𝑥∈(−1，1)，𝑥2−(𝑎+2)𝑥+2𝑎=0，命题p为真命题，∴−1<𝑎<1（2）由（1）知p真：−1<𝑎<1，当命题q为真命

题时：𝑥1+𝑥2=2𝑚，𝑥1𝑥2=−3，𝑎2−3𝑎≥|𝑥1−𝑥2|=√(𝑥1+𝑥2)2−4𝑥1𝑥2=√4𝑚2+12.对任意实数𝑚∈[−1，1]恒成立，因为√4𝑚2+12≤√4+12=4，∴𝑎

2−3𝑎≥4，∴𝑎≤−1或𝑎≥4.若命题p，q有且只有一个为真命题，则：p真q假：{−1<𝑎<1−1<𝑎<4得−1<𝑎<1p假q真：{𝑎≤−1或𝑎≥1𝑎≤−1或𝑎≥4得𝑎≤−1或𝑎≥4综上：𝑎<1或𝑎≥4.19．(17分)若函数𝐺在𝑚≤𝑥≤𝑛(𝑚

<𝑛)上的最大值记为𝑦max，最小值记为𝑦min，且满足𝑦max−𝑦min=1，则称函数𝐺是在𝑚≤𝑥≤𝑛上的“美好函数”．(1)函数①𝑦=𝑥+1；②𝑦=|2𝑥|；③𝑦=𝑥2，其中函数是在1

≤𝑥≤2上的“美好函数”；（填序号）(2)已知函数𝐺:𝑦=𝑎𝑥2−2𝑎𝑥−3𝑎(𝑎≠0)．①函数𝐺是在1≤𝑥≤2上的“美好函数”，求𝑎的值；②当𝑎=1时，函数𝐺是在𝑡≤𝑥≤𝑡+1上的“美好函数”，请直接写出𝑡的值；(3)已知函数𝐺:𝑦=𝑎𝑥2−2𝑎�

�−3𝑎(𝑎>0)，若函数𝐺是在𝑚+2≤𝑥≤2𝑚+1（𝑚为整数）上的“美好函数”，且存在整数𝑘，使得𝑘=𝑦max𝑦min，求𝑎的值．【解析】（1）对于①𝑦=𝑥+1，当𝑥=1

时，𝑦=2，当𝑥=2时，𝑦=3，∴𝑦max−𝑦min=1，符合题意；对于②𝑦=|2𝑥|，当𝑥=1时，𝑦=2，当𝑥=2时，𝑦=4，∴𝑦max−𝑦min≠1，不符合题意；对于③𝑦=𝑥2，当𝑥=1时，𝑦=1，当𝑥=2时，𝑦−4，∴𝑦max−

𝑦min≠1，不符合题意；故答案为：①；（2）①二次函数𝐺:𝑦=𝑎𝑥2−2𝑎𝑥−3𝑎(𝑎≠0)对称轴为直线𝑥=1，当𝑥=1时，𝑦1=4𝑎，当𝑥=2时，𝑦2=−3𝑎，当𝑎>0时，则当1≤𝑥≤2时，𝑦随𝑥的增大而增大，∴𝑦2−𝑦1=−3�

�−(−4𝑎)=1，∴𝑎=1，当𝑎<0时，则当1≤𝑥≤2时，𝑦随𝑥的增大而减小，∴𝑦2−𝑦1=−4𝑎−(−3𝑎)=1，∴𝑎=−1，综上所述，𝑎=1或𝑎=−1；②二次函数𝐺:𝑦=𝑎𝑥2−2𝑎𝑥−3𝑎(𝑎≠0)为𝑦=𝑥2−2𝑥−

3，对称轴为直线𝑥=1，当𝑥=𝑡，𝑦1=𝑡2−2𝑡−3，当𝑥=𝑡+1时，𝑦2=(𝑡+1)2−2(𝑡+1)−3=𝑡2−4，当𝑥=1时，𝑦3=−4．若𝑡>1，则𝑦2−𝑦1=𝑡2−4−(𝑡2−2𝑡−3)=1，解得𝑡=1（舍去）；若12≤𝑡≤1，

则𝑦2−𝑦3=𝑡2−4−(−4)=1，解得𝑡=−1（舍去），𝑡=1；若0≤𝑡<12，则𝑦1−𝑦3=(𝑡2−2𝑡−3)−(−4)=1，解得𝑡=0，𝑡=2（舍去）；若𝑡<0，则𝑦1−𝑦2=𝑡2−2𝑡−3

−(𝑡2−4)=1，解得𝑡=0（舍去）．综上所述，𝑡=0或𝑡=1；（3）由（2）可知，二次函数𝐺:𝑦=𝑎𝑥2−2𝑎𝑥−3𝑎(𝑎≠0)对称轴为直线𝑥=1，又∵𝑚+2≤𝑥≤2𝑚+1，∴m+2<2m+1,∴𝑚>1

，∴3<𝑚+2≤𝑥≤2𝑚+1，∴当𝑚+2≤𝑥≤2𝑚+1时，𝑦随𝑥的增大而增大，当𝑥=2𝑚+1时取得最大值，𝑥=𝑚+2时取得最小值，∴𝑘=𝑦max𝑦min=𝑎(2𝑚+1

)2−2𝑎(2𝑚+1)−3𝑎𝑎(𝑚+2)2−2𝑎(𝑚+2)−3𝑎=4𝑚+4𝑚+3=4−8𝑚+3∵𝑚，𝑘为整数，且𝑚>1，∴𝑚+3=8，即𝑚的值为5，又∵𝑦max−𝑦min=1，∴𝑎(10+1)2−2𝑎(10+1)−3𝑎−[𝑎(5+

2)2−2𝑎(5+2)−3𝑎]=1，∴𝑎=164．