【文档说明】河南省许昌高级中学2024-2025学年高二上学期10月月考试题 数学 Word版含解析.docx，共(12)页，1.581 MB，由小赞的店铺上传

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2024-2025学年高二上学期10月检测数学注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名和座位号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答

非选择题时，将答案写在答题卡的相应位置上。写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一．选择题（共8小题，每小题5分，共40分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）1．庑殿（图1）是中国古代传统建筑中的一种屋顶形式，多用于宫殿、坛庙、重要门楼

等高级建筑上，庑殿的基本结构包括四个坡面，坡面相交处形成5根屋脊，故又称“四阿殿”或“五脊殿”．图2是根据庑殿顶构造的多面体模型，底面ABCD是矩形，且四个侧面与底面的夹角均相等，则（）．A．ABBCEF=+B．2BCABEF=+C．2EFABBC=+D．2ABBCE

F=−2．如图，平行六面体1111ABCDABCD−中，点M在1BB上，点N在1DD上，且112BMBB=，1113DNDD=，若1MNxAByADzAA=++，则xyz++=（）A．16B．13C．23D．323．

如图，两个相同的正四棱台密闭容器内装有纯净水，118,2ABAB==，图1中水面高度恰好为棱台高度的12，图2中水面高度为棱台高度的23，若图1和图2中纯净水的体积分别为12,VV，则12VV=（）A．23B．

65C．287208D．3872084．若直线l在x轴､y轴上的截距相等，且直线l将圆22240xyxy+−+=的周长平分，则直线l的方程为（）A．10xy++=B．10xy+−=C．10xy++=或20xy+=D．10

xy+−=或20xy+=5．正五角星是一个非常优美的几何图形，且与黄金分割有着密切的联系.在如图所示的正五角星ABCDE中，6,ABO=是该正五角星的中心，则OAAB=（）A．18−B．12−C．12D．186．已知椭圆:E22221(0)xyabab+=内有一点(2,1)M，过M的两条直

线1l、2l分别与椭圆E交于A、C和B、D两点，且满足AMMC=，BMMD=（其中0且1），若变化时直线AB的斜率总为12−，则椭圆E的离心率为A．12B．512−C．22D．327．已知点A（1，2）在圆C：22

220xymxy++−+=外，则实数m的取值范围为（）A．()()3,22,−−+B．()()3,23,−−+C．()2,−+D．()3,−+8．如图，水平桌面上放置一个棱长为4的正方体水槽，水面

高度恰为正方体棱长的一半，在该正方体侧面11CDDC上有一个小孔E，E点到CD的距离为3，若该正方体水槽绕CD倾斜（CD始终在桌面上），则当水恰好流出时，侧面11CDDC与桌面所成角的正切值为（）A．55B．12C．255D．2二．多选题（共3小题，每题6分，共18分。在每题给出的选项中

，有多项符合题目要求。全部选对得6分，部分选对得3分，有选错的得0分。）9．古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两个定点A、B的距离之比为定值()1的点的轨迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”．在平面直角坐标系xOy中，已知()0,0O，()2,0A，点P满足2PAPO=，设点P的轨迹

为圆C，下列结论正确的是（）A．圆C的方程是22(2)9xy++=B．过点A且斜率为12的直线被圆C截得的弦长为4305C．圆C与圆22(1)(4)8xy−+−=有四条公切线D．过点A作直线l，若圆C上恰有三个点到直线l距离为2，该直线斜率为7710．已知直线:320lxy+−=，则（）A．

l的倾斜角为π6B．l与两坐标轴围成的三角形面积为233C．原点O到l的距离为1D．原点O关于l的对称点为()1,311．下列说法正确的是（）A．若直线l的方向向量为(1,1,2)a=−，直线m的方向向量为12,1,2b=，则l与m垂直B．已知点(1

,0,1)A−，(0,1,0)B，(1,2,0)C−在平面内，向量(1,,)nut=是平面的法向量，则1ut+=C．对空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，若22OPOAOBOC=−−，则P，A，B，C四点共面D．若{},,abc为空间的一个基底，则{,,}ab

bcca+++构成空间的另一个基底三．填空题（共3小题，每题5分，共15分。）12．在平面直角坐标系xOy中，若圆()()221:211Cxy−+−=上存在点P，且点P关于直线0xy+=的对称点Q在圆()()2222:20Cxy

rr++=上，则r的取值范围是．13．已知圆C是以点()2,23M和点()6,23N−为直径的圆，点P为圆C上的动点，若点()2,0A，点()1,1B，则2PAPB−的最大值为14．球面被平面所截得的

一部分叫做球冠，截得的圆叫做球冠的底，垂直于截面的直径被截得的一段叫做球冠的高.球被平面截下的一部分叫做球缺，截面叫做球缺的底面，垂直于截面的直径被截下的线段长叫做球缺的高，球缺是旋转体，可以看做是球冠和其底所在的圆面所围成的几何体.如图1，

一个球面的半径为R，球冠的高是h，球冠的表面积公式是2πSRh=.如图2，已知,CD是以AB为直径的圆上的两点，ππ,63AOCBOD==，扇形COD的面积为π，则扇形COD绕直线AB旋转一周形成的几何体的表

面积为.四．解答题（共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）（14分）15．如图，某公司出产了一款美观实用的筷子笼，是由与圆柱底面成一定角度的截面截圆柱所得．如果从截面的最底端到

最高端部分还原圆柱，如下图所示，AB，AB分别为圆柱OO底面直径，AA，BB为圆柱的母线，2ABAA==，过AB的平面截圆柱且与底面所在平面交于直线l，且ABl⊥．(1)证明：lAB⊥；(2)若底面有一动点

M从A点出发在圆O上运动一周，过动点M的母线与截面交于点N，设AMx=，MNy=，求y与x的函数关系．（14分）16．已知圆M过C(1，﹣1)，D(﹣1，1)两点，且圆心M在x+y﹣2=0上.（1）求圆M的方程；（2）设P是直线3x+4y+8=0上的动点，PA，PB是圆M的两条切线，A，B为切点

，求四边形PAMB面积的最小值.（15分）17．如图，已知四棱锥PABCD−的底面是菱形，对角线AC，BD交于点O，4OA=，3OB=，4OP=，OP⊥底面ABCD，设点M是PC的中点．(1)直线PB与平面BDM所成角的正弦值；(2)点A到平面BDM的距离.（16分）18．已知圆C的圆

心在x轴上，且经过点1,0,()(,2)1AB−．(1)求线段AB的垂直平分线方程；(2)求圆C的标准方程；(3)若过点(0,2)P的直线l与圆C相交于MN、两点，且23MN=，求直线l的方程．（18分）19．如图，在四面体ABCD−中，ABCV为等边三角形，DBC△为以D为直角顶点的直角

三角形，60DCB=o.E，F，G，H分别是线段AB，AC，CD，DB上的动点，且四边形EFGH为平行四边形.(1)求证：AD∥平面EFGH；(2)设多面体BCEFGH的体积为1V，多面体ADEFGH的体积为2V，若2=EAEB，求12VV的值.数学答案1．A【详解】如图

所示，设点E在底面ABCD上的射影为G，作GMBC⊥，GNAB⊥，垂足分别为M，N．则EMG为侧面EBC与底面ABCD的夹角，ENG为侧面EBAF与底面ABCD的夹角，设四个侧面与底面的夹角为，则在RtEMG和RtENG△中，EMGENG=

=，又GE为公共边，所以GNGM=，即22ABEFBC−=，整理得ABBCEF=+．2．A【详解】111121236MNMBBAADDNAAABADAAABADAA=+++=−−++=−++，故1x=−，1y=，16z=，16x

yz++=.3．D【详解】设四棱台的高度为h，在图1中，中间液面四边形的边长为5，在图2中，中间液面四边形的边长为6，则()()12112912910464256425,43643636323hhhhVV=++==++=，所以12387208VV=.4．C【详解】由已

知圆22(1)(2)5xy−++=，直线l将圆平分，则直线l经过圆心()1,2−，直线方程为ykx=，或()10xyaaa+=，将点()1,2−代入上式，解得2,1ka=−=−直线l的方程为20xy+=或10xy++=.5．A【详解】如图，OD交AB于点F，则F

是AB中点且ODAB⊥，由题意可得21cos182OAABAOABAOABOABAFABAB=−=−=−=−=−.故选：A．6．D【详解】设()()()()11223344,,,,,,,AxyBxyCxyDxy,由AMMC=可得：()()11332,12,1xyx

y−−=−−，据此可得：131322{1xxyy+=++=+，同理可得：242422{1xxyy+=++=+，则：()()()()1234123441{21xxxxyyyy+++=++++=+，将点A,B的坐标代入椭圆方程做差可得：2121221212yyxxbxxay

y−+=−−+，即：()()222121212212122xxbayybxxayy+−=−+=++，同理可得：()()2234342ayybxx+=+，两式相加可得()()()()22123412342ayyyy

bxxxx+++=+++，故：()()()()1234123421yyyyxxxx+++=+++，据此可得：2223212abe==.7．A【详解】由题意，22220xymxy++−+=表示圆故22(2)420m+−−，即2m或2m−点A（1，2）在圆

C：22220xymxy++−+=外故22122220m++−+，即3m−故实数m的取值范围为2m或32m−−即()()3,22,m−−+8．D【详解】由题意知，水的体积为44232=，如图所示，设正方体水槽绕CD倾斜后，水面分别与棱1111,,,,AAB

BCCDD交于,,,,MNPQ由题意知3PC=，水的体积为32BCPNSCD=322BNPCBCCD+=，即344322BN+=，1BN=在平面11BCCB内，过点1C作1//CHNP交1BB于H，则四边形1NPCH是平行四边形，且11N

HPC==又侧面11CDDC与桌面所成的角即侧面11CDDC与水面MNPQ所成的角，即侧面11CDDC与平面11HCD所成的角,其平面角为111HCCBHC=,在直角三角形11BHC中，111114tan22BC

BHCBH===.9．BD【详解】对A，设(),Pxy，由2PAPO=可得()222222xyxy−+=+，即()2222222xyxy−+=+，化简可得()2228xy++=，故A错误；对B，过点A且斜率为12的

直线方程为()122yx=−，即220xy−−=，则圆()2228xy++=的圆心()2,0−到220xy−−=的距离为22224512−−=+，故所求弦长为2424430282555−==，故B正确；对C，圆C圆心到22(1)(4)8xy−+−=圆心()1,4的距离为(

)221245++=，又两圆的半径和为2222425+=，故两圆相交，有两条公切线，故C错误；对D，当直线l斜率为0时，圆C上有四个点到直线l距离为2不合题意，设直线:2lxty=+，则由题意C到l的距离等于2222−=，即22221t−−=+，解得7t=，故斜率直线斜率为177t=，故D

正确；10．BCD【详解】对于选项A：因为直线l的斜率为33−，所以其倾斜角为5π6，故A错误；对于选项B：因为直线l与两坐标轴的交点分别为()232,0,0,3，所以l与两坐标轴围成的三角形面积为123232233=；对于选项

C：原点O到l的距离()22100213d++−==，故C正确；对于选项D：设原点O关于l的对称点为(),ab，则332022baab=+−=，解得13ab==，所以原点O关于l的对称点为()1,3，故

D正确；11．BD【详解】对于A，1(1,1,2)2,1,211202ab=−=−+=，故A错误；对于B，()1,1,1AB=−，且向量(1,,)nut=是平面的法向量，所以0ABn=，即10ut−++=，即1ut+=，故

B正确；对于C，因为2211−−，所以则P，A，B，C四点不共面，故C错误；对于D，因为{},,abc为空间的一个基底，所以,,abc不共面，假设,,abbcca+++共面，则存在唯一实数,，使()()()abbccabca

+=+++=+++，所以110==+=，无解，故,,abbcca+++不共面，故D正确；12．51,51−+【详解】圆()()221:211Cxy−+−=的圆心为()12,1C，半径为1，它关于直线0xy+=的对称圆3C的圆心为()31,2C−−，半径仍然为1，圆(

)()2222:20Cxyrr++=的圆心为()22,0C−，半径为r，()()222312205CC=−++−−=，由题意得151rr−+，解得5151r−+.13．26【详解】根据题意得()4,0C，()()226223238MN=−+−−=，所以圆C的半径为4，圆C

的方程为()22416xy−+=，如图，()4,0D−，则24ODACCPOC====，所以12ACPCCPDC==，即APCPCD，故12PAPD=，所以2PAPBPDPB−=−，在PBD△中，PDPBBD−，当P、B、D共线时PDPB−最大，最大为

()214126BD=++=.14．()631π+【详解】因为ππ,63AOCBOD==，所以π2DOC=，设圆的半径为R，又2COD1ππ22SR==扇形，解得2R=（负值舍去），过点C作CEAB⊥交AB于点E，过

点D作DFAB⊥交AB于点F，则ππsin1,cos366CEOCOEOC====，所以23AEROE=−=−，同理可得3,1DFOF==，将扇形COD绕直线AB旋转一周形成的几何体为一个半径2R=的球中，上下截去两个球

缺所剩余部分再挖去两个圆锥，其中上面球缺的高123h=−，上面圆锥的底面半径11r=，高为13h='，下面球缺的高21h=，下面圆锥的底面半径23r=，高为21h='，则上面球冠的表面积()112π2π2238π43πsRh

==−=−，下面球冠的表面积222π2π214πsRh===，球的表面积24π16πSR==球，上面圆锥的侧面积111ππ122πSrl==='，下面圆锥的侧面积222ππ3223πSrl==='，所以几何体的表面积()(

)''121116π8π43π4π2π23π631πSSSSSS=−−++=−−−++=+球.15．(1)证明见解析；(2)1cosyx=−，)0,2πx.【详解】（1）由题意AB，AB，∵BB为圆柱的母线，则BB

垂直圆柱下底面圆O，∴直线l是平面与底面交线∴BBl⊥，又因为ABl⊥，,ABBB平面∴l⊥平面，而AB平面，则ABl⊥.（2）因为ABl⊥且ABl⊥，所以BAB为平面与底面二面角的平面角又因为2ABAA==，所以π4BAB=.过点M做MF垂直于

直线l垂足为F，连接NF，则π4NFM=，MNFM=作ME垂直于直径AB垂足为E.四边形AFME为矩形，AEFM=∵2AB=，则底面圆O半径1OA=又因为AMx=，所以AOMx=cosOEx=，1cosAEOAOEx=−=−，1cosF

Mx=−，又∵MNFN=，∴1cosMNx=−，∴1cosyx=−，)0,2πx16．（1）()()22114xy−+−=；（2）25.【详解】解：（1）设圆M的方程为：()()()2220xaybrr−+

−=，根据题意得222222(1)(1)1(1)(1)1202abraabrbabr−+−−==−−+−==+−==，故所求圆M的方程为：()()22114xy−+−=；（2）如图，四边形PAMB的面积为PAMPBMSSS=+，即()12SAMPAB

MPB=+又2,AMBMPAPB===，所以2SPA=，而24PAPM=−，即22||4SPM=−.因此要求S的最小值，只需求PM的最小值即可，PM的最小值即为点M到直线3480xy++=的距离所以min

22348334PM++==+，四边形PAMB面积的最小值为22||425PM−=.17．(1)225(2)22【详解】（1）因为四边形ABCD为菱形，所以ACBD⊥，又OP⊥面ABCD，故以OA为x轴，OB为

y轴，OP为z轴建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz−，如图，因为4OA=，3OB=，4OP=，且M为PC中点，则(4,0,0)A，(0,3,0)B，(0,3,0)D−，(0,0,4)P，(4,0,0)C−，(

2,0,2)M−，故(0,3,4)PB=−，(2,3,2)BM=−−，(0,6,0)BD=−，设面BDM的法向量为(),,nxyz=，则232060nBMxyznBDy=−−+==−=，令1x=，则0y=，1z=，故()1,0,1n=，所以422cos525nPBnPBnPB==

=，故直线PB与平面BDM所成角的正弦值为225；（2）由（1）可知(6,0,2)AM=−，面BDM的一个法向量为()1,0,1n=，所以点A到平面BDM的距离4222nAMdn===，故点A到平面BDM的距离为22．18．(1)1yx=−

+(2)22(1)4xy−+=(3)0x=或3480xy+−=【详解】（1）设AB的中点为D，则(0,1)D．由圆的性质，得CDAB⊥，所以1CDABkk=−，得1CDk=−.所以线段AB的垂直平分线的方程是1yx=−+.（2）设圆C的标准方程为222()xayr−+=，其中

(,0)Ca，半径为()0rr，由（1）得直线CD的方程为1yx=−+，由圆的性质，圆心(,0)Ca在直线CD上，化简得1a=，所以圆心()1,0C，||2rCA==，所以圆C的标准方程为22(1)4xy−+=.（3）由（1）设F为MN中点，则CF

l⊥，得||||3FMFN==，圆心C到直线l的距离2||4(3)1dCF==−=，当直线l的斜率不存在时，l的方程0x=，此时||1CF=，符合题意；当直线l的斜率存在时，设l的方程2ykx=+，即20kxy−+=，由题意得2|12|1kdk+=+，解得34k=−

；故直线l的方程为324yx=−+，即3480xy+−=；综上直线l的方程为0x=或3480xy+−=.19．(1)证明见解析(2)720【详解】（1）证明：因为四边形EFGH为平行四边形，所以EHFG∥，而FG平面ACD，EH平面AC

D，故EH∥平面ACD，由平面ACD平面ABDAD=，所以EHAD∥，而EH平面EFGH，AD平面EFGH，故AD∥平面EFGH；（2）由（1）知EHAD∥，而EHFG∥，故FGAD∥，同理可证EFB

C∥，由2=EAEB可得2,2,2AFFCDGGCDHBH===，故1122422339GDHDBCSDHDGDBDCS===，设A点到平面DBC的距离为d，则11443399AGDHGDHDBCABCDVSdSdV−−===；又2=EAEB，2DHBH=，故2

2123339AEHABHABDABDSSSS===，设C点到平面ABD的距离为h，则F点到平面ABD的距离为23h，故12122222233393AEFGHAEFHFAEHAEHABDVVVShSh−−−====8827

27CABDABCDVV−−==,故2842027927AEFGHAGDHABCDABCDABCDVVVVVV−−−−−=+=+=,则12727ABCDABCDVVVV−−=−=，故12720VV=.