【文档说明】湖北省襄阳市宜城市第一中学2023-2024学年高二上学期9月月考数学试题+含答案.docx，共(10)页，743.535 KB，由小赞的店铺上传

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宜城一中2023-2024学年高二年级9月月考数学试卷时间：120分钟满分：150分一、单选题（每小题5分，共40分）1.复平面内，复数()i2iz=+的共轭复数对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限2

.已知直线1l过()2,3A−，()4,0B，且12ll⊥，则直线2l的斜率为（）A.23B.23−C.12D.12−3.如图，等腰梯形ABCD是平面图形ABCD用斜二测画法得到的直观图，24

2ADBC==，则平面图形ABCD的面积为（）A.122B.12C.62D.64.已知四棱锥PABCD−的底面为正方形，PA⊥平面ABCD，1PAAB==，点E是BC的中点，则点E到直线PD的距离是（）A.54B.52C.22D.3245.在跳水比赛中，有8名评委分别给出某选手原始分，在评

定该选手的成绩时，从8个原始分中去掉1个最高分和1个最低分（最高分和最低分不相等），得到6个有效分，这6个有效分与8个原始分相比较，下列说法正确的是（）A.中位数，平均分，方差均不变B.中位数，平均分，方差均

变小C.中位数不变，平均分可能不变，方差变小D.中位数，平均分，方差都发生改变6.在ABC△中，已知6A=，2a=，若ABC△有两解，则（）A.24bB.4bC.24bD.02b7.七巧板，又称七巧图、智慧

板，是中国古代劳动人民的发明，其历史至少可以追溯到公元前一世纪，到了明代基本定型，于明、清两代在民间广泛流传.某同学用边长为4dm的正方形木板制作了一套七巧板，如图，包括5个等腰直角三角形，1个正方形

和1个平行四边形.若该同学从这七块小木板中随机抽取2块，这两块的面积相等的概率是（）A.521B.17C.221D.1218.在三棱锥PABC−中，已知PA⊥底面ABC，2CACBPA===，ACBC⊥，则三棱锥PABC−外接球

的体积为（）A.16B.43C.48D.123二、多选题（每小题5分，共20分）9.若向量ar，br满足1ab==rr，3ab+=rr，则（）A.1ab=rrB.ar与br的夹角为3C.()2aab⊥−rrrD.ab−rr在br上的投影向量为12b−r10.小明参加

文学社、话剧社、辩论社的社团招新面试，已知三个社团面试成功与否互不影响，文学社面试成功的概率为13，话剧社面试成功的概率为12，辩论社面试成功的概率为23，则（）A.文学社和话剧社均面试成功的概率为56B.话剧社与辩论社均面试成功的概率为1

3C.有且只有辩论社面试成功的概率为29D.三个社团至少一个面试成功的概率为8911.已知不同直线a，b，不同平面，，，下列说法正确的是（）A.若a，b，a∥，b∥，则∥B.若ab

∥，a∥，b，则b∥C.若⊥，⊥，a=I，则a⊥D.若a=I，ab⊥，b，则⊥12.已知在棱长为4的正方体1111ABCDABCD−中，点O为正方形1111ABCD的中心，点P在棱1CC上，下列说法正确的有（）A.B

DPO⊥B.当直线AP与平面11BCCB所成角的正切值为45时，3PC=C.当1PC=时，点1C到平面1APD的距离是32D.当2PC=时，以O为球心，OP为半径的球面与侧面11ABBA的交线长为2三、填空题（每小

题5分，共20分）13.假设()0.8PA=，()0.6PB=，且A与B相互独立，则()PAB=U______.14.已知直线l过点()1,0P且与以()2,1A，()4,3B−为端点的线段AB有公共点，则直线l斜率的取值范围为______.15.已知zC，21z−=，则i

z+的取值范围为______.16.如图，在矩形ABCD中，24ABAD==，E，F，G，H分别为AB，BC，CD，AD的中点，AC与BD交于点O，现将AEH△，BEF△，CFG△，DGH△分别沿EH，EF，FG，GH把这个矩形折成一个空间图形，使A与

D重合，B与C重合，重合后的点分别记为M，N，Q为MN的中点，则多面体MNEFGH的体积为______；若点P是该多面体表面上的动点，满足PQON⊥时，点P的轨迹长度为______.四、解答题（17题10分，18-2

2题每小题12分，共70分）17.如图所示，在平行六面体ABCDABCD−中，ABa=uuurr，ADb=uuurr，AAc=uuurr，P是CA的中点，M是CD的中点，N是CD的中点，用基底

,,abcrrr表示以下向量：（1）APuuur；（2）AMuuuur；（3）ANuuur.18.如图：正方体1111ABCDABCD−，E为棱11CD的中点.（1）求直线CE与直线1BD所成角的余弦值；（2）在棱1AA上是否存在一点P，满足C

EEP⊥？若存在，请指出点P的位置；若不存在，请说明理由.19.为激活国内消费市场，挽回疫情造成的损失，国家出台一系列的促进国内消费的优惠政策.某机构从某一电商的线上交易大数据中来跟踪调查消费者的购买力，现从电商平台消

费人群中随机选出200人，并将这200人按年龄分组，记第1组)15,25，第2组)25,35，第3组)35,45，第4组)45,55，第5组)55,65，得到如下频率分布直方图：（1）求出频率分布直方图中的a值和这200人的年龄的中位数及平均数；（2）从第1，2组中

用分层抽样的方法抽取5人，并再从这5人中随机抽取2人进行电话回访，求这两人恰好属于同一组别的概率.20.如图1，已知四边形BCDE为直角梯形，90B=，BECD∥，且222BECDBC===，A为BE的中点.将EDA△沿AD折到PDA△位置（如图2）

，连结PC，PB构成一个四棱锥PABCD−.图1图2（Ⅰ）求证ADPB⊥；（Ⅱ）若PA⊥平面ABCD.①求二面角BPCD−−的大小；②在棱PC上存在点M，满足()01PMPC=，使得直线AM与平面PBC所成的角为45，求的值.21.ABC△

中，有sinsin3aBbA=+，其中a、b、c分别为角A、B、C的对边.（1）求角A的大小；（2）设点D是BC的中点，若3AD=，求bc+的取值范围.22.如图，直三棱柱111ABCABC−

的体积为4，点D，E分别为AC，1AA的中点，ECB△的面积为22.（1）求点A到平面EBC的距离；（2）12AAAB=，平面EBC⊥平面11ABBA，求平面DBE与平面1BEC所成角的余弦值.参考答案123456789101112CBAD

CCABBCDBCDBCABD13.0.9214.1,1−15.51,51−+16.22222+17.（1）()12abc++rrr（2）()122abc++rrr（3）12abc++rrr（1）()()(

)111222APACAAABADAAabc=+=++=++；（2）()()()12221122abAMACADAcBADAA=+=++++=uuuuruuuruuuuruuuruuuruuurrrr；（3）

()()()1122ANACADABADAAADAA=+=++++()122122ABADAabAc=++=++uuuruuuruuurrrr.18.（1）155；（2）存在，点P在棱1AA上靠近1A的四等分点处.【详解】（1）如图，建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，则(

)2,2,0B，()0,2,0C，()0,1,2E，()12,2,2BD=−−，()0,1,2CE=−，12415cos,5235BDCE+==，所以直线CE与直线1BD所成角的余弦值为155；（2）

棱1AA上是否存在一点P的坐标可设为()2,,0z，则()2,1,2EPz=−−，()1220CEEPz=+−=，32z=，故在棱1AA上存在点P，满足CEEP⊥，这点P在棱1AA上靠近1A四等分点处.19.（

1）0.035a=，中位数为2957，平均数为41.5（2）25【详解】（1）由频率分布直方图性质知：()0.0100.0150.0300.010101a++++=，解得：0.035a=；∵()0.0100.015100.25+=，()0.0100.0150.035100.6++=，∴

中位数位于)35,45，设中位数为m，则()0.25350.0350.5m+−=，解得：2957m=，即中位数为2957；平均数为()200.010300.015400.035500.030600.0101041.5++++

=.（2）∵第1，2组的频率之比为0.010:0.0152:3=，∴抽取的5人中，第1组应抽取2人，记为A，B；第2组应抽取3人，记为C，D，E，则从5人中随机抽取2人，有,AB，,AC，,AD，,AE，,BC，,BD，

,BE，,CD，,CE，,DE，共10个基本事件；其中满足两人恰好属于同一组别的有,AB，,CD，,CE，,DE，共4个基本事件；∴两人恰好属于同一组别的概率42105p==.20.（Ⅰ）详见解析；（Ⅱ）①12

0，②0=或23=.【详解】证明：（Ⅰ）在图1中，∵ABCD∥，ABCD=，∴ABCD为平行四边形，∴ADBC∥，∵90B=，∴ADBE⊥，当EDA△沿AD折起时，ADAB⊥，ADAE⊥，即ADAB⊥，ADPA⊥，又ABPAA=I，AB面PAB

，PA面PAB，∴AD⊥平面PAB，又∵PB平面PAB，∴ADPB⊥.图1图2解：（Ⅱ）①以点A为坐标原点，分别以AB，AD，AP为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，由于PA⊥平面ABCD，则()0,0,0A，()1,0,0B，()1,1,0C，()0,

0,1P，()0,1,0D，设平面PBC的法向量为(),,nxyz=r，则00PCnxyzBCny=+−===uuurruuurr，取1z=，得()1,0,1n=r，设平面PCD的法向量(),,mabc=ur，则00mPCabcmDCa=+−===uruuur

uruuur，取1b=，得()0,1,1m=ur，设二面角BPCD−−的大小为，可知为钝角，则11cos222mnmn=−=−=−urrurr，∴120=.∴二面角BPCD−−的大小为120.②设AM与面PBC所

成角为，()()()0,0,11,1,1,,1AMAPPM=+=+−=−，平面PBC的法向量()1,0,1n=r，∵直线AM与平面PBC所成的角为45，∴()22212sincos,221AMn

AMnAMn+−====++−，解得0=或23=.21.（1）3A=（2）234bc+【详解】（1）解：在ABC△中，因为sinsin3aBbA=+，由正弦定理可得sinsinsinsin3ABBA=+，因为A、()0,B，则si

n0A，sin0B，所以，13sinsinsincos322AAAA=+=+，则sin3cos0AA=，所以，tan3A=，故3A=.（2）解：如图，延长AD到E满足DEAD=，连接BE、CE，则ABEC为平行四边形，则223AEAD==，23ACE=，ACb=，C

EABc==，在ACE△中，由余弦定理得：22222cos3AEACCEACCE=+−，则2212bcbc++=，可变形为()212bcbc+−=，即()212bcbc=+−，由基本不等式可得()()22124b

cbcbc++−=，即()216bc+，可得4bc+，当且仅当2bc==时，等号成立，由三角形三边关系可得ACCEAE+，则23bc+，故bc+的取值范围是234bc+.22.（1）22（2）53333【详解】（1）在直三棱柱111ABCABC−中，设点A到平面EBC的距离为h，

点E为1AA的中点，所以112AEAA=，直三棱柱111ABCABC−的体积为4，所以三棱锥EABC−的体积为1111243663EABCABCABCVSAESAA−====△△，又ECB△的面积为22，故三棱锥

AEBC−的体积1222333AEBCEBCEABCVShhV−−====△，解得22h=，所以点A到平面EBC的距离为22.（2）取EB的中点F，连接AF，如图，由题意知12AAAB=，故AEAB=，所以

AFEB⊥，又平面EBC⊥平面11ABBA，平面EBCI平面11ABBAEB=，且AF平面11ABBA，所以AF⊥平面EBC，由BC平面EBC，故AFBC⊥，在直三棱柱111ABCABC−中，1BB⊥平面ABC，BC平面ABC，可得1BBBC⊥，又AF，1BB平面11A

BBA且AF，1BB为相交直线，否则若1AFBB∥，则F点在落在1AA上，1AA与BE不垂直，则与AFEB⊥矛盾，所以BC⊥平面11ABBA，BA，1BB平面11ABBA，故BCBA⊥，1BCBB⊥，所以BC，BA，1BB两两垂直，以B为原点，以BC，BA，1BB为

x，y，z轴，建立如图空间直角坐标系，由于AF⊥平面EBC，故点A到平面EBC的距离即为AF，由（1）知22AF=，故2BE=，∴1ABAE==，12AA=，因为BC⊥平面11ABBA，BE平面11ABBA，所以BCBE⊥，由ECB△的面

积为22，则1222BCBE=，∴4BC=，则()0,0,0B，()0,1,1E，12,,02D，()14,0,2C，则12,,02BD=，()0,1,1BE=，设平面BDE的法向量为(),,nxyz=r，则00nBDn

BE==ruuurruuur，即12020xyyz+=+=，令1x=，则4y=−，4z=，故()1,4,4n=−r；()14,0,2BC=uuuur，设平面1BEC的法向量为(),,mabc=ur，则100mBEm

BC==uruuururuuuur，即0420bcac+=+=，令1a=，则2c=−，2b=，可得()1,2,2m=−ur，故15533cos,33333nmnmnm−===−rurrurrur，由原图可知平面DB

E与平面1BEC所成角为锐角，