【文档说明】福建省福清西山学校高中部2021-2022学年高二上学期9月月考数学试题 答案.docx，共(16)页，910.311 KB，由小赞的店铺上传

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参考答案1．B【分析】由已知得1mn→→=，3mn→→−=，3mmn→→→−=，进而根据向量夹角公式求解即可得答案.【详解】因为向量m→与n→之间的夹角为3，2m→=，1n→=，所以12112mn→→==，有，22224213mn

mnmmnn→→→→→→→→−=−=−+=−+=，又因为2413mmnmmn→→→→→→−=−=−=，向量m→与mn→→−之间夹角的余弦值为33cos223,mmnmmnmmn→→→→→→→→→−=−−==，因为0,,mmn

→→→−，所以6,mmn→→→−=．故选：B2．B【分析】设直线l的方程为()12ykx−=−，求出直线l与两坐标轴的交点坐标，由已知条件可得出关于k的方程，判断出方程根的个数，即可得解.【详解】由题意可知，直

线l的斜率存在且不为零，设直线l的方程为()12ykx−=−，即12ykxk=+−.在直线l的方程中，令0x=，可得12yk=-；令0y=，可得21kxk−=.所以，直线l交x轴于点21,0kk−，交y轴于点()0,12k−.由题意可得1211242

kkk−−=，即()2218kk−=.①当0k时，可得()22180kk−+=，即24410kk++=，10=；②当0k时，可得()22180kk−−=，即241210kk−+=，2144161280=−=.综上所述，符合条件的直线l有3条.故选：B.

【点睛】本题考查直线与坐标轴围成的三角形面积的计算，考查计算能力，属于中等题.3．B【分析】根据向量相等的条件否定①；根据相反向量的定义否定②；根据向量不能比较大小否定③；根据零向量的定义和规定否定④；根据向量的加

法的几何意义结合向量的模的概念判定⑤正确.【详解】对于①，长度相等，方向也相同的向量才是相等的向量，两个单位向量，方向不同时，不相等，故①错误；对于②，长度相等且方向相反的两个向量是相反向量，仅仅方向相反不是相

反向量，故②错误；对于③，向量是既有大小有有方向的量，向量的长度(模)能够比较大小，但向量不能比较大小的，故③错误；对于④，根据规定，零向量与任意向量都平行，故零向量是有方向的，只是没有确定的方向，故④错误；对于⑤，abab++为向量模的不等式，由向量的加法的几何意义可知是正确的，故

⑤正确．综上，正确的命题只有⑤，故选：B.4．D【分析】设所求直线方程为：30xyc−+=，根据该直线与1303lxy−+=：和2103lxy−−=：的距离相等，建立方程311010cc−−−=求解可得选项.【

详解】设所求直线l方程为：30xyc−+=，因为直线l与1:330lxy−+=；2:310lxy−−=距离相等，所以311010cc−−−=，解得1c=，所以所求直线方程为：310xy−+=，故选：D.5．D【分析】根据二面角与两个半平面法向量夹角的关系即可逐项判断.【详解】解：二面

角l−−的平面角为，,mn=或,mn=−，对A，当,mn=−时，()coscos,cos,mnmn=−=−，故A错误；对B，当,mn=时，coscos,mn=，故B错误；对C，当,mn=−时，()sinsin,

sin,mnmn=−=，当,mn=时，sinsin,mn=，故C错误；对D，当,mn=−时，()222222sincos,sincossincos1mn+=+−=+=，当,mn=时，222sincos,s

incos1mn+=+=，故D正确.故选：D.6．A【分析】首先根据平面向量基本定理表示2133ADABBDABAC=+=+uuuruuuruuuruuuruuur，2133BEBABC=+，2133CFCBCA=+，然后三式相加得到答案.【详解

】()11213333ADABBDABBCABACABABAC=+=+=+−=+同理：2133BEBABC=+，2133CFCBCA=+，所以212121333333ADBECFABACBABCCBCA++=+

++++13CB=,所以ADBECF++与BC反向平行.故选：A【点睛】本题主要考查向量共线定理和平面向量基本定理，重点考查向量的表示，属于基础题型.7．C【分析】作出图形，求出当直线l分别经过点A、B时

，直线l的斜率k的值，数形结合可得出实数k的取值范围.【详解】直线:2lykx=+恒过点()0,2C，则直线AC的斜率为42120ACk−==−，直线BC的斜率为()211033BCk−==−−，由图可知直线l的斜率k的取值范围是)

1,1,3−+，故选：C.【点睛】在求直线斜率时，要注意对直线的倾斜角是锐角、钝角或直角进行分类讨论，必要时可结合正切函数图象来理解.8．B【分析】运用向量的线性运用表示向量111222AEABBCA

P=++，对照系数，求得,,xyz，代入可得选项.【详解】因为()AEABBCCEABBCEPABBCAPAE=++=++=++−，所以2AEABBCAP=++，所以111222AEABBCAP=++，所

以111,2,3222xyz===，解得111,,246xyz===，所以11111++24612xyz++==，故选：B.9．ACD【分析】求得,ab的坐标，根据向量共线、向量夹角、向量垂直、向量的模等知识对选项逐一分析，由此确定正确选项.【详解】由于1e，2e是两

个相互垂直的单位向量，故可设()()1,2,,1ab=−=.对于A选项，//abrr，则()11122=−=−，A正确.对于B选项，12cos,10510ababab===，B错误.对于C选项，202ab=−==.当2=时，5,5a

b==，C正确.对于D选项，()2111ab+=++，D选项正确.故选：ACD10．BC【分析】利用空间向量的基本定理求解判断.【详解】因为点N为BC中点，所以111()222ANACABcba=+=+−，MNONOM=−，12()23OBOCOA=+−，

112223bca=+−；23CMCOOMca=+=−+；23BMBAAMab=+=−，故选：BC11．BCD【分析】要理解题目中有向距离的概念，点在直线上方时为正，下方时为负，绝对值代表点到直线的距离，根据各选项判断即可【详解】设()

111,Pxy,()222,Pxy,选项A,若121dd==,则221122axbycaxbycab++=++=+,则点12,PP在直线的同一侧，且到直线距离相等，所以直线12PP与直线l平行,所以正确

;选项B,点12,PP在直线l的两侧且到直线l的距离相等,直线12PP不一定与l垂直,所以错误;选项C,若120dd==,满足120dd+=,即11220axbycaxbyc++=++=,则点12,PP都在直线l上,所以此时直线12

PP与直线l重合,所以错误;选项D,若120dd,即()()11220axbycaxbyc++++,所以点12,PP分别位于直线l的两侧或在直线l上,所以直线12PP与直线l相交或重合,所以错误.故选：BC

D12．AC【分析】以点A为坐标原点，AB、AD、1AA所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可判断ABD各选项的正误，利用锥体的体积公式可判断C选项的正误.【详解】以点A为坐标

原点，AB、AD、1AA所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系.则()0,0,0A、()1,0,0B、()1,1,0C、()0,1,0D、()10,0,1A、()11,0,1B、()11,1,1C、()10,1,1D，设点()

0,0,Ha，其中01a.对于A选项，()1,1,CHa=−−，()1,1,0BD=−，则()211100CHBDa=−−+=，所以，CHBD⊥，A选项正确；对于B选项，设平面11ABD的法向量为()111,,mxyz=，()11,0,1AB=，()10,1

,1AD=，由11111100mABxzmADyz=+==+=，取11z=−，可得111xy==，则()1,1,1m=−，设平面1ABC的法向量为()222,,nxyz=，()1,1,0AC=，由1222200nABxznACxy

=+==+=，取21x=，则221yz==−，所以，()1,1,1n=−−r，11cos,333mnmnmn===，所以，二面角11DABC−−的大小不是23，B选项错误；对于C选项，11//AACC，1AA平面1BCC，1CC平面1BCC，1/

/AA平面1BCC，H到平面1BCC的距离等于点A到平面1BCC的距离，而点A到平面1BCC的距离为1，即三棱锥1HBCC−的高为1，因此，11211111113326HBCCBCCVS−===△，C选项正确；对于D选项，CH⊥平面，则CH

为平面的一个法向量，且()1,1,CHa=−−，又()1,0,0CD=−，221132cos,,32122CDCHCDCHCDCHaa===++，所以，直线CD与平面所成角的正弦值的取值范围为

32,32，D选项错误.故选：AC.【点睛】方法点睛：求空间角的常用方法：（1）定义法：由异面直线所成角、线面角、二面角的定义，结合图形，作出所求空间角，再结合题中条件，解对应的三角形，即可求出结果；（2）向量法：建立适当的空间直角坐标系

，通过计算向量的夹角（两直线的方向向量、直线的方向向量与平面的法向量、两平面的法向量）的余弦值，即可求得结果.13．2【分析】设平面,的夹角为，利用空间向量夹角公式得：2cos32==+urrurrmnmn，由

已知34sin6=，知21cos18=，建立关于的方程，解方程即可得到答案.【详解】设平面,的夹角为，又面的法向量(1,,1)n=，面的法向量(2,1,2)m=−−，则利用空间向量夹角公式得：2222cos1141432−−===+++++u

rrurrmnmn由已知得34sin6=，故222234341cos1sin116618=−=−=−=故2211832=+，即2222119(2)1822==++

，解得：2=故答案为：2【点睛】结论点睛：本题考查利用空间向量求立体几何常考查的夹角：设直线,lm的方向向量分别为,ab，平面,的法向量分别为,uv，则①两直线,lm所成的角为(02),cosabab=rrrr；②直线l与平面所成的角为(02),sinauau

=rrrr；③二面角l−−的大小为(0),cos.uvuv=rrrr14．15或75【分析】易知直线1:10lxy−+=与2:30lxy−+=平行，且它们之间的距离为：2，然后根据直线l被直线1:10lx

y−+=与2:30lxy−+=截得的线段长为22，求得直线l与1l与2l的夹角即可【详解】因为直线1:10lxy−+=与2:30lxy−+=平行，则1l与2l之间的距离为：1322d−==设直线l与1l与2l的夹角为，因为直线l被直线1:10lxy−+=与2:30l

xy−+=截得的线段长为22，则21sin222==，解得30=，因为两直线的斜率为1，故倾斜角为45，所以直线l的倾斜角的值为15或75故答案为：15或75【点睛】本题主要考查两平行间的距离两直线的夹角，直线的倾斜角的定义，还考查了运算求解的能力，属于中档题.15．()7,22

,5−−−【分析】利用()()20abkab+−去掉反向的情形即得．【详解】由()()1,1,0,1,0,2ab==−rr，()1,,2kabkk+=−，()23,22ab−=−，

所以()()()231240aakkbbk−=+−+−，解得75k若kab+与2ab−反向，则()20akabb−+=，则21k==−，所以2k=−所以kab+与2ab−的夹角为钝角则75k且2k−综上k的范围是()7,22,5−−−．故答

案为：()7,22,5−−−【点睛】思路点睛：本题考查向量的夹角与向量的数量积的关系，根据向量夹角求参数时，可由,ab是两个非零向量，则,ab夹角是锐角时，0ab，,ab夹角是钝角时，0ab

，反之要注意,ab可能同向也可能反向．属于中档题.16．1414【分析】设AB=a，根据条件求出1AD→·1BD→和|1AD→|，|1BD→|，由∠AD1B=π3求出a，进而求出1AB→·1BC→和|1

AB→|，|1BC→|，最后求出结果.【详解】设AB=a，1AD→=1AA→+1,ADBD→→=BA→+1BB→+BC→，则1AD→·1BD→=1AA→·BA→+1AA→·1BB→+1AA→·BC→+AD→·BA→+AD→·1BB→+AD→·BC→=0+1+0+0+0+1=2，易得：|1AD→|=

2，|1BD→|=22a+.因为∠AD1B=π3，所以1122cos,22ADBDa→→+=12，得a=6(负值舍去)，∵1AB→=1AA→+1ABBC→→，=1BB→+BC→，∴1ABBC→→=1AA→·1BB→+1AA→·BC→+1ABBB→→+ABBC×=1+0+0+0=1，又|

1AB→|=7，|1BC→|=2，∴cos<1ABBC→→>=11||||ABBCABBC→→→→=172=1414.故答案为：1414.17．（1）2100xy+−=；（2）14.【分析】（1）先求出直线AB的斜率，再利用点斜式写出直线AB的方程；（2）

先求得点C到直线AB的距离和AB，代入三角形面积公式求解.【详解】（1）直线AB的斜率为26242−=−−，直线AB的方程为：()224yx−=−−，即2100xy+−=.（2）点C到直线AB的距离()222201014512d−+−==+，()()22246225AB=−+−=，故A

BC的面积为1142SABd==.18．（1）33；（2）2114.【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量法计算出二面角1CDEC−−的余弦值，进而求得正弦值.（2）利用向量法计算出直线1EC与1FD所成角的

余弦值.【详解】（1）以A为原点，AB、AD、1AA分别为x轴、y轴、z轴的正向建立空间直角坐标系，则()0,3,0D、()10,3,2D，()3,0,0E，()4,1,0F，()14,3,2C，()4,3,0C()3,3,0DE=−，

()11,3,2EC=，()14,2,2FD=−，设(),,nxyz=为平面1CDE的一个法向量，则有1nDEnEC⊥⊥，∴330320xyxyz−=++=，∴()1,1,2n=−−，∵()10,0,2AA=

与平面CDE垂直，∴n与1AA所成的角为二面角1CDEC−−的平面角或其补角.∴()()111010226cos3114004nAAnAA−+−+===++++，∴23sin1cos3=−=，∴二面角1CDEC−−的正弦值为

33.（2）设直线1EC与1FD所成的角为，则()()122221212114322221cos14132224ECFDECFD−++=++−==++，∴直线1EC与1FD所成角余弦值为2114.19．（1）2m=；（2）()3,2−；（3）

45.【分析】（1）将点()1,1−的坐标代入直线2l的方程可求得实数m的值；（2）联立两直线的方程，可求得两直线的交点坐标；（3）记直线1l和直线2l的交点为()3,2A−，在直线1l上取点()2,0B−，在直线2l上取点()1,1C−，计算出cos,ABAC，即可得解.【详解】（1）将点

()1,1−的坐标代入直线2l的方程可得110m−+−=，解得2m=；（2）由（1）可知，直线2l的方程为210xy+−=，联立两直线方程240210xyxy++=+−=，解得32xy=−=，所以，直线1l和直线2l的交点

坐标为()3,2−；（3）记直线1l和直线2l的交点为()3,2A−，在直线1l上取点()2,0B−，在直线2l上取点()1,1C−，则()1,2AB=−，()2,1AC=−，因为44cos,555A

BACABACABAC−===−，因此，直线1l和直线2l的夹角的余弦值为45.20．（1）证明见解析；（2）15．【分析】（1）设AO交BE于G，然后得出AFAGAPAC=，进而得到FG∥PC，最后根据线面平行的判定定理得到答案；（2）以O

为原点，OA，OB，OP分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系Oxyz−，进而利用空间向量夹角公式求出二面角的余弦值.【详解】（1）设AO交BE于G，连结FG，因为O，E分别是BD，AD的中点，则G为ABD△的重心，所以23AGAO=，易知O为

AC的中点，所以13AGAC=．又因为3APAF=，所以13AFAGAPAC==，所以FG∥PC，又因为FG平面BEF，PC平面BEF，所以PC∥平面BEF．（2）如图，以O为原点，OA，OB，OP分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系Oxyz−．设1OB=．在菱形ABCD中，因为60ADB

=，所以ABD△是等边三角形，故3OA=．又因为60BPD=，PO⊥平面ABC，所以3PO=．所以()3,0,0A，()0,1,0B，()0,0,3P，()0,1,0D−，所以()3,1,0AD→=−−，()3,0,3AP→=−，()3,1,0AB

→=−，设平面PAD（即平面AFE）的一个法向量为(,,)mxyz→=，由3000330xymADmAPxz−−===−+=，取1x=，则()1,,13m→=−.设平面PAB（即平面FAB）的一

个法向量为(,,)nabc→=，由3000330abnABnAPac−+===−+=，取a=1，则()1,,13n→=.所以1|cos,|||5||||mnmnmn→→→→→→==．由图可知，二面角BAFE−−为锐角，所以二面角BAFE−−的余弦

值为15．21．12PMPD=【解析】试题分析：（Ⅰ）在几何体中证明线线垂直的问题，要考虑证明线面垂直，这里只要找到AB⊥平面PAC.（Ⅱ）建立平面直角坐标系，找到平面ACM和平面ACD的法向量，,易

得，设平面的一个法向(0,22,2)(01)PMPD==−(0,22,22)M−AMC量为,则，得到12(2,2,)1n=−−，又平面的一个法向量为2(0,0,1)n=，12121

2|||cos,|nnnnnn==2cos452=,解得试题解析：解：(Ⅰ)如图,设为的中点,连结,则,所以四边形为平行四边形,故,又,所以,故,又因为平面,所以,且,所以平面,故有(Ⅱ)如图,以为原点,分别以射线为轴的正半轴,建立空间直角坐标系.则,设,易得,设平面的一个法

向量为,则,令得22,1xz=−=−,即12(2,2,)1n=−−.又平面的一个法向量为2(0,0,1)n=,由题知12122122||||1|cos,|24()1nnnnnn−==+−2cos452==,解得,考点：空间立体几何.22．（1）证明见解析；（2）7772

59.【分析】（1）由平面DAC⊥平面BAC，可得BC⊥面DAC，由线面垂直的性质可得BCAD⊥；（2）以C为原点，,CACB所在直线分别为,xy轴建立如图的空间直角坐标系，利用空间向量求解即可【详解】1(

,,)xyz=n112222022(22)0ACxyAMyz=+==+−=nnACD12=EBCAE,//ADECADEC=AECDAEBC⊥22AEBEEC===45ABCACB==ABAC⊥PA⊥

ABCDABPA⊥PAACA=AB⊥PACABPC⊥A,,AEADAP,,xyzAxyz−(0,0,0),(22,0,0),(22,22,0),(22,22,0),(0,22,0),(0,0,2)AEBCDP−(0,22,2)(01)PMPD==−(0,22,22)

M−AMC1(,,)xyz=n112222022(22)0ACxyAMyz=+==+−=nn2,y=ACD12=（1）在图2中，平面DAC⊥平面BAC，平面DAC平面BACAC

=，BC面BAC且BCAC⊥，BC⊥面DAC.又ADQ面DAC，所以BCAD⊥得证.（2）根据题意，以C为原点，,CACB所在直线分别为,xy轴建立如图的空间直角坐标系.在图1中，90,30,4ACBADCDACCABAB=====，232,23,3,3BCACCDCM

ACAM====−=.()()2333,0,0,3,1,0,0,2,0,,0,322MEBD()333,1,0,,1,,3,1,0.322EMEDEB=−−=−−=−设面MDE的法向量()11

1,,nxyz=，11111303230xyxyz+=−−+=，令133x=，得113,1,yz=−=，()33,3,1n=−设面DEB的法向量()222,,mxyz=，22222323030xyzxy−−+=−+=，令21x=，得223,

yz==，()1,3,3m=.设面MDE与面DEB所成锐二面角为，3777cos259377mnmn===面MDE与面DEB所成锐二面角的余弦值为777259.