【文档说明】【精准解析】陕西省西安中学2019-2020学年高一下学期期末考试数学试卷.doc，共(16)页，1.108 MB，由小赞的店铺上传

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西安中学2019-2020学年度第二学期期末考试高一数学试题一、选择题1.193−是（）A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角【答案】D【解析】【分析】将193−表示为()2kkZ+的形式，由此判断出其所在象限.【详解】依题意，19633−=−−，所以19

3−是第四象限角.故选：D【点睛】本小题主要考查终边相同的角，属于基础题.2.下列命题正确的是（）A.若向量//abrr，则a与b的方向相同或相反B.若向量//abrr，//bc，则//acC.若两个单位向量互相平行，则这两个单

位向量相等D.若向量ab=，bc=，则ac=【答案】D【解析】【分析】根据向量共线、向量相等的知识对选项逐一分析，由此确定正确选项.【详解】对于A选项，向量//abrr，可能0b=，此时不能得到a与b的方向相同或相反，故A选项错误.对于B选项，向量//abrr，//bc，可能0b=

，此时不能得到//ac，故B选项错误.对于C选项，两个单位向量相互平行，可能方向相反，此时不能得到两个向量相等，故C选项错误.对于D选项，根据向量相等的知识可知D选项正确.故选：D【点睛】本小题主要考查向量共线、相等的知识，考查对

于零向量的理解，属于基础题.3.(2015新课标全国Ⅰ理科)oooosin20cos10cos160sin10−=A.32−B.32C.12−D.12【答案】D【解析】原式=oooosin20cos10cos20sin10+=osin30=12，故选D.考点：本题主要考查诱导

公式与两角和与差的正余弦公式.4.在△ABC中，c＝3，A＝75°，B＝45°，则△ABC的外接圆面积为A.4B.πC.2πD.4π【答案】B【解析】【分析】根据正弦定理可得2R＝sincC，解得R＝1，故△ABC的外接圆面积S＝πR2＝π.【详解

】在△ABC中，A＝75°，B＝45°，∴C＝180°－A－B＝60°.设△ABC的外接圆半径为R，则由正弦定理可得2R＝sincC，解得R＝1，故△ABC的外接圆面积S＝πR2＝π.故选B.【点睛】本题主要考查正弦定理及余弦定理的应用以及三角形面积公式，属于难题.在解与三角形

有关的问题时，正弦定理、余弦定理是两个主要依据.解三角形时，有时可用正弦定理，有时也可用余弦定理，应注意用哪一个定理更方便、简捷一般来说,当条件中同时出现ab及2b、2a时，往往用余弦定理，而题设中如果边和正弦、余弦函数交叉出现时

，往往运用正弦定理将边化为正弦函数再结合和、差、倍角的正余弦公式进行解答.5.在△ABC中，若22tantanbAaB=，则△ABC的形状是（）A.直角三角形B.等腰或直角三角形C.等腰三角形D.等边三角形【答案】B【解析】试题分析：由22tantanbAaB=可得,即,故或,即或,所以是等腰或

直角三角形,故应选B.考点：同角三角函数的关系与正弦定理的综合运用.【易错点晴】本题以三角形的变角之间的关系22tantanbAaB=为背景考查的是三角形形状的判别的综合问题.求解时充分借助题设条件中的有效信息,利用先将题设条件22tantanbAaB=化为,再运用正弦定理和二倍角公式将其

化为,最后得到或,即或,所以是等腰或直角三角形.6.已知||2a=，向量a在向量b上的投影为3，则a与b的夹角为（）A.3B.6C.23D.2【答案】B【解析】记向量a与向量b的夹角为，a在b上的投影为cos2cosa=．a在b上的投影为3，3cos2=，0，，6

=．故选B．7.已知函数()()sin,042,0xxfxfxx=+，则()3f−的值为（）A.1−B.22C.1D.22−【答案】B【解析】【分析】根据分段函数解析式，求得()3f−的值.【详解】依题意()()()()(

)23321121sin42fffff−=−+=−=−+===.故选：B【点睛】本小题主要考查分段函数求值，属于基础题.8.已知()3sin30,601505+=，则cos为（）A.31010B.31010−C.43310−D.34310−【答案】D【解析】分析：先求出(

)cos30+的值，再把cos变形为00cos[(30)30]+−，再利用差角的余弦公式展开化简即得cos的值.详解：∵60150，∴90°＜30+＜180°，∴()cos30+=-45，∵cos=00cos[(30)30

]+−,∴cos=-45×33134325210−+=，故选D.点睛：三角恒等变形要注意“三看（看角看名看式）”和“三变（变角变名变式）”，本题主要利用了看角变角，00(30)30=+−，把未知的角向已知的角转化,从而完成解题目标.9.甲船在B岛的正南方10km处，且甲船以4km/h

的速度向正北方向航行，同时乙船自B岛出发以6km/h的速度向北偏东60的方向行驶，当甲、乙两船相距最近时它们航行的时间是（）A.150min7B.15h7C.20.5minD.2.05h【答案】A【解析】【分析】依题意画出图形，假设经过x小时两船相距最近，利用余

弦定理可得222820100CDxx=−+，当514x=时，2CD最小，即CD最小，两船相距最近，最后将小时换算成分钟即可得解.【详解】假设经过x小时两船相距最近，甲乙分别行至C，D如图所示：可知104BCx=−，6BDx=，

120CBD=，2222cosCDBCBDBCBDCBD=+−()()22110436210462xxxx=−++−22820100xx=−+，当514x=小时，即150min7x=时，距离最小.故选：A

．【点睛】本题考查利用余弦定理定理解决实际问题，考查逻辑思维能力和运算求解能力，属于常考题.10.若函数()sincos2sincos1fxxxxxa=+−+−在3,44−−上有零点，则实数a的取值范围（）A.2,2−

B.92,4−C.2,2−D.92,4【答案】A【解析】【分析】由题意结合函数零点的概念可得方程1sincos2sincosaxxxx−=+−在3,44−−上有解，令sincos2sincosyxxxx=+−，通过换元法求得y在3,

44−−上的值域即可得解.【详解】因为函数()sincos2sincos1fxxxxxa=+−+−在3,44−−上有零点，所以方程1sincos2sincosaxxxx−=+−在3,44−−上有解，设sincos2sin4tx

xx=+=+，3,44x−−，,204x+−，2,0t−，212sincostxx=+，2215sincos2sincos124yxxxxttt=+−=−+=−−+，当0t=时，y取得最大值1，当2t=−时，y取得最

小值21−−，故可得2111a−−−，22a−.故选：A.【点睛】本题考查了函数与方程的综合应用，考查了三角函数的性质及三角恒等变换的应用，考查了逻辑思维能力和运算求解能力，属于中档题.二、填空题11.在ABC中，D是BC的中点

，向量ABa=，向量ACb=，则向量AD=_____．（用向量a，b表示）【答案】()12ab+【解析】【分析】直接利用向量的加法的平行四边形法则，求出结果即可.【详解】因为D是ABC的边BC上的中点,向量ABa=,向量ACb=,所以向量112((2))AaDBAACb+=+=，故答案

为:()12ab+.【点睛】本题考查向量加法运算及其几何意义,难度容易.12.已知向量a与b满足2a=，3b=，a与b的夹角为56，()aab⊥+rrr，则ab+=______．【答案】233【解析】【分析】利用向量垂直的表示列方程，解方程求得的值，

进而求得ab+.【详解】依题意，2a=，3b=，a与b的夹角为56，()aab⊥+rrr，所以()225223cos4306aabaab+=+=+=−=rrrrrr，解得43=所以ab+=()22222abaabb+=++43164223332

9=+−+1642348333=−+==.故答案为：233【点睛】本小题主要考查向量垂直的表示，考查向量模的求法，属于中档题.13.已知函数()()sinfxAx＝＋（0A，0，）

在半个周期内的图象如图所示，则=______．【答案】6【解析】【分析】根据()fx的图象，依次求得,A和的值.【详解】根据()fx的图象可知2A=，2214362TT=−−=

===，所以()()2sinfxx=+.由2sin233f=+=得sin13+=，由于，即−，24333−+，所以326+==.故答案为：6【点睛】本小题主要考查根

据三角函数图象求参数，属于基础题.14.在锐角ABC中，1BC＝，2BA＝，则AC的取值范围为____________.【答案】()2,3【解析】解：在锐角△ABC中，BC=1，∠B=2∠A，∴π2＜3A＜π，且0＜2A＜π2，故π6＜A＜π4，故22＜cosA＜32．由

正弦定理可得1：sinA="b"：sin2A，∴b=2cosA，∴2＜b＜3．15.关于函数()()4sin23fxxx=−R，有下列命题：①43yfx=+为偶函数；②方程(

)2fx=的解集为,4xxkkZ=+；③()yfx=的图象关于点,03−对称；④()yfx=在0,2内的增区间为50,12和11,212；⑤()yfx=的振幅为4，频率为1，初相为3−．其中真命题的

序号为______．【答案】③⑤【解析】【分析】①利用三角函数的奇偶性判断真假；②解三角方程来判断真假；③利用代入法判断真假；④利用单调性的知识判断真假；⑤根据()sinyAωxφ=+的有关概念判断真假.【详解】①，依题意4474sin24sin24sin233333

yfxxxx=+=+−=+=+，令()4sin23gxx+=，则()4sin24sin233gxxx−=−++，所以①

错误.②，由()4sin223fxx=−=得1sin232x−=.当5236x−=，即712x=时，1sin232x−=，但7,124xxxkkZ==+，所以②错误.③，(

)24sin4sin0333f−=−−=−=，所以()yfx=的图象关于点,03−对称，即③正确.④，由于5104sin4sin30333f=−==

，()324sin44sin423332f=−=−=−=−，所以11,212不是()fx的增区间，所以④错误.⑤，()yfx=的振幅为4

，周期22T==，频率为11T=，初相为3−，所以⑤正确.故答案为：③⑤【点睛】本小题主要考查三角函数的奇偶性、对称性、单调性、和三角函数的概念，属于中档题.三、解答题16.已知角的顶点在原点，

始边与x轴的非负半轴重合，终边在射线()200xyx+=上．（1）求2sincos+的值；（2）若()1tan3+=，求()2212sinsin2sincos++−−的值．【答案】（1）355−；（2）34．

【解析】【分析】（1）根据三角函数的定义求得tan,sin,cos，由此求得2sincos+的值.（2）先求得tan的值，利用诱导公式、同角三角函数的基本关系式化简所求表达式，由此求得所求表达式的值.【详解】（1）因为角的终边在射线()200xyx+=

上，所以可设终边上一点()(),20Paaa−，则根据三角函数的定义有2tan2aa-==-，()22225sin52aaa−==−+−，()225cos52aaa=−=+，所以352sincos5+=−．（2）由tan2=-及()tantan1

tan1tantan3++==−，解得：tan7=；所以()22222212sinsinsincos2sincos2sincossincos++−+−=−−22tan12tantan1+−=−49114

363491484+−===−.【点睛】本小题主要考查三角函数的定义，考查两角和的正切公式，考查诱导公式、同角三角函数的基本关系式，属于中档题.17.ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知2cos(cos

cos)CaBbAc+=.（1）求角C；（2）若7c=，332ABCS=，求ABC的周长.【答案】（1）3C=（2）57+【解析】【详解】试题分析：（1）根据正弦定理把2cos(coscos)CaB

bAc+=化成2cos(sincossincos)sinCABBAC+=，利用和角公式可得1cos,2C=从而求得角C；（2）根据三角形的面积和角C的值求得6ab=，由余弦定理求得边a得到ABC的周长.试题解析：（1）由已知可得2cos(sincossincos)sinCABBA

C+=12cossin()sincos23CABCCC+===（2）1313sin362222ABCSabCabab===又2222cosababCc+−=2213ab+=，2()255abab+=+=ABC∴的周长为57+考点：正余弦定理解三角形.18.已知向

量()2sin,cosaxx=，()3cos,2cosbxx=，定义函数()1fxab=−．（1）求函数()fx的最小正周期；（2）求函数()fx的单调递减区间；（3）求函数()fx在区间,63−上的最值，并求出取得最值时x的值．【答案】（1）；（

2）2,63kk++（kZ）；（3）6x=时，()2maxfx=；6x=−时，()1minfx=−．【解析】【分析】先按照平面向量数量积的坐标公式和辅助角公式将函数化简为()2s

in26fxx=+，（1）按照2T=计算即可；（2）令3222262kxk+++，解出x的范围即可；（3）由,63x−可得52,666x+−，

然后求出函数的最值即可.【详解】()2123sincos2cos13sin2cos22sin26fxabxxxxxx=−=+−=+=+，（1）22T==；（2）令3222262kxk

+++，则263kxk++（kZ），即函数()fx的单调递减区间为2,63kk++（kZ）；（3）由,63x−可得52,666x+−当262x+=，即6x=时，()2max

fx=，当ππ266x+=-，即6x=−时，()1minfx=−．【点睛】本题考查平面向量数量积的坐标表示，考查三角恒等变换，考查三角函数的性质，考查逻辑思维能力和运算求解能力，属于常考题.19.已知在直角坐标系中（O为坐标原点），()2,5OA=，()3,1OB=，(),3OCx=．（1）若

A，B，C共线，求x的值；（2）当6x=时，直线OC上存在点M使MAMB⊥，求点M的坐标．【答案】（1）52x=；（2）()2,1或2211,55．【解析】【分析】（1）利用//ABBCuuuruuur，结合向量共线的坐标表

示列方程，解方程求得x的值.（2）设M点的坐标为()6,3，利用MAMB⊥，结合向量垂直的坐标表示列方程，解方程求得的值，进而求得M点的坐标.【详解】（1）()1,4ABOBOA=−=−；()3,2BCOCOBx=−=−∵A、B、C共线，∴//ABBCuu

uruuur∴()2430x+−=∴52x=．（2）∵M在直线OC上，∴设()6,3OMOC==∴()26,53MAOAOM=−=−−()36,13MBOBOM=−=−−∵MAMB⊥∴()()()()263653130−−+−−=即：2

4548110−+=解得：13=或1115=.∴()2,1OM=uuur或2211,55OM=．∴点M的坐标为()2,1或2211,55．【点睛】本小题主要考查向量共线、垂直的坐标表示，属于中档题.20.设()2co

ssincos1fxxxx=++．（1）求使不等式()32fx成立的x的取值集合；（2）先将()fx图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变；再向右平移4个单位；最后向下平移32个单位得到函数()hx的图象．若不等式()21cos03hxxm+

−在0,2上恒成立，求实数m的取值范围．【答案】（1）3,88xkxkkZ−++；（2）13m．【解析】【分析】（1）利用降幂公式和辅助角公式可得()23sin2242fxx=++，因此()32fx等价于s

in204x+，利用正弦函数的性质可求不等式的解集.（2）根据图象变换可得()2sin2hxx=，从而原不等式可化为2111coscos232xxm−++在0,2，换元后利用二次函数的性质可求

m的取值范围.【详解】解：()cos21111323sin21sin2cos2sin222222242xfxxxxx+=++=++=++.（1）()32fx即：233sin2sin2024224xx+++

()3222488kxkkxkkZ++−++，所以原不等式的解集为：3,88xkxkkZ−++.（2）()23sin2242fxx=++将图象上所有点的横坐标伸

长为原来的2倍，纵坐标不变,得23sin242yx=++；再向右平移4个单位，得23sin22yx=+；最后向下平移32个单位得到函数()2sin2hxx=，∴()222111111cossincoscoscos323232hxxxxxx+=+=−++.设cos

tx=，由0,2x可得：()0,1t，则原不等式等价于：2111232ttm−++在()0,1上恒成立；设()2111232gttt=−++，()0,1t，则()gt在10,3递增，在1,13递减，所

以()()113gtg=，所以13m．【点睛】形如()22sinsincoscosfxAxBxxCx=++的函数，可以利用降幂公式和辅助角公式将其化为()()sin2fxAxB=++的形式，再根据正弦函数的性质求与()fx相关的不等式或方程的求解问题．另外

，含cosx的二次式的恒成立问题，常通过换元转化为一元二次不等式在相应范围上的恒成立问题.