【文档说明】四川省双流棠湖中学2023-2024学年高三上学期10月月考数学（文）试题 含解析.docx，共(21)页，1.439 MB，由小赞的店铺上传

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棠湖中学高2021级高三10月考试数学（文史类）本试卷共4页，23小题，满分150分.考试用时120分钟.第I卷选择题（60分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项

是符合题目要求的.1.若集合()210,AxxxByyx=−==，则A.AB=B.ABC.AB=RD.BA【答案】B【解析】【详解】由题意，集合()210{|01},{|0}AxxxxxByyxyy=−

====，所以AB，故选B.2.下列函数中，在区间(0,)+上单调递增的是（）A.21yx=−B.11yx=+C.1()2xy=D.lgyx=【答案】D【解析】【分析】由二次函数，分式函数，指数函数，对数函数的函数特征分别讨论单调区间可

求解．【详解】选项A是开口向下，对称轴为x=0的二次函数，所以在()0,+是单调递减，不符．选项B为分式函数，定义域为{|1}xx−，所以只有两个减区间，也不符，选项C是底数属于(0,1)的指数函数，所以在R上单调递减，不符．选项

D是定义在()0,+上以10为底的对数函数，所以在()0,+上单调递增，符合，故选：D.3.下面四个条件中，使33ab成立的充要的条件是（）A.1ab+B.abC.22abD.ab【答案】D【解析

】【分析】结合立方差公式以及充要条件的概念即可求出结果.【详解】因为()()3322ababaabb−=−++()221324babab=−++因为2213024bab++

，所以ab，可得33ab；反之也成立，因为1ab+，则ab，但ab不一定有1ab+，故1ab+是33ab的充分不必要条件；而ab是33ab的既不充分也不必要条件；因为()()22ababab−=+−所以22ab是33ab的既不充分

也不必要条件；因此ABC不符合题意，故选：D.4.古代人家修建大门时，贴近门墙放置两个石墩.石墩其实算是门墩，又称门枕石，在最初的时候起支撑固定院门的作用，为的是让门栓基础稳固，防止大门前后晃动.不过后来不断演变，一是起到装饰作用，二是寓意“

方方圆圆”.如图所示，画出的是某门墩的三视图，则该门墩从上到下分别是（）A.半圆柱和四棱台B.球的14和四棱台C.半圆柱和四棱柱D.球的14和四棱柱【答案】D【解析】【分析】根据几何体的三视图直观想象出几何体的直观图，从而可得几何体的结构特征.【详

解】由几何体的三视图可知：该几何体上面是球的14，下面是放倒的四棱柱.故选：D【点睛】本题考查了几何体的三视图还原直观图，考查了空间想象能力，属于基础题.5.已知π0,2，且1sin3=，则πsin2

2+的值为（）A.79B.79−C.429D.429−【答案】A【解析】【分析】根据诱导公式及二倍角公式即得.【详解】π0,2，1sin3=，2π27sin2cos212sin1299+==−=−=.故选

：A.6.弹簧上挂的小球做上下振动时，小球离开平衡位置的距离()cmy随时间()sx的变化曲线是一个三角函数的图像（如图所示），则这条曲线对应的函数解析式是（）A.4sin23yx=+B.4sin6=+yxC.4sin23yx=−+

D4sin26yx=−+【答案】A【解析】【分析】由函数()fx的部分图像得到4A=或4A=−，并分别讨论4A=或4A=−时()fx的解析式【详解】解：设该曲线对应的函数解析式为())sin02(,fxAx＝+，由图可知，4A=或4A=−，722(

)1212T=−==，则2=，当4A=时，())4sin(2fxx＝+，由44si1n2()212f=＝+，解得2,Z3kk=+，因为02，所以3=，所以()()4sin23fxx＝+；当4A=−时，())4sin2(fxx=-+，由

44sn()12212if==-+，解得22Z3kk=−+，因为02，所以43=，所以()()44sin23fxx=-+；故选：A7.方程233102xaxaa+++=（＞）的

两根为tan，tan，且()22−，，，则+=A.4B.34−C.54D.4或34−【答案】B【解析】【分析】利用韦达定理求出tantan+与•tantan的值，由两角和的正切公式求得αβ1tan+=（），从而可得结果..【详解】∵方程2

33102xaxaa+++=（＞）的两根为tan，tan，且,22−，，∴360tantana+=−−＜＜，•3170tantana＞=+，再结合()+−，，故0tan＜，0tan＜，∴02−、（，），故0+−（，）．

又tantan11tantantan++==−（），∴34+=−，故选B．【点睛】三角函数求值有三类，(1)“给角求值”：一般所给出的角都是非特殊角，从表面上来看是很难的，但仔细观察非特殊角与特殊

角总有一定关系，解题时，要利用观察得到的关系，结合公式转化为特殊角并且消除非特殊角的三角函数而得解．(2)“给值求值”：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系．(3)“给值

求角”：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，确定角．8.将函数()2sinfxx=的图象向右平移6个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标变为原来的1(0)倍(纵坐标不变)，得到函数()gx的图象

，若函数()gx在区间(,)63上是增函数，则的取值范围是（）A.1(0,]2B.(0,2]C.(2,3)D.[3,)+【答案】B【解析】【分析】先根据图象变换求解出()gx的解析式，然后结合

正弦函数的单调增区间以及()gx的周期T的范围，列出关于的不等式组并求解出的取值范围.【详解】将函数()2sinfxx=的图象经过变化后得到()2sin()6gxx=−的图象，令22262kxk−+−+(

Zk)，即22233kxk−++(Zk)，∵()gx在(,)63上是增函数，∴(,)63x，又22()363T=−=，∴6，令0k=时63233−，解得02，当0k且Zk时，

不符合题意，故选：B.【点睛】思路点睛：已知正、余弦型函数()sinyAωxφ=+（或()cosyAx=+）的单调区间求解参数范围的步骤：（1）根据函数以及单调性列出关于x+的不等式；（2）将单调区间的端点值代入关于x+的不等式中，同时注意到单调区间的长度不

会超过半个周期2T=；（3）由（1）（2）列出关于参数的所有不等式，由此求解出参数范围.9.已知1ab，则以下四个数中最大的是（）A.logbaB.2log2baC.3log3baD.4log4ba【答案】A【解析】【分析】取特殊值

分别计算各个选项判断即可.【详解】1ab，令=4=2ab，,2log=log4=2ba，232423log2=log8=log2=2ba，3666613log3=log12=log6+log21log6122ba+=+=,48814log4=log16=1+log2=1+=.33

ba故最大的是logba.故选:A.10.已知()fx是定义在R上的奇函数，当0x时，2()2fxxx=+，若2(2)()fafa−，则实数a的取值范围是A.(2,1)−B.(1,2)−C.(,1)(2,)−−+D.(,

2)(1,)−−+【答案】A【解析】【详解】0x时，2()2fxxx=+所以0x，()fx单调递增，()fx是定义在R上的奇函数，所以()fx在R上单调递增．由2(2)()fafa−得22aa−，即2

20aa+−，解得21a−．11.设2ea=，33eb=，2e4ln4c=−，则（）A.abcB.cabC.acbD.cba【答案】B【解析】【分析】首先构造函数()lnxfxx=，利用导数判断函数的单调性，再利用()()24ff=，判断函数值的大小，即可判断选

项.【详解】ee1lne2a==，333ee1lne3b==，2224222eee2eeelnlnln422c===，设()lnxfxx=，0x且1x，令()()2ln10lnxfxx−==，得ex=，当1ex

时，()0fx，函数单调递减，当ex时，()0fx¢>，函数单调递增，因为()()4242ln4ln2ff===，且23e1ee2e42，所以()()()()23eee242fffff=，即.cab

故选：B12.在正三棱锥P-ABC中，D，E分别为侧棱PB，PC的中点，若ADBE⊥，且7AD=，则三棱锥P-ABC外接球的表面积为（）A354B.725C.1087D.1529【答案】C【解析】【分析】结合题意，利用三角形相似得到7

ADBE==，取线段PE的中点F，连接DF，AF，利用余弦定理和勾股定理求出外接球半径，代入外接球的表面积公式即可求解.【详解】如图，因为P-ABC为正三棱锥，所以PABPBCPAC△≌△≌△，7ADBE==．.取线

段PE的中点F，连接DF，AF，因为D为PB的中点，所以DFBE∥，12DFBE=．因为AD⊥BE，所以ADDF⊥．在RtADF中，27ADDF==，由勾股定理，得352AF=．设APB=，PA=x

，在PAD中，由余弦定理的推论，得22217574cos1422xxxxx+−==−①．同理，在PAF△中，由余弦定理的推论，得2221351735164cos18224xxxxx+−==−②．联立①②，解得2

3x=，2cos3=．在PAB中，由余弦定理，得2222222cos(23)(23)2232383ABPAPBPAPBAPB=+−=+−=，所以22AB=．取ABC的中心1O，连接1PO，1AO，则1PO⊥平面ABC，三棱锥P-ABC的外接球球心O在1PO上，连接OA，设外接球半径为

R．在1RtPAO中，OA=R，13226233AOAB==，所以22221126221(23)33POPAAO=−=−=，所以112213OOPORR=−=−，所以22211AOOOAO=+，即2222212633RR=−+，解得321

7R=，所以所求外接球的表面积为210847R=．故选：C．第II卷非选择题（90分）二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13.已知i是虚数单位，则复数1i1i+−的实部为______.【答案】0【解析】【分析

】利用复数的除法计算即得解.【详解】解：21i(1i)2i==i1i(1i)(1+i)2++=−−，所以复数的实部为0.故答案为：014.若x，y满足10010xyxyx−+−−，则2yx−

的最小值是________．【答案】1【解析】【分析】作出不等式组表示的平面区域，再利用目标函数的几何意义计算作答.【详解】作出不等式组10010xyxyx−+−−表示的平面区域，如图中阴影区域，其中点(1,1)A，(1,2)B，令2yxz−=，即122zyx=

+表示斜率为12，纵截距为2z的平行直线系，画直线0l：12yx=，平移直线0l到直线1l，当直线1l过点A时，直线1l的纵截距最小，z最小，min2111z=−=，所以2yx−的最小值是1.故答案为：115.已知函数()2(0)fxaxa=+，若0[2,2]x−

，使0()0fx成立，则实数a的取值范围是___________.【答案】(,1)−−【解析】【分析】不等式存在性问题，转化成求最值，解不等式即可.【详解】因为()2(0)fxaxa=+在[2,2]−单调递减，所以当x=2

时，f(x)取最小值2a+2若0[2,2]x−，使0()0fx成立，只需f(x)min<0即可，即220a+，得1a−，满足a<0.所以实数a的取值范围(,1)−−.故答案为：(,1)−−.【点睛】结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问

题，可按如下规则转化：一般地，已知函数(),,yfxxab=，(),,ygxxcd=（1）若1,xab，2,xcd，总有()()12fxgx成立，故()()2maxminfxgx；（2）若1,xab，2,xcd

，有()()12fxgx成立，故()()2maxmaxfxgx；（3）若1,xab，2,xcd，有()()12fxgx成立，故()()2minminfxgx；（4）若1,xab，2,xcd，有()()12fxgx=，则()fx的值域是()gx值域的子

集．16.关于函数32()fxxax=−有如下四个结论：①对任意aR，()fx都有极值；②曲线()yfx=的切线斜率不可能小于23a−；③对任意aR，曲线()yfx=都有两条切线与直线1yx=−平行；④存在aR，使得曲线()yfx=只有一条切线与直线1yx=−平行．其

中所有正确结论的序号是______．【答案】②④【解析】【分析】举反例否定①；求得导函数()fx的取值范围判断②；取特例否定③；取特例证明④.【详解】对①：当0a=时，3()fxx=，()fx为增函数，无极值.所以①错误;

对②：2222()323333aaafxxaxx=−=−−−，所以②正确．对③：当1a=时，32()fxxx=−，2()32fxxx=−设切点32(,)Mttt−，由2321tt−=，可得1t=或13t=−则切点为(1,0)M或14(,)327M−−则所

求切线方程为1:1lyx=−或25:+27lyx=这两条切线中25:+27lyx=与1yx=−平行，1:1lyx=−与1yx=−重合.即当1a=时，曲线()yfx=只有一条切线与直线1yx=−平行，且这条切线的切点的横坐标为13−，所以③错误；对④：由③可

知，④正确．故答案为：②④三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17.如图，在△ABC中，∠ACB＝π2，

BC＝2，P是△ABC内的一点，△BPC是以BC为斜边的等腰直角三角形，△APC的面积为32．（1）求PA长；（2）求cos∠APB的值．【答案】（1）5；（2）31010−.【解析】【分析】（1）利用等腰直角三角形的性质，求得,PCPCA的值，利用面积公式求得AC的长，

再由余弦定理求得PA的长；（2）在三角形APC中，用正弦定理求得sinAPC的值，再利用诱导公式求得cosAPB的值.【详解】（1）由题设∠PCA＝π4，PC＝2，12AC·PC·sinπ4＝32，得AC＝3

．（或由题设12AC·12BC＝32，得AC＝3．）在△PAC中，由余弦定理得PA＝22π2cos4ACPCACPC+−＝5．（2）在△APC中，由正弦定理得sinsinACPAAPCPCA=，得sin∠APC＝31010．于是

cos∠APB＝cos(3π2－∠APC)＝－sin∠APC＝31010−．【点睛】本小题主要考查解三角形，考查正弦定理和余弦定理的应用.题目的突破口在于三角形BPC为等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得出角度和边长，再结合正弦定理和余弦定理适用的条件，即可求得题目所求.属于中档题

.18.已知函数22()mxfxxm=−，且0m．（1）当1m=时，求曲线()yfx=在点()0,0处的切线方程；（2）求函数()fx的单调区间；（3）若函数()fx有最值，写出m的取值范围．（只需写出结论）【答案】（1）0xy+=（2）答案

见解析（3）0m【解析】【分析】（1）求出函数的导函数，即可求出切线的斜率，即可求出切线方程；（2）求出函数的导函数，分0m和0m两种情况讨论，讨论导函数的符号变换，进而得到函数的单调区间；（3）由（2）中的结论判断即可.【小问1详解】解：当1m=时，由题设知

()21xfxx=−.因为()()22211xfxx+=−−，所以()01f=−.所以()fx在()0,0处的切线方程为0xy+=.【小问2详解】解：因为()22mxfxxm=−，所以()()2222xmf

xmxm+=−−.当0m时，定义域()()(),,,mmmm−−−+.且()()22220xmfxmxm+−=−故()fx的单调递减区间为(),m−−，(),mm−，(),m+，当0m时，定义域为R，当x变化时，()fx，()fx的变化情况如下表：x(),m−

−−m−−(),mm−−−m−(),m−+()fx−0+0−()fx单调递减极小值单调递增极大值单调递减为故()fx的单调递减区间为(),m−−−，(),m−+，单调递增区间为(),mm−−−．综上所述，当0m时，()fx

的单调递减区间为(),m−−，(),mm−，(),m+，当0m时，故()fx的单调递减区间为(),m−−−，(),m−+，单调递增区间为(),mm−−−．【小问3详解】解：由（2）可知要使函数()fx有最值，则0m，使得函数在(),m−−−上单调递减，在(),

mm−−−上单调递增，在(),m−+上单调递减，且当0x时()0fx，当0x时()0fx，所以()fx在xm=−−处取得极小值即最小值，在xm=−处取得极大值即最大值.19.如图，在四棱锥PABCD−中，底

面ABCD是菱形，60DAB=，PAPD=，G为AD的中点．（1）求证：ADPB⊥；（2）若E为BC边中点，能否在棱PC上找到一点F，使DFAD⊥？请证明你的结论．【答案】（1）证明见解析（2）当F为PC中点时，DFAD⊥；证明见解析【解析】【分析】（1）根据等腰三角形三线合

一性质可得,BGADPGAD⊥⊥，由线面垂直的判定与性质可证得结论；（2）利用面面平行的判定可证得平面//DEF平面PBG，由此可得AD⊥平面DEF，由线面垂直的性质可证得结论.【小问1详解】连接BD，的四边形ABCD为菱形，ABAD=，又60DAB=，ABD为等边三角形，

G为AD中点，BGAD⊥；PAPD=，G为AD中点，PGAD⊥，又BGPGG=，,BGPG平面PBG，AD⊥平面PBG，PB平面PBG，ADPB⊥.【小问2详解】当F为PC中点时，DFAD⊥，证明如下：,EF分别为,BCPC中点，//EFPB，又EF平面PBG，PB平面P

BG，//EF平面PBG；,EG分别为,BCAD中点，//BEDG，BEDG=，四边形BEDG为平行四边形，//DEBG，又DE平面PBG，BG平面PBG，//DE平面PBG，又DEEFE=，,DEEF平面DEF，平面//DEF平面PBG，由（1）知：AD⊥平

面PBG，AD⊥平面DEF，DF平面DEF，DFAD⊥.20.已知函数()()1sinsincos2fxxxx=+−（0）图象的相邻两条对称轴之间的距离为2．（1）求()fx的单调递增区间以及()fx图象的对称中心

坐标；（2）是否存在锐角，，使2π23+=，3π3π2228ff++=同时成立？若存在，求出角，的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）递增区间为π3π4,422kk−++（Zk）；对称中心的坐标为π2,02k

+（Zk）（2）存在；3=，6πβ=【解析】【分析】（1）根据三角恒等变换化简解析式，再根据正弦型函数图象性质求解即可；（2）由诱导公式可得π3π132sincos22228ff++==

，又2π23+=，代入化简可得π3=，π6=。【小问1详解】解：()()211sinsincossinsincos22xxxxxxfx=+−=+−1cos211112sin2sin2cos2sin2222224π2xxxxx

−=+−=−=−，由()fx图象的相邻两条对称轴之间的距离为2π，得()fx的最小正周期2π4π2T==，解得14=．所以()21πsin224fxx=−，由π1ππ2π2π2242kxk−+

−+（kZ），得π3π4π4π22kxk−++（kZ），所以()fx的递增区间为π3π4π,4π22kk−++（kZ），由1ππ24xk−=（kZ），得π2π2xk=+（kZ）；所以()fx图象的对称中心的坐标为π2π,0

2k+（kZ）．【小问2详解】解：存在．因为π2sin222f+=，3π2π22sincos2222f+=+=，所以π3π132sincos22228ff++==，

所以3sincos24=．又2π23+=，2π23=−，所以π3sincossincos234=−=，即313cossincos224−=，即2313cossincos224−=，即31cos213

sin22244+−=，即3cos2sin20−=，所以tan23=，由为锐角，得02π，所以π23=，π6=，从而2ππ233=−=．故存在π3=，π6=符合题意．21.已知

函数()()22lnRfxxaxaxa=−−．（1）若()0fx恒成立，求a的取值范围；（2）记()()gxfxax=+，若()gx在区间1,ee上有两个零点，求a的取值范围．【答案】（1）122,1e−；（2）)(,22,eeee−−

.【解析】【分析】（1）利用()fx的导数判断函数的单调性，求出()fx的最小值，令min()0fx≥即可求出a的取值范围；（2）()gx有两个零点等价于()0gx=有两个根，分离参数得22lnxax=，则2ya=与()2lnx

hxx=有两个交点，即可求出a的取值范围.【详解】（1）()()()222xaxaafxxaxx−+=−−=，令()0fx¢=，解得1xa=，22ax=−，当0a=时，显然成立，当0a时，()fx在()0,a上单调递减，在(),+a上单调递增，则()()2minln0f

xfaaa==−，解得01a，当a<0时，()fx在0,2a−上单调递减，在,2a−+上单调递增，则()222minln02422aaaafxfa=−=+−−，解得1220ea−，综上，实数a

的取值范围为122,1e−；（2）显然1x=不是()gx零点，由()0gx=得22lnxax=，令()2lnxhxx=，则()()()22ln1lnxxhxx−=，令()0hx=，解得12xe=，当1,1xe和(1,xe时，()0hx，()hx单调

递减，当(),xee时，()0hx，()hx单调递增，又1,1xe时，()0hx不成立，∴只需()122222aheeahee==，∴实数a的取值范围为)(,22,eeee−−．【点睛】本题主要考查含有参数得不等式恒成

立问题中参数得取值范围，以及根据函数零点个数求参数范围，此类问题需要利用导数讨论函数得单调性，求函数得最值，属于综合题.（二）选考题：共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程

]（10分）22.在平面直角坐标系中，曲线C的参数方程为2cossinxy==(为参数)．以原点О为极点，x轴的非负的半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标为242cos+=（1）求曲

线C的普通方程与直线l的直角坐标方程；（2）设直线l与曲线C交于,AB两点，点Р的坐标为(2,0)，证明：直线,PAPB关于x轴对称．【答案】（1）2212xy+=；10xy−−=；（2）证明见解析．【解析】【分析】（1）利用同角的三

角函数关系式把曲线C的参数方程化成普通方程，利用直角坐标方程与极坐标方程互化公式，结合两角和的余弦公式把直线l的极坐标方程，化成直角坐标方程；（2）通过解方程组求出,AB两点坐标，根据直线斜率公式进行证明即可.【

详解】（1）由曲线C的参数方程2cossinxy==（a为参数）可得曲线C的普通方程为2212xy+=．直线l的极坐标方程可变形为：2(coscossinsin)442−=cossin10−−

=，于是，其直角坐标方程为10xy−−=．（2）由方程组221012xyxy−−=+=消元，有2340xx−=．由此可知，点,AB的坐标分别为()410,1,,33−直线,PAPB的斜

率分别为12101113,4022223kk−−====−−−所以，1211022kk+=+−=于是，直线,PAPB关于x轴对称．[选修4-5：不等式选讲]（10分）23.已知函数()21fxxx=++−（1）求不等式()8fxx+的解集；（2）记函数()yf

x=的最小值为k，若,,abc是正实数，且33112kakbkc++=，求证239abc++.【答案】（1）不等式的解集为(),37,x−−+，（2）证明见详解【解析】【分析】（1）分3种情况解出即可（2）首先求出3k=，即可得到111123abc++=，然后()12233

2323323233211aabbccabcabcabcbcacab++=++++=++++++，用基本不等式即可证明.【详解】（1）()218fxxxx=++−+等价于1218xxx++或2138xx−+或2218xxx−−−+

解得7x或x或3x−所以不等式的解集为(),37,x−−+（2）因为()212(1)3fxxxxx=++−+−−=当2,1x−时等号成立，所以()fx的最小值为3，即3k=所以111123abc++=所以()122332323323233211aabbccabcabc

abcbcacab++=++++=++++++23233322292332abacbcbacacb=+++++++++=当且仅当23abc==时等号成立【点睛】本题考查的是含绝对值不等式的解法及利用基本不等式求最值，

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