2021-2022高中数学人教版必修5作业:3.4基本不等式 (系列一)含解析

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以下为本文档部分文字说明:

第三章3.4基本不等式基础巩固一、选择题1.若a、b∈R,且ab>0,则下列不等式中,恒成立的是()A.a2+b2>2abB.a+b≥2abC.1a+1b>2abD.ba+ab≥2[答案]D[解析]∵a2+b2-2ab=(a-b)2≥0,∴A错误.对于B、C,当a<0,b<0时,明显错误.对

于D,∵ab>0,∴ba+ab≥2ba·ab=2.2.设0<a<b,则下列不等式中正确的是()A.a<b<ab<a+b2B.a<ab<a+b2<bC.a<ab<b<a+b2D.ab<a<a+b2<b[答案]B[解析]∵0<a<b,∴a<a+b2<b,A、C错误;

ab-a=a(b-a)>0,即ab>a,故选B.3.设x、y∈R,且x+y=5,则3x+3y的最小值为()A.10B.63C.46D.183[答案]D[解析]x+y=5,3x+3y≥23x·3y=23x+y=235=18

3.4.已知正项等差数列{an}中,a5+a16=10则a5a16的最大值为()A.100B.75C.50D.25[答案]D[解析]∵a5>0,a16>0,a5+a16=10,∴a5·a16≤(a5+a162)2=(102)2

=25,当且仅当a5=a16=5时,等号成立.5.设a>0,b>0,若3是3a与3b的等比中项,则1a+1b的最小值为()A.8B.4C.1D.14[答案]B[解析]根据题意得3a·3b=3,∴a+b=1

,∴1a+1b=a+ba+a+bb=2+ba+ab≥4.当a=b=12时“=”成立.故选B.6.若0<a<1,0<b<1,且a≠b,则a+b,2ab,2ab,a2+b2中最大的一个是()A.a2+b2B.2abC.2abD.a+b[答案]D[解析]解法一

:∵0<a<1,0<b<1,∴a2+b2>2ab,a+b>2ab,a>a2,b>b2,∴a+b>a2+b2,故选D.解法二:取a=12,b=13,则a2+b2=1336,2ab=63,2ab=13,a+b=56,显然56最大.二、填空题7.设实数a使a2+a-2>0成立,t>0,比

较12logat与logat+12的大小,结果为________________.[答案]12logat≤logat+12[解析]∵a2+a-2>0,∴a<-2或a>1,又a>0且a≠1,∴a>1,∵t>0,∴t+12≥t,∴logat+12≥logat=

12logat,∴12logat≤logat+12.8.函数y=x·(3-2x)(0≤x≤1)的最大值为______________.[答案]98[解析]∵0≤x≤1,∴3-2x>0,∴y=122x·(3-2x)≤12[2x+3-2x2]2=98,当且仅当2x=3-2x即x=3

4时,取“=”号.三、解答题9.已知a、b是正数,试比较21a+1b与ab的大小.[解析]∵a>0,b>0,∴1a+1b≥21ab>0.∴21a+1b≤221ab=ab.即21a+1b≤ab.10.已知直线

l过点P(2,1),且与x轴、y轴的正半轴分别交于A、B两点,O为坐标原点,求三角形OAB面积的最小值.[解析]设A(a,0)、B(0,b),则直线AB的方程为xa+yb=1,又直线过点P(2,1),∴2a+1b=1∴1=2a+1b≥22ab,∴a

b≥8.当且仅当2a=1b即a=4,b=2时等号成立.∴S△OAB的最小值为12×8=4.一、选择题1.已知x>0,y>0,lg2x+lg8y=lg2,则1x+13y的最小值是()A.2B.22C.4D.23[答案]C[解析]由lg2x+lg8y=lg2,得lg2x+3y=lg2,∴x+3y=1

,1x+13y=(1x+13y)(x+3y)=2+x3y+3yx≥4,当且仅当x3y=3yx,即x=12,y=16时,等号成立.2.a=(x-1,2),b=(4,y)(x、y为正数),若a⊥b,则xy的最大值是()A.12B.-12C.1D.-1

[答案]A[解析]由已知得4(x-1)+2y=0,即2x+y=2.∴xy=x(2-2x)=2x2-2x2≤12×(2x+2-2x2)2=12.3.设函数f(x)=2x+1x-1(x<0),则f(x)()A.有最大值B.有最小值C.是增函数D.是减函数[答案]A[解析]∵x

<0,∴f(x)=2x+1x-1≤-2-2x-1x-1=-22-1,等号在-2x=1-x,即x=-22时成立.∴f(x)有最大值.4.已知x>0,y>0,x、a、b、y成等差数列,x、c、d、y成等比数列,则a+b2cd的最小值是()A.0

B.1C.2D.4[答案]D[解析]由等差、等比数列的性质得a+b2cd=x+y2xy=xy+yx+2≥2yx·xy+2=4.当且仅当x=y时取等号,∴所求最小值为4.二、填空题5.已知a>b>1,P=lg

a·lgb,Q=12(lga+lgb),R=lg(a+b2),则P、Q、R的大小关系是________.[答案]P<Q<R[解析]因为a>b>1,所以lga>lgb>0,所以12(lga+lgb)>lga·lgb,即Q>P,又因为a+b2>ab,所以lg

a+b2>lgab=12(lga+lgb),所以R>Q.故P<Q<R.6.函数y=a1-x(a>0,a≠1)的图象恒过定点A,若点A在直线mx+ny-1=0(mn>0)上,则1m+1n的最小值为________.[答案]4[解析]

函数y=a1-x(a>0,a≠1)的图象恒过定点A(1,1).∴m+n-1=0,即m+n=1.又mn>0,∴1m+1n=(1m+1n)·(m+n)=2+(nm+mn)≥2+2=4,当且仅当m=n=12时,等号成立.三、解答题7.今有一台坏天平,两臂长不等,其余均精确.有人说要用它称

物体的质量,只需将物体放在左右托盘各称一次,则两次称量结果的和的一半就是物体的真实质量,这种说法对吗?证明你的结论.[解析]不对.设左、右臂长分别为l1、l2,物体放在左、右托盘称得重量分别为a、b,真实重量为G,则由杠杆平衡原理有:l1·G=

l2·a,①l2·G=l1·b,②①×②得G2=ab,∴G=ab,由于l1≠l2,故a≠b,由均值不等式a+b2>ab知说法不对,真实重量是两次称量结果的几何平均数.8.求函数y=1-2x-3x的值域.[解析]y=1-2x-3x=1-(2x+3x).①当x>0时,2x+3x≥22x

·3x=26.当且仅当2x=3x,即x=62时取等号.∴y=1-(2x+3x)≤1-26.②当x<0时,y=1+(-2x)+(-3x).∵-2x+(-3x)≥2-2x·-3x=26.当且仅当-2x=-3x时,即x=-62时取等号.∴

此时y=1-2x-3x≥1+26综上知y∈(-∞,1-26]∪[1+26,+∞).∴函数y=1-2x-3x的值域为(-∞,1-26)∪[1+26,+∞).获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com

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