【文档说明】重庆市第八中学2020-2021学年高一下学期数学周考试题（二） 含答案.docx，共(9)页，789.482 KB，由小赞的店铺上传

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重庆八中高2023级高一（下）数学周考试题（二）一、选择题：共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．已知复数z满足23izi+=+，则||(z=)A．22B．2C．32D．32．已知𝐴

𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=−𝑎⃗⃗+2𝑏⃗，𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=3𝑎⃗⃗+8𝑏⃗，𝐶𝐷⃗⃗⃗⃗⃗=−𝑎⃗⃗−5𝑏⃗，则一定共线的三点是()A．A，B，CB．A，B，DC．A，C，DD．B，C，D3．设l，m

是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列命题正确的是()A．若//l，//m，则//lmB．若//l，m，则//lmC．若//，m，则//mD．若//，//m，则//m4．已知ABC的三个内角A，B，C的对

边分别为a，b，c，222sinsinsinsinsin0ACACB+−−=，则(B=)A．6B．4C．3D．25．在ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则𝐸𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=（）A.14𝐴𝐵⃗⃗

⃗⃗⃗+34𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗B.34𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗−14𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗C.14𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗−34𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗D.34𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗+14𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗6．已知平面向量𝑎⃗⃗与𝑏⃗的夹角为3，若𝑎⃗⃗=(1,√3)，|

𝑎⃗⃗−𝑏⃗|=√7，则|𝑏⃗|=（）A．3B．2C．30D．47．某船在A处测得灯塔D在其南偏东60方向上，该船继续向正南方向行驶5海里到B处，测得灯塔在其北偏东60方向上，然后该船向东偏南30方向行驶2海里到C处，此时船到灯塔D的

距离为多少海里()A．19海里B．17海里C．6海里D．5海里8．在梯形ABCD中，//ADBC，60B=，3AB=，6BC=，1AD=，若M，N是线段BC上的动点，且2MN=，则𝐷𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅𝐷𝑁⃗⃗⃗⃗

⃗⃗的最小值为()A．5B．214C．112D．234二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得3分．9．下面是关于复数21zi=−+的四个命题：其中的真命题为()A．||2z=B

．22zi=C．z的共轭复数为1i+D．z的虚部为1−10．已知在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且60A=，2b=，31c=+，则下列说法正确的是()A．75C=或105C=B．45B=C．6a=D．该三角形的面积为312+11．如图，BC，DE

是半径为1的圆O的两条不同的直径，𝐵𝐹⃗⃗⃗⃗⃗=2𝐹𝑂⃗⃗⃗⃗⃗，则()A．𝐵𝐹⃗⃗⃗⃗⃗=13𝐹𝐶⃗⃗⃗⃗⃗B．𝐹𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⋅𝐹𝐸⃗⃗⃗⃗⃗=−89C．−1<cos<𝐹𝐷

⃗⃗⃗⃗⃗，𝐹𝐸⃗⃗⃗⃗⃗>≤−45D．满足𝐹𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=𝜆𝐹𝐷⃗⃗⃗⃗⃗+𝜇𝐹𝐸⃗⃗⃗⃗⃗的实数与的和为定值412．如图，AC为圆锥SO底面圆O的直径，点B是圆O上异于A，C的动点，2SOOC==，则下列结论正确的是()A．圆锥

SO的侧面积为82B．三棱锥SABC−体积的最大值为83C．SAB的取值范围是(,)43D．若ABBC=，E为线段AB上的动点，则SECE+的最小值为2(31)+三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知向量�

�⃗⃗=(2,1)，𝑏⃗=(𝑚,−1)，𝑐⃗=(1,−2)，若(𝑎⃗⃗−𝑏⃗)//𝑐⃗，则m=．14．圆台的底半径为1和2，母线长为3，则此圆台的体积为．15．《九章算术》第五章“商功”主要是土石工程、体积计算，除

给出了各种几何体体积公式外，还有工程分配方法，其中题【十八】今有刍甍，下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高一丈．问积几何？其中“刍甍”(chúméng)是茅草屋顶形状的几何体，已知有一刍甍ABCDEF−如图所示，四边形

CDEF为矩形，4CD=，2DE=，//ABCD，ABCD，若该刍甍高(AB到底面CDEF的距离）为1，体积为103，则AB=．16．ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，sin3cosaBbA=，3a=．若点D在边BC上，且2BDDC=，则A

D的最大值是．四.解答题：共70分.解答应写出必要文字说明、证明过程或演算步骤.17．已知|𝑎⃗⃗|=6,|𝑏⃗|=4，且𝑎⃗⃗与𝑏⃗不共线．（1）若𝑎⃗⃗与𝑏⃗的夹角为60，求(𝑎⃗⃗+2𝑏⃗)⋅(𝑎⃗⃗−3𝑏⃗)；（2）若向量

𝑎⃗⃗+𝑘𝑏⃗与向量𝑎⃗⃗−𝑘𝑏⃗垂直，求k的值．18．如图，某种水箱用的“浮球”，是由两个半球和一个圆柱筒组成．已知球的直径是6cm，圆柱筒长2cm．（1）这种“浮球”的体积是多少3cm（结果精确到0.

1)？（2）要在这样2500个“浮球”表面涂一层胶质，如果每平方米需要涂胶100克，共需胶多少？19.已知向量𝑎⃗⃗=(cos3𝑥2,sin3𝑥2)，𝑏⃗=(cos𝑥2,−sin𝑥2)，𝑐⃗=(

√3,−1)，其中xR．（1）若()1fxab=+，求()fx在[0,]上的单调增区间；（2）求|𝑎⃗⃗−𝑐⃗|的最大、最小值．20．某市规划一个平面示意图为如图五边形ABCDE的一条自行车赛道，ED，DC，CB，BA，AE为赛道（不考虑宽度），

BE为赛道内的一条服务通道，4DEkm=，3BCCDkm==．23BCDCDEBAE===．（1）求服务通道BE的长度；（2）应如何设计，才能使折线段赛道BAE最长？21．如图所示，已知ABCD为梯形，//,3,=ABCDCDABM为线段PC上一点.（

1）设平面PABI平面PDCl=证明：//ABl；（2）在棱PC上是否存在点M，使得//平面PAMBD？若存在，请确定M的位置；若不存在，请说明理由.22．如图，在扇形OPQ中，半径1OP=，圆心角3P

OQ=，A是半径OP上的动点，矩形ABCD内接于扇形OPQ，且.OAOD=（1）若,BOP=求线段AB的长；（2）求矩形ABCD面积的最大值.重庆八中高2023级高一（下）数学周考（二）参考答案一.选择题1234

56789101112ACCCBCADBDBCBCDBD二.填空题13.314.142315.216.31+12.解：在RtAOC中，2SOOC==，22SC=，则圆锥SO的侧面积为12222422S==，故A错误；当B位于AC中点时，ABC面积取最大值，为1222

2=，此时三棱锥SABC−体积的最大值为184233=，故B正确；当B与C趋于重合时，SAB趋于4，当B与A趋于重合时，ASB趋于0，SAB趋于2，SAB的取值范围是(4，)2，故C错误；若ABBC=，以AB为轴把平面SAB旋转至与平面ABC重合，连接S

C，交AB于E，则150SBC=，在SBC中，22SBBC==，由余弦定理可得，22(22)(22)22222cos150SC=+−38822222()2(31)3=+−−=+，即SECE+的最小值为2(31)+，故D正确．故选：BD．16.解：ABC中，sin3cos

aBbA=，由正弦定理得，sinsin3sincosABBA=，因为sin0B，所以tan3A=；又因为0A，所以3A=；设ABC外接圆的圆心为O，半径为R，则由正弦定理得，332sin2sin3aRA===；取BC的中点M，如图所示；在RtBOM中，1322BMBC==，

222233(3)()22OMOBBM=−=−=；在RtDOM中，12DMBDBM=−=，222231()()122ODOMDM=+=+=；由31ADAOODROD+=+=+„，当且仅当圆心O在AD上时取“=”；所以AD的最

大值是31+．三.解答题17．解：（1）因为|𝑎⃗⃗|=6,|𝑏⃗|=4，且𝑎⃗⃗与𝑏⃗的夹角为060．所以(𝑎⃗⃗+2𝑏⃗)⋅(𝑎⃗⃗−3𝑏⃗)=|𝑎⃗⃗|2−𝑎⃗⃗⋅𝑏⃗−6|𝑏⃗|2=62−6×4×12−6×42=−72（2）Q向量𝑎⃗⃗+

𝑘𝑏⃗与向量𝑎⃗⃗−𝑘𝑏⃗垂直．∴(𝑎⃗⃗+𝑘𝑏⃗)⋅(𝑎⃗⃗−𝑘𝑏⃗)=0，即|𝑎⃗⃗|2−𝑘2⋅|𝑏⃗|2=36−16𝑘2=0，从而32k=．18．解：（1）因为该“浮球”的圆柱筒直径6dcm=，半球的直径也是6cm，可

得半径3Rcm=，两个半球的体积之和为3344273633VRcm===球而239218VRhcm===圆柱该“浮球”的体积是：3361854169.6VVVcm=+=+=球圆柱（2）根据题意，上下两个半球

的表面积是2244936SRcm===球表而“浮球”的圆柱筒侧面积为：2223212SRhcm===圆柱侧1个“浮球”的表面积为2443612481010Sm+==，因此，2500个

“浮球”的表面积的和为2448250025001210Sm==Q每平方米需要涂胶100克，总共需要胶的质量为：100121200=（克)19．解：（1）连接BD，在BCD中，由余弦定理得：2222co

s9BDBCCDBCCDBCD=+−=，3BD=．BCCD=Q，6CBDCDB==，又23CDE=，2BDE=，在RtBDE中，225BEBDDE=+=．（2）在BAE中，23BAE=，5BE=．由余弦定理得22

22cosBEABAEABAEBAE=+−，即2225ABAEABAE=++，故22()25()2ABAEABAEABAE++−=„，从而23()254ABAE+„，即1033ABAE+„，当且仅当ABAE=时，等号

成立，即设计为ABAE=时，折线段赛道BAE最长．20．解：解：，∴𝑓(𝑥)在[0,𝜋]上的单调增区间为[𝜋2,𝜋]；，|𝑐⃗|=√(√3)2+(−1)2=2．∴||𝑎⃗⃗|−|𝑐⃗||≤|𝑎⃗⃗−𝑐⃗|≤|𝑎⃗⃗|+|𝑐⃗|，∴1≤|𝑎⃗

⃗−𝑐⃗|≤3，则|𝑎⃗⃗−𝑐⃗|的最大、最小值分别为3，1．21．（1）证明：////ABCDABPCDABPCDCDPCD平面平面平面////ABPCDABPABABlPABPCDl=I平面平面平面平面（2）存在点M，使得//平面P

AMBD，此时1.3PMMC=证明如下：如图，连接,AC交BD于点O,连接MO.1//,33ABAOABCDCDABCDOC===Q1//3PMPAMOMC=Q////PAMOPAMBDPAMBDMOMBD平面平面

平面22．（1）3POQ=Q且OAOD=AOD为等边三角形，,3DAO=又四边形ABCD为矩形，5,,,266===−DABBAOOBA根据正弦定理得：2sin5sinsin6==OBABAB（2）根据正弦定理得：2sin56sinsin66

==−−OBOAOA2sin6==−ADOA矩形ABCD面积=4sinsin6=−SABAD()2sincos3sinsin23cos23=−=

+−2sin233=+−0,,2,333+Q当2,32+=即12=时，矩形ABCD面积取最大值，最大值为23.−