【文档说明】福建省上杭县第一中学2020-2021学年高二下学期数学周末试卷2021.5.16 含答案.doc，共(12)页，1.241 MB，由管理员店铺上传

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上杭一中2020-2021第二学期高二数学周末试卷2021.5.16一、单选题1．在直角坐标系中，设O为原点，M为任意一点.定义：质点M的位置向量OM关于时间的函数叫做质点M的运动方程.已知质点M的运动方程2()(,5)rtt

t=−，则质点M在t=1时刻的瞬时速度为（）A．﹣10B．101C．10D．52．函数y=f(x)的导函数y=f′(x)的图象如图所示，给出下列命题：①-3是函数y=f(x)的极值点；②y=f(x)在区间(-3，1)上单调递增；③-1是函数y=f(x)的最小值点；④y=f(x

)在x=0处切线的斜率小于零.以上正确命题的序号是（）A．①②B．③④C．①③D．②④3．已知复数zxyi=+，xR，yR，满足114zz++−=，则点()xy，的轨迹是（）A．线段B．圆C．双曲线D．椭圆4．10名同学合影，站成前排4

人后排6人，现摄影师要从后排6人中抽2人调整到前排，若其他人的相对顺序不变，则不同调整方法的总数是（）A．2263CAB．2666CAC．2266CAD．2265CA5．()()62xyxyz−++的展开式中，2

32xyz的系数为A．30−B．120C．240D．4206．若函数()()2,0132,0xexaxfxaxax−+=−+−在(),−+上是单调函数，则实数a的取值范围是（）A．)1,+B．

(1,3C．1,12D．(1,27．将曲线()lnfxx=绕着点(0,1)−逆时针方向旋转后与y轴相切，则的最小正值是（）A．6B．4C．3D．28．已知函数2()lg(1)fxxx=++，且对于任意的(12]x，，2

1()[]01(1)(6)xmffxxx++−−−恒成立，则m的取值范围为（）A．()0−，B．(]0−，C．[4)+，D．(12)+，二、多选题9．已知复数z对应复平面内点A，则下列关于复数z、1z、2z结论正确的是（）A．2zi+表示点A到点()0,2的距离B．若123zz

i−++=，则点A的轨迹是椭圆C．121212zzzzzz−++D．1212||zzzz=10．已知函数()sincosxxfxee=−，其中e是自然对数的底数，下列说法中正确的是（）A．函数()fx的周期为2

πB．()fx在区间π0,2上是减函数C．π4fx+是奇函数D．()fx在区间π,π2上有且仅有一个极值点11．对于二项式()3*31nnxxnNxx++，以下判断正确的有

（）A．存在*nN，展开式中有常数项B．对任意*nN，展开式中没有常数项C．对任意*nN，展开式中没有x的一次项D．存在*nN，展开式中有x的一次项12．已知函数()2123fxxx=+−，则下列命题正确的是（）A．()fx在2,1−上是增函数B．()fx的值

域是2,4−C．方程()2ffx=有两个实数解D．对于()1212,xxxx满足()()12fxfx=，则122xx+三、填空题13．高一新生健康检查的统计结果：体重超重者占40%，血压异常者占15%，两者都有的占8%，今任选一人进行健康检查，已知此人超重，他

血压异常的概率为_________.14．设复数11izi+=−（i为虚数单位），则1232435465768788888888CczCzCzCzCzCzCz+++++++=______.15．已知函数()41,16,11xxfxxx−=+，若方程()()f

fxa=恰有5个不同的实数根，则实数a的取值范围是______________.四、双空题16．在杨辉三角中，每一个数值是它上面两个数值之和，这个三角形开头几行如图，则第9行从左到右的第1行第3个数是______；若第n行从左到右第12个数与第13个数的比值为34，则n=

______.五、解答题17．已知O为坐标原点，向量1OZ、2OZ分别对应复数1z、2z，且()213105zaia=+−+，()()22251zaiaRa=+−−.若12zz+是实数.（1）求实数a的值；（2）求以1OZ、2OZ为邻边的平行四边形的面积.18．为提高学生学

习的数学的兴趣，南京港师范大学附属中学拟开设《数学史》、《微积分先修课程》、《数学探究》、《数学建模》四门校本选修课程，甲、乙、丙三位同学打算在上述四门课程中随机选择一门进行学习，已知三人选择课程时互不影响，且每人选择每一门课程都是等可能的.（1）求三位同学选择的课程互不相同的概率：（2）求甲、

乙两位同学不能选择同一门课程，求三人共有多少种不同的选课种数；（3）若至少有两位同学选择《数学史》，求三人共有多少种不同的选课种数.19．已知在32()nxx−的展开式中，第5项的系数与第3项的系数之比是56:3．（1）求展开式中的所有有理项；（2）求展开式中系数绝对值最大的项；（3）

求231981...9nnnnnnCCC−++++的值.20．某校从学生文艺部6名成员（4男2女）中，挑选2人参加学校举办的文艺汇演活动.（1）求男生甲被选中的概率；（2）在已知男生甲被选中的条件下，女生乙被选中的概率；（3）在要求被选中的两人中必须一男一女的条件下，求女生乙

被选中的概率.21．如图，某工厂根据生产需要制作一种下部是圆柱、上部是圆锥的封闭型组合体存储设备，该组合体总高度为8米，圆柱的底面半径为4米，圆柱的高不小于圆柱的底面半径.已知制作圆柱侧面和底面的造价均为每平米2百元，制作

圆锥侧面的造价为每平米4百元，设制作该存储设备的总费用为y百元.（1）按下列要求写出函数关系式；①设1OOh=(米)，将y表示成h的函数关系式；②设()1radSDO=，将y表示成的函数关系式；（2

）请你选用其中的一个函数关系式，求制作该存储设备总费用的最小值.22．已知函数()()lnxfxxeaxx=−+.（1）当0a时，求()fx的最小值；（2）若对任意0x恒有不等式()1fx成立.①求实数a的值；②证明：()22ln2sinxxexxx++.高二数学参考答案5.161．

A2．A3．D复平面上，复数z满足114zz++−=，则z对应的点M到点()11,0F−，点()21,0F的距离和为4，即12124,24MFMFFF+==，∴复数z对应的点M在以12,FF为焦点，长轴长为4的椭圆上．故选：

D．4．C5．B详解：由66()(2)()[(2)]xyxyzxyxyz−++=−++，得含2z的项为242224466()(2)[(2)(2)]xyCxyzCzxxyyxy−+=+−+，44(2)(2)xxy

yxy+−+中23xy的项为332222344(2)(2)8xCxyyCxyxy−=232xyz系数为268158120C==故选B.6．B因为函数()fx在(),−+上是单调函数，并且当0x时，()2xfxexa=−+，()10xf

ex=−，所以函数在()0,+单调递增，所以0x时，()()132fxaxa=−+−也是增函数，所以10a−，即1a，并且在分界点处需满足当0x=时，()0103202aaea−+−−+，解得

：3a，综上可知实数a的取值范围是(1,3.7．B由题意得1()fxx=，设过点(0,1)−的直线l与曲线()yfx=相切于点()00,xy，则000ln11xxx+=，解得01x=，所以直线l的斜率1k=，故的最小正值是4．故选：B

．8．B()fx的定义域为R，2221()lg(1)lg()lg(1)()1fxxxxxfxxx−=+−==−++=−++，∴()fx奇函数，又()fx在(0,)+上单调递增，∴221()[][]1(1)(6)(1)(6)xmmfffxxxxx+−=−−−−−−，∴211

(1)(6)xmxxx+−−−−，又(1,2]x，则10x−，60x−，∴(1)(1)(6)xxxm+−−−恒成立；设32()(1)(1)(6)66gxxxxxxx=+−−=−−+，则22()31213(2)13gxxxx=−−=−−，当12x

时()0gx，∴()gx在(12]，内单调递减，()gx的最大值为从负数无限接近于0，max()0gx，∴0m−，0m，9．BCD对于A选项，设点(),Axy，则zxyi=+，()()22222zixyixy+=++=++，则2zi+表示点A到点(

)0,2−的距离，A选项错误；对于B选项，由复数的几何意义可知，123zzi−++=表示点A到点()1,0M和点()0,2N−的距离之和为3，且53MN=，所以，点A的轨迹是椭圆，B选项正确；对于C选项，由复数模的三角不等式可得121212zzzzzz−++，C

选项正确；对于D选项，设1zabi=+，2zxyi=+，()()()()12zzabixyiaxbyaybxi=++=−++，()()()()22222222222221212zzaxbyaybxaxbyaybxabxyzz=−++=+++=++=10．ACD对于选项A：()()()()

sin2cos2sincos2xxxxfxeeeefx+++=−=−=，故选项A正确；对于选项B：由()sincosxxfxee=−，得()sincoscossinxxfxxexe=+，当π0,2

x时，()sincoscossin0xxfxxexe=+，所以()fx在区间π0,2上是增函数，故选项B不正确；对于选项C：sincos444xxfxee+++=−，设()si

ncos44ttgtee++=−，则()sincos44ttgtee−+−+−=−2222sincoscossin2222ttttee−++=−()cossin44tteegt++=−=−，所以

函数()gt即π4fx+是奇函数；故选项C正确；对于选项D：由()sincosxxfxee=−，得()sincoscossinxxfxxexe=+，而()()()sin2cos2cossincossinxxfxexxexx=−+−，（1）当3,24x

时，22cossin0,cossin0xxxx−−，所以()0fx，即()fx在区间3,24单调递减，又sincos22cossin10222fee=+=，3322sincos44223332c

ossin04442feeee−=+=−，所以()fx在区间3,24上存在唯一零点；（2）当3,4x时，()sincoscossinxxfxxexe=+，又sincossincos2sin0,4x

xxxxee+=+，则()()sincossincossincossin0xxxfxxexexxe=++，则()fx在区间3,4上无零点，综上可得：()fx在区间π,π2

上有且仅有一个极值点；故选项D正确；故选：ACD.11．AD解：对于二项式3nxx+的展开式的通项公式为3213nrrrrnTCx−+=，0,1,2,,rn=，而31nxx+的通项公式

为41kknknTCx−+=，0,1,2,,kn=.对于二项式()3*31nnxxnNxx++，展开式的通项为3423nrrrkknnnCxCx−−，未知数的次数为3344222nrnknrk−+−=−−+当34022n

rk−−+=时，即38rnk+=，当1r=，1k=，5n=是其中一组解，由于3423nrrrkknnnCxCx−−的各项的系数都是正数，故展开式中有常数项，且常数项的系数不为0，故A正确，B错误，当34122nrk−−+=时，即328rnk++=，当0r=，1k=，6n=是其中一

组解，由于3423nrrrkknnnCxCx−−的各项的系数都是正数，故展开式中有一次项，且一次项的系数不为0，展开式中有一次项，故D正确，C错误，故选：AD.12．ABD()2226123312123123xxxfxxx−−

−=+=−−，2,2x−当2,0x−时，()0fx，()fx在2,0−上单调递增；当0,1x时，()0fx；当1,2x时，()0fx，则()fx在0,1上单调递增，在1,2上单调递减；综上可得()fx在2,1−上

是增函数，故A正确；()()22,14ff−=−=，()2,4fx−，故B正确；方程()2ffx=，可得()1fx=−或()2fx=，()()()22,14,22fff−=−==，方程共有三个实数解，故C错误；()1212,xxxx满足()()12fxfx=，即221122

123123xxxx+−=+−，则()()121222122122213123123123123xxxxxxxxxx−+−=−−−=−+−，化简得()()222121222121232424322212312322333xxxxxxxx−+−+−+−+

=，当且仅当12xx=时取等号令12xxt+=，则2322423tt−，解得2t，故122xx+故选：ABD13．0.214．15i−15．3(,3)2令(),()tfxfta==，作出函数()fx的图像，如下图所示：当0

,3tt时，()tfx=没有实数解，当0t=或3,()ttfx==，有1个实数解，当01t时，()tfx=有3个实数解，当13t时，()tfx=有2个实数解，要使()()ffxa=恰有5个不同的实数根，则()fta=在(0,1),(1,3)各

有一个解，即,()yayfx==在(0,1),(1,3)各有一个交点，3(0)0,(1)3,(3)2fff===所以实数a的取值范围是3(,3)2.故答案为:3(,3)2,16．362717．（1）3a=；（2）118.（1）由题意可得()213105zaia=−−+，()

22251zaia=+−−，则()2123221551zzaaiaa+=+++−+−，由于复数12zz+是实数，则221505010aaaa+−=+−，解得3a=；（2）由（1）可得138zi=

+，21zi=−+，则点13,18Z，()21,1Z−，因此，以1OZ、2OZ为邻边的平行四边形的面积为121118SZZ==.18．（1）38；（2）48；（3）10.（1）三位同学选择课程共有3464=种情况；三位同学选择的课程互不相

同共有3424A=种情况，所求概率为243648=；（2）甲、乙两位同学不选择同一门课程共有2412A=种情况，丙有4种不同的选择，所以甲、乙两位同学不能选择同一门课程共有12448=种情况；（3）分两种情况讨论：①有两位同学选择《数学史》,共有21339CC=种不同的情况；②有三位同

学选择《数学史》共有1种情况.综上所述，总共有9110+=种不同的选课种数.19．（1）T1=x5和T7=13400,（2）,（3）101019−.（1）由4422(2):(2)56:3nnCC−−=，解得10n=因为通项：551061101032()()(2)rrrrrrrTC

xCxx−−+=−=−当556r−为整数，r可取0，6于是有理项为51Tx=和713400T=（2）设第1r+项系数绝对值最大，则11101011101022{22rrrrrrrrCCCC−−++解得223{193rr，于是r只能为7所以系数绝对值最大的项为56815360Tx−=−（3）

231011010101010981...9CCC−++++12233101010101010999...99CCCC++++=01223310101010101010999...919CCCCC+++++−=1010(19)110199+−−==20．（1）13；（2）15；（3）12．（1

）记4名男生为A，B，C，D，2名女生为a，b，从6名成员中挑选2名成员，有AB，AC，AD，Aa，Ab，BC，BD，Ba，Bb，CD，Ca，Cb，Da，Db，ab共有15种情况，，记“男生甲被选中”为事件M，不妨假设男生甲为A事件M所包含的基本事件数为AB，AC，AD，Aa，Ab共有5种，故()

51153PM==．（2）记“男生甲被选中”为事件M，“女生乙被选中”为事件N，不妨设女生乙为b，则()115PMN=，又由（1）知()13PM=，故()()()15PMNPNMPM==．（３）记“挑选

的2人一男一女”为事件S，则()815PS=，“女生乙被选中”为事件N，()415PSN=，故()()()12PSNPNSPS==．21．（1）①()232161616804yhhhh=++−+…；②1sin16064()c

osy−=+；（2）96642+.（1）①当1OOh=时，18SOh=−，222111680SCSOOChh=+=−+，圆柱底面积21416S==，圆柱侧面积248Shh==2，圆锥侧面积241680Shh=−+3．()()224321616

16804ySSShhhh=++=++−+123…．②若1SDO=，则14tanSO=，4cosSD=．184tanOO=−．14OO…，0tan1„．04„．圆柱底面积2416S==4，圆柱侧面积()524846432Stantan=

−=−，圆锥侧面积4164Scoscos==6．()45664124321286416064sinySSStancoscos−=++=+−+=+．（2）选用1sin16064()cosy−=+，则2sin1()64

0ycos−=，()y在(0，]4上是减函数，当4=时．y取得最小值212()1606496642422y−=+=+．制作该存储设备总费用的最小值为96642+．22．（1）lnaaa−；（2）①1；②证明见解析.【详解】（1）法一：()fx的定义域

为()0,+，由题意()()()11xxaxeafxxexxx−=+−=+，令0xxea−=，得xaxe=，令()xgxxe=，()()10xxxgxexexe=+=+，所以()gx在()0,x+上为增函数，且()00g=，所

以xaxe=有唯一实根，即()0fx=有唯一实根，设为0x，即00xaxe=，所以()fx在()00,x上为减函数，在()0,x+上为增函数，所以()()()00000minlnlnxfxfxxeaxxaaa==−+=−.法二：(

)()()()lnlnln0xexxfxxaxxeaxxx+=−+=−+.设lntxx=+，则tR.记()()tteattR=−.故()fx最小值即为()t最小值.()()0tteaa=−，当(),lnta=

−时，()0t，()t单调递减，当()ln,ta+时，()0t，()t单调递增，所以()()lnminlnlnlnafxaeaaaaa==−=−，所以()fx的最小值为lnaaa−.（2）①当0a时，()fx单调递

增，()fx值域为R，不适合题意，当0a时，由（1）可知()minlnfxaaa=−，设()()ln0aaaaa=−，所以()lnaa=−，当()0,1a时，()0a，()a单调递增，当()1,a+时，(

)0a，()a单调递减，所以()()max11a==，即ln1aaa−.由已知，()1fx恒成立，所以ln1aaa−，所以ln1aaa−=，所以1a=.②由①可知ln1xxexx−−，因此只需证：22ln2sinxxxx++，又因为ln1−xx，只需证2

222sinxxxx+−+，即222sinxxx−+，当1x时，2222sinxxx−+结论成立，当(0,1x时，设()222singxxxx=−+−，()212cosgxxx=−−，当(0,1

x时，()gx显然单调递增.()()112cos10gxg=−，故()gx单调递减，()()122sin10gxg=−，即222sinxxx−+.综上结论成立.