【文档说明】广西南宁市2024-2025学年高三上学期普通高中毕业班摸底测试 数学答案.pdf，共(15)页，2.286 MB，由小赞的店铺上传

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1南宁市2025届普通高中毕业班摸底测试参考答案（含评分细则）（数学）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。题号12345678答案DBADBCAC二选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多

项符合题目要求。全部选对的得6分，有选错的得0分。有两个正确选项的仅选其中一个给3分；有三个正确选项的仅选其中一个给2分，仅选其中两个给4分。题号91011答案ADBCBCD1.Di(17i)7iz，则7iz，故选D．2.B当1x时32xx，所以p为真命题；当0x时40

x，所以q为假命题，则q是真命题,故选B．3.A由222abab得2222444,444aab+baab+b，两式相减得，1ab，所以1444ab+，则14ab，故选A．4.D成绩在[70,80)上频率为

110(0.010.020.020.03)0.2，所以成绩在[70,80)上有0.25010人，成绩在[50,60),[60,70),[80,90),[90,100]的人数分别为5，10，15，10

人，所以成绩在[80,90)上的人数最多，A正确；成绩不低于70分的学生所占比例为110(0.010.02)0.7，B正确；50名学生成绩的平均分为550.1650.2750.2850.3950.278

x，成绩的中位数为80分，所以50名学生成绩的平均分小于其成绩的中位数，C正确；50名学生成绩的极差在[30,50]上，不一定为50，D错误，故选D．{#{QQABDYCEggAIAIAAABgCEwEoCkMQkAECASgGREAEsAIB

QBFABAA=}#}25.B设(,)(0)Mxyy，则,,11AMBMyykkxx由.2,11AMBMyykkxx整理得221(0)2yxy，故选B．6.C由题可'''11()1.,(0,1)()0;(1,)()0,xfxmxfxxfxmxx当时，

当时，所以f(x)在（0，1）上递减，在（1，）上递增，则min()fx=f(1)=1-lnm0，所以m≤e，又x＞0，mx＞0,即m＞0.则0＜m≤e,故选C.7.A由正三棱台111ABCABC的侧面积为6得，等腰梯形11ABBA的面积为2，由211111()2()222ABABA

BAB得，2111121ABAB，解得111AB，则1133ABAB，将正三棱台111ABCABC补成正三棱锥PABC，如图所示，则11132PAPA.所以122PA，则322PA，过P作PO平面ABC，则O为△ABC的中心，所以3223sin60AO，则

3AO，易知PAO为1AA与平面ABC所成的角，在Rt△PAO中，36cos3322AOPAOPA，故选A．8.C因为222222(2)244()(2)222(2)2(2)222xxxxgxgxxxxxxx，

所以()ygx关于点(1,1)对称.要使ABBC，则(1,1)B,所以将(1,1)B代入()fxax得1a,当1a时()fxx关于点(1,1)对称,显然ABBC,故选C．9.ADsin,[2π,2π]π()sin,(),()sin(2)cos2sin

,[2ππ,2π]2xxkkfxxkgxxxxxkkZ，在同一坐标系中作出()fx与()gx的图象，如图所示，{#{QQABDYCEggAIAIAAABgCEwEoCkMQkAECASgGREAEsAIBQBFABAA=}#}3由图知，0x是()fx与()gx

的图象相同的对称轴，A正确；()fx的值域为[0,1]，()gx的值域为[1,1]，所以()fx与()gx的值域不同，B错误；()fx与()gx没有相同的零点，C错误;()fx与()gx的最小正周期均为π，D正确，故选AD．10.BC易知(1,0),F

准线l的方程为1x，则直线10xy经过焦点F．由24,10,yxxy整理得2610xx，设1122(,),(,)AxyBxy，则126xx，根据抛物线的定义可知，1228ABxx，A错误；如图，过,AB作,AAlBBl，垂足为,AB，则

2KF，又45KFD，所以|BF|=|BB1|，所以'||2||2||BDBBBF,B正确；以AF为直径的圆的半径为2AFr，易知四边形AFOA为直角梯形，其中位线长为2OFAA122A

AAF，所以以AF为直径的圆与y相切，C正确；当△AEF为等边三角形时，AFAE，由抛物线的定义可知AEl，所以45EAF，这与△AEF为等边三角形矛盾，所以l上不存在点E，使得△AEF为等边三角形，D错误，故选BC．11．BCD当1a时，2()32fxxx

，令()0fx，解得1221,3xx，当2(,)(1,)3x时()0fx，当2(,1)3x时()0fx;所以()fx在2(,)3和(1,)上单调递减，在2(,1)3上单调递增，所

以1x是()fx的极大值点，A错误；2()32fxaxaxa，则224(3)2250aaaa，所以()0fx恒{#{QQABDYCEggAIAIAAABgCEwEoCkMQkAECASgGREAEsAIBQB

FABAA=}#}4有两个根，结合二次函数的图象可知，()fx恒有两个相同的单调区间，B正确；由上得2()32(32)(1)fxaxaxaaxx，当0a时()fx在2(,)3和(1,)上单调递减，在2(,1)3上单调递增，要使()fx有三个零点，则222()

0,3273(1)0,2fabafb解322322,227227abbaa即；当0a时，()fx在2(,)3和(1,)上单调递增，在2(,1)3上单调递减，要使()fx有三个零点，则222()0,3273(1

)0,2fabafb解223322,272227babaa即.综上可知使得()fx有三个零点，ba可取得的整数为﹣1，0，C正确；设2()()32gxfxaxaxa，则()6gxa

xa，令()0gx得16x因为()6gxaxa的零点为曲线()fx的对称中心的横坐标，所以点11(,())66f为曲线()yfx的对称中心，D正确，故选BCD．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。1

2．1当1n得312aaa，又1232,1,3aaa得321，解得2.则212nnnaaa,42322135aaa,53422(3)51aaa．13．35由tan2ta

n得sincos2cossin,所以sincos2cossin.则1sin()sincoscossincossin5，所以2sincos5.所以3sin()sincoscossin5

．14．①24（2分）②216（3分）若区域A,B,C,D涂2种颜色，区域E,F,G,H涂另外2种颜色，则,,,ACBDEGFH同色，先选两种颜色涂A,B,C,D区域，则有2242CA种涂法，区域E,F,G,H有22A种涂法，故有22242224CAA种

涂{#{QQABDYCEggAIAIAAABgCEwEoCkMQkAECASgGREAEsAIBQBFABAA=}#}5法．区域A,B,C,D涂4种颜色有4424A种涂法，不妨设区域A,B,C,D分别涂,,,abcd颜色,则区域E,F,G,H也涂这4种颜色有

(,,,),(,,,),(,,,),abcdadbcadcb(,,,),cdab(,,,),cabd(,,,),cbad(,,,),dabc(,,,),dacb(,,,),dbac有9种涂法，共有249216种涂法.三、解答题：共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演

算步骤.15.(本题13分)设锐角△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知2bcsin2A=b2+c2－a2.(1)求A;(2)若a=22,且2ccosB=asinC求△ABC的面积.解:(1)由2bcsin2A=b2+c2－a2得22bcsin

AcosA=b2+c2－a2……1分【备注1】正确写出应用二倍角公式给1分。即√2sin𝐴cos𝐴=𝑏2+𝑐2−𝑎22𝑏𝑐=cos𝐴…………………………….…1分【备注2】正确写出或体现应用余弦定理公式给1分。在锐角△ABC中cosA

≠0,所以sin𝐴=√22………………….…….....1分(3分）【备注3】见“sin𝐴=√22”给1分又0<𝐴<𝜋2,所以𝐴=𝜋4.…………………………………………...2分(5分)【备注4】见“𝐴=𝜋4”给2分(2)由√2𝑐cos�

�=𝑎sin𝐶及正弦定理得√2sin𝐶cos𝐵=sin𝐴sin𝐶….1分又sinA≠0所以√2cos𝐵=sin𝐴=√22所以cos𝐵=12.………..…..….1分【备注5】见“cos𝐵=12”给1分.又0<𝐵<𝜋2,所以𝐵=𝜋

3………………………………………….2分(9分)【备注6】见“𝐵=𝜋3”给2分则𝐶=𝜋−𝜋4−𝜋3=5𝜋12,所以sin𝐶=sin5𝜋12=√6+√24…………...…1分(10分){#{QQABDYCEggAIAIAAABgCEwEoCkMQkAECASgGREAEsA

IBQBFABAA=}#}6由正弦定理得𝑏=𝑎sin𝐵sin𝐴=2√2×√32√22=2√3……………...…….…1分(11分)【备注7】另解：写出“62c”给1分。故𝛥𝐴𝐵𝐶面积为12𝑎𝑏sin𝐶=12×2√2×2√3×√6+√24=3+√3

.…..2分(13分)【备注8】结果正确即可给2分，若结果错误但正确写出面积公式可给1分。【备注9】无其他解答过程，只正确写出正弦定理、余弦定理公式各给1分。16.(本题15分)已知函数f(x)=(4x+1)ex,曲线y=f(x)在(0,f

(0))处的切线为直线l.(1)求直线l的方程;(2)求函数f(x)在闭区间[－2,1]上的最值.解:(1)依题意,求导得'()fx=(4x+5)ex…………………….…......…2分(2分)【备注1】求导结果正确给2分f(0)=e0=1

………………………………….…………..………...…1分则𝑓′(0)=5𝑒0=5…………………………………………………1分(4分)【备注2】若不写“f(0)=e0=1，则𝑓′(0)=5𝑒0=5”;只正确写出切点坐标(0,

1)也给这1分。所以直线l的方程为y=5x+1………………………………….….2分(6分)【备注3】直线方程结果正确给2分(2)由(1)可知'()fx=(4x+5)ex当54x时'()0fx，则()fx在5(,)4上单调递增；………1分当54x时'()0fx，则()fx在5(,)

4上单调递减；………1分(8分)【备注4】正确写出“在54x时()fx单调递增”、“在54x时()fx在上单调递减”给1分;写成闭区间5[,)4、5(,]4,5[,1]4、5[2,]4也正确。因为545()4e4f,2(2)7e,f

(1)5ef………………………3分(11分){#{QQABDYCEggAIAIAAABgCEwEoCkMQkAECASgGREAEsAIBQBFABAA=}#}7【备注5】正确写出结果,每对一个给1分.则()fx在闭区间[-2,1]上最大值为

5e,…………………..……2分最小值为544e.…………………………………………………2分(15分)【备注6】正确写出结果,每对一个给2分.17.(本题15分)如图,四棱锥P-ABCD中,AB⊥BC,CD⊥BC,BC=CD=2,

AB=22,平面PBD⊥平面ABCD(1)证明:AD⊥平面PBD;(2)若PB=PD,四棱锥P-ABCD的体积为2,求二面角A-PB-D的正弦值.解：(1)取𝐴𝐵中点𝐸,连接𝐷𝐸.…………….………..…1分【备注1】

只要体现有作图过程,可给1分因为𝐴𝐵⟂𝐵𝐶,𝐶𝐷⟂𝐵𝐶,𝐵𝐶=𝐶𝐷=√2,𝐴𝐵=2√2,则𝐵𝐶𝐷𝐸为正方形.则∠𝐷𝐸𝐴=∠𝐷𝐸𝐵=90∘,∠𝐸𝐷𝐵=45∘.在𝛥

𝐴𝐸𝐷中,𝐴𝐸=𝐷𝐸=√2,所以∠𝐸𝐷𝐴=45∘则∠𝐴𝐷𝐵=90∘即𝐴𝐷⟂𝐵𝐷.………………….……………….…2分(3分)【备注2】本段2分中,若出现写出“𝐴𝐷⟂𝐵𝐷”或“∠𝐴𝐷𝐵=90∘”且

前面有必要的证明过程,就给2分;若前面没有证明过程而直接写出“𝐴𝐷⟂𝐵𝐷”或“∠𝐴𝐷𝐵=90∘”,统一给1分.因为平面𝑃𝐵𝐷⟂平面𝐴𝐵𝐶𝐷,平面𝑃𝐵𝐷∩平面𝐴𝐵𝐶𝐷=𝐵𝐷所以𝐴𝐷⟂平面�

�𝐵𝐷.………………………………………......…2分(5分)【备注3】本段2分中,若不写出“平面𝑃𝐵𝐷∩平面𝐴𝐵𝐶𝐷=𝐵𝐷”而直接得结果,则只给1分（即扣1分）.EPDCBA{#{QQA

BDYCEggAIAIAAABgCEwEoCkMQkAECASgGREAEsAIBQBFABAA=}#}8(2)连接𝐶𝐸,设𝐶𝐸∩𝐵𝐷=𝑂,则𝑂为𝐵𝐷的中点,连接𝑃𝑂.因为𝑃𝐵=�

�𝐷,所以𝑃𝑂⟂𝐵𝐷.………………..…..1分(6分)【备注4】见“𝑃𝑂⟂𝐵𝐷”给1分。面𝑃𝐵𝐷⟂面𝐴𝐵𝐶𝐷,面𝑃𝐵𝐷∩面𝐴𝐵𝐶𝐷=𝐵𝐷,𝑃𝑂⊂面𝑃𝐵𝐷,所以𝑃𝑂⟂平面𝐴𝐵𝐶𝐷.……………………………

………………1分(7分)【备注5】见“𝑃𝑂⟂平面𝐴𝐵𝐶𝐷”给1分。由四棱锥𝑃−𝐴𝐵𝐶𝐷体积为2,则13×12(𝐴𝐵+𝐶𝐷)⋅𝐵𝐶⋅𝑃𝑂=2即13×12×3√2×√2

×𝑃𝑂=2,解得𝑃𝑂=2.…………………2分(9分)【备注6】见结果正确“𝑃𝑂=2”给2分。由OE∥AD可知𝑂𝐸,𝑂𝐵,𝑂𝑃两两垂直,以𝑂为原点,𝑂𝐸,𝑂𝐵,𝑂𝑃所在直线分别为𝑥轴、𝑦轴、𝑧

轴建立空间直角坐标系𝑂−𝑥𝑦𝑧,….…….1分(10分)【备注7】见建系结果正确或图中正确标出建系结果，即可给1分。则𝐴(2,−1,0),𝐸(1,0,0),𝐵(0,1,0),𝑃(0,0,2),𝑃𝐴⃗⃗⃗⃗⃗=(2,−1,

−2),𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=(−2,2,0),𝑂𝐸⃗⃗⃗⃗⃗=(1,0,0).设平面𝑃𝐴𝐵的法向量为𝑚=(𝑥,𝑦,𝑧),由{𝑃𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⋅𝑚=0,𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⋅𝑚=0,得{2𝑥−𝑦−2𝑧=0,−

2𝑥+2𝑦=0,令𝑥=2,则𝑚=(2,2,1)由𝑂𝐸//𝐴𝐷可知,𝑂𝐸⟂平面𝑃𝐵𝐷,所以𝑂𝐸⃗⃗⃗⃗⃗是平面𝑃𝐵𝐷的法向量,记为𝑛=𝑂𝐸⃗⃗⃗⃗⃗=(1,0,0)………………………………………..……3分

(13分)【备注8】本段3分,求两个法向量,对一个给2分，对两个给3分;若法向量都不对，但写有数量积等于0如：“{𝑃𝐴⃗⃗⃗⃗⃗⋅𝑚=0,𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗⋅𝑚=0,”(或外积法)，表示方法正确，统一

给1分{#{QQABDYCEggAIAIAAABgCEwEoCkMQkAECASgGREAEsAIBQBFABAA=}#}9则cos⟨𝑚,𝑛⟩=𝑚⋅𝑛|𝑚|⋅|𝑛|=23,故二面角𝐴−𝑃𝐵−𝐷正弦值为√53.……...

.2分(15分)【备注9】结果正确即可给2分;若结果错误,但前面能正确写出求夹角原始公式“cos⟨𝑚,𝑛⟩=𝑚⋅𝑛|𝑚|⋅|𝑛|”可给1分.其他解法如下：第一问解法二：第二问解法二：{#{QQABDYCEggAIAIAAABgC

EwEoCkMQkAECASgGREAEsAIBQBFABAA=}#}10第二问解法三：第二问解法四：第二问解法五：{#{QQABDYCEggAIAIAAABgCEwEoCkMQkAECASgGREAEsAIBQBFABAA=}#}11第二问解法六18.(本题

17分)我省某市为吸引游客,推出免费门票项目.该市设置自然风光类、历史文化类、特色体验类三个免费票抽奖机,自然风光类抽中的概率为13,历史文化类、特色体验类抽中的概率均为12,这三类抽奖之间互不影响.规定凡

在该市的景区游玩的游客,每位游客可在每个抽奖机中至多抽奖一次，每次抽奖至多抽中一个免费票景点.(1)若甲游客在三个抽奖机中各抽奖一次,设𝑋表示甲获得免费票景点个数,求𝑋的分布列和数学期望；(2)乙游客从这三个抽奖机中

随机选取两个抽奖,已知乙抽中(至少抽中一个),求乙在自然风光类、特色体验类抽奖机中抽中的概率.解:(1)𝑋表示甲获得免费票景点个数,则𝑋=0,1,2,3,…………..……1分{#{QQABDYCEggAI

AIAAABgCEwEoCkMQkAECASgGREAEsAIBQBFABAA=}#}12则𝑃(𝑋=0)=(1−13)×(1−12)×(1−12)=16;………………………1分𝑃(𝑋=1)=13×(1−12)×(1−12)+(1−13)×𝐶21(1−12)×12

=512.…..1分𝑃(𝑋=2)=13×𝐶21×12×(1−12)+(1−13)×(12)2=13.………………1分𝑃(𝑋=3)=13×12×12=112…………………………………….………1分(5分)故X的分布列为【备注1】若仅给出分布列而没有前面

的求解过程：表中数字全对时本5分段共给4分（即扣掉过程分1分）；当表中概率数字不全对时，若表头第一行数字全对给1分，第二行每个概率值对一个给1分（共不超过3分）𝐸(𝑋)=0×16+1×512+2×13+3×112

=43..…………...........……3分(8分)【备注2】体现数学期望公式（乘积和，至少写有两项）给1分,结果正确给2分；如果没有过程只写正确结果E(X)=4/3给2分(扣求数学期望过程分).（2）设“乙抽中”为事件𝑀,“乙在自然风光类、特色体验类抽奖机中抽奖与

抽中”分别为事件𝑁1,𝑀1,“乙在自然风光类、历史文化类抽奖机中抽奖与抽中”分别为事件𝑁2,𝑀2,“乙在历史文化类、特色体验类抽奖机中抽奖与抽中”分别为事件𝑁3,𝑀3..………………………………..….…1分（9分）【备注3】体现至少设出一个事件过程，可给1分。则𝑃(

𝑀1)=𝑃(𝑁1)𝑃(𝑀1|𝑁1)=13×[1−(1−13)(1−12)]=29.…………1分𝑃(𝑀2)=𝑃(𝑁2)𝑃(𝑀2|𝑁2)=13×[1−(1−13)(1−12)]=29..……………1分𝑃(𝑀3)=𝑃

(𝑁3)𝑃(𝑀3|𝑁3)=13×[1−(1−12)(1−12)]=14….……1分(12分)因事件M1,M2,M3两两互斥,X0123P1651213112{#{QQABDYCEggAIAIAAABg

CEwEoCkMQkAECASgGREAEsAIBQBFABAA=}#}13所以𝑃(𝑀)=𝑃(𝑀1∪𝑀2∪𝑀3)=𝑃(𝑀1)+𝑃(𝑀2)+𝑃(𝑀3).……1分【备注4】正确写出求互斥事件概率公式给1分.=29+29+14=2536..…………………………………

………………….1分(14分)【备注5】结果正确给1分则𝑃(𝑀1|𝑀)=𝑃(𝑀1𝑀)𝑃(𝑀)=𝑃(𝑁1)𝑃(𝑀1|𝑁1)𝑃(𝑀).=29×3625=825………..….…2分(16分)【备注6】计算结果

正确,给1分；若结果不对，但写出几何条件公式“𝑃(𝑀1|𝑀)=𝑃(𝑀1𝑀)𝑃(𝑀)”给1分.故乙在自然风光类、特色体验类抽奖机中抽中的概率为825.………1分(17分)【备注7】作答正确给1分,若写出“825为所求”

也算作答正确.19.(本题17分)已知椭圆𝐶:𝑥2𝑎2+𝑦2𝑏2=1(𝑎>𝑏>0)经过点3,)2bb（𝐴1,𝐴2为𝐶的左、右顶点,𝑀,𝑁为𝐶上不同于𝐴1,𝐴2的两动点.若直线𝐴1𝑀斜率与直线𝐴2𝑁斜率比值恒为常数75,

按下面方法构造数列{𝑏𝑛}:𝐶的短半轴长为𝑏𝑛时,直线𝑀𝑁与𝑥轴交于点𝑄𝑛(−𝑏𝑛+1,0).(1)求椭圆𝐶的离心率;(2)证明:数列{𝑏𝑛}是等比数列;(3)设顶点𝐴1到直线𝑀𝑁的最大距离为𝑑,证明:𝑑⩽53𝑏1.解:(1)由椭圆𝐶经过

点(−𝑏,−√32𝑏)得𝑏2𝑎2+3𝑏24𝑏2=1,故𝑏2𝑎2=14.………......1分【备注1】见“𝑏2𝑎2=14”或“𝑎2=4𝑏2”或“𝑎=2𝑏”给1分。则𝑒=√𝑐2𝑎2=√1−𝑏2𝑎2=√32,所以椭圆𝐶离心率为√32.…………......

.…2分(3分)【备注2】见结果正确给2分,若结果错误,但体现离心率公式正确给1分.(2)证明:由(1)及题意可知𝐶:𝑥24𝑏𝑛2+𝑦2𝑏𝑛2=1,𝐴1(−2𝑏𝑛,0),𝐴2(2

𝑏𝑛,0)……1分【备注3】写出“𝑥24𝑏𝑛2+𝑦2𝑏𝑛2=1”给1分{#{QQABDYCEggAIAIAAABgCEwEoCkMQkAECASgGREAEsAIBQBFABAA=}#}14设𝑀(𝑥1,𝑦1)

,𝑁(𝑥2,𝑦2),当直线𝑀𝑁斜率为0时𝑀,𝑁关于𝑦轴对称,所以𝐴1𝑀斜率与𝐴2𝑁的斜率之商为﹣1.不合题意...…………….….1分(5分)设𝑀𝑁方程为𝑥=𝑡𝑦+𝑚,…………………………………….……1分【备注4】正确设出直线𝑀𝑁方程(可以其他形式)给1

分.因为𝑀𝑁不过顶点𝐴1,𝐴2所以𝑚≠±2𝑏𝑛.由{𝑥=𝑡𝑦+𝑚,𝑥24𝑏𝑛2+𝑦2𝑏𝑛2=1,得(𝑡2+4)𝑦2+2𝑡𝑚𝑦+𝑚2−4𝑏𝑛2=0.则△=4𝑡2𝑚2−4(𝑡2+4)(𝑚2−4𝑏𝑛2)=16(𝑡2𝑏𝑛2−�

�2+4𝑏𝑛2)>0𝑦1+𝑦2=−2𝑡𝑚𝑡2+4,𝑦1𝑦2=𝑚2−4𝑏𝑛2𝑡2+4.……………………………..……1分(7分)【备注5】至少正确写出韦达定理中一个式子,给1分.所以𝑡𝑦1𝑦2=4𝑏𝑛2−𝑚22𝑚(𝑦1+𝑦2)

……………………………………..…1分【备注6】写出“𝑦1+𝑦2”与“𝑦1𝑦2”关系，给1分则𝑘𝐴1𝑀𝑘𝐴2𝑁=𝑦1𝑥1+2𝑏𝑛⋅𝑥2−2𝑏𝑛𝑦2.………………………………………..….…1分【备注7】正确写出直线斜率公式给1分.=(

𝑡𝑦2+𝑚−2𝑏𝑛)𝑦1(𝑡𝑦1+𝑚+2𝑏𝑛)𝑦2=𝑡𝑦2𝑦1+(𝑚−2𝑏𝑛)𝑦1𝑡𝑦2𝑦1+(𝑚+2𝑏𝑛)𝑦2=4𝑏𝑛2−𝑚22𝑚(𝑦1+𝑦2)+(𝑚−2𝑏𝑛)𝑦14𝑏𝑛2−𝑚22𝑚(𝑦1+𝑦2)+(�

�+2𝑏𝑛)𝑦2=2𝑏𝑛−𝑚2𝑏𝑛+𝑚⋅(2𝑏𝑛+𝑚)(𝑦1+𝑦2)−2𝑚𝑦1(2𝑏𝑛−𝑚)(𝑦1+𝑦2)+2𝑚𝑦2=2𝑏𝑛−𝑚2𝑏𝑛+𝑚.……………………….…1分(10分)【备注8】见能化简到“𝑘𝐴1𝑀𝑘𝐴2�

�=2𝑏𝑛−𝑚2𝑏𝑛+𝑚”或“𝑘𝐴2𝑁𝑘𝐴1𝑀=2𝑏𝑛+𝑚2𝑏𝑛−𝑚”并前面有必要的化简过程才给1分.=75所以𝑚=−13𝑏𝑛.………………………………………………1分(11分)则

直线𝑀𝑁方程为𝑥=𝑡𝑦−13𝑏𝑛,即𝑀𝑁经过点(−13𝑏𝑛,0)…….….1分{#{QQABDYCEggAIAIAAABgCEwEoCkMQkAECASgGREAEsAIBQBF

ABAA=}#}15【备注9】正确写出“𝑀𝑁经过点(−13𝑏𝑛,0)”给1分.因为𝑀𝑁与𝑥轴交于点𝑄𝑛(−𝑏𝑛+1,0),所以−𝑏𝑛+1=−13𝑏𝑛,𝑏𝑛+1𝑏𝑛=13.所以数列{𝑏𝑛}是以13为公

比的等比数列.………………………….....1分(13分)(3)证明:由(2)可知,𝑏𝑛=(13)𝑛−1𝑏1.………………………...….1分(14分)所以{𝑏𝑛}是递减数列,则𝑏𝑛=(13)𝑛−

1𝑏1⩽𝑏1……………………...1分【备注10】见“𝑏𝑛=(13)𝑛−1𝑏1⩽𝑏1”给1分.顶点𝐴1(−2𝑏𝑛,0)到直线𝑀𝑁:𝑡𝑦−𝑥−13𝑏𝑛=0距离为𝑑=|2𝑏𝑛−13𝑏𝑛|√𝑡2+1=5𝑏𝑛3√𝑡2+1⩽5𝑏𝑛3,当𝑡=0时取等

号;……………........…1分(16分)【备注11】见“𝑑=|2𝑏𝑛−13𝑏𝑛|√𝑡2+1”或“𝑑⩽5𝑏𝑛3”给1分.故𝑑⩽53𝑏1.…………………....................

....................................…1分(17分){#{QQABDYCEggAIAIAAABgCEwEoCkMQkAECASgGREAEsAIBQBFABAA=}#}