【文档说明】2024年新高考数学一轮复习题型归纳与达标检测 第16讲 导数的应用——导数与函数的极值、最值 Word版含解析.docx，共(15)页，1.360 MB，由小赞的店铺上传

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第16讲导数的应用——导数与函数的极值、最值思维导图知识梳理1．函数的极值(1)函数的极小值：函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0；而且在点x＝a附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)

＞0，则点a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值．(2)函数的极大值：函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0；而且在点x＝b附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，则点b叫做函数y＝f(x

)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值．2．函数的最值(1)在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值．(2)若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在[a，b]上单调递减，则f(a)为函数的最大

值，f(b)为函数的最小值．题型归纳题型1利用导数解决函数的极值问题——根据函数图象判断函数极值【例1-1】（2020春•宜宾期末）如图是函数()yfx=的导函数()yfx=的图象，则函数()yfx=的极大值点的个数为()A．3B．2C．1D．0【分析】通过读图得出函数的单

调区间，从而求出函数的极值点，得出答案．【解答】解：由图象知在(,)a−，(,)b+上()0fx，所以此时函数()fx在(,)a−，(,)b+上单调递增，在(,)ab上，()0fx，此时(

)fx在(,)ab上单调递减，所以xa=时，函数取得极大值，xb=时，函数取得极小值．则函数()yfx=的极大值点的个数为1．故选：C．【例1-2】（2019秋•未央区校级期末）函数()yfx=的图

象如图所示，则关于函数()yfx=的说法正确的是()A．函数()yfx=有3个极值点B．函数()yfx=在区间(,4)−−上是增加的C．函数()yfx=在区间(2,)−+上是增加的D．当0x=时，函数()yfx=取得极大值【分析】结合导数与函数单调性的关系可知，

()0fx，函数单调递增，()0fx，函数单调递减，结合图象即可判断函数的单调区间及极值．【解答】解：结合导数与函数单调性的关系可知，当5x−时，()0fx，函数单调递增，当52x−−时，()0fx，函数单调递减，当2x

−时，()0fx，函数单调递增，故当5x=−时，函数取得极大值，当2x=−时，函数取得极小值故选：C．【跟踪训练1-1】（2019秋•临渭区期末）已知函数()fx的导函数()fx的图象如图所示，则关于(

)fx的结论正确的是()A．在区间(2,2)−上为减函数B．在2x=−处取得极小值C．在区间(,2)−−，(2,)+上为增函数D．在0x=处取得极大值【分析】结合图象求出函数的单调区间和极值点即可．【解答】解：由图象得：()fx在(,2)

−−递减，在(2,2)−递增，在(2,)+递减，故()fx在2x=−取极小值，在2x=取极大值，故选：B．【跟踪训练1-2】（2019秋•咸阳期末）已知函数()fx的导函数()fx的图象如图，则下列叙述正确的是()A．函数

()fx在(,4)−−上单调递减B．函数()fx在1x=−处取得极大值C．函数()fx在4x=−处取得极值D．函数()fx只有一个极值点【分析】利用导数的定义和导数的集合意义，通过数形结合法可判断函数的单调性和极值可得答案

；【解答】解：由已知函数()fx的导函数()fx的图象可知，()0fx在区间(,4)−−，(4,2)−−，()0fx=在4x=−，()0fx在区间(2,)−+，根据导函数的定义和集合意义，导函数大于0时，

原函数单调递增，导函数小于0时，原函数单调递减，导函数等于0时是原函数的拐点位置，可能为原函数取极值处，通过函数单调性函数取极值的左右两侧区间原函数的图象单调性相反判断可得：A、(,4)x−−，()0fx，

所以函数()fx在(,4)−−上单调递减错误；B、(4,2)x−−，()0fx，(2,)x−+，()0fx，函数()fx在1x=−处取得极大值错误；C、(,4)x−−，()0fx，4x=−，()0fx=，(4,

2)x−−，()0fx，函数()fx在4x=−处取得极值错误；D、(4,2)x−−，()0fx，(2,)x−+，()0fx，函数()fx只有一个极值点2x=−正确；故选：D．【名师指导】由图象判断函数y＝f(x)的极值，

要抓住两点：(1)由y＝f′(x)的图象与x轴的交点，可得函数y＝f(x)的可能极值点；(2)由导函数y＝f′(x)的图象可以看出y＝f′(x)的值的正负，从而可得函数y＝f(x)的单调性．两者结合可得极值点．题型2利用导数解决函数的极值问题——已知

函数求极值或极值点【例2-1】（2020春•顺义区期末）已知函数31()43fxxx=−，则()fx的极大值点为()A．4x=−B．4x=C．2x=−D．2x=【分析】求出函数31()43fxxx=−的导函数，由导函数等于0求得导函数的零点，由导函数的零点对函数的定义域分段，根据

导函数在各段内的符号判断函数在不同区间内的单调性，从而得到函数的极值点．【解答】解：由31()43fxxx=−，得：2()4fxx=−．由2()40fxx=−，得：2x−，或2x．由2()40f

xx=−，得：22x−．所以，函数()fx的增区间为(,2)−−，(2,)+．函数()fx的减区间为(2,2)−．所以，2x=−是函数的极大值点，2x=是函数的极小值点．故选：C．【例2-2】（2020春•海淀区

校级期末）函数sincosyxxx=+的一个极小值点为()A．2x=−B．2x=C．x=D．32x=【分析】先求出函数的导数，得到函数的单调性，从而求出函数的极小值点．【解答】解：()sinco

syfxxxx==+，()sincossincosfxxxxxxx=+−=，令()0fx=，解得0x=或2xk=+，kZ，当()0fx时，222kxk−+−+，或222kxk+，kZ

，函数()fx单调递增，当()0fx时，222kxk−+，或222kxk++，kZ，函数()fx单调递减，当0k=时，()fx在(,)2−−，(0,)2上单调递增，在(2−，0)，(2，)上单调递减，当1k=时，()fx在3(,)2，5(2,

)2上单调递增，在3(2，2)，5(2，3)上单调递减，函数函数sincosyxxx=+的一个极小值点为x=，故选：C．【跟踪训练2-1】（2020春•乐山期中）函数3()3fxxx=−的极小值是()A．4B．2C．4−D．2−【分析】求导，分析()f

x单调性，可得极小值．【解答】解：函数定义域：R．2()33fxx=−，令()0fx=，得1x=−或1，在(,1)−−，(1,)+上，()0fx，()fx单调递增，在(1,1)−上，()0fx，()fx单调递减，所以()fxf=极小值（1）31312=−=−，故选：D

．【跟踪训练2-2】（2020春•龙岩期末）函数31()443fxxx=−+的极大值为．【分析】求导数便可得出2()4fxx=−，容易看出2x=为方程()0fx=的解，从而可判断导函数的符号，进而得出该函数的

极大值点．【解答】解：2()4fxx=−；2x−时，()0fx，22x−时，()0fx，2x时，()0fx；2x=−是()fx的极大值点．函数的极大值为：128(2)(8)8433f−=−++=．故答案为：283．【名师

指导】求函数的极值或极值点的步骤(1)求导数f′(x)，不要忘记函数f(x)的定义域；(2)求方程f′(x)＝0的根；(3)检查在方程的根的左右两侧f′(x)的符号，确定极值点或函数的极值．题型3利用导数解决函数的极值问

题——已知函数的极值点或极值求参数的值或范围【例3-1】（2020春•赤峰期末）若函数()xfxaex=−存在极值点，则实数a的取值范围是()A．(0,)+B．[0，)+C．(,0)−D．(−，0]【分析】先求导数，根据题意

()0fx=在(,)−+上有根，得到ya=与1xye=在(,)−+有交点，进而得出答案．【解答】解：根据题意得()1xfxae=−在(,)−+上有零点，所以10xae−=在(,)−+上有根，即1xae=在(,)−+上有根，即ya=与1xye=在(,)−+有交点，因为1(

0,)xye=+且单调，所以0a，故选：A．【例3-2】（2020春•荆州期末）若当0x时，函数2()2xfxemx=−+有两个极值点，则实数m的取值范围是()A．(2e，)+B．(0,)2eC．(0,2)e

D．(2,)e+【分析】求导得()fx，根据题意可得()0fx=在(0,)+上有两个根，从而得到2xemx=在(0,)+上有两个根，设()(0)2xegxxx=，求导数判断()gx的单调性，求出()gx的最小值，进而得出答案．【解答】解：()

2(0)xfxemxx=−+，根据题意，可得()0fx=在(0,)+上两个根，即20xemx−+=在(0,)+上有两个根，即2xemx=在(0,)+上有两个根，设()(0)2xegxxx=，则2222(1)()(2)2xxxxeexegx

xx−−==，在(0,1)上()0gx，()gx单调递减，在(1,)+上()0gx，()gx单调递增，所以()mingxg=（1）2e=，所以2ea．故选：A．【跟踪训练3-1】（2020春•潍坊期末）已知xm=时，函数3()12fxxx=−取得极大值，则(m=)A．4−B．2−

C．4D．2【分析】求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，求出函数的极大值点即可．【解答】解：3()12fxxx=−，2()3123(2)(2)fxxxx=−=+−，令()0fx，解得：2x或2x−，

令()0fx，解得：22x−，故()fx在(,2)−−递增，在(2,2)−递减，在(2,)+递增，故2x=−时，()fx取极大值，则2m=−，故选：B．【跟踪训练3-2】（2020春•南阳期末）已知函数()()fxxlnxax=−有

且仅有一个极值点，则实数a的取值范围是．【分析】根据题意可得()210fxlnxax=−+=只有一个解12lnxax+=只有一个解2ya=与1()lnxygxx+==只有一个交点，求导数()gx，分析单调性，及当0x→

时，()gx→−；当x→+时，()0gx→，画出函数()gx的草图，及可得a的取值范围，再检验是否符合题意，即可得出答案．【解答】解：因为函数()()fxxlnxax=−有且仅有一个极值点，所以1()()

210fxlnxaxxalnxaxx=−+−=−+=只有一个解，即12lnxax+=，只有一个解，即2ya=与1()lnxygxx+==只有一个交点，因为2()lnxgxx−=，当(0,1)x时，()0gx，函数()gx单调递增，当(1,)x+时，()0gx，函数()gx单调递

减，所以()maxgxg=（1）1=，当0x→时，()gx→−；当x→+时，()0gx→，画出函数()gx的草图如下：结合图象可得21a=或20a„，解得12a=或0a„，当12a=时，21()2fxxlnxx=−，所以()1fxlnxx=+−

，令()1hxlnxx=+−，所以1()1hxx=−，所以()hx在(0,1)上单调递增，在(1,)+上单调递减，所以()hxh„（1）0=，所以()10fxlnxx=+−„恒成立，所以()fx在(0,)+上单调递减，所以函

数()fx没有极值点．所以实数a的取值范围是(−，0]．【跟踪训练3-3】（2020•临川区校级一模）已知函数()(xfxxlnxmee=+为自然对数的底数）有两个极值点，则实数m的取值范围是．【分析】()fxxln=(0)xxmex+

，()fxln=1(0)xxmex++，由函数()fx有两个极值点可得ym=−和1()xlnxgxe+=在(0,)+上有两个交点，11()(0)xlnxxgxxe−−=，令1()hxlnx=−1x−，利用导数研究其单调性即可得出．【解答】解：()

fxxln=(0)xxmex+，()fxln=1(0)xxmex++，由函数()fx有两个极值点可得ym=−和1()xlnxgxe+=在(0,)+上有两个交点，11()(0)xlnxxgxxe−−=，令1()hxlnx=−1

x−，则211()0hxxx=−−，()hx在(0,)+上单调递减且h（1）0=，当(0x，1]时，()0hx…，即()0gx…，()gx在(0，1]上单调递增，()gxg„（1）1e=，当(1,)x+时，()0hx，即()0gx，()gx在(1

,)+上单调递减．故()maxgxg=（1）1e=，而当0x→时，()gx→−，当x→+时，()0gx→；若ym=−和()gx的图象在(0,)+上有两个交点，只需10me−，故10me−．故答案为

：1(e−，0)．【名师指导】已知函数极值点或极值求参数的两个要领(1)列式：根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解．(2)验证：因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证根的合理性．题型4利用导数求函数的最值【例4-1】（2020春•

克什克腾旗校级月考）（文科普班）已知()1xfxeax=−−，若1a=，求函数()fx的最小值．【分析】代入a的值，求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，求出函数的最值即可．【解答

】解：1a=时，()1xfxex=−−，()1xfxe=−，令()0fx，解得：0x，令()0fx，解得：0x，故()fx在(,0)−递减，在(0,)+递增，故()(0)0minfxf==．【例4-2】（2020春•徐州期中

）已知函数()xfxxe=．（1）求函数()fx的单调区间；（2）求函数()fx在[2−，1]上的最大值和最小值．【分析】（1）先求出函数的导数，解关于导函数的不等式，从而求出函数()fx的单调区间；（2）先求出函数()fx在区间[2−

，1]上的单调性，从而求出函数的最值问题．【解答】解：（1）()()()(1)xxxfxxexeex=+=+，令()0fx，解得：1x−，令()0fx，解得：1x−；函数()fx的增区间：(1,)−+，减区间：(,1)−−；（2）由（1）得：()fx在[2−，

1)−递减，在(1−，1]递增，()1()()1fxfxfe==−=−最小值极小值，22(2)fe−=−，f（1）e=()fxf=最大值（1）e=．【跟踪训练4-1】（2020春•十堰期末）函数31()43f

xxxa=−+在[0，3]上的最大值为2，则a的值为()A．103−B．2C．5D．223【分析】求出函数的导数不等式，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，求出函数的最大值，得到关于a的方程，解出即可．

【解答】解：2()4fxx=−．令()0fx，解得：2x，令()0fx，解得：02x„，故()fx在[0，2)递减，在(2，3]递增，故()fx的最大值是(0)f或f（3），而(0)faf=（3）3a=−，故(0)2fa==，故选：B．【跟踪训练4-2】（202

0春•内江期末）函数()cosfxxx=+在[0，]上的()A．最小值为0，最大值为2B．最小值为0，最大值为12+C．最小值为1，最大值为2D．最小值为1，最大值为1−【分析】求出原函数的导函数，可得()0fx…在

[0，]上恒成立，可得()cosfxxx=+在[0，]上的单调递增，则最值可求．【解答】解：由()cosfxxx=+，得()1sin0fxx=−…，函数()cosfxxx=+在[0，]上的单调递增，则()(0)0cos01mi

nfxf==+=；()()cos1maxfxf==+=−．函数()cosfxxx=+在[0，]上的最小值为1，最大值为1−．故选：D．【跟踪训练4-3】（2020春•沭阳县期中）已知函数32()fxxax=−，aR且f（1）3=．（1）求a的值；（2）求函数()fx在

区间[0，3]上的最大值．【分析】（1）求出函数的导数，利用f（1）3=，求解a即可．（2）结合（1）化简函数的解析式，求出函数的导数，判断函数的单调性，然后求解函数的最大值即可．【解答】解：（1）32()fxxax=−，可得2()32fxxax=−，因为f（1）3=，得32

3a−=，解得0a=．（2）由（1）得3()fxx=，因为2()30fxx=…，所以3()fxx=在[0，3]上单调递增，最大值为f（3）27=．【名师指导】导数法求给定区间上函数的最值问题的一般步骤(1)求函数f(x)的导数f′(x)；(2)求f(x)在给

定区间上的单调性和极值；(3)求f(x)在给定区间上的端点值；(4)将f(x)的各极值与f(x)的端点值进行比较，确定f(x)的最大值与最小值；(5)反思回顾，查看关键点，易错点和解题规范．题型5利用导数

求解函数极值和最值的综合问题【例5-1】（2020春•朝阳区期末）已知函数322()2fxxaxaxa=−++，aR（Ⅰ）若0a=，求证：当[1x，)+时，()fxx…恒成立；（Ⅱ）当1a=时，求()fx在区间[0，2]上的最大

值和最小值；（Ⅲ）若函数()fx存在极大值和极小值，且极大值和极小值的差不超过4，求a的取值范围．【分析】（Ⅰ）当0a=时，3()fxx=．设3()gxxx=−，通过函数的导数判断函数的单调性，然后推出结果．（Ⅱ）当1a=时，32(

)21fxxxx=−++．利用函数的导数求出极值点，判断函数的单调性求解函数的极值以及最值即可．（Ⅲ）322()2fxxaxaxa=−++，求解函数的导数，通过a的范围，判断函数的极值以及函数的单调性，求出a的范围．【解答】解：（Ⅰ）证明：当0a=时，3()fxx=．设3(

)gxxx=−，则2()31gxx=−．因为[1x，)+，所以()0gx．所以()gx在[1，)+上单调递增，所以()gxg…（1）0=．所以当[1x，)+时，()fxx…恒成立．（Ⅱ

）当1a=时，32()21fxxxx=−++．所以2()341(31)(1)fxxxxx=−+=−−．令()(31)(1)0fxxx=−−=得13x=或1x=．当x在[0，2]上变化时，()fx，()fx的变化情况如下表：x01(0,)3131(

,1)31(1,2)2()fx+0−0+()fx1极大值3127极小值13所以，当[0x，2]时，函数()fx的最大值为f（2）3=，函数()fx的最小值为(0)ff=（1）1=．（Ⅲ）因为322()2fxxaxaxa=−++，所以22()34(

3)()fxxaxaxaxa=−+=−−．令()(3)()0fxxaxa=−−=得3ax=或xa=．依题意，函数()fx存在极大值和极小值，所以0a．（ⅰ）当0a时，3aa．当x变化时，()fx，()

fx的变化情况如下表：x(,)3a−3a(,)3aaa(,)a+()fx+0−0+()fx极大值极小值所以函数()fx的极大值为34()327aafa=+，极小值为f（a）a=．依题意有34()()4327aaffaaa−=+−„，所以3a„．所以(0a，3]．（ⅱ）当0a

时，3aa．当x变化时，()fx，()fx的变化情况如下表：x(,)a−a(,)3aa3a(,)a+()fx+0−0+()fx极大值极小值所以函数()fx的极大值为f（a）a=，极小值为34()327aafa=+．依题意有34()()()4327aafafaa−=

−+„，所以3a−…．所以[3a−，0)．综上所述，[3a−，0)(0，3]．【跟踪训练5-1】（2020春•贵池区校级期中）已知32()1fxxax=++，aR．（1）若()fx在23x=处取极值，求()fx在点(,1)a−处切线方程；（2）若函数(

)fx在区间[0，1]最小值为1−，求a．【分析】（1）求出导函数，结合()fx在23x=处取极值，导函数为0，求解a，然后求解切线的斜率，求解切线方程．（2）令()0fx=，求出极值点，若0a…，若32a−„

，若302a−，判断导函数的符号判断函数的单调性求解函数的极值与最值，然后推出结果．【解答】解：（1）2()3()3fxxxa=+，又()fx在23x=处取极值，2()03f=，得1a=−，且检验满足题意．32()1fx

xx=−+，切点为(1,1)，切线斜率为Kf=（1）1=，()fx在点(1,1)的切线方程为yx=．（2）2()3()3afxxx=+，令()0fx=，得0x=或23a−，若0a…，则(0,1)x时()0fx，()fx

在[0，1]为增函数，此时()(0)11minfxf==−舍去，若32a−„，则213a−…，此时(0,1)x时，()0fx，()fx在[0，1]为减函数，()minfxf=（1）21a=+=−，得33(,

)2a=−−−满足题意；若302a−，则2013a−，此时2(0,)3xa−时，()0fx，2(,1)3ax−时，()0fx，()fx在2(0,)3a−是减函数，()fx在2(,1)3a−上是增函数，此时324()()11327m

inaafxf=−=+=−，解得3273(,0)22a=−−舍去，综合以上得3a=−．【名师指导】解决函数极值、最值综合问题的策略(1)求极值、最值时，要求步骤规范，含参数时，要讨论参数的大小．(2)求

函数最值时，不可想当然地认为极值点就是最值点，要通过比较才能下结论．(3)函数在给定闭区间上存在极值，一般要将极值与端点值进行比较才能确定最值．