【文档说明】吉林省长春市名校2020-2021学年高二下学期期末考试数学（文）试题 含答案.doc，共(9)页，838.000 KB，由小赞的店铺上传

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长春市名校2020-2021学年高二下学期期末考试数学(文)试卷考试时间：120分钟分值：150分第Ⅰ卷选择题(60分)一、选择题(共12小题，每小题5分，计60分)1．已知集合234Axyxx==−++，24xBx=，则AB=（）A．()2

,+B．)1,−+C．2,4D．(2,42．复数()()21zaii=−+，aR，i是虚数单位.若4z=，则a=（）A．2B．2−C．0D．23．计算：2332(27)9−−=（）A．13B．13−C．3D．3−4．函数()()2ln23fxxx=−−的单

调递增区间是（）A．().1−−B．(),1−C．()1,+D．()3,+5．已知函数()24xxfx−=−，若0.250.250.30.3,log0.3,log2.5abc−===，则（）A．()()()fbfafcB．()(

)()fcfbfaC．()()()fcfafbD．()()()fafbfc6．已知()yfx=为奇函数且对任意xR，()()2fxfx+=−，若当0,1x时，()()2logafxx=+，则()2021f=（）A．1−B

．0C．1D．27．已知函数()(1010)xxfxx−=−，不等式(12)(3)0fxf−+的解集为（）A．(,2)−B．(2,)+C．(,1)−D．(1,)+8．若函数()()()2,232ln1,2a

xxfxaxx−=−−在R上单调递增，则实数a的取值范围是（）A．(0,1B．(0,2C．30,2D．31,29．我国著名数学家华罗先生曾说：数缺形时少直观，形缺数时难人微

，数形结合百般好，隔离分家万事休.在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性质，也常用函数的解析式来琢廊函数的图象特征，函数()2xxxfxee−=+的图象大致是（）A．B．C．D．10．人们通常以分贝（符号是dB）为单位

来表示声音强度的等级.一般地，如果强度为x的声音对应的等级为f（x）dB，则有()1210lg110xfx−=，一架小型飞机降落时，声音约为100dB，轻声说话时，声音约为30dB，则小型飞机降落时的声音强度是轻声说话时声音强度的（）

倍A．1000B．106C．107D．10811．已知()2fxaxbx=+是定义在1,2aa−上的偶函数，那么()=+nyfab的最大值是（）A．1B．13C．33D．42712．已知函数223,0()ln0xxxfxxx−−+=，，若关于x的方程()fxa=有四个实数根，则实

数a的取值范围为（）A．(,4)−B．(0]3，C．[3,4)D．(0,4)第Ⅱ卷非选择题(90分)一.填空题（共4小题，每小题5分，计20分）13．已知函数()()2tfxtx=−是幂函数，则函数()()logtgxxtt=++恒过定点______．14．已知

24:()9,:log(3)1pxmqx−+，若￢q是￢p的必要不充分条件，则m的取值范围是_________．15．观察等式：f(13)＋f(23)＝1；f(14)＋f(24)＋f(34)＝32；f(15)＋f(25)＋f(35)＋f(45)＝2；f

(16)＋f(26)＋f(36)＋f(46)＋f(56)＝52；…由以上几个等式的规律可猜想=+++)20212020()20213()20212()20211(ffff___________.16．已知关于x的方程22ln1xxaexx+−=在()0,+上有解，则

实数a的取值范围是______．三.解答题（解答应有必要的文字说明和解题步骤，共计70分）17.(本小题10分)设函数()|1|3||fxxxa=++−．（Ⅰ）当1a=时，解不等式()22fxx+；（Ⅱ）若关于

x的不等式()4|22|fxxa+−恒成立，求实数a的取值范围．18.(本小题12分)在平面直角坐标系xOy中，曲线1C的参数方程为12322xtyt=−=+(t为参数)，曲线2C的参数方程为cos1sinxy==+(为参数)，以坐标原点O为极点，x轴

的正半轴为极轴建立极坐标系.（1）求曲线12,CC的极坐标方程；（2）已知射线:0,2()l=分别交曲线1C，2C于,MN两点，若N是线段OM的中点，求的值.19.(本小题12分)改革开放以来，我国高等教育事业有了迅速发展，尤其是城市高中的本科录取率.现得到某城市

从2014-2018年的本科录取成绩，为了便于计算，将2014年编号为1，2015年编号为2，…，2018年编号为5，如果将每年的本科录取率记作%y，把年份对应编号1到5作为自变量，记作x，得到如下数据：年份20142015201620172018自变量x12345本

科录取率%y24.5%27.5%29%31.5%32.5%（1）试建立y关于x的回归方程；（2）已知该城市2019年本科录取率为35.5%，2020年本科录取率为37.4%.若ˆ0.5yy−，则认为该回归方程精确度较高

，试用2019年和2020年的数据判断能否用该方程预测2021年该城市的本科录取率，若不能，请说明理由；若能，请预测2021年该城市的本科录取率.参考公式：()()()11122211ˆnniiiiinniiiixynxyxxyybxnxxx====−−−==−−，ˆˆaybx=−.20

.(本小题12分)已知二次函数()fx的两个零点分别是0和5，图象开口向上，且()fx在区间1,4−上的最大值为12．（1）求()fx的解析式；（2）设函数()fx在,1xtt+上的最小值为()gt，求()gt的解析式．21.

(本小题12分)已知函数()1xfxeax=−−.（1）当1a=时，求证：()0fx；（2）当0x时，()2fxx，求实数a的取值范围.22.(本小题12分)已知()lnfxaxx=−，aR．（1

）当1a=时，求函数()fx的单调区间；（2）是否存在实数a，使()fx在区间(0,e上的最小值是3，若存在，求出a的值；若不存在，说明理由。长春市名校2020-2021学年高二下学期期末考试文科数

学答案1.B2．D3．A4．D5．D6．C7．A8．A9．B10．C11．D12．C13．()2,3−14．：[2,0]−．15．101016．)1,+17．（Ⅰ）()|1|3||22fxxxax=++−

+，可转化为14222xxx−+或114222xxx−−+或12422xxx−−+，解得12x或112x或无解，所以不等式的解集为1,22．（Ⅱ）依题意，问题等价于关于x的不等式|1

|||4xxa++−恒成立，即min(|1|||)4xxa++−，又|1||||1||1|xxaxxaa++−+−+=+，当(1)()0xxa+−时取等号．所以|1|4a+，解得3a或5a−，所以实数a的取值范围是(,5][3,)−−+

．18．（1）因为曲线1C的普通方程为320xy+−=，所以曲线1C的极坐标方程为3cossin20+−=(写成sin()13+=也给分).因为曲线2C的普通方程为22(1)1yx+−=，即2220xyy+−=，所以曲线2C的极坐标方程为22sin0−=，即2sin

=.（2）设1,()M，2,()N，则123cossin=+，22sin=，因为N是线段OM的中点，所以122=，即2sin3cossi4n=+，整理得2sincossin)1(3+=，所以3tan23=，因为2，所以22

，所以726=，所以7π12=.19．解：（1）计算得52155iix==，51455iiixy==，2545x=，5435xy=，455435ˆ25545b−==−，又3x=，29y=，ˆ292323a=−=，y关于x的

回归方程为ˆ223yx=+.（2）当6x=时，ˆ35y=，ˆ05yy−．，当7x=时，ˆ37y=，ˆ05yy−．，则该回归方程可用来预测2021年该城市的本科录取率.当8x=时，ˆ39y=，预测2021年该城市的本科录取率为3

9%.20．（1）因为二次函数()fx的两个零点分别是0和5，图象开口向上，所以可设()()()50fxaxxa=−，又()fx在区间1,4−上的最大值为12，所以()1612fa−==，2a=．()(

)225210fxxxxx=−=−．（2）()22525210222fxxxx=−=−−，图象开口向上，对称轴为52x=．①当512t+即32t时，()fx在,1tt+上是减函数，()(

)()()22121101268gtfttttt=+=+−+=−−；②当512tt+剟即3522t剟时，()52522gtf==−；③当52t时，()fx在,1tt+上是增函数，()()2210gtfttt==−．综上所述，()223268,,22535,,22

25210,.2tttgttttt−−=−−剟.21．（1）证明：当1a=时，()1xfxex=−−，定义域为R，则'()1xfxe=−，由'()0fx，得0x，由'()0fx，得0x，所以()fx在(,0)−上单调递减，在(0,)+上单调递增

，所以0x=是()fx的极小值点，也是()fx的最小值点，且min()(0)0fxf==，所以()0fx，（2）解：由()2fxx（0x），得21xaxex−−（0x），当0x=时，上述不等式恒成立，当0x时，21xexax−−，令21()xexgxx−−=（0x），则2'22(

2)(1)(1)(1)()xxxexxexxexgxxx−−−−−−−==，由（1）可知，当0x时，10xex−−，所以由'()0gx，得01x，由'()0gx，得1x，所以()gx在(0,1)上单调递减，在(1,)+上单调递增，所以1x=是()gx的极小值点，也

是()gx的最小值点，且min()(1)2gxge==−，所以2ae−，所以实数a的取值范围为(,2]e−−22．（1）当1a=时，()lnfxxx=−，定义域为(0,)+，()111xfxxx−=−=，当01x时，()0fx，()fx单调递减，当1x

时，()0fx，()fx单调递增，综上：()fx在()0,1单调递减，()1,+上单调递增；（2）1()fxax=−，假设存在实数a，使()ln,((0,])=−fxaxxxe有最小值3.①当0a„时，因为(0,]xe，所以()0fx，

所以()fx在(0,]e上单调递减，min()(e)e13==−=fxfa，解得4ae=（舍去）；②当10ea时，()fx在10,a上单调递减，在1,ea上单调通增，∴min1()1ln3==+=fxfaa，解得2ae=，满足条件；③当

1ea…时，因为(0,]xe，所以()0fx，∴()fx在(0,]e上单调递减，∴min()()13==−=fxfeae.解得4ae=，舍去.综上，存在实数2ae=，使得当(0,]xe时，()fx有最小值3.