【文档说明】湖南省永州市2025届高三上学期第一次模拟考试数学试题 Word版含解析.docx，共(23)页，1.902 MB，由小赞的店铺上传

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数学命题人：蒋志刚（永州四中）唐首佳（宁远一中）潘圆（江华一中）陈诗跃（永州一中）审题人：席俊雄（永州市教科院）注意事项：1．本试卷共150分，考试时量120分钟．2．全部答案在答题卡上完成，答在本试题卷上无效．3．考试结束后，只交答题卡．一、选择题：本题共8小题，每小

题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.设22450,1AxxxBxx=−−===，则AB=（）A.1,1,5−B.1,1,5−−C.1−D.1【答案】A【解析】【分析】根据条件，求出集合,AB，再利用集合

的运算，即可求解.【详解】由2450xx−−=，得到5x=或1x=−，所以1,5A=−，又由21x=，得到1x=，所以1,1B=−，得到1,1,5AB=−，故选：A.2.复数2i1−的共轭复数是（）A.i1−B.i1+C.1i−−D.1i−【答案】A【

解析】【分析】由复数除法运算以及共轭复数的概念即可得解.【详解】因为2i1−i2(1i)12−−==−−，所以复数2i1−的共轭复数是i1−.故选：A.3.已知3,4ab==，且a与b不共线，则“向量akb+rr与

akb−垂直”是“34k=”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】由已知结合向量垂直列出方程求得34k=，即可判断出答案．【详解】若向量akb+rr与akb−垂直，则()()22229160aakabkabkbkakb

kb=−+−−=−+=，解得34k=，所以“向量akb+rr与akb−垂直”是“34k=”必要不充分条件，故选：B．4.函数()2lnfxxx=+在点()1,1处的切线方程是（）A.320xy−−=B.220xy−−=C.320xy+−=D.220xy+−=【答案】A【解析】【

分析】对()fx求导，得到()12fxxx=+，从而有()13f=，再利用导数的几何意义，即可求解.【详解】由()2lnfxxx=+，得到()12fxxx=+，所以()1213f=+=，所以()2lnfxxx=+在点()

1,1处的切线方程是13(1)yx−=−，即320xy−−=，故选：A.5.已知函数()πcos2(0)6fxx=+的最小正周期为π，则()fx的对称轴可以是（）A.π24x=B.π1

2x=C.π6x=D.π3x=【答案】D【解析】【分析】由()fx的最小正周期为π，求得1=，再令π2π,Z3xkk+=，即可求解．【详解】因为函数()πcos23fxx=+的最小正周期为π，所以2π12π==，则

()πcos23fxx=+，令π2π,Z3xkk+=，则ππ,Z26kxk=−，对比选项可知，只有当1k=时，π3x=，符合题意，故D正确；故选：D．6.在2024年巴黎奥运会中，甲、乙、丙、丁、戊5人参与接待、引导和协助三类志愿者服务工

作，每类工作必须有志愿者参加，每个志愿者只能参加一类工作，若甲只能参加接待工作，那么不同的志愿者分配方案的种数是（）A.38B.42C.50D.56【答案】C【解析】【分析】根据参加接待工作的人数分类讨论，先分组再分配，结合排列组合即可求解.【详解】（1）如果参加接待工作只有一人，

则只能为甲，再把其余4人分组有两类情况：1:3和2:2.把4人按1:3分组，有34C种分组方法，按2:2分组，有224222CCA种分组方法，因此不同分组方法数为22342422CCCA+，再把两组人安排到其余两类志愿者服务工作，有2

2A种方法，所以不同分配方法种数是2232424222CCCA(43)214A+=+=.（2）如果参加接待工作有2人，则除了甲之外，还需要再安排一人有14C种情况，再把其余3人分组成1:2，有23C种分组方法，再把两组人安排到其余两

类志愿者服务工作，有22A种方法，所以不同分配方法种数是122432CCA43224==.（3）如果参加接待工作有3人，则除了甲之外，还需要再安排两人有24C种情况，再把其余2人安排到其余两类志愿者服务工作，有22A种方法，所以不同分配方法种数是2242CA6212==.

综上，不同的志愿者分配方案的种数是14241250++=.故选：C.7.已知数列{𝑎𝑛}满足()*1212nnnnnnaaaanaa++++−−=N，且1202421,2025aa==，则12231nnaaaaaa++++=（）A.21nn+B.2nn+C.221nn+D.22n

n+【答案】D【解析】【分析】由()*1212nnnnnnaaaanaa++++−−=N得出1na为等差数列，求出等差数列的通项公式得出21nan=+，再根据裂项相消即可求解．【详解】因为12111

11222112nnnnnnnnnnnnnnaaaaaaaaaaaaaa++++++++++−−=−=−+=，所以212111112111nnnnnnnaaaaaaa++++++=−=−，所以1na为等差数列，公差202411120251122024120232aad−−

===−，首项111a=，所以()()1111111122nnndnaa+=+−=+−=，所以21nan=+，所以()()()()()()122314441121213112nnaaaaaann++++=+++++++++1111114233412nn=−+−++−++112

4222nnn=−=++.故选：D．8.已知函数()()1ln,14xfxababx=+++−R为奇函数，且()fx在区间()2,mm上有最小值，则实数m的取值范围是（）A.()3,3B.()2,2C.()2,3

D.()2,3【答案】A【解析】【分析】先根据题设条件及奇函数的性质，得到12a=−，ln2b=，从而有()ln1ln14xfxxx=+−−+，再结合函数的定义域得到1m或201m，分1m或201m两种情况

，利用函数的单调性，即可求解.【详解】因为()()1ln,14xfxababx=+++−R为奇函数，所以其定义域关于原点对称，易知1x，所以1x−，即有101(1)a+=−−，得到12a=−，所以()111lnln2142(1)4xxxfxbbxx+=−+++=++−−

，函数定义域为|1xx−且1x，得到()10ln02fb=+=，所以ln2b=，故()11lnln2ln2(1)414xxxxfxxx++=++=+−−，有()11lnln()1414xxxxfxfxxx−++−=−=−−=−+−，即12a=−，ln2b=满足题意，所以(

)1lnln1ln1144xxxfxxxx+=+=+−−+−，定义域为|1xx−且1x，又20m，所以1m或201m，当201m，即10m−或01m，()2,xmm时，()ln(1)ln(1

)4xfxxx=+−−+，此时()ln(1)ln(1)4xfxxx=+−−+在()2,mm上单调递增，不合题意，当1m，()2,xmm时，()ln(1)ln(1)4xfxxx=+−−+，()2211191144(1)xfxxxx−=−+=

+−−，由()()229041xfxx=−−=，得到3x=或3−（舍去），又()fx在区间()2,mm上有最小值，所以213mm，解得33m，此时()fx在区间(),3m上单调递减，在区间()23

,m上单调递增，满足题意，故选：A.【点睛】关键点点晴，本题关键在于利用奇函数的定义关于原点对称，从而得到12a=−，再利用()00f=，得到ln2b=，即可求解.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给

出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．9.已知,,ABC为随机事件，()()0.5,0.4PAPB==，则下列说法正确的有（）A.若,AB相互独立，则()0.2PAB=B.若,AB相互独立，则()0.9PA

B=C.若,,ABC两两独立，则()()()()PABCPAPBPC=D.若,BC互斥，则()()()PBCAPBAPCA=+【答案】AD【解析】【分析】由独立事件的乘法公式即可判断A；由事件的和运算即可判断

B；由三个事件两两独立，不能判断三个事件是否独立，即可判断C；由互斥事件及条件概率公式即可判断D．【详解】对于A，若,AB相互独立，则()()()0.50.40.2PABPAPB===，故A正确；对于B，若,AB相互独立，则()()()()()0.50.40.20.7PABPAPBPAPB=+

−=+−=，故B错误；对于C，若,,ABC两两独立，由独立事件的乘法公式得，()()()PABPAPB=，()()()PACPAPC=，()()()PBCPBPC=，无法确定()()()()PABCPAPBPC=，故C错误；对于D，

若,BC互斥，则()0PBC=，()()()()PBCAPBAPAC+=+，两边同时除以()PA得，()()()()()()()PBCAPBAPACPAPAPA+=+，即()()()PBCAPBAPCA

=+，故D正确；故选：AD．10.已知点()()2,0,1,0AB−，圆22:40Cxyx+−=，则（）A.圆22:(1)1Mxy+−=与圆C公共弦所在直线的方程为30xy−=的B.直线()3ykx=−与圆C总有两个交点C.圆C上任意一点M都有2MAMB=D.b是,ac的

等差中项，直线:20laxbyc++=与圆C交于,PQ两点，当PQ最小时，l的方程为0xy+=【答案】BCD【解析】【分析】A通过圆的方程相减即可判断，B通过直线过定点，点在圆内即可判断；C：求得M的轨迹方程即可判断；D通过等差

中项得到2bac=+，确定直线过定点，由PQ最小，得到圆心和弦中点的连线与直线l，即可求解.【详解】对于A:两圆方程相减可得公共弦所在直线的方程：2yx=；错误对于B：()3ykx=−过定点()3,0，而()3,0在圆22:40Cxyx+−=的内部，所以直线()3ykx=−与圆C总有两

个交点，正确；对于C:设M(),xy，由2MAMB=可得：()()2222221xyxy++=−+化简可得：2240xyx+−=，所以满足条件的M轨迹就是圆C，正确；对于D：因为b是,ac的等差中项，所以2bac=+（不同时为0）所以

:20laxbyc++=可化为()0axacyc+++=，即()(1)0axycy+++=可令010xyy+=+=，解得11xy==−，则直线l过定点()1,1N−，设()22412xy−+=的圆心为C，当CN与直线l垂直时，PQ最小，此时1CNlkk=−，即0112

1lk+=−−，得1lk=−，结合()0axacyc+++=所以1lakac=−=−+，解得0c=直线l的方程为0xy+=.正确故选：BCD11.在边长为1的正方体1111ABCDABCD−中，,,MNP分

别为棱111,,ABCCCD的中点，1O为正方形1111DCBA的中心，动点Q平面MNP，则（）A.正方体被平面MNP截得的截面面积为334B.若DQAB=，则点Q的轨迹长度为2πC.若12BKKB=，则1BQKQ+的最小值为223D.将正方体的上底面1111DCBA绕点1O旋转

45，对应连接上、下底面各顶点，得到一个侧面均为三角形的十面体，则该十面体的体积为223+【答案】ACD【解析】【分析】作出正方体被平面MNP截得的截面，得出截面为正六边形即可判断A；建立空间直角坐标系，由线面垂直得出22DOQO⊥，结

合勾股定理得出点Q的轨迹为以2O为圆心半径为12的圆，即可判断B；由空间向量得出1B关于平面MNP的对称点为点D，根据空间向量模长的坐标计算即可判断C；作出十面体，将该十面体放在一个四棱台中，根据棱台体积及三棱锥体积计算公式即可判断D．【详解】对于A，连接NP并延长，与1,DCDD

所在直线交于点,EF，连接EM，交BC于点H，交直线DA于点G，连接GF，交111,AAAD于点,IJ，连接,,PJHNMI，如图所示，则正方体被平面MNP截得的截面为六边形MHNPJI，连接11,ABCD，则11//ABCD，因为1111ABCDABCD−

为正方体，所以平面11//ABBA平面11DCCD，又平面EFG平面11ABBAIM=，平面EFG平面11DCCDPN=，所以//PNIM，又,NP分别为棱111,CCCD的中点，所以1//PNCD，所以1//IMAB，则点I为1AA中点，22112222IM=+=

，同理可得，22PNPJJIMIMHHN======，所以六边形MHNPJI为正六边形，则232336424MHNPJIS==，故A正确；对于B，由A可知，平面MNP即为平面MHNPJI，以D为原点，分别以1,,DADCDD所在直线为,,xyz轴建立空间直角坐标系，连接M

P，取MP中点2O，连接22,DOOQ，如图所示，则()11110,0,0,1,,0,,1,0,0,1,,0,,12222DMHNP，2111,,222O，所以1111,,0,,0,2222MHHN=−=−

，2111,,222DO=，设平面MNP的一个法向量为(),,nxyz=，因为00MHnHNn==，所以1102211022xyxz−+=−+=，令1x=，则()1,1,1n=，因为212nDO=，所以2/

/nDO，所以2DO⊥平面MNP，又2QO平面MNP，所以22DOQO⊥，因为222211132222DO=++=，1DQ=，所以22231122QO=−=，所以点Q的轨迹为以2O为圆心半径为12的圆，点Q的轨迹长度为12ππ2=，故B错

误；对于C，因为12BKKB=，所以K为1BB靠近1B的三等分点，则21,1,3K，连接12BO，由()11,1,1B，2111,,222O，得21111,,222OB=，

所以212OBDO=，所以1B关于平面MNP的对称点为点D，所以22212221133BQKQDK+=++=，故C正确；对于D，如图所示，1111ABCDABCD−即为侧面均为三角形的十

面体，在平面1111DCBA，以1111,ACBD为对角线作正方形2222ABCD，连接2222,,,AABBCCDD，则2222ABCDABCD−是上底和下底都是正方形的四棱台，底面边长为2和1，高为1，所以()22221321211233ABCDABCDV−+=

++=，因为12112112112121121132212AAADBBBACCCBDDDCVVVV−−−−=====，所以2222121321224333ABCDABCDAAADVVV−−++=−=−=十面体，故D正确；故

选：ACD．【点睛】关键点睛：空间不规则几何体的体积，可以将几何体放在一个规则几何体中，减去多余部分的体积，从而简化计算进行求解．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.在1nxx+的展开式中，

各项系数之和为64，则展开式中的常数项为__________________.【答案】15【解析】【分析】利用展开式各项系数之和求得n的值，由此写出展开式的通项，令指数为零求得参数的值，代入通项计算即

可得解.【详解】1nxx+的展开式各项系数和为264n=，得6n=，所以，61xx+的展开式通项为()63621661rrrrrrTCxCxx−−+==，令6302r−=，得2r=，因此，展开式中的常数项为2615C=.故答案为：15.【

点睛】本题考查二项展开式中常数项的计算，涉及二项展开式中各项系数和的计算，考查计算能力，属于基础题.13.已知,为锐角，且2π2,tantan2332+==−，则()sin2+=______．【答案】624+【解析】【分析】根据条件，利用

正切的差角公式，得到2tan(33)tan230+−+−=，从而得到π4=，π6=，即可求解.【详解】因2π23+=，得到2π23=−，又tantan232=−，所以π(3tan)tantan()tan23313tan−−==−+

，整理得到2tan(33)tan230+−+−=，解得tan1=或tan230=−，又,为锐角，所以tan23=−不合题意，由tan1=，得到π4=，π6=，所以()ππ321262sin2sin()3422224++=+=+=.故答案为：624+14.

已知双曲线22:13yCx−=的左、右焦点分别为12,FF，双曲线C上的点P在x轴上方，若21PFF的平分线交1PF于点A，且点A在以坐标原点O为圆心，1OF为半径的圆上，则直线2PF的斜率为______．【答案】1

57−或37【解析】【分析】利用双曲线的定义、结合三角形角平分线用2||PF表示1||,||PAFA，再由点A在圆上，利用勾股定理求出2||4PF=，进而求出点P的坐标，并求出斜率.【详解】依题意，12(2,0),(2,0

)FF−，当点P在第一象限时，令2||PFm=，则1||2PFm=+，由2FA平分21PFF，得2122221122121||||sin||21||4||||sin2PAFFAFPFAFPFASPAmFASFFAFFFA===，则1(2

)4(2)||,||44mmmPAFAmm++==++，由点A在以坐标原点O为圆心，1OF为半径的圆上，得21AFPF⊥，即22221212||||||||FFFAPFPA−=−，代入整理得2(4)(2)(4)(4)4mmmmm−++−=+，解得4m=

，当点P在第二象限时，令2||PFt=，则1||2PFt=−，由2FA平分21PFF，同理1(2)4(2)||,||44tttPAFAtt−−==++，又21AFPF⊥，则22221212||||||||FFFAP

FPA−=−，代入整理得2(4)(2)(4)(4)4ttttt−−+−=+，解得4t=，因此2||4PF=，设000(,),0Pxyy，则2200220033(2)16xyxy−=−+=，解得0052372xy==或0032152xy

=−=，所以直线2PF的斜率00372ykx==−或157k=−.故答案为：157−或37【点睛】关键点点睛：求解本题的关键是利用双曲线定义，结合角平分线列式求出1||,||PAFA.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说

明、证明过程或演算步骤．15.记ABCV的内角,,ABC的对边分别为,,abc，已知()()()sinsinsinbcBCbaA+−=−．（1）求C；（2）若ABCV的面积为33,72c=，求ab+．【答案】（1）π3C=（2）5【解析】【分析】（1）由已知，结合正弦定理边角

互化，再根据余弦定理求得1cos2C=即可求解；（2）由三角形面积公式求得6ab=，根据7c=及余弦定理得出2213ba+=，再由完全平方公式即可求解．【小问1详解】由正弦定理得，222bcaba−=−，即222bacab+−=，由余弦定理得，2221cos

222+−===bacabCabab，又()0,πC，所以π3C=．【小问2详解】因为ABCV的面积为332，所以11333sin2222abCab==，即6ab=，由7c=，则2222271cos2122bacbaCab+−+−===，即2213

ba+=，所以()2222132131225baababab++=+=+=+=，即5ab+=．16.如图，在三棱锥ABCD−中，32,23ABACBDCD====，26BC=，点E在棱AB上，且2,AEEBDEAB=⊥．（1）证明：平面ABC⊥平面BCD；（2）求平面BCD与平面ECD夹角

的余弦值．【答案】（1）证明见解析（2）52929【解析】【分析】（1）取BC中点O，连接,AODO，利用条件及几何关系，得到218AD=，23AO=，6DO=，进而得到AOOD⊥，AOBC⊥，利用线面垂直的判定定理，得AO⊥面BCD，

再利用线面垂直的判定定理，即可证明结果；（2）过E作EHBC⊥交BC于H，过H全HNDC⊥于N，连接,ENHD，从而有ENH为平面的BCD与平面ECD的夹角，再利用几何关系得到533HN=，873EN=，即可求出结果.【

小问1详解】如图，取BC中点O，连接,AODO，因32,23ABACBDCD====，所以,AOBCDOBC⊥⊥，又26BC=，所以18623AO=−=，1266DO=−=，又2AEEB=，所以123BEAB==，2223AEAB==，又DEAB⊥，所以

22212210DEBDBE=−=−=，22210818ADDEEA=+=+=所以222AODOAD+=，即AOOD⊥，又AOBC⊥，,,ODBCOODBC=面BCD所以AO⊥面BCD，又AO面ABC，所以平面ABC⊥平面BCD.【小问2详解】过E作//EHAO交BC于H，过

H作HNDC⊥于N，连接,ENHD，由（1）知AO⊥面BCD，所以EH⊥面BCD，则ENH为平面BCD与平面ECD的夹角，因为13BEAB=，23AO=，所以12333EHAO==，又6DO=，易知16BHBC=，所以56HDCBDCS

S=，得到151262DCHNBCOD=，即15123266262HN=，解得533HN=，所以2225429333ENEHHN=+=+=，在Rt△EHN中，535293cos29293HNENHE

N===.17.已知椭圆2222:1(0)xyEabab+=的短轴长为23，右焦点为()1,0F.（1）求椭圆E的标准方程；（2）已知过点F的直线1l与椭圆E交于,AB两点，过点F且与1l垂直的直线2l与抛物线24yx=交于CD、两点，求四边形ACBD的面积S的取值范围.

【答案】（1）22143xy+=（2）)8,+【解析】【分析】（1）由题意可得1,3cb==，再由222abc=+求出a，从而可求出椭圆方程；（2）根据已知条件设出直线2l的方程，与抛物线联立，利用根与系数的关系得出弦长CD，设出直线1l的方程，

与椭圆方程联立，利用根与系数的关系得出弦长AB，结合四边形的面积公式及对勾函数的性质即可求解.【小问1详解】依题意可得：椭圆右焦点()1,0F，且223b=，即3b=.又因为221ab−=，所以2a=，故椭圆E的标准方程为：22143xy+=.【小问2详解】显然直线2l的斜率不为0，设直

线2l的方程为1xmy=+，()()1122,,,CxyDxy.联立214xmyyx=+=，消去x，整理得2440ymy−−=，0，所以12124,4yymyy+==−，所以()()22212121441CDmyyyym=++−

=+.由垂直关系可设直线1l的方程为ymxm=−+，设()33,Axy，()44,Bxy，联立22143ymxmxy=−++=，消去y，整理得()()2222348430mxmxm+−+−=，0

，则根据根与系数的关系，得()22343422438,3434mmxxxxmm−+==++，所以()()222343421211443mABmxxxxm+=++−=+，所以()()()2222221212411141224343ACBDmmSCDABmmm++==+=++四

边形，设()2433mtt+=，则ACBDS四边形232131222ttttt++==++，因为12ytt=++在)3,+上单调递增，所以ACBDS四边形3132823++=，

所以四边形ACBD的面积S的取值范围为)8,+.18.已知函数，()()21e1axfxx−=++，()()21(1)e1axaxgxx+−=++．（1）若1a=，求()fx的极值；（2）当0a时，讨论()fx零点个数；（3）当0x

时，()()fxgx，求实数a的取值范围．【答案】（1）极大值2e1+，无极小值（2）答案见解析（3）12a−【解析】【分析】（1）对()fx求导，根据导数的正负得出单调区间，进而得出极值；（2）对()fx求导，根据导数的正负得出单调区间，进而得出()fx最小值1

1e1aa++，设11e1,0()ahaaa+=+，再根据导数确定11e1aa++的正负，结合()20e10f=+，当x→−时，()1fx→，即可得出零点情况；（3）将问题转化为，当0x时，()11ln1axx−++，设()11(

),0ln1mxxxx−=++，根据导数确定单调性，再根据当0x→时，()12mx→−，所以()12mx−，即可求解．【小问1详解】当1a=时，()()21e1xfxx−=++，则()222()e1eexxxfxxx−−−=−+=−，令()0fx=，解得0x=，当(),0x

−时，()0fx，则()fx在(),0−单调递增，当𝑥∈(0,+∞)时，()0fx，则()fx在(0,+∞)单调递减，所以()fx有极大值2(0)e1f=+，无极小值．小问2详解】()()222()e1ee1axaxaxfxaxaxa−−−=−+=−−+，令()0fx=，则1a

xa−=，因为0a，所以0a−，10aa−当1,axa−−时，()0fx，则()fx在1,aa−−上单调递减，当1,axa−+时，()0fx，则()fx在1,aa−+上单调递增，所以121111()

()1e1e1aaaaaafxfaaa−−+−−=++=+，设11e1,0()ahaaa+=+，则1112211(eee)1aaaaaahaa+++−+==−，因为0a，所以()0ha，所以()ha在(),

0−单调递减，又因为(1)0h−=，【所以当1a−时，11e10aa++，则()0fx，无零点；当1a=−时，11e10aa++=，()fx有1个零点，当10a−时，11e10aa++，又()20e10f=+，当x

→−时，()1fx→，()fx有2个零点．【小问3详解】()()()()()()2121221e1(1)e11e(1)eaxaxaxaxaxaxfxgxxxxx+−+−−−++++++，因为0x

时，211,e0axx−+，所以()()111(1)ee(1)axxxaxfxgxxx−−−++，两边同时取自然对数得，()()1ln1xaxx−−+，当0x=时，00成立，当0x时，()ln10x+，则()()()111ln1ln1xaxxaxx−−−++

+，设()11(),0ln1mxxxx−=++，则()()()()()222221ln1111()ln111ln1xxxmxxxxxxx−++=−=++++，设()()22()1ln1,0nxxxxx=−++，则()()()()()221()2ln11

2ln12ln12ln11nxxxxxxxxx=−+−++=−+−++，设()()2()2ln12ln1,0pxxxxx=−+−+，则()()22ln112()22ln1111xxpxxxxx−+=−+−=+++，设()()22ln1,0kxxxx=−+，则()22201

1xkxxx−+==+，所以()kx在(0,+∞)单调递增，又()()0202ln010k=−+=，所以()0kx，所以()0px，则()px在(0,+∞)单调递增，又()()2(0)20ln012ln010p=−+−+=，所以()0px，所

以()0nx，则()nx在(0,+∞)单调递增，又()()22(0)001ln010n=−++=，所以()0nx，所以()0mx，则()mx在(0,+∞)单调递增，又当0x→时，()12mx→−，所以()12mx−，所以12a−．19.将数字1,2,3,4,,n任意排成一列，如果

数字()1,2,,kkn=恰好在第k个位置上，则称有一个巧合，巧合的个数称为巧合数，记为nX．例如4n=时，2，1，3，4为可能的一个排列，此时42X=．0nX=的排列称为全错位排列，并记数字1,2,3,4,,n的全错位排列种数为na．（1）写出1

23,,aaa的值，并求4X的分布列；（2）求()nEX；（3）求na．【答案】（1）1230,1,2aaa===，分布列见解析（2）1（3）0,11111!(1),22!3!4!!nnnannn==−+−

+−【解析】【分析】（1）根据定义分别计算123,,aaa即可；4X的可能取值有0,1,2,3,4，分别求出对应概率，即可得出分布列；（2）定义随机变量1,0,iixi=第个数字正确匹配第个数

字没有正确匹配，根据期望的性质即可求解；（3）首先得出递推公式()()121,3nnnanaan−−=−+，令!nnabn=，得出()1121nnnnbbbbn−−−−=−−，由累乘法得()1(1)3!nnnbbnn−−−=，再由累加法得()111(1)22!3!4!!nnbnn−=−+−

+，进而得出na．【小问1详解】由题可知，1n=时，只有1个数，不存在全错位排列，故10a=；2n=时，有2个数12，故21a=；3n=时，有3个数1,2,3，故32a=；由题可知，4X的可能取值有0,1,2,4，当40X=时，()444930A8PX=

==，当41X=时，()144442C11A3PX===，当42X=时，()24444C12A4PX===，当44X=时，()444114A24PX===，所以4X的分布列如下．4X0124P381314124【小问2详解】定义随机变量1

,0,iixi=第个数字正确匹配第个数字没有正确匹配，则()11iPxn==，()101iPxn==−，所以()1iExn=，由题可知，总的匹配数为随机变量nX，则1nniiXx==，所以()111()1nnniiiiEXExExnn======．【小问3详解】设

n个编号为1,2,3,,,,,ijn的不同元素12,,,,,,,ijnxxxxx排在一排，且每个元素均不排在与其编号相同的位置，这样的错位排列数为na，,当1n=时，10a=，当2n=时，21a=，当3n时，在n个不同元素中任取一个元素ix不排在与其编号对应的第i位，必排在剩下1n−个位置之

一，所以有1n−种排法；对ix的每一种排法，如ix排在第j位，对应元素jx的排法总有2种情况：①jx恰好排在第i位上，如图：此时，ix排在第j位，jx排在第i位，剩余2n−个元素，每个元素均有一个不能排的位置，它们的排列问题转化为2n−个元素全错位排列数，有2na

−种；②jx不排第i位上，如图，此时，ix排在第j位，jx不排在第i位，则jx有1n−个位置可排，除ix外，还有1n−个元素，每个元素均有一个不能排的位置，问题就转化为1n−个元素全错排列，有1na−种；由乘法原理

和加法原理可得，()()121,3nnnanaan−−=−+；所以有递推公式()12(1)nnnanaa−−=−+，3n．令!nnabn=，则有()()()()2121!(1)2!11!1nnnnnbnnnbnbnb

nb−−−−=−−+−=−+−，化简得()211nnnnbbnb−−=+−，从而有()1121nnnnbbbbn−−−−=−−，而1210,2bb==，由累乘法知()()12111

1(1)313!nnnbbbbnnnn−−−=−−−−=−．而2211(1)22!bb−−==，故21bb−也符合该式，于是由累加法知，()111(1)22!3!4!!nnbnn−=−+−+

，所以!nnabn==()1111!(1)22!3!4!!nnnn−+−+−，在所以0,11111!(1),22!3!4!!nnnannn==−+−+−．【点睛】关键点睛：第（2）问要用到期望的性

质：()11nniiiiEXEX===；第（3）问中，令!nnabn=是解题关键，并熟练运用累乘法和累加法．