【文档说明】北京市第一○一中学2024-2025学年高二上学期期中考试数学试题 Word版含解析.docx，共(24)页，1.724 MB，由小赞的店铺上传

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北京一零一中2024—2025学年度第一学期期中考试高二数学（本试卷满分120分，考试时间100分钟）命题：高二数学备课组审稿：贺丽珍一、选择题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.1.点(0,1)P到直线10xy−−=的距离等于（）

A.22B.1C.2D.2【答案】C【解析】【分析】直接利用点到直线的距离公式求解即可.【详解】点(0,1)P到直线10xy−−=的距离等于()22011211−−=+−.故选：C2.椭圆2214xy+=的离心率为（）A.2B.12C.32D.233【答案】C

【解析】【分析】利用椭圆方程求出,,abc，借助离心率公式计算即可.【详解】因为2214xy+=，所以2222241abcab===−，解得213abc===，故离心率为32cea==.故选：C.3.如图，在四面体OABC中，OAa=，OBb=，OCc=.点M，N分别为棱O

C，AB的中点，则MN=（）A.111222abc−−+B.111222abc−−−C.111222abc++D.111222abc+−【答案】D【解析】【分析】由MNONOM=−，再结合三角形法则即可求解.【详解】()1122MNONOMOAOBOC=−=+−，11

1222abc=+−，故选：D4.在正方体1111ABCDABCD−中，,EF分别为CD和11AB的中点，则异面直线AF与1DE.所成角的余弦值是（）A.0B.35C.45D.255【答案】B【解析】【分析】建立空间直角坐标系，转化为求解两向量夹角的余弦值即可.【详解】设正方体棱长为2，建立如图

所示的空间直角坐标系，则1(0,0,2),(0,1,0),(2,0,0),(2,1,2)DEAF，1(0,1,2),(0,1,2)DEAF=−=，则111143cos,555DEAFDEAFDEAF−===−，由异面直线AF与1DE.所成角

为锐角，则余弦值面直线AF与1DE.所成角的余弦值为35.故选：B.5.若直线1l：()1210axy−++=与直线2l：310xay+−=平行，则a=（）A.3B.2−C.3或2−D.3或1【答案】A【解析】【分析】

根据给定条件，利用两直线平行的充要条件列式计算即得.【详解】由直线1l：()1210axy−++=与直线2l：310xay+−=平行，得12131aa−=−，所以3a=.故选：A6.在长方体1111ABCDABCD−中，13,2,1ABBCAA===，则二面角1DBCD−−的余弦值为（）A.

55B.255C.1010D.31010【答案】D【解析】【分析】画出长方体1111ABCDABCD−，1DCD为二面角1DBCD−−所成的平面角，求出1cosDCD的值即可得出答案.【详解】长方体1111ABCDA

BCD−中，13,2,1ABBCAA===，110CD=，BCCD⊥，BC⊥平面11DCCD,1CD平面11DCCD,1BCCD⊥,又平面1DBC平面BCDBC=，1DCD为二面角1DBCD−−所成的平面角，113310cos1010CDDCDCD===，所以二面角1DB

CD−−的余弦值为31010.故选：D.7.对于直线l：20mxym+−=，下列说法不正确的是（）A.l恒过定点(2,0)B.当2m=−时，l不经过第二象限C.l的斜率一定存在D.当3m=时，l的倾斜角为60°【答案】D【解

析】【分析】利用直线过定点的求法判断A，利用直线的斜截式，结合其与坐标的交点判断B，将直线方程化为斜截式可判断C，利用直线的斜率与倾斜角的关系判断D，从而得解.【详解】对于A，直线l：20mxym+−=，可化为()20mxy−+=，当2x=时，0y=，所

以直线l过点()2,0，故A正确；对于B，当2m=−时，直线l为240xy−++=，即24yx=−，其斜率是2，与坐标轴的交点分别是(2,0)和(0,4)−，因此直线过一、三、四象限，不过第二象限，故B正确.对于C，直线l方程

可化为2ymxm=−+，斜率为m−，一定存在，故C正确；对于D，当3m=时，直线l的斜率为3−，倾斜角为120，故D错误；故选：D.8.若直线1axby+=经过点()cos,sinM，则（）A.22111ab+B.221

11ab+C.221ab+D.221ab+【答案】D【解析】【分析】由点()cos,sinM可知点M在单位圆上运动，由题意可得直线和单位圆有公共点，借助圆心到直线的距离与半径的关系可求.【详解】因为22sincos1+=，所以点M在单位圆221x

y+=上，因为直线过点M，所以直线和单位圆有公共点，所以圆心到直线的距离2211dab=+，可得221ab+，故选：D.9.在平面直角坐标系xOy中，动点(),Pxy到两个定点()10,2F−，()20,2F的距离之积等于12，化简得曲线C：222449xyy++=+

，下列结论不正确的是（）A.曲线C关于x轴对称B.x的最大值为3C.12PFPF+的最小值为43D.OP的最大值为4【答案】B【解析】【分析】令xx=−可判断A；结合条件利用基本不等式可判断B；将曲线方程进行变形，结合

换元法与二次函数的性质可判断C；利用两点间的距离公式，结合2y的范围可判断D.【详解】对于A：方程222449xyy++=+中的y换成y−方程不变，所以曲线C关于x轴对称，故A正确；对于B：由题意，得()

222494xyy=+−+，令29ty=+，则229yt=−，3t，所以()()22224944529xttttt=−−+=−++=−−+，因为当且仅当2t=，25y=−时，29x=，此时才有3x=，但显然25y=−不成立，所以x不可能取得3这个值，故B错误；对于

C：由题意得1212PFPF=，所以1212221243PFPFPFPF+==，当且仅当1223PFPF==时，等号成立，故C正确；对于D：因为()2224940xyy=+−+，即22494yy++，则4281280yy−−，解得2016y，因

为()2222222494494OPxyyyyy=++++=+=−−，而2925y+，295y+，249416y+−，此时20x=，所以4OP，即OP的最大值为4，故D正确，故选：B.10.如图，棱长为2的正方体1111ABCDABCD−中，点M为11BC的中点.动点N满足1A

NADAA=+，，()0,1.给出下列四个结论：①平面1CAN⊥平面1BDA；②设直线MN与平面11DDAA所成角为，则cos的取值范围是50,3；③设1DA平面1CMAP=，则三棱

锥1MBDP−的体积为29；④以11DDA△的边1DA所在直线为旋转轴，将11DDA△旋转，则在旋转过程中，1MD的取值范围是1,13.其中正确结论的个数是（）A.1B.2C.3D.4【答案】D【解析】【分析】①如图建立坐标系，求出平面1CAN与平面1

BDA法向量，即可判断两平面关系；②由坐标系可求出sin表达式，后由表达式几何意义可得其范围，即可得cos范围；③由空间几何知识可得点P位置，后由题可得1DMBS，由空间向量知识可得点P到平面1DMB距离，即可

得三棱锥1MBDP−的体积；④由题可得1D轨迹，画出平面图，由圆外一点到圆上点距离最值可得1MD的取值范围.【详解】①如图建立以D为原点的空间直角坐标系，则()()()()()()1110,0,02,0,02,0,22,2,00,2,20,0,2DAABCD，，，，，.则(

)()()112,0,00,0,2,2,0,2ADAAAD=−==−，，()2,0,2AN=−，()12,2,2AC=−，()()12,2,02,0,2DBDA==，.设平面1CAN法向量为𝑛1⃗

⃗⃗⃗=(𝑥1,𝑦1,𝑧1)，则111111112202220ANnxzACnxyz=−+==−++=，取()1,,n=−.设平面1BDA法向量为()2222,,nxyz=，则2221222

220220ANnxyACnxz=+==+=，取()21,1,1n=−−.注意到120nn=+−−=，则①平面1CAN⊥平面1BDA，故①正确；②由①可得()()112,2,20,2,2BC

，，则()1,2,2M，又()()22,0,222,0,2DNDAANN=+=−−，则()12,2,22MN=−−−.又平面11DDAA的法向量可取()30,1,0n=，则()()()32222321sin112441112nMNnMN==

=−++−−+−+.注意到()22112−+−表示点(),()()0,1，到点1,12S的距离.如下图所示，则当(),与S无限接近时，()221102−

+−；当(),无限接近()00，或()10，时，()2215124−+−，则()22192111,sin,1243−+−+，则25cos1sin0,

3=−.故②正确；③如图，连接1，MCMA，过1A作MC平行线1AN，则N为AD中点，1,,,ANCM四点共面，连接1AD，则1AD与1AN交点即为P.注意到11DAP与ANP相似，则11111222,0,333ADDPAPADNA

AP====−，则42,0,33DPDAAP=+=.()()11,2,22,2,2DMDB==，，设平面1DMB的法向量为()4444,,nxyz=，则4444414442202220nDMxyznDBxyz=++==

++=，取()40,1,1n=−，则点P到平面1DMB距离为：4422332DPndn===，又1111111112222444四边形DMBABCDSSBCAB====.则111112223339MBDPPMBDDMBVVdS−−==

==，故③正确.④连接111，，ADADBC，设11ADADE=，1BC中点为F.由题可得11ADAD⊥，则1D轨迹为以E为圆心，以1122AD=为半径在平面11ADCB上的圆.又M在平面11A

DCB上的射影为1FC中点G，则2211MGDMGD=+，因11222MGBF==，则21112MDGD=+.如下列平面图，连接EF，则1EFCB⊥，则22132422EGGFEF=+=+=.则如图，当E，H()1D，G三点共线时，1GD最短，为322222−=；当G，E，I(

)1D三点共线时，1GD最长，为3252222+=.则221215211132222MD=++=，即1MD的取值范围是1,13.故④正确.故选：D【点睛】关键点睛：对于较复杂立体几何问题，常建立坐标系，

将空间中点，线，面关系，角度，距离转化为空间向量表达式.二、填空题共6小题，每小题5分，共30分.11.如果直线50xay+−=与直线370xy−+=互相垂直，则实数a的值是______.【答案】3【解析】【分析】

由题设条件，可利用两直线垂直的条件建立方程13(1)0a+−=，解此方程即可得出a的值．【详解】因为直线50xay+−=与直线370xy−+=互相垂直,所以121213(1)0AABBa+=+−=，解得3a=.故答案为：

3.12.已知圆2240xyxm+−−=的面积为π，则m=__________．【答案】3−【解析】【分析】根据圆的面积求出圆的半径，利用圆的标准方程求出半径即可列方程求解.【详解】圆2240xyxm+−−=化为标准方程为：22(2)4xym−+=+，圆的面积为2S=ππr=，圆的半径

为1r=，41m+=，解得3m=−．故答案为：3−13.过点2()1,M−的直线l与圆C：()()223425xy++−=交于A，B两点，C为圆心，当ACB最小时，直线l的方程是______.【答案】30xy−+=【解析】【分析】根据给定条件，判断直线l与圆C的位置关系

，求出直线CM的斜率，再利用直线的点斜式方程求解即可.【详解】点2()1,M−在圆C：22(3)(4)25xy++−=的内部，则直线l和圆相交，当ACB最小时，圆心(3,4)C−到直线l的距离最大，此时直线ABCM⊥，直线CM的斜率4213(1)CMk−==−−−−，因此直

线l的斜率为1，所以直线l的方程为21yx−=+，即30xy−+=.故答案为：30xy−+=14.已知椭圆2221(02)4xybb+=，左右焦点分别为1F，2F，过1F的直线l交椭圆于A，B两点，若22||BFAF+的最大值为6，则b的值是______.【答案】2【解析】【分析】根据

椭圆定义，结合通径的性质求解22||BFAF+的最值，列方程即可求解.【详解】由02b可知，焦点在x轴上，∵过1F的直线l交椭圆于A，B两点，∴2211||48BFAFBFAFa+++==，∴22||8BFAFAB+=−.当AB

垂直x轴时|𝐴𝐵|最小，22||BFAF+值最大，此时2ABb=，∴268b=−，解得2b=.故答案为：√215.如图，长方形ABCD中，2AB=，4BC=，E为BC的中点，现将BAE沿AE向上翻折到PAE△的位

置，连接PC，PD，在翻折的过程中（从初始位置开始，直到点B再次落到平面ACD内），点P到平面ACD距离的最大值为______，PD的中点F的轨迹长度为______.【答案】①.2②.2π2【解析】【分析】第一空，直观想象翻折过程中点P

的运动轨迹，结合点面距离的定义判断得所求为PQ，从而得解；第二空，利用平行线的传递性，将问题等价于点G的轨迹长试，从而得解.【详解】第一空：过P作PQAE⊥交AE于Q，易知当PQ⊥平面ACD时，点P到平面ACD距离取得最大值PQ，因为在APEV中，2APAB==，2EPBE==，90

APEABE==，所以22AE=，22222APEPPQAE===；第二空，取PA的中点G，连接,,GFGEFC，则1//,2GFADGFAD=，又1//,2ECADECAD=，则,GFEC平行且相等，四边形ECFG是平行四边形，所以点F的轨迹与点G

的轨迹形状完全相同.过G作AE的垂线，垂足为H，则G的轨迹是以H为圆心，1222HGPQ==为半径的半圆弧，从而PD的中点F的轨迹长度为2π2.故答案为：2；2π2.16.已知直线l：30kxyk−−+=与O：229xy+=相交于A，

B两点，Q为弦AB的中点.给出下列三个结论：①弦AB长度的最小值为25；②点Q的轨迹是一个圆；③若点3(,0)2C−，点3(,3)2D−，则不存在点Q使得π2CQD=；其中所有正确结论的序号是___

___.【答案】①③【解析】【分析】求出直线l过的定点，再利用圆的性质求出弦长最小值判断①；利用圆的性质求出点Q的轨迹判断②；判断两圆的位置关系判断③即可得答案.【详解】直线l：(1)30kxy−−+=过定点(1,3)M，O：229xy+=的圆心(0,0)O，半径3

r=，显然点M在O内，||2OM=，对于①，当ABOM⊥时，弦AB长度最小，最小值为222||25rOM−=，①正确；对于②，当Q与,OM都不重合时，OQMQ⊥，则点Q在以线段OM为直径的圆上，当Q与,OM之一重合时，点Q也在以线段OM为直径的圆上，此圆圆心113(,)22O，半径为1，

而直线l不包含过点M且垂直于x轴的直线，即点Q的坐标不能是(1,0)，所以点Q的轨迹是以线段OM为直径的一个圆，除点(1,0)外，②错误；对于③，以点3(,0)2C−与3(,3)2D−为直径端点的圆的圆心233(,)22O−，半径为32，而123

||212OO=+，即以CD为直径圆和以OM为直径的圆相离，点Q在以CD为直径的圆外，因此不存在点Q使得π2CQD=，③正确，所以所有正确结论的序号是①③.故答案为：①③【点睛】关键点点睛：命题③，确定以CD为直径的圆和以OM为直径的圆相离是解决问题的关键.三、解答题共4小题，共

50分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程.17.如图，在四棱锥PABCD−中，底面ABCD为正方形，PA⊥平面ABCD，2PAAB==.的（1）求证：平面PAB⊥平面PBC；（2）求平面PAB与平面PC

D夹角的余弦值；（3）求点B到平面PCD的距离.【答案】（1）证明见解析；（2）22；（3）2.【解析】【分析】（1）根据给定条件，利用线面垂直的性质判定及面面垂直的判定推理即得.（2）建立空间直角坐标系，求出平面PA

B与平面PCD的法向量，再利用面面角的向量求法求解.（3）利用空间向量求出点到平面距离.【小问1详解】在四棱锥PABCD−中，PA⊥平面ABCD，BC平面ABCD，则PABC⊥，由底面ABCD为正方形，得ABBC⊥，而,,PAABAPAAB=平面PAB，因此⊥BC平面PAB，而BC

平面PBC，所以平面PAB⊥平面PBC.【小问2详解】由PA⊥平面ABCD，,ABAD平面ABCD，得PAAB⊥，PAAD⊥，又ABAD⊥，则直线,,ABADAP两两垂直，以A为原点，直线,,ABADAP分别为,,xyz轴建立空间直角坐标系，如图，由2PAAB==，则(0

,0,0),(2,0,0),(2,2,0),(0,2,0),(0,0,2)ABCDP，()()()2,0,0,0,2,2,0,2,0DCPDBC==−=，设平面PDC的法向量(),,nxyz=，则20220nDCxnPDyz===−=，令1

y=，则1,0zx==，所以()0,1,1n=为平面PDC的一个法向量，由⊥BC平面PAB，得()0,2,0BC=为平面PAB的一个法向量，设平面PAB与平面PCD夹角为，则22coscos,222nBCnBCnBC

====，所以平面PAB与平面PCD夹角的余弦值为22.【小问3详解】由（2）知，平面PCD的一个法向量为()0,1,1n=，()2,0,2PB=−，所以点B到平面PCD的距离||22|2|nPBdn===.18.已知圆C过点()1,4E和点()3,2F，且圆心在直

线430xy−=上，直线1l过点()1,0A.（1）求圆C的方程；（2）若1l与圆C相切，求1l的方程；（3）若1l与圆C相交于P，Q两点，线段PQ的中点为M，1l与2l：220xy++=的交点为N，求证：AMAN为定值.【答案】（1）22(3)(4)4xy−+−=；（2）1x=或3430xy

−−=；（3）证明见解析.【解析】【分析】（1）设出圆心坐标，借助两点间距离公式求出圆心和半径即可得圆C的方程.（1）按直线l1的斜率存在与否分类，借助点到直线的距离公式求解即可.（2）设出直线1l的方程，求

出点,MN的坐标，再利用两点间距离公式计算即得.【小问1详解】设圆心(,)Cab，由圆心在直线430xy−=上及点()1,4E和点()3,2F都在圆C上，得2222430(1)(4)(3)(2)ababab−=−+−=−+−，即4301abab−=−=−，解得34ab==，

即(3,4),||2CCE=，所以圆C的方程为22(3)(4)4xy−+−=.【小问2详解】当直线1l的斜率不存在时，点(3,4)C到直线1x=的距离为2，直线1l与圆C相切，方程为1x=；当直线1l的斜率存在，设直线1l为(1)y

kx=−，即kxyk0−−=，圆心(3,4)C到直线1l的距离等于半径2，即2|34|21kkk−−=+，解得34k=，方程为3430xy−−=，所以直线1l方程是1x=或3430xy−−=.小问3详解】由（2）知，直线1l的斜率必定存在，且不为0，其方程为：kxyk

0−−=，由2200xykxyk++=−−=，解得2221321kxkkyk−=+=−+，即223(,)2121kkNkk−−++，又直线CM与1l垂直，则直线CM所在的直线方程为14(3)yxk−=−

−，由14(3)ykxkyxk=−−=−−，解得2222431421kkxkkkyk++=++=+，即22224342(,)11kkkkMkk+++++，【因此222222224342223(1)()(1)()112121kkkkkkAMANkkk

k+++−=−+−+−++++22222131·16121kkkkk++=+=++.所以AMAN为定值.19.羡除是《九章算术》中记载的一种五面体.如图，五面体ABCDEF是一个羡除，其中四边形ABCD与四边形ADEF均为等腰梯形，且///

/EFADBC，4=AD，2,10EFBCABED====，M为AD中点，平面BCEF与平面ADEF交于EF.（1）求证：//BM平面CDE；（2）已知点Q是线段AE上的动点，从条件①、条件②中选择一个作为已知，求直线MQ与平面ABE所成角的正弦值的最大

值.条件①：平面ADEF⊥平面ABCD；条件②：23EC=.【答案】（1）证明见解析；（2）427.【解析】【分析】（1）证明四边形BCDM为平行四边形，利用线面平行的判定定理即可证明；（2）若选条件①，则需先证,,MPMNAD两两垂直，进而建立空间直角坐标系，利用向量法表示出MQ与平面ABE

所成角的正弦值，借助二次函数即可解决；若选条件②，取MD的中点G，连接,EGCG，证明得到平面ADEF⊥平面ABCD，进而转化为条件①的解题过程.【小问1详解】因为//ADBC，且M为AD中点，所以//MDBC又因4=AD，2AB=，且M为AD

中点，所以MDBC=，所以四边形BCDM为平行四边形，所以//CDBM，又因为BM平面CDE，CD平面CDE，所以//BM平面CDE.【小问2详解】若选条件①：平面ADEF⊥平面ABCD，取BC的中点N，取EF的中点P，

连接,MNMP，因为四边形ABCD与四边形ADEF均为等腰梯形，所以MPAD⊥，MNAD⊥，因为平面ADEF⊥平面ABCD，且平面ADEF平面ABCDAD=，MP面ADEF，所以MP⊥平面ABCD，因为MN平面ABCD，所以MPMN

⊥，所以,,MPMNAD两两垂直.故以M为原点，以,,MNMDMP所在直线分别为,,xyz轴，建立如图所示的空间直角坐标系；因为4=AD，2,10EFBCABED====，所以()()()()0,0,0,0,2,0,3,1,0,0

,1,3MABE−−，所以()3,1,0AB=，()0,3,3AE=，因为点Q是线段AE上的动点，所以()0,3,3,(0)AQAE==，所以()()(0,2,0)0,3,30,32,3MQ

MAAE=+=−+=−，为设平面ABE的法向量为(),,nxyz=，则nABnAE⊥⊥，即·30·330nABxynAEyz=+==+=，令3x=，则3,3yz=−=，所以平面ABE的法向量为()3,

3,3n=−，设直线MQ与平面ABE所成角，则()()()()22222332336sincos,1323333211823MQnMQnMQn−−+====−++−+−+，结合二次

函数的知识可知：当13=时，直线MQ与平面ABE所成角的正弦值的最大值为6427212=.若选条件②：23EC=，取MD的中点G，连接,EGCG，因为四边形ABCD与四边形ADEF均为等腰梯形，且4=AD，2,10EFBCABED=

===，所以3,3EGCG==，在GCE中，222CGGECE+=，所以CGGE⊥.所以二面角EADC−−为直二面角，所以平面ADEF⊥平面ABCD，又平面ADEF平面ABCDAD=，MP面ADEF，所以MP⊥平面ABCD，因MN平面ABCD，所以MPMN⊥，所以,,MPMNAD两两垂

直.故以M为原点，以,,MNMDMP所在直线分别为,,xyz轴，建立如图所示的空间直角坐标系；因为4=AD，2,10EFBCABED====，为所以()()()()0,0,0,0,2,0,3,1,0,0,1,3MA

BE−−，所以()3,1,0AB=，()0,3,3AE=，因为点Q是线段AE上的动点，所以()0,3,3,(0)AQAE==，所以()()(0,2,0)0,3,30,32,3MQMAAE=+=−

+=−，设平面ABE的法向量为(),,nxyz=，则nABnAE⊥⊥，即·30·330nABxynAEyz=+==+=，令3x=，则3,3yz=−=，所以平面ABE的法向量为()3,3,3n=−，设直线MQ与平面ABE所成角，则()()()()22222332336sinco

s,1323333211823MQnMQnMQn−−+====−++−+−+，结合二次函数的知识可知：当13=时，直线MQ与平面ABE所成角的正弦值的最大值为6427212=.【点睛】方法点睛：计算线面角，一般有如下几种方法：（1）利用面面垂直的性质定理，得到线面垂

直，进而确定线面角的垂足，明确斜线在平面内的射影，即可确定线面角；（2）在构成线面角的直角三角形中，可利用等体积法求解垂线段的长度h，从而不必作出线面角，则线面角满足sinhl=（l为斜线段长），进而可求得线面角；（3）建立

空间直角坐标系，利用向量法求解，设a为直线l的方向向量，n为平面的法向量，则线面角的正弦值为sincos,an=.20.已知集合N2nTaan=（nN，4n），若()12,,,nxxx=与()1

2,,,nyyy=满足1212,,,,,,nnnxxxyyyT=，且kkxyk−=（1,2,,kn=），则称集合nT可分，称,为nT的一个分法.（1）已知()()

,6,,,1,,,xyzuvw是4T的一个分法，试写出x，y，z，u，v，w的值；（2）若集合nT可分，证明：集合nT的分法一定有偶数个；（3）判断5T，6T是否可分.若可分，写出共有几种分法，并推出所有的分法；若不可分，说

明理由.【答案】（1）247453xuzuvw======，，，，，（2）证明见解析；（3）答案见解析；【解析】【分析】（1）由题可得x与u的值，后由题可得v的可能值，讨论后可得答案；（2）证明集合nT的任意一种分法，与另一种分法相互对应即可；（3）由题

可得1niiy=表达式，利用1niiy=为整数，可完成判断.后利用列举法结合（2）中结论可推出所有分法.【小问1详解】由题及集合互异性，可知()1,2,3,,kkxykn=，互不相同.则112xx−==，624uu−==.因38yvy−=

，，则385vv+，又v1，2，4，则3v=或5.若336vyv==+=，与题意不符，则538vyv==+=.此时，1到8中还剩下3与7，则73zw==，.综上，247453xuzuvw======，，，，，；【小问2详解】证明：若nT可分，则存在(

)12,,,nxxx=与()12,,,nyyy=满足1212,,,,,,nnnxxxyyyT=，且kkxyk−=（1,2,,kn=）.下面证明：若,()

()()1212,,,,,,nnxxxyyy==，为nT的一个分法，则11,()()()1121221,21,,2121,21,,21nnnynynynxnxnx=+−+−+−=+−+−+−，也为nT的一个分法，且与,不同.因(

)1,2,3,,N2,N,4kknxyknTaannn==，，则()21211,2,3,,N2,N,4kknnxnyknTaannn+−+−==，.又因()1,2,3,,kkxykn

=，互不相同，则()21211,2,3,,kknxnykn+−+−=，互不相同.结合()()21211,2,3,,kkkknynxxykkn+−−+−=−==，则11,为nT的一个分法.又因21n+为奇数，则2121kkkknxxnyy+−+−，.若21kkxyn+=+，因212

1,22kkkknknkxykxy++++−===，则要使此时的kkxy，存在，则k为奇数，当k为偶数时,2121kkkknxynyx+−+−，.则11,为nT的一个分法，且与,不同.则对nT的任意一种分法,，存在一种不

同分法11,与其相互对应，则集合nT的分法一定有偶数个；【小问3详解】由题，()11123221nniiiixynnn==+=++++=+，又kkxyk−=（1,2,,kn=），则()()11111212322nnnniiiiiiiinnxyy

ny====++=+++++=+.则()()()1113122124nniiiinnnnynny==+++=+=.因1niiy=为正整数，则()31nn+能被4整除.当5n=时，()3180nn+=能被4整除，则5T可分；当6n=时，()31114nn+=不能被4整除，

则6T不可分.设点(),nnxy，其中()5Nnnxynnn−=，，则()55,xy有()()()()()10,59,48,37,26,1，，，，5种可能性.又由（2）分析可知，对于()55,xy的一种可能性，()5511,

11yx−−也为一种可能性，则要求5T的所有分法，只需求出()55,xy为()()()10,59,48,3，，的情况.I若()()55,10,5xy=，则()44,xy有()()()8,47,36,2，，3种可能性，i当

()()44,8,4xy=，则()33,xy有()()9,66,3，2种可能性，若()()33,9,6xy=，则()()22,3,1xy=，()11,xy不存在；若()()33,6,3xy=，则()()22,9,7xy=，()()11,2,1xy=；ii当()()44,7,3xy=，则()33

,xy有()()9,64,1，两种可能性，若()()33,9,6xy=，则()()22,4,2xy=，()11,xy不存在；若()()33,4,1xy=，则()()22,8,6xy=，()11,xy不存在；iii当()()44,6,2xy=，则(

)44,xy有()()7,44,1，2种可能性，若()()33,7,4xy=，则()()22,3,1xy=，()()11,9,8xy=；若()()33,4,1xy=，则()()22,9,7xy=，()11,xy不存在；II若()()55,9,4xy=，则()44,xy有()()()()10

,67,36,25,1，，，4种可能性，i当()()44,10,6xy=，则()33,xy有()()8,55,2，2种可能性，若()()33,8,5xy=，则()()22,3,1xy=，()11,xy不存在；若()()33,5,2xy=，则()()22,3,1xy=，

()()11,8,7xy=；ii当()()44,7,3xy=，则()33,xy有()()8,55,2，2种可能性，若()()33,8,5xy=，则()22,xy不存在；若()()33,5,2xy=，则()()22,8,6xy=，()11,xy不

存在；iii当()()44,6,2xy=，则()33,xy有()()()10,78,57,4，，3种可能性，若()()33,10,7xy=，则()()22,3,1xy=，()11,xy不存在；若()()33,8,5xy=，则()()22,3,1xy=或()5,3，()11,xy不存在；若

()()33,7,4xy=，则()()22,8,6xy=，()11,xy不存在；iv当()()44,5,1xy=，则()33,xy有()()10,76,3，2种可能性，若()()33,10,7xy=，则()()22

,8,6xy=，()()11,3,2xy=；若()()33,6,3xy=，则()()22,10,8xy=，()11,xy不存在；III若()()55,8,3xy=，则()44,xy有()()()()10,69,56,2,5,1，，4种可能性，此时，()()555511,11,yxxy−−=

，又当()44,xy为()()10,69,5，时，()4411,11yx−−为()()5,1,6,2，则只需要讨论()()10,69,5，两种可能性.i当()()44,10,6xy=，则()33,xy有()()()7,45,24,1，，3种可能性，若()()33,7,4

xy=，则()22,xy不存在；若()()33,5,2xy=，则()()22,9,7xy=，()11,xy不存在；若()()33,4,1xy=，则()()22,7,5xy=或()9,7，()11,xy不存在；ii当()()44,9,5xy=，则()33,xy有()()(

)10,77,4,4,1，3种可能性，若()()33,10,7xy=，则()()22,6,4xy=，()()11,2,1xy=；若()()33,7,4xy=，则()22,xy不存在；若()()33,4,1xy=，则()22,xy不存在.综上可知结合（2）中分析可知：当()()2,9,6,8,

10,1,7,3,4,5==；()()9,3,7,6,10,8,1,4,2,5==；()()8,3,5,10,9,7,1,2,6,4==；()()3,8,10,5,9,2,6,7,1,4==；()()2,6,

10,9,8,1,4,7,5,3==；()()10,4,8,7,6,9,2,5,3,1==；()()3,10,7,9,6,2,8,4,5,1==；()()4,10,9,5,7,3,8,6,1,2==；()()9,5,4

,10,7,8,3,1,6,2==；()()10,7,4,6,8,9,5,1,2,3==时，,为5T的一种分法，共10种分法.【点睛】关键点睛：本题关键为读懂题意.第二问要证明分法为偶数，可分析分法表达式奇偶性，也可证明任何一种分法与另一种分法互相对应；第三问，列

举时应按照一定的顺序或规律，以避免遗漏.