【文档说明】黑龙江省实验中学2021—2022学年高二上学期第一次月考+数学+答案.docx，共(12)页，764.653 KB，由小赞的店铺上传

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黑龙江省实验中学2021--2022学年度上学期10月月考高二数学试题一、单选题1．过点()1,1−且倾斜角为135的直线方程为（）A．0xy−=B．0xy+=C．1xy−=D．1xy+=【答案】B【详解】所求直线的斜率为tan1351=−，

因此，所求直线的方程为()11yx−=−+，即0xy+=.故选：B.2．在新冠疫情的冲击下，全球经济受到重创，右图是各国公布的2020年第二季度国内生产值（GDP）同比增长率，现从这5个国家中任取2个国家，则这2个国家中第二季

度GDP同比增长率至少有1个低于15%−的概率为（）A．310B．12C．35D．710【答案】D【详解】解：令中国、澳大利亚、印度、英国、美国的2020年第二季度国内生产值（GDP）同比增长率分别为A，B，C，D，E，其中C，D都低于15%−，则从这5个国家中任取2个国家有：AB，AC

，AD，AE，BC，BD，BE，CD，CE，DE共10种，其中至少有1个低于15%−有AC，AD，BC，BD，CD，CE，DE共7种，所以所求概率为710.故选：D.3．已知直线1:0laxbya++=，2:0lxayb++=，若12//ll，且这两条直线间

的距离为1，则点(),Pab到坐标原点的距离为（）A．23B．33C．12D．27【答案】A【详解】12//llQ，2ab=，若0a=，则0b=，不合题意，0a；2l方程可化为0axbyab++=，12,ll间距离221aab

dab−==+，解得：3b=，(),Pab到坐标原点的距离为22223abbb+=+=.故选：A.4．2020年1月，教育部出台《关于在部分高校开展基础学科招生改革试点工作的意见》（简称“强基计划”），明确从2020年起强基计划取代原有的高校自主招生方式.如果甲、乙、丙三人通过强基计划

的概率分别为433,,544，那么三人中恰有两人通过的概率为（）A．2180B．2780C．3380D．2740【答案】C【详解】记甲、乙、丙三人通过强基计划分别为事件,,ABC，显然,,ABC为相互独立事件，则“

三人中恰有两人通过”相当于事件ABCABCABC++，且,,ABCABCABC互斥，所求概率()()()()PABCABCABCPABCPABCPABC++=++()()()()()()()()()PAPBPCPAPBPCPAPBPC=++13341343133544544

54480=++=.故选：C.5．若点P是以1F，2F为焦点的双曲线221259xy−=上的一点，且112PF=，则2PF等于（）A．2B．22C．2或22D．4或22【答案】C【详解】由双曲线的定义，知2110PFPF−=，又112PF=，解得22PF=或22．故选C.6．如果圆(

)()228xaya−+−=上总存在到原点的距离为2的点，则实数a的取值范围是A．()()3,11,3−−B．()3,3−C．()1,1−D．3,11,3−−【答案】D【解析】到原点的距离为2的点的轨迹

为圆222xy+=，因此所求问题转化为圆221:2Cxy+=与圆()()222:8Cxaya−+−=相交有交点，两圆的圆心半径分别为()110,0,2Cr=，()22,,22Caar=，所以2112212232rrCCrra−+，解不等式得a的取值范围是3,11,3−−，选D

7．已知点(),Pxy是直线40kxy++=(0k)上一动点，PA，PB是圆C:2220xyy+−=的两条切线，A，B为切点，若四边形PACB的最小面积是2，则k的值为（）A．4B．22C．2D．2【答案】C【详解】圆2222:20,(1)1Cxyyxy+−=+−=，圆心(0,

1)C，半径为1.如图，PAPB=，CBPB⊥，CAPA⊥，12,2PACBSPACAPA==四边形2PACBS四边形…，2,PA…22221PCPACAPA=+=+，25PC….即点C到直线的距离

为5,所以2|14|51dk+==+，解得2k=（负值舍去）所以2k=.故选：C8．已知椭圆22221(0)xyabab+=与圆222xyc+=在第二象限的交点是P点，()1,0Fc−是椭圆的左焦点，O为坐标原点，O到直线1PF的距离是32c，则椭圆的离心率是（）A．21

−B．31−C．512−D．612−【答案】B【详解】如图所示，连接2PF，因为圆222xyc+=，可得21PFPF⊥，过点O作1OMPF⊥，可得2//OMPF，且232232PFOMcc===，由椭圆的定义，可得122PFPFa+=，所以12223PFaPFa=−=−

，在直角12PFF中，可得2221212PFPFFF+=，即222(23)(3)4accc−+=，整理得222320cca−+=，两侧同除2a，可得22320ee−+=，解得31e=+或31e=−，又因为01e，所以椭圆的离心率为31e=−.故选：B

二、多选题9．设A，B为两个随机事件，以下命题正确的为（）A．若A，B是互斥事件，()13PA=，()12PB=，则()16PAB=B．若A，B是对立事件，则()1PAB=C．若A，B是独立事件，()13PA=，()23PB=，则()

19PAB=D．若()13PA=，()14PB=，且()14PAB=，则A，B是独立事件【答案】BCD【详解】对于A：若A，B是互斥事件，()13PA=，()12PB=，则()115326PAB=+=，故A错误；对于B：若A，B是对立事件，则()()()1PA

BPAPB=+=，故B正确；对于C：若A，B是独立事件，()13PA=，()23PB=，则A，B也是独立事件()13PB=，则()()()111339PABPAPB===，故C正确；对于D：若()13PA=，()14PB=，则()34PB=且()()()113434

PABPAPB===，则A，B是独立事件，故A，B也是独立事件，故D正确；故选：BCD10．以下四个命题表述正确的是A．直线()4120mxymR+−=恒过定点()0,3B．圆C：2228130+−−

+=xyxy的圆心到直线4330xy−+=的距离为2C．圆1C：2220xyx++=与圆2C：224840xyxy+−−+=恰有三条公切线D．两圆22440xyxy++−=与222120xyx++−=的

公共弦所在的直线方程为：260xy++=【答案】AC【详解】对于A选项，当0x=时3y=，所以直线过定点()0,3，故A选项正确.对于B选项，圆C的圆心为()1,4，到直线4330xy−+=的距离为412315−+=，所以B选项错误.对于C选项，圆1C的圆心为()1,0−，半

径为11r=；圆2C的圆心为()2,4，半径为24r=.圆心距为2212345rr+==+，所以两圆外切，故恰有三条公切线，故C正确.对于D选项，由22224402120xyxyxyx++−=++−=两式相减并化简得260xy−+=，所以D

选项错误.综上所述，正确的选项为AC.故选：AC11．若直线过点()1,2A，且在两坐标轴上截距的绝对值相等，则直线l方程可能为（）A．10xy−+=B．30xy+−=C．20xy−=D．10xy−−=【答案】ABC【详解】当直线经过原

点时，斜率为20210k−==−，所求的直线方程为y=2x，即20xy−=；当直线不过原点时，设所求的直线方程为x±y=k，把点A（1，2）代入可得1-2=k，或1+2=k，求得k=-1，或k=3，故所求的直线方程为10xy−+

=，或30xy+−=；综上知，所求的直线方程为20xy−=、10xy−+=，或30xy+−=．故选：ABC．12．动点(,)Mxy分别到两定点()()5,05,0−，连线的斜率的乘积为1625−，设(,)Mxy的轨迹为曲线C，12,FF分别为曲线C的左、右焦点，则下列命题

中正确的有（）A．曲线C的焦点坐标为()()12,,,0330FF−；B．若1203FMF=，则121633FMFS=△；C．12FMF△的内切圆的面积的最大值为94；D．设()322A，，则1MAMF+的最小值为152．【答

案】ACD【详解】由题意可知:165525yyxx=−+−化解得221,(5)2516xyx+=，A项：22225169cab=−=−=，3c=，即曲线C的焦点坐标为()()12,,,0330FF−，故A项正确；B项

：先推导焦点三角形面积公式：在12MFF中，设12FMF=，11MFr=，22MFr=，由余弦定理得222121212cos2MFMFFFMFMF+−=2221212(2)2rrcrr+−=22121212(

)242rrrrcrr+−−=221212(2)242arrcrr−−=2212124()22acrrrr−−=212122brrrr−=∴21212cos2rrbrr=−,即21221cosbrr=+，∴12212112si

nsin221cosMFFbSrr==+2sin1cosb=+=2tan2b．123016tan=16(2-3)2FFS=。△M故B项错误；C项：在三角形12MFF中，设内切圆的半径为r，由椭圆形定义1210MFMF+=，12

6FF=，1212121()2MFFSMFMFFFr=++2tan2b=，解得2tan2r=（30tan()24），当M在上顶点时，3tan24=，内切圆半径r取最大值，内切圆最大面积为94，故C正确；D项：在三角形1

2MFF中,1210MFMF+=,则2110MAMFMAMF+=+−，当2MAF、、三点共线，并且M在A的上方时，1MAMF+有最小值，即min12515101022AMFAMF=−=−=+（），故D项正确

.故选：ACD三、填空题13．在一个不透明的盒子中装有4个大小、形状、手感完全相同的小球，分别标有数字1，2，3，4.现每次有放回地从中任意取出一个小球，直到标有偶数的球都取到过就停止.小明用随机模拟的方法估计恰好在第3次停止摸球

的概率，利用计算机软件产生随机数，每1组中有3个数字，分别表示每次摸球的结果，经随机模拟产生了以下18组随机数：131432123233234122332141312241122214431241141433223442由此可以估计恰好在第3次停止

摸球的概率为_________【答案】29【详解】在18组随机数中，代表“恰好在第3次停止摸球”的随机数是432，234，214，442，共4组，则恰好在第3次停止摸球的概率为42189P==.故答案为：29.14．已知m为实数，直线1:10+−=lmxy，()

2:3220lmxmy−+−=，若12//ll，则实数m的值为________.【答案】1【详解】由题意可得：0m且23m，所以有11322mmm−=−−，解之得：1m=.故答案为：1.15．已知双曲线C与椭圆221925xy+=有共同的焦点，且它们的离心率之和为14

5，则双曲线C的方程是_______【答案】221412yx−=【详解】因为双曲线C与椭圆221925xy+=有共同的焦点，所以c2594=−=，且焦点在y轴上；设双曲线的方程为22221(0,0)yxabab−=，又离心率之和为145，所以41455ca+=，解得2a=，所以216412b

=−=，因此双曲线C的方程是221412yx−=.故答案为221412yx−=16．若过点()1,1M可作圆22244430xymymm+−++−=的两条切线，则实数m的取值范围为________.【答案】113,,2

24−−【详解】方程22244430xymymm+−++−=表示圆，则()()221644434340mmmm−+−=−，解得34m；由于过点()1,1M可作圆22244430xymy

mm+−++−=的两条切线，则点M在圆外，可得2410m−，解得12m−或12m.综上所述，实数m的取值范围是113,,224−−.故答案为：113,,224−−.四、解答题17．已知AB

C的顶点()5,1A，边AB上的中线CM所在直线方程为250xy−−=，边AC上的高BH所在直线方程为250xy−−=，（1）求顶点C的坐标；（2）求ABC的面积．【答案】（1）()4,3C；（2）8.【详解】（1）设(),Cmn，因为直线AC与直线BH垂直，且C点在直线250xy−−=上，所以

125250nmmn−=−−−−=，解得43mn==，故()4,3C.（2）设(),Bab由题知：51,22abM++，所以15502250baab++−−=−−=，解得13ab=−=−，即()1,3B−−.336415BCk+==+，直线()6:

345BCyx−=−，即：6590xy−−=.()()22413361BC=+++=，点A到直线BC的距离()226559166165d−−==+−，所以116618261ABCS==.18．某校从参加高三模拟考试

的学生中随机抽取60名学生，将其数学成绩(均为整数)分成六组[90，100)，[100，110)，…，[140，150)后得到如下部分频率分布直方图．观察图形的信息，回答下列问题：（1）求分数在[120，130)内的频率；（2）用分层抽样的方法在分数段为[110，130)的学生中抽取一个容

量为6的样本，将该样本看成一个总体，从中任取2人，求至多有1人在分数段[120，130)内的概率．【答案】（1）0.3；（2）35.【详解】解：（1）分数在)120130,内的频率为1(0.10.150.150.250.05)10.70.3−++++

=−=.(2)由题意知，[110，120)分数段的人数为60×0.15＝9，[120，130)分数段的人数为60×0.3＝18.用分层抽样的方法在分数段为[110，130)的学生中抽取一个容量为6的样本，则需在[110，120)分数段内抽取

2人，并分别记为m，n，在[120，130)分数段内抽取4人，并分别记为a，b，c，d.设“从样本中任取2人，至多有1人在分数段[120，130)内”为事件A.易知基本事件有(m，n)，(m，a)，(m，b

)，(m，c)，(m，d)，(n，a)，(n，b)，(n，c)，(n，d)，(a，b)，(a，c)，(a，d)，(b，c)，(b，d)，(c，d)共15种．事件A包含的基本事件有(m，n)，(m，a)，(m，b)，(m，c)，(

m，d)，(n，a)，(n，b)，(n，c)，(n，d)，共9种．故P(A)＝915＝35.19．在①圆经过()3,4C，②圆心在直线20xy+−=上，③圆截y轴所得弦长为8且圆心E的坐标为整数；这三个条件中任

选一个，补充在下面的问题中，进行求解.已知圆E经过点()1,2A−，()6,3B且______；（1）求圆E的方程；（2）已知直线l经过点()2,2−，直线l与圆E相交所得的弦长为8，求直线l的方程.【答案】（1）()()223125xy−++=；（2）2y=

或158140xy++=【详解】解：选条件①，（1）设圆的方程为220xyDxEyF++++=，依题意有5204563025340DEFDEFDEF−++=+++=+++=，解得6D=−，2E=，15F=−，所以圆的方程为2262150xyxy+−+−=，即圆E的

标准方程为：()()223125xy−++=.（2）设圆心到直线的距离为d，则弦长222282543Lrddd=−=−==，当直线的斜率不存在时，53d=，所以直线的斜率存在，设其方程为()22ykx−=+，即220kxyk−++=，2312231kkdk+++==+，解得0k=，15

8k=−，所以所求直线的方程为2y=或158140xy++=.选条件②，（1）设圆的方程为220xyDxEyF++++=，因为圆E经过点()1,2A−，()6,3B，且圆心在直线20xy+−=上依题意有520456

302022DEFDEFDE−++=+++=−−−=，解得6D=−，2E=，15F=−，所以圆E的方程为()()223125xy−++=.（2）设圆心到直线的距离为d，则弦长222282543Lrd

dd=−=−==，当直线的斜率不存在时，53d=，所以直线的斜率存在，设其方程为()22ykx−=+，即220kxyk−++=，2312231kkdk+++==+，解得0k=，158k=−，所以所求直线的方程为2y=或158140xy++=.选条件③，设圆E的方程为220xyDxEyF+++

+=，由圆E经过点()1,2A−，()6,3B，故52045630DEFDEF−++=+++=，又因为圆截y轴所得弦长为8，故方程20yEyF++=的两个实数根12,yy的差的绝对值为8.所以()

22121212448yyyyyyEF−=+−=−=，即2464EF−=解方程组252045630464DEFDEFEF−++=+++=−=，得6D=−，2E=，15F=−或20649D=−，747E=−，58549F=

，由于圆心E的坐标为整数，故圆E的方程为()()223125xy−++=（2）设圆心到直线的距离为d，则弦长222282543Lrddd=−=−==，当直线的斜率不存在时，53d=，所以直线的斜率存在，设其方程为()22ykx−=+，即220kxyk−++=

，2312231kkdk+++==+，解得0k=，158k=−，所以所求直线的方程为2y=或158140xy++=.20．已知椭圆()2222:10xyEabab+=的左焦点()1,0Fc−到圆()()22:2

41Cxy−+−=上一点距离的最大值为6，且过椭圆右焦点()2,0Fc与上顶点的直线与圆221:2Oxy+=相切.（1）求椭圆E的方程；（2）若直线:lyxm=−+与椭圆E交于A，B两点，当以AB为直径的圆与y轴相切时

，求m的值.【答案】（1）2212xy+=；（2）62m=−或62.【详解】（1）椭圆E的左焦点到圆C上一点距离的最大值为()222416c−−++=，又0c，所以1c=.过椭圆右焦点和上顶点的直线方程为

11xyb+=，即0bxyb+−=，由直线和圆O相切可得2221bb−=+，解得1b=，所以2222abc=+=.所以椭圆E的方程为2212xy+=.（2）由2212xyyxm+==−+，可得2234220xmxm−+−=，则()()22412220mm=−−−，即2

3m.设()11,Axy，()22,Bxy，则1243mxx+=，212223mxx−=，所以AB中点的横坐标为12223xxm+=，则以AB为直径的圆的半径为()21212121224222rABxxxxxx==−=+−.因为该圆与y轴相切，所以()2121212242

2xxxxxx++−=，整理可得()212128xxxx+=，即22422833mm−=，解得2332m=，所以62m=−或62.