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专练31等比数列及其前n项和授课提示：对应学生用书65页[基础强化]一、选择题1．等比数列{an}的前n项和为Sn，公比为q，若S6＝9S3，S5＝62，则a1＝()A．2B．2C．5D．3答案：B解析：由题意可得a1（1－q6）1－q＝9×a1（1－q3）1－q，

a1（1－q5）1－q＝62，即q3＝8，a1（1－q5）1－q＝62，得q＝2，a1＝2，选B.2．已知等比数列{an}满足a1＝18，4a2a4＝4a3－1，则a2＝()A．±14B．14C．±116D．116答案：A解析：因为4a2a4＝4a3－1，所以4a21q4＝

4a1q2－1，又a1＝18，解得q＝±2，所以a2＝a1·q＝18×(±2)＝±14.故选A.3．等比数列{an}中，若an>0，a2a4＝1，a1＋a2＋a3＝7，则公比q＝()A．14B．12C．2D．4答案：B解

析：由等比数列的性质得a23＝a2a4＝1，结合an>0，得a3＝1.由a1＋a2＋a3＝7，得a3q2＋a3q＋a3＝7，则1q2＋1q＝6，结合q>0，得q＝12，故选B.4．等比数列{an}的前n项和为Sn，且4a1，2a2，a3成等差数列．

若a1＝1，则S4＝()A．7B．8C．15D．16答案：C解析：∵4a1，2a2，a3成等差数列，∴4a2＝4a1＋a3.又{an}为等比数列，∴4q＝4＋q2，∴q＝2.又a1＝1，∴S4＝a1（

1－q4）1－q＝1－241－2＝15.5．设{an}是公比为q＞1的等比数列，若a2010和a2011是方程4x2－8x＋3＝0的两根，则a2012＋a2013＝()A．18B．10C．25D．9答案：A解析：由题意可得：a2010＝12，a2011＝

32，又{an}为等比数列，∴q＝3.∴a2012＋a2013＝92＋272＝18.6．已知等比数列{an}的前n项积为Tn，若a1＝－24，a4＝－89，则当Tn取得最大值时，n的值为()A．2B．3C．4D．6答案：C解析：设等比数列{an}的公比为q，则a4＝－24q3＝－89，q3＝1

27，q＝13，此等比数列各项均为负数，当n为奇数时，Tn为负数，当n为偶数时，Tn为正数，所以Tn取得最大值时，n为偶数，排除B，而T2＝(－24)2×13＝24×8＝192，T4＝(－24)4×136＝84×19＝849＞192，T6＝(－24)6×1315＝8

6×139＝8639＝19×8637＜849，T4最大，故选C.7．[2022·全国乙卷(理)，8]已知等比数列{an}的前3项和为168，a2－a5＝42，则a6＝()A．14B．12C．6D.3答案：D解析：设

等比数列{an}的公比为q.由题意知，a2q＋a2＋a2q＝168，a2－a2q3＝42.两式相除，得1＋q＋q2q（1－q3）＝4，解得q＝12.代入a2－a2q3＝42，得a2＝48，所以a6＝a2q4＝3.故选D.8．[2023·新课标Ⅱ卷]记Sn为等比数列{an

}的前n项和，若S4＝－5，S6＝21S2，则S8＝()A．120B．85C．－85D．－120答案：C解析：方法一设等比数列{an}的公比为q(q≠0)，由题意易知q≠1，则a1（1－q4）1－q＝－5a1（1－q6）1－q＝21×a1（1－q2）1－q，化简整理得

q2＝4a11－q＝13.所以S8＝a1（1－q8）1－q＝13×(1－44)＝－85.故选C.方法二易知S2，S4－S2，S6－S4，S8－S6，……为等比数列，所以(S4－S2)2＝S2·(S6－S4)，解得S2＝－1或S2＝54.

当S2＝－1时，由(S6－S4)2＝(S4－S2)·(S8－S6)，解得S8＝－85；当S2＝54时，结合S4＝－5得a1（1－q4）1－q＝－5a1（1－q2）1－q＝54，化简可得q2＝－5，不成立

，舍去．所以S8＝－85，故选C.9．(多选)已知等比数列{an}的公比为q，前n项和为Sn，且满足a6＝8a3，则下列说法正确的是()A．{an}为单调递增数列B.S6S3＝9C．S3，S6，S9成等比数列D．Sn＝2an－a1答案：BD解析：由a6＝8a3，可得q3a3＝8a3，则

q＝2，当首项a1＜0时，可得{an}为单调递减数列，故A错误；由S6S3＝1－261－23＝9，故B正确；假设S3，S6，S9成等比数列，可得S26＝S3S9，即(1－26)2＝(1－23)(1－29)，显然不成立，所以S3，S6，S9不成等比数列，故C错误；由

{an}是公比q的等比数列，可得Sn＝a1－anq1－q＝2an－a12－1＝2an－a1，故D正确．二、填空题10．等比数列{an}的各项均为实数，其前n项和为Sn.已知S3＝74，S6＝634，则a8＝________．答案：32

解析：设{an}的首项为a1，公比为q，则a1（1－q3）1－q＝74，a1（1－q6）1－q＝634，解得a1＝14，q＝2，所以a8＝14×27＝25＝32.11．[2023·全国乙卷(理)]已知{}an为等比数列，a2

a4a5＝a3a6，a9a10＝－8，则a7＝________.答案：－2解析：方法一设数列{an}的公比为q，则由a2a4a5＝a3a6，得a1q·a1q3·a1q4＝a1q2·a1q5.又a1≠0，且q≠0，所以可得a1q＝1①.又a9a10＝a1q8·a1q9＝a21q17

＝－8②，所以由①②可得q15＝－8，q5＝－2，所以a7＝a1q6＝a1q·q5＝－2.方法二设数列{an}的公比为q.因为a4a5＝a3a6≠0，所以a2＝1.又a9a10＝a2q7·a2q8＝q15＝－8，于是q5＝－2，所以a7＝a2q5＝－2

.12．设等比数列{an}满足a1＋a2＝－1，a1－a3＝－3，则a4＝________．答案：－8解析：由{an}为等比数列，设公比为q.a1＋a2＝－1，a1－a3＝－3，即a1＋a1q＝－1，①a1－a1q2＝－3，②显然q≠1，a1≠0，②①得1－

q＝3，即q＝－2，代入①式可得a1＝1，所以a4＝a1q3＝1×(－2)3＝－8.[能力提升]13．[2023·全国甲卷(理)]设等比数列{an}的各项均为正数，前n项和为Sn，若a1＝1，S5＝5S3－4，则S4＝()A．158B．658C．1

5D．40答案：C解析：方法一若该数列的公比q＝1，代入S5＝5S3－4中，有5＝5×3－4，不成立，所以q≠1.由1－q51－q＝5×1－q31－q－4，化简得q4－5q2＋4＝0，所以q2＝1(舍)或q2＝4，由于此数列各项均为正数，所以q＝2，所以S4＝1－

q41－q＝15.故选C.方法二由已知得1＋q＋q2＋q3＋q4＝5(1＋q＋q2)－4，整理得(1＋q)(q3－4q)＝0，由于此数列各项均为正数，所以q＝2，所以S4＝1＋q＋q2＋q3＝1＋2＋4＋8＝15.故选C.14．设首项为1，公

比为23的等比数列{an}的前n项和为Sn，则()A．Sn＝2an－1B．Sn＝3an－2C．Sn＝4－3anD．Sn＝3－2an答案：D解析：∵a1＝1，q＝23，∴Sn＝a1（1－qn）1－q＝31－2

3n＝3－2·23n－1＝3－2an.15．记Sn为等比数列{an}的前n项和．若a1＝13，a24＝a6，则S5＝________．答案：1213解析：通解：设等比数列{an}的公比为q，因为

a24＝a6，所以(a1q3)2＝a1q5，所以a1q＝1，又a1＝13，所以q＝3，所以S5＝a1（1－q5）1－q＝13×（1－35）1－3＝1213.优解：设等比数列{an}的公比为q，因为a24＝a6，所以a2a6＝a6，所以a2＝1，又a1＝13，所以q＝3，所以S5＝a1（1

－q5）1－q＝13×（1－35）1－3＝1213.16．设等比数列{an}满足a1＋a3＝10，a2＋a4＝5，则a1a2…an的最大值为________．答案：64解析：设等比数列{an}的公比为q，∴a1＋a3＝10，a2＋a4＝5，即a1＋a1q2

＝10，a1q＋a1q3＝5，解得a1＝8，q＝12，∴a1a2…an＝12（－3）＋（－2）＋…＋（n－4）＝1212n（n－7）＝1212()n－722－494，当n＝3或4时，12n－722－494取

到最小值－6，此时1212()n－722－494取到最大值26，所以a1a2…an的最大值为64.