【文档说明】浙江省杭州市六县九校2023-2024学年高二上学期期中联考试题+数学+含解析.docx，共(11)页，336.703 KB，由小赞的店铺上传

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绝密★考试结束前2023学年第一学期六县九校联盟期中联考高二年级数学学科试题考生须知：1．本卷共4页满分150分，考试时间120分钟；2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字。3．所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效；4．考

试结束后，只需上交答题纸。选择题部分一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．直线0133=−+yx的倾斜角是（）A.6B.3C.32D.652.若平面𝛼的一个法向量为𝑛

⃗⃗=(1,2,1)，𝐴(1,0,−1)，𝐵(0,−1,1)，𝐴∉𝛼，𝐵∈𝛼，则点𝐴到平面𝛼的距离为()A.1B.66C.33D.313.已知空间向量()2,2,1a=−，()3,0,4b=，则向量b在向

量a上的投影向量是()A.109aB.25bC.109bD.25a4.已知两条直线𝑙1:𝑎𝑥+𝑦−1=0和𝑙2:𝑥+𝑎𝑦+1=0(𝑎∈𝑅)，下列不正确的是()A.“𝑎=1”是“𝑙1//𝑙2”的充要条件B.当𝑙1//𝑙2时，两条直线间的距离为√2C

.当𝑙2斜率存在时，两条直线不可能垂直D.直线𝑙2横截距为15.从三件正品、一件次品中随机取出两件，则取出的产品全是正品的概率是（）A.B.C.D.314121816.已知𝐹1，𝐹2是椭圆𝐶的两个焦点，𝑃是𝐶上的一点，若𝑃𝐹1⊥𝑃𝐹2

，且∠𝑃𝐹2𝐹1=60°，则𝐶的离心率为()A.231−B.32−C.123−D.13−7．若直线03:=+−kykxl与曲线112−=−yxC：有两个不同的交点，则实数k的范围是（）A．]4321，（B．)43,21

[C．)43,0(D．]43,0(8.已知0,1x，0,1y，则()()()()222222221111xyxyxyxy+++−+−++−+−的最小值为（）A.8B.2C.2D.22二、多选题：本题共4小题

，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9．已知平面ABC内的两个向量的()()3,1,4,0,2,2ABCB=−−=−，则平

面ABC的一个法向量可以是（）A.()3,1,1−B.()3,1,1−C.()3,3,3−D.()1,1,3−10．已知直线l的倾斜角等于32，且l经过点)1,3(−，则下列结论中正确的有()A.l的一个方向向量为)21,63(−=uB.直线l与两坐标轴围成三角形的面积为334C.l与

直线0233=+−yx垂直D.l与直线023=++yx平行11.下列说法正确的是()A.甲乙两人独立地解题，已知各人能解出的概率分别是0.5，0.25，则题被解出的概率是0.625B.若𝐴，𝐵是互斥事件，则𝑃(𝐴

𝐵)=𝑃(𝐴)𝑃(𝐵)C.某校200名教师的职称分布情况如下：高级占比20%，中级占比50%，初级占比30%，现从中抽取50名教师做样本，若采用分层抽样方法，样本按比例分配，则初级教师应抽取15人D.一位男生和两位女生随机排成一列，则两位

女生相邻的概率是3412.布达佩斯的伊帕姆维泽蒂博物馆收藏的达·芬奇方砖是在正六边形上画了具有视觉效果的正方体图案(如图1).把三片这样的达·芬奇方砖拼成图2的组合，这个组合再转换成图3所示的几何体.若图3中每个正方体的棱长为1，则（）A.𝑄𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗+2𝐴𝐵⃗⃗⃗

⃗⃗+2𝐴𝐴1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗B.若𝑀为线段𝐶𝑄上的一个动点，则𝐵𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗⋅𝐵𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗的最大值为2C.点𝑃到直线𝐶𝑄的距离是√173D.异面直线𝐶𝑄与𝐴𝐷1所成角的正切值为√17非选择题部分三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13

.某地一年之内12个月的降水量分别为：71，66，64，58，56，56，56，53，53，51，48，46，则该地区的月降水量75%分位数.14.已知𝐴(1,1)，𝐵(2,3)及𝑥轴上的动点𝑃，则|𝑃𝐴|+|𝑃𝐵|的最小值为.15.已知圆𝐶1：

𝑥2+𝑦2−4𝑥+2𝑦=0与圆𝐶2：𝑥2+𝑦2−2𝑦−4=0相交于𝐴、𝐵两点，则圆𝐶：(𝑥+3)2+(𝑦−3)2=1上的动点𝑃到直线𝐴𝐵距离的最大值为.16．已知椭圆22221(0)xyabab+=的左、右焦点分别为12

,FF，过1F且与x轴垂直的直线交椭圆于,AB两点，直线2AF与椭圆的另一个交点为C，若23ABCBCFSS=，则椭圆的离心率为.四、解答题：本大题共6小题，共70分其中第17题10分，其余每题12分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．某企业为了解下属某

部门对本企业职工的服务情况，随机访问50名职工，根据这50名职工对该部门的评分，绘制频率分布直方图(如图所示)，其中样本数据分组区间为[40,50),[50,60),,[80,90),[90,100]（1）求频率分布直方图中a的值；（2）估计该企业的职

工对该部门评分不低于80的概率；（3）从评分在[40,60)的受访职工中，随机抽取2人，求此2人评分都在[40,50)的概率.18.已知在△𝐴𝐵𝐶中，𝐴(0,1)，𝐵(4,−1)，𝐶(2,1)．(Ⅰ)求边𝐴𝐵的垂直平分线的方程；(Ⅱ)求△𝐴𝐵𝐶的外接圆的方程．1

9.已知直线l过点P(3,2)，（1）求在坐标轴上截距相等的直线l的方程。（2）若直线l与x轴、y轴的正半轴分别交于,AB两点，O为坐标原点，当ABOS的面积最小时，求直线l的方程。20.已知𝑥2+𝑦2

−4𝑥+2𝑚𝑦+2𝑚2−2𝑚+1=0(𝑚∈𝑅)表示圆𝐶的方程．(1)求实数𝑚的取值范围；(2)当圆𝐶的面积最大时，求过点𝐴(4,−4)的圆的切线方程．(3)𝑃为圆上任意一点，已知𝐵(6,

0)，在(2)的条件下，求|𝑃𝐴|2+|𝑃𝐵|2的最小值.21.如图在四棱锥𝐴−𝐵𝐶𝐷𝐸中，𝐶𝐷//𝐸𝐵，𝐶𝐷=1,𝐸𝐵=2，𝐶𝐵⊥𝐵𝐸，𝐴𝐸=𝐴𝐵=𝐵𝐶=√2，𝐴𝐷=√3，𝑂是𝐴𝐸的中点．(Ⅰ)求证：𝐷𝑂//平面𝐴𝐵𝐶；(

Ⅱ)在棱𝐵𝐸上是否存在点𝑀，使得半平面𝐴𝐷𝑀与半平面𝐴𝐵𝐶所成二面角的余弦值为453√53，若存在，求𝐸𝑀:𝑀𝐵，若不存在，说明理由.22.在平面直角坐标系中，已知椭圆)0(1:22

22=+babyaxC的离心率为36，坐标原点O到直线1=−byaxl：的距离为23．(1)求椭圆C的方程；(2)已知定点)0,1(−E，若直线)0(2+=kkxy与椭圆相交于DC,两点，试判断是否存在实数k，使得以CD为直径的圆过定点E？若存在，求出k的值；若不存在，

请说明理由.2023学年第一学期六县九校联盟期中联考高二年级数学学科参考答案命题：文昌中学叶洪清联系电话18069876909审稿：萧山十中陈元江联系电话13968014050一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40是符

合题目要求的。题号12345678答案DBABBDBC二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。题号9101112答案BCACBCD三、填空题：本题共4小题，

每小题5分，共20分。13.6114.1715.7√22+116.55四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.（本题10分）（1）因为()0.0040.0180.02220.028101a++++=，所以0.006a=.………………………………

………………………2分（2）由所给频率分布直方图知，50名受访职工评分不低于80的频率为(0.0220.018)100.4+=，所以该企业职工对该部门评分不低于80的概率的估计值为0.4.……………6分（3）受访职工评分在[50，60)的有：50×0.006×10=3(人)，即为123,,AA

A；受访职工评分在[40，50)有：50×0.004×10=2(人)，即为12,BB.从这5名受访职工中随机抽取2人，所有可能的结果共有10种，它们是12131112,,,,,,,AAAAABAB232122313212,,,,,,,,

,,,AAABABABABBB又因为所抽取2人的评分都在[40，50)的结果有1种，即12,BB，故所求的概率为110P=.……………………………………………10分18.【答案】解：(Ⅰ)设𝐴𝐵的中点坐标为：𝐸(2,0)，由于𝐴(0,1)，𝐵(4,−1)，所

以𝑘𝐴𝐵=−12，所以𝐴𝐵的垂直平分线的方程为𝑦=2(𝑥−2)，整理得：2𝑥−𝑦−4=0．(Ⅱ)由于𝐴(0,1)，𝐶(2,1)，所以𝐴𝐶的垂直平分线的方程为𝑥=1．所以{2𝑥−𝑦−4=0𝑥=1，解得{

𝑥=1𝑦=−2，即外接圆的圆心为(1,−2)，圆的半径为𝑟=√12+(−2−1)2=√10．所以圆的方程为(𝑥−1)2+(𝑦+2)2=10．【解析】本题考查的知识要点：直线的方程的求法，圆的方程，主要考查学生

的运算能力和数学思维能力，属于基础题．的(Ⅰ)直接利用点的坐标求出直线的斜率，进一步求出直线的方程；(Ⅱ)首先求出中垂线的交点，即求出外接圆圆心的坐标，进一步求出圆的半径，最后求出圆的方程．（本题12分）(1)当截距为零时，直线方程为xy32=当截距不为零时，令方程为ayx=+，代入点)2,3

(P，可得5=a，此时直线l方程为05=−+yx............................5分设直线l的方程为2)3(+−=xky，由题意可得0k令0=x，则23+−=ky，令0=y，则kx23−=，即kOAkOB23||,32||−=−=，从而1

2)4912(21)23)(32(21−−=−−=kkkkSAOB当且仅当kk49=，即32−=k时取到12，所以直线方程为4322)3(32+−=+−−=xxy............................12分20.【答案】解：(1)由

题可知：(𝑥−2)2+(𝑦+𝑚)2=3+2𝑚−𝑚2，该方程表示圆，则3+2𝑚−𝑚2>0，即𝑚2−2𝑚−3<0，解得−1<𝑚<3．则实数𝑚的取值范围为(−1,3)；(2)令𝑦=3+2𝑚−𝑚2

=−(𝑚−1)2+4，(𝑚∈(−1,3))，开口向下，对称轴为𝑚=1∈(−1,3)，当𝑚=1时，圆𝐶的面积取得最大值，此时圆的方程为(𝑥−2)2+(𝑦+1)2=4，当切线的斜率不存在时，切线方程为𝑥=4满足题意；当切线的斜率存在时，设切线方程为𝑦+4=�

�(𝑥−4)，即𝑘𝑥−𝑦−4𝑘−4=0．圆心(2,−1)到切线的距离等于半径长，即|2𝑘+1−4𝑘−4|√1+𝑘2=2，解得𝑘=−512，即切线方程为𝑦+4=−512(𝑥−4)，即5𝑥+12𝑦+28=0；综上所述，所求切线方程为

𝑥=4和5𝑥+12𝑦+28=0；(3)设𝑃(𝑥,𝑦)，则|𝑃𝐴|2+|𝑃𝐵|2=(𝑥−4)2+(𝑦+4)2+(𝑥−6)2+𝑦2=2[(𝑥−5)2+(𝑦+2)2]+10，设𝑀(5,−2)，则(𝑥−5)2+(𝑦+2)2表

示圆𝐶上的点𝑃与点𝑀的距离的平方，由(2)知𝐶(2,−1)，又|𝐶𝑀|=√(5−2)2+(−2+1)2=√10>2，则点𝑀在圆𝐶外面，所以|𝑃𝑀|min=|𝐶𝑀|−2=√10−2，则(|𝑃𝐴|2+|𝑃𝐵|2)min=2(√10−2)2

+10=28−8√10+10=38−8√10．则|𝑃𝐴|2+|𝑃𝐵|2的最小值为38−8√10．【解析】本题考查圆的方程，圆的切线以及点到圆上的点的最值问题．(1)根据方程表示圆，列出不等式，从而可得答案；(2)求出圆𝐶的面积取得最大值，𝑚的值，即半径最大时，𝑚的值

，再分切线斜率存在和不存在两种情况讨论即可得解；(3)设𝑃(𝑥,𝑦)，则|𝑃𝐴|2+|𝑃𝐵|2=2[(𝑥−5)2+(𝑦+2)2]+10，设𝑀(5,−2)，则(𝑥−5)2+(𝑦+2)2表示圆𝐶上的点𝑃与点𝑀的距离的平方，求出|

𝑃𝑀|的最小值，即可得解．21.【答案】解：(Ⅰ)取𝐴𝐵中点𝐹，连接𝐶𝐹、𝑂𝐹，∵𝑂，𝐹分别为𝐴𝐸，𝐴𝐵的中点，∴𝑂𝐹//𝐵𝐸，且𝑂𝐹=12𝐵𝐸，又∵𝐶𝐷//𝐸𝐵，𝐶𝐷=12𝐸𝐵，∴𝑂𝐹//𝐶𝐷，且𝑂𝐹=�

�𝐷，∴四边形𝑂𝐹𝐶𝐷为平行四边形，∴𝐷𝑂//𝐶𝐹，而𝐶𝐹⊂平面𝐴𝐵𝐶，𝐷𝑂⧸⊂平面𝐴𝐵𝐶，∴𝐷𝑂//平面𝐴𝐵𝐶(Ⅱ)取𝐸𝐵中点𝐺，连接𝐴𝐺、𝐷𝐺，∵𝐴𝐸=𝐴𝐵=√2,𝐵𝐸=2，∴▵

𝐴𝐵𝐸为等腰直角三角形，∴𝐵𝐸⊥𝐴𝐺，𝐴𝐺=1，又∵𝐴𝐷=√3,𝐷𝐺=𝐵𝐶=√2，∴𝐴𝐺2+𝐷𝐺2=𝐷𝐴2，∴𝐷𝐺⊥𝐴𝐺，∵𝐷𝐺//𝐵𝐶，𝐶𝐵⊥𝐵𝐸∴𝐵𝐸⊥𝐷𝐺，𝐷𝐺⊥𝐴𝐺𝐵𝐸∩𝐴

𝐺=𝐺，𝐵𝐸、𝐴𝐺⊂平面𝐴𝐵𝐸，∴𝐷𝐺⊥平面𝐴𝐵𝐸，而𝐵𝐸⊂平面𝐴𝐵𝐸，故𝐷𝐺⊥𝐵𝐸，以𝐺为原点，以𝐺𝐵,𝐺𝐴,𝐺𝐷方向分别为𝑥轴、𝑦轴、𝑧轴，建立如图所示空间直角坐标系．𝐺(0,0,0)，𝐴(0,

1,0)，𝐷(0,0,√2)，𝐸(−1,0,0)，𝑂(−12,12,0)，𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(0,−1,√2)，𝐷𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=(1,0,0)𝑂𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(12,−12,√2)故平面𝐴𝐶𝐷的一个法向量为𝑛⃗⃗=(0,√2,1)，∴𝑑=|𝐷𝑂⃗⃗

⃗⃗⃗⃗⃗⋅𝑛⃗⃗|𝑛⃗⃗||=√66.故点𝑂到平面𝐴𝐶𝐷的距离为√66.(Ⅲ)设点𝑀(𝑎,0,0)在棱𝐵𝐸上，𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(0,−1,√2)，𝐴𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗=(𝑎,−1,0)设面�

�𝐷𝑀的一个法向量为𝑛1⃗⃗⃗⃗=(𝑥,𝑦,𝑧)，{𝑛⃗⃗⋅𝐴𝐷⃗⃗⃗⃗⃗⃗=−𝑦+√2𝑧=0,𝑛⃗⃗⋅𝐴𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗=𝑎𝑥−𝑦=0,∴取𝑦=2，面𝐴𝐷𝑀的一个法向量为𝑛

1⃗⃗⃗⃗=(2𝑎,2,√2)同理：面𝐴𝐵𝐶的一个法向量为𝑛2⃗⃗⃗⃗=(1,1,0)令半平面𝐴𝐷𝑀与半平面𝐴𝐵𝐶所成二面角的平面角为𝜃，𝜃为锐角，∴cos𝜃=cos<𝑛1⃗⃗⃗⃗,𝑛2⃗⃗⃗⃗>=2𝑎+2√2√4𝑎

2+64√5353.21𝑎2+106𝑎+5=0即𝑎=−15，𝑎=−21(舍)此时𝐸𝑀:𝑀𝐵=2:3故当𝐸𝑀:𝑀𝐵=2:3时，半平面𝐴𝐷𝑀与半平面𝐴𝐵𝐶所成二面角的余弦值为453√5322.(本小题12分)解(1)已知直线1=−

byaxl：，则0=−−abaybx由题意可得3623||22{==+acbaab且222cba+=，解得1322==ba，，所以椭圆方程为13:22=+yxC.…………………5分假设存在实数，使得以CD为直径的圆过定点E.联立2+

=kxy与椭圆方程0912)31(22=+++kxxk，0)31(36)12(22+−=kk可得11−kk或.设),(),,(2211yxDyxC，则221221319,3112kxxkkxx+=+−=+又4)(2)2)

(2(212122121+++=++=xxkxxkkxkxyy，),1(),,1(2211yxEDyxEC+=+=，要使以CD为直径的圆过点)0,1(−E,当且仅当DECE⊥,即0=EDEC，0)1)(1(2121=+++x

xyy,代入并整理可得167=k，成立，综上可得存在67=k.,使得以CD为直径的圆过定点E.……………………………………………12分获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100

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