【文档说明】辽宁省沈阳市郊联体2021届高三上学期期末考试数学试题含答案.docx，共(11)页，823.841 KB，由小赞的店铺上传

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2020-2021学年度上学期沈阳市郊联体期末考试高三试题数学考试时间：120分钟满分：150分注意事项：本试卷由第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分组成.第Ⅰ卷选择题部分，一律用2B铅笔按题号依次填涂在答题卡上；第Ⅱ卷非选择题部分，按要求

答在答题卡相应位置上.第Ⅰ卷选择题一、单选题：本大题共8道小题，每小题5分，共40分：1.若集合12Axx=−，3log1Bxx=，则AB（）A.02xxB.12xx−C.12xx

D.13xx−2.已知复数z满足()1243zii+=−（其中i为虚数单位），则复数z的虚部为（）A.-2B.2i−C.1D.i3.已知双曲线()222210,0xyabab−=的一条

渐近线的斜率为12，则此双曲线的离心率为（）A.32B.52C.3D.54.已知一个圆柱上、下底面的圆周都在同一个球面上，球的直径为10，圆柱底面直径为6，则圆柱的侧面积为（）A.12B.24C.36D.485.已知某

药店只有A，B，C三种不同品牌的95N口罩，甲、乙两人到这个药店各购买一种品牌的95N口罩，若甲、乙买A品牌口罩的概率分别是0.2，0.3，买B品牌口罩的概率分别为0.5，0.4，则甲、乙两人买相同品牌的95N口罩的概率为（）A.0.7B.0.65C.0.35D.0.266.()322

2xnxx−−的展开式的各项系数之和为3，则该展开式中含3x项的系数为（）A.2B.8C.-5D.-177.已知椭圆M：()222210xyabab+=，过M的右焦点()3,0F作直线交椭圆于A，B两点，若AB中点坐标为()2,1，则椭圆M的方程为（）A.22

196xy+=B.2214xy+=C.221189xy+=D.221123xy+=8.唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河.”诗中隐含着一个有趣的数学问题—“将军饮马”问题，即将军在观望烽火

之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为223xy+，若将军从点()3,1A处出发，河岸线所在直线方程为5xy+=，并假定将军只要到达军

营所在区域即回到军营，则“将军饮马”的最短总路程为（）A.103−B.10C.253−D.25二、多选题：本大题共4道小题，每小题5分，共20分.9.已知m，n是不重合的直线，，，是不重合的平面，则下列命题为假命题的是（）A.若

⊥，⊥，则//B.若m，n，//m，//n，则//C.若//，//，则//D.若⊥，m⊥，则//m10.下列说法中，正确的命题是（）A.已知随机变量X服从正态分布()22,N，()40.8PX=，则()240.2PX=B.线性相关系数r越大

，两个变量的线性相关性越强；反之，线性相关性越弱C.已知两个变量具有线性相关关系，其回归直线方程为yabx=+，若2b=，1x=，3y=，则1a=D.若样本数据121x+，221x+，…，1621x+的方差为8，则数据1x，2x，…，16x的方差

为211.下列命题中是真命题的是（）A.“1=”是“()sin26fxx=−的最小正周期为”的必要不充分条件B.在ABC△中，点D是线段BC上任意一点（不包含端点），若ADmABnAC=+，则14mn+的最小值是9C.已知数列na

的各项均为正数，12a=，114nnnnaaaa++−=+，则数列11nnaa++的前24项和为2D.函数()fx是定义在R上的偶函数且在)0,+上为减函数，()21f−=，则不等式()11fx−的解集为13x

x−12.已知1l，2l是双曲线T：()222210,0xyabab−=的两条渐近线，直线l经过T的右焦点F，且1//ll，l交T于点M，交2l于点Q，交y轴于点N，则下列说法正确的是（）A.

FOQ△与OQN△的面积相等B.若T的焦距为4，则点M到两条渐近线的距离之积的最大值为14C.若FMMQ=，则T的渐近线方程为yx=D.若12,23FMFQ，则T的离心率2,3e第Ⅱ卷非选择题三、填空题：本大题共4道小题，每小题5分，共20分.13.一批产品的次品率为0.

03，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取100次，X表示抽到的次品件数，则()EX=________；14.电影《夺冠》讲述中国女排姑娘们顽强奋斗、为国争光的励志故事，打造一部见证新中国体育改革40年的力作，该影片于2020年09月25日正式上映.在《夺

冠》上映当天，一对夫妇带着他们的两个小孩一起去观看该影片，订购的4张电影票恰好在同一排且连在一起.为安全起见，影院要求每个小孩子要有家长相邻陪坐，则不同的坐法种数是________；15.在平面直角坐标系xOy中，抛物线C：26

yx=的焦点为F，准线为l，P为抛物线C上一点，PAl⊥，A为垂足，若直线AF的斜率2k=−，则线段PF的长为________；16.如图所示，正方体1111ABCDABCD−的棱长为1，线段11BD上有两个动点E、F，且12EF=，则下列结论中正确的序号是__________.①

ACBE⊥；②//EF平面ABCD；③三棱锥ABEF−的体积为定值；④AEF△的面积与BEF△的面积相等.四、解答题：本大题共6个小题，共70分.17.已知向量3sin,12xm=，2cos,cos22xnx

=，函数1()2fxmn=−.（Ⅰ）若,36x−，求()fx的取值范围；（Ⅱ）在ABC△中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若()1fB=，5a=，53b=，求ABC△的面积.

18.设数列na的前n项和为nS，且12nnSa+=.（Ⅰ）求数列na的通项公式；（Ⅱ）设21nnban=+，求数列nb的前n项和nT.19.已知如图①，在菱形ABCD中，60A=且2AB=，E为AD的中点，将ABE△沿BE折起使2AD=，得到如图

②所示的四棱锥ABCDE−.（Ⅰ）求证：平面ABE⊥平面ABC；（Ⅱ）若P为AC的中点，求二面角PBDA−−的余弦值.20.某学校共有1000名学生，其中男生400人，为了解该校学生在学校的月消费情况，采取分层抽样随机抽取了100名学生进行调查，月消费金额分布在450~950之间.根据调查的结

果绘制的学生在校月消费金额的频率分布直方图如图所示：属于“高消费群”不属于“高消费群”合计男女合计将月消费金额不低于750元的学生称为“高消费群”.（Ⅰ）求a的值，并估计该校学生月消费金额的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；（Ⅱ）现采用分层抽样的

方式从月消费金额落在)550,650，)750,850内的两组学生中抽取10人，再从这10人中随机抽取3人，记被抽取的3名学生中属于“高消费群”的学生人数为随机变量X，求X的分布列及数学期望；（Ⅲ）若样本中属于“高消费群”的女生有10人，完成

22列联表，并判断是否有97.5%的把握认为该校学生属于“高消费群”与“性别”有关？参考公式：()21122122121212nnnnnKnnnn++++−=，其中（11211222nnnnn=+++）()2PKk0.15

0.100.050.0250.0100.0050.001k2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.82821.平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：()222210xyabab+=的离心率为32，左、右焦点分别是1F，2F.以1F为圆心、以3为半径的圆与

2F为圆心、以1为半径的圆相交，且交点在椭圆C上.（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）过点()1,0作直线l与椭圆C交于A，B两点，O是坐标原点，设OPOAOB=+，问：是否存在这样的直线l，使得OPAB=，若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由.22.已知函数()lnfxxax=−.（Ⅰ）

若曲线()(),yfxbabR=+在1x=处的切线方程为30xy+−=，求a，b的值；（Ⅱ）求函数()1()()agxfxaRx+=+的极值点；（Ⅲ）设1()()ln(0)xxhxfxaeaaaa=+−+，若当xa时，

不等式()0hx恒成立，求a的最小值.2020－2021学年度上学期沈阳市郊联体期末考试高三试题答案数学一、选择题：1-5：AABDC6-8：DCC二、多选题：9.ABD10.CD11.BC12.AC三、填空题：13.314.1615.152

16.①②③四、解答题：17.【解析】（Ⅰ）∵向量3sin,12xm=，2cos,cos22xxn=，由此可得函数131()sincossin2226fxmnxxx=−=+=+，又∵,36x−，得,663x+−

，∴13sin,622x+−，即()fx的取值范围是13,22−；（Ⅱ）∵函数()sin6fxx=+，∴()sin16fBB=+=，又∵7,666B+，∴62B+

=，可得3B=.∵5a=，53b=，∴根据正弦定理sinsinabAB=，可得5sinsin13sin253aBAb===，由ab得AB，所以6A=，因此()2CAB=−+=，可得ABC△是以C为直角顶点的直角三角形，∴ABC△的面积11253553222Sab===.

18.【解析】（Ⅰ）当1n=时，1112Sa+=，解得11a=.因为21nnSa=−，①所以当2n时，1121nnSa−−=−，②①-②得，1122nnnnSSaa−−−=−，所以12nnaa−=.故数列na是首项为1，公比为2的等比数列，其通项公式为1

2nna−=.（Ⅱ）由题知，(1)2nnbn=+，所以123223242(1)2nnTn=+++++，③23412223242(1)2nnTn+=+++++，④③-④得，()123122222(1)2nnnTn+−=+++++−+()

112122(1)2212nnnnn++−=+−+=−−.所以12nnTn+=.19.【解析】（Ⅰ）在图①中，连接BD，如图所示：因为四边形ABCD为菱形，60A=，所以ABD△是等边三角形.因为E为AD的中点，所以BEA

E⊥，BEDE⊥.又2ADAB==，所以1AEDE==.在图②中，2AD=，所以222AEEDAD+=，即AEED⊥.因为//BCDE，所以BCBE⊥，BCAE⊥.又BEAEE=，,AEBE平面ABE.所以BC⊥平面ABE.又BC

平面ABC，所以平面ABE⊥平面ABC.（Ⅱ）由（Ⅰ）知，AEDE⊥，AEBE⊥.因为BEDEE=，,BEDE平面BCDE.所以AE⊥平面BCDE.以E为坐标原点，EB，ED，EA的方向分别为x轴，y轴，z轴，建

立如图所示的空间直角坐标系：则()0,0,0E，()0,0,1A，()3,0,0B，()3,2,0C，()0,1,0D.因为P为AC的中点，所以31,1,22P.所以31,1,22PB=−−

，31,0,22PD=−−.设平面PBD的一个法向量为(),,mxyz=，由00PBmPDm==得3102231022xyzxz−−=−−=.令3z=，得1x=−，3y=−，所以()1,3,3m=−−.设平面BDA的一个法向量为(

)111,,nxyz=.因为()3,0,1BA=−，()0,1,1AD=−，由00BAnADn==得1111300xzyz−+=−=，令11x=，得()1,3,3n=，则1331cos,777mnmnmn−−+===−，又二面角PBDA−

−为锐角，所以二面角PBDA−−的余弦值为17.20.【解析】（Ⅰ）由题意知100(0.00150.00250.00150.001)1a++++=，解得0.0035a=，样本平均数为5000.156000.357000.258000.159000

.10670x=++++=元.（Ⅱ）由题意，从)550,650中抽取7人，从)750,850中抽取3人，随机变量X的所有可能取值有0，1，2，3.()337310()0,1,2,3kkCCPXkkC−===.所以随机变量X的分布列为：P0123X

3512063120211201120随机变量X的数学期望632119()2312012012010EX=++=.（Ⅲ）由题可知，样本中男生40人，女生60人，属于“高消费群”的25人，其中女生10人；得出以下22列联表：属

于“高消费群”不属于“高消费群”合计男生152540女生105060合计257510022()()()()()nadbcKabcdacbd−=++++2100(10251550)505.024257540609−==.所以有97.5%的把握认为

该校学生属于“高消费群”与性别有关.21.【解析】（Ⅰ）由题意可知，24a=，∴2a=，又32ca=，222bac=−，∴1b=，∴椭圆C的方程为2214xy+=.（Ⅱ）∵OPOAOB=+，∴四边形OAPB为平行四边

形，假设存在l使得OPAB=，则四边形OAPB为矩形，∴0OAOB=，若l的斜率不存在，直线l的方程为1x=，由22114xxy=+=得31,2A，31.2B−，∴104OAOB=，不合题意，故l的斜率存在.设l的方程是()

1ykx=−，()11,Axy，()22,Bxy，由22(1)14ykxxy=−+=得()2222148440kxkxk+−+−=.∴2122814kxxk+=+，21224414kxxk−=+，①∴()()()222121212122311114ky

ykxxkxxxxk−=−−=−++=+.②由0OAOB=，得12120xxyy+=，把①，②代入得2k=.∴存在直线l：22yx=−+或22yx=−使得OPAB=.22.【解析】（Ⅰ）由()lnf

xxax=−，得lnyxaxb=−+，∴''()1ayfxx==−.由已知可得：'(1)1(1)2ffb=−+=，即1112ab−=−+=，∴2a=，1b=.（Ⅱ）11()()lnaagxfxxaxxx++

=+=−+，∴22(1)(1)1'()1(0)xxaaagxxxxx+−++=−−=.当10a+，即1a−时，'()0gx，()gx在()0,+上为增函数，无极值点.当10a+，即1a−时，则有：当01xa

+时，'()0gx，当1xa+时，'()0gx，∴()gx在()0,1a+为减函数，在()1,a++上为增函数，∴1xa=+是()gx极小值点，无极大值点；综上可知：当1a−时，函数()gx无极值点，当1a−时，函数()gx的极

小值点是1a+，无极大值点.（Ⅲ）1()()lnlnln(0)xxxhxfxaeaaexaaaa=+−+=−+，由题意知：当xa时，lnln0xaexa−+恒成立，又不等式lnln0xaexa−+等价于：lnxxaea，即1lnxxeaa，即lnxxxxeaa①，①式等价于

lnlnxxaxxeea，由0xa知，1xa，ln0xa.令()(0)xxxex=，则原不等式即为：()lnxxa，又()(0)xxxex=在(0,)+上为增函数，所以，原不等式等价于：

lnxxa②，又②式等价于xxea，即：(0)xxaxae.设()(0)xxFxxe=，1'()xxFxe−=，∴()Fx在()0,1上为增函数，在()1,+上为减函数，又0xa，∴当01a时，()Fx在(),1a上为增函数，在()1,+上为减函数，∴1()(1)F

xFe=.要使原不等式恒成立，须使11ae，当1a时，则()Fx在(),a+上为减函数，1()(1)FxFe=，要使原不等式恒成立，须使1ae，∴1a时，原不等式恒成立.综上可知：a的取值范围是1,e+，a的最小值为1

e.