【文档说明】浙江省杭州市六县九校2022-2023学年高二上学期期中数学试题 含解析.docx，共(19)页，1.856 MB，由小赞的店铺上传

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杭州“六县九校”联盟2022学年第一学期期中联考高二年级数学学科试题选择题部分一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.若直线的倾斜角是060，则直线的斜率为A.33B.32C.1D.3【答案】D【解析】【详解】分

析：根据倾斜角和直线斜率的关系求解即可.详解：由题可得：直线的斜率为tanα=tan0603=故选D.点睛：考查直线斜率的计算，属于基础题.2.某小区有500人自愿接种新冠疫苗，其中49~59岁的有140

人，18~20岁的有40人，其余为符合接种条件的其他年龄段的居民．在一项接种疫苗的追踪调查中，要用分层抽样的方法从该小区18~20岁的接种疫苗的人群中抽取4人，则样本容量为（）A.14B.18C.32D.50【答案】D【解析】【分析】根据分层抽样的概念求解.【详

解】设样本容量为n，由题意得450040n=，解得50n=.故选：D.3.已知()()()2,3,1,2,0,4,4,6,2abc=−==−−，则下列结论正确的是（）A.//bcB.//abC.ab⊥D.ac⊥【答案】C【解析】【分析】根据空间向量平

行、垂直的坐标表示判断即可.【详解】设bc=，即()()2,0,44,6,2=−−，则240642=−=−=，此方程组无解，故,bc不平行，故A错误；设ab=，即()()2,3,12,0,4−=，则223014==−=，此方程组无解，故,ab不平行，故B错

误；2230(1)40ab=++−=，则ab⊥，故C正确；2(4)3(6)(1)2280ac=−+−+−=−，则,ac不垂直，故D错误.故选：C.4.直线0axbyc++=经过第一、三、四象限

，则（）A.0,0abbcB.0,0abbcC.0,0abbcD.0,0abbc【答案】B【解析】【分析】数形结合根据斜率与截距列不等式求解即可.【详解】直线0axbyc++=经过第一、三、四象限，如图所示，则0,0,0abc，且00cbab

−−，则0,0abbc．故选：B．5.如图所示是小王与小张二人参加某射击比赛的预赛的五次测试成绩的折线图，设小王与小张成绩的样本平均数分别为Ax和Bx，方差分别为2As和2Bs，则（）A

.ABxx，22ABssB.ABxx，22ABssC.ABxx，22ABssD.ABxx，22ABss【答案】C【解析】【分析】根据图形分析数据的整体水平和分散程度.【详解】观察题图可知，实线中的数据都大于或等于虚线中的数据，所以小王成绩的平均数大于小张成绩的

平均数，即ABxx；显然实线中的数据波动都大于或等于虚线中的数据波动，所以小王成绩的方差大于小张成绩的方差，即22ABss.故选：C.【点睛】此题考查根据数据特征辨析平均数和方差，关键在于准确分析图形反映的数据特征而并非计算.6.直三棱柱ABC—A′B′C′中，A

C＝BC＝AA′，∠ACB＝90°，E为BB′的中点，异面直线CE与CA所成角的余弦值是（）A.55B.55−C.-1010D.1010【答案】D【解析】【分析】以C为原点，CA为x轴，CB为y轴，CC为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线CE与CA所成角的余弦值．

【详解】直三棱柱ABCABC−中，ACBCAA==，90ACB=，E为BB的中点．以C为原点，CA为x轴，CB为y轴，CC为z轴，建立空间直角坐标系，设2ACBCAA===，则(0C，0，0)，(0E，2，1)，(0C，0，2)，(2A，0，0)，(0CE=，2，1)，

(2CA=，0，2)−，设异面直线CE与CA所成角为，则||210cos10||||58CECACECA===．异面直线CE与CA所成角的余弦值为1010．故选：D．【点睛】本题考查异面直线所成角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考

查运算求解能力，是基础题．7.如图，在平行六面体1111ABCDABCD−中，1,,AAaABbADc===．点P在1AC上，且1:2:3APPC=，则AP=（）A.233555abc++B.322555abc−−C.223555abc−++D.322555abc++【答案】

D【解析】【分析】利用空间向量的基本定理可得出AP关于,,abc的表达式.【详解】在平行六面体1111ABCDABCD−中，11111,,AAaABbABADDAc=====则111111ACABADAAbca=++=+−，(

)11112232255555APAAAPAAACabcaabc=+=+=++−=++.故选：D.8.2022年北京冬奥会的吉祥物“冰墩墩”和“雪容融”深受吉祥物爱好者的喜爱，“冰墩墩”和“雪容融”将中国文化符号和冰雪运动完美融合，承载了新时代中国的形象

和梦想.若某个吉祥物爱好者从装有3个“冰墩墩”和3个“雪容融”的6个盲盒的袋子中任取2个盲盒，则恰好抽到1个“冰墩墩”和1个“雪容融”的概率是（）A.13B.25C.35D.310【答案】C【解析】【分析】列举基本事件，利用古典概型的概率

计算公式即可求解.【详解】记3个“冰墩墩”分别为a、b、c,3个“雪容融”分别为1、2、3；从6个盲盒的袋子中任取2个盲盒有：ab,ac,a1,a2,a3,bc,b1,b2,b3,c1,c2,c3,12,13,23

共15种情况；其中恰好抽到1个“冰墩墩”和1个“雪容融”包含a1,a2,a3,b1,b2,b3,c1,c2,c3共9种，所以概率为：93155P==.故选：C二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5

分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9.给出下列命题，其中正确的是（）A.任意向量a，b，c满足()()abcbca=B.在空间直角坐标系中，点()2,4,3P−关于坐标平面yOz的对称点是()2,4,3−−−

C.若,,abc是空间的一个基底，则,,abbcca+++也是空间的一个基底D.若ABCD−为正四面体，G为BCD△的重心，则3AGABACAD=++uuuruuuruuuruuur【答案】CD【解析】【分析】根据相等向量的概念即可判断选项A；根据空间向量的坐标系中，点关

于坐标平面对称点的特征即可判断选项B；根据空间向量的基底的概念即可判断选项C；根据空间向量的线性运算和重心的定义即可判断选项D.【详解】A：因为ab与cb是一个标量，设1abk=，2cbk=，若要12kcka=，则需要向量ac、rr方向相同，但ac，不一定相同，所

以()()=abcabc不一定成立，故A错误；B：点(2,4,3)−关于坐标平面yOz的对称点为(2,4,3)，故B错误；C：因为{},,abc是空间的一个基底，所以abc，，不共面，假设abbcca+++，，共面，则存在实数、使得()()abbcca+=+++，即()a

bbac=++++，所以110==+=，方程组无解，所以abbcca+++，，不共面，所以{}abbcca++，+，也是空间的一个基底，故C正确；D：ABAGGBACAGGCADAGGD=+=+=+，，，

则3ABACADAGGBGCGD++=+++，又G为BCD△的重心，所以0GBGCGD++=，故3ABACADAG++=，故D正确.故选：CD10.分别抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件A=“第一枚正面朝上”，事件B=“第二枚正面朝上”，下列结论中正确的是（

）A.该试验样本空间共有4个样本点B.()14PAB=C.A与B为互斥事件D.A与B为相互独立事件【答案】ABD【解析】【分析】由题可得样本空间及事件,AB样本点，结合互斥事件，独立事件的概念及古典概型概率公式逐项分析即得.【详解】对于A：试验的样本空间为：{(=正，正)，(正，反)，

(反，正)，(反，反)}，共4个样本点，故A正确;对于B：由题可知{(A=正，正)，(正，反)}，{(B=正，反)，(反，反)}，显然事件A，事件B都含有“(正，反)这一结果，故()14PAB=，故B正确；对于C：事件A，事件B能

同时发生，因此事件,AB不互斥，故C不正确；对于D：()2142PA==，()2142PB==，()14PAB=，所以()()()PABPAPB=，故D正确．故选：ABD.11.某市教育局为了解疫情时期网络教学期间的学生学习情况，从该市随机抽取了1000名高中学生，对他们每天的平均学习时间进

行问卷调查，根据所得信息制作了如图所示的频率分布直方图，则（）A.估计该市高中学生每天的平均学习时间的平均值为8.6小时B.估计该市高中学生每天的平均学习时间的众数为8小时C.估计该市高中学生每天的平均学习时间的60%分位数为9.2小时D.这1000名高中学生每天的平均学习时间

为68小时的人数有100人【答案】AC【解析】【分析】对于A：利用频率分布直方图的数据，按照平均数的定义进行计算，即可判断；对于B：根据众数的定义进行判断；对于C：利用百分位数的定义进行计算即可判断；对于D：利用频率分布直方图的数据计算即可判断.【详解】对于A：由频率分布直方图可以得

到，抽查的1000名高中学生每天的平均学习时间的平均值为0.05250.10270.25290.102118.6+++=小时，由此可以估计该市高中学生平均学习时间的平均值为8.6小时，故A正确；对于B：由频率分布直方图可以得到，抽查的100

0名高中学生每天的平均学习时间的众数为9小时，由此可以估计该市高中学生每天的平均学习时间的众数为9小时，故B错误；对于C：由频率分布直方图可以得到，0.0520.120.3+=，0.0520.120.2520.8++=，则抽查的1000名高中学生每天

的平均学习时间的60%分位数在)8,10内，设其为k，则有：()0.0520.120.2580.6k++−=，解得9.2k=，即抽查的1000名高中学生每天的平均学习时间的60%分位数为9.2小时，由此可以估计该市高中学生每天的平均学习时间的60%分位数为9.2小时，故C

正确；对于D：从频率分布直方图可以得到，这1000名高中学生每天的平均学习时间为68小时的人数有0.1021000200=人，故D错误.故选：AC.12.如图，菱形ABCD边长为2，∠BAD=60°，E为

边AB的中点，将△ADE沿DE折起，使A到A，连接AB，AC，且ADDC⊥，平面ABE与平面ACD的交线为l，则下列结论中正确的是（）A平面ADE⊥平面ABEB.CDl∥C.ВС与平面ADE¢所成角的余弦值为12D.二面角EABD−−的余弦值为77【答案】ABD【解析】【分析】A

.利用面面垂直的判定定理判断；B.利用线面平面的判定定理和性质定理判断；C、D.利用空间向量夹角进行求解判断即可.【详解】在菱形ABCD中，E为边AB的中点，所以ABDE⊥，因为//CDBE，所以ED⊥DC，因为A′D⊥DC，ADDED=，所以CD⊥平面

A′DE，因为//CDBE，所以BE⊥平面A′DE，因为BE平面A′BE，.所以平面A′DE⊥平面A′BE，故A正确；因为//CDBE，CD平面A′BE，BE平面A′BE，所以//CD平面A′BE，又

平面A′BE与平面A′CD的交线为l，所以CD∥l，故B正确；由A知，BE⊥平面A′DE，则BE⊥A′E，又菱形ABCD边长为2，∠BAD＝60°，E为边AB中点，所以DE⊥A′E，又BE∩DE=E，所以A′E⊥平面

BED,，以E为原点，分别以EB，ED,EA′为x，y，z轴，建立如图所示空间直角坐标系：则()()()()1,0,0,0,0,1,2,3,0,0,3,0BACD，所以()()()()1,3,0,0,0,1,0,3,1,1,0,1BCEAADAB===−=−，由上可知：CD⊥平面A′DE，

设平面ADE¢的一个法向量为：()2,0,0CD=−，则2221cos,21(3)2BCCDBCCDBCCD−===−+，所以有23sin,1cos,2BCCDBCCD=−=，因此选项C不正确；显然平面ABE的一个法向量为

：()0,3,0nED==，设平面ABD的一个法向量为：(),,mxyz=则有则00ABmADm==，即030xzyz−=−=，所以()3,1,3m=所以377313cos3

,mnmnmn===++，所以选项D正确，故选：ABD非选择题部分三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．的13.已知直线12:3310,:1,Rlxylaxya+−=−=，若12ll⊥，则a的值为__________．【答案】3【解析】【分析】

根据两直线垂直列方程求解即可.【详解】因为12ll⊥，所以()3310a+−=，解得3a=.故答案为：3.14.甲、乙两名篮球运动员进行投篮比赛，甲投篮命中的概率为13，乙投篮命中的概率为14，在每次投篮中，甲和乙投篮是否命中相互

没有影响．甲乙各投篮一次，恰好有1人命中的概率为__________．（结果用分数表示）【答案】512【解析】【分析】利用独立事件乘法公式及互斥事件的概率加法公式求恰好有1人命中的概率.【详解】记“甲投篮命中”A事件，“乙投篮命中”为B事件,则1()3PA=，1()4PB=，2()3PA

=，(43)PB=，因为甲和乙投篮是否命中相互没有影响，所以A与B互为独立事件，那么，恰好有1人命中的概率13215()()343412PABPABP=+=+=.故答案为：512.15.已知直线l过定点()2

,3,1A，且()0,0,1=为其一个方向向量，则点()4,3,2P到直线l的距离为__________．【答案】2【解析】【分析】利用空间中的点到直线的距离公式求解即可．【详解】设(2,0,1)aA

P==，()0,0,1=，则1au=，则点P到直线l的距离222512||audau=−=−=．故答案为：2．为16.在棱长为1的正方体ABCDABCD−中，已知点P是正方形AADD内部（不含边界）的一个动点，若直线AP与平面AABB所成角的正弦值和异面直线

AP与DC所成角的余弦值相等，则线段DP长度的最小值是___________．【答案】63【解析】【分析】以D为坐标原点，DA，DC，DD所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，设直线AP与平面AABB所成角为和异面直线AP与

DC所成角为，利用向量的夹角公式，结合二次函数的最值求法即可求解．【详解】解：如图，以D为坐标原点，DA，DC，DD所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，设(),0,,01,01Pxzxz，由(1,0,0)A，(0,1,1)C，(0,0,0)D，(1,0,)A

Pxz=−，(0,1,1)DC=，()1,0,0DA=，设直线AP与平面AABB所成角为和异面直线AP与DC所成角为，可得22coscos,2(1)zAPDCzx==+−，221sin|cos,|(

1)xAPDAzx−==+−，01x，由sincos=，可得2(1)zx=−，则2222222||2(1)3()33DPxzxxx=+=+−=−+，当23x=时，线段DP长度的最小值为63．故答案为：63．四、解答题：本题共6

小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.在一个盒子里有3个球，红球a、黄球b、绿球c，从中随机地取出一个球，观察其颜色后放回，然后再随机取出一个球．（1）写出试验样本空间；（2）假设事件A=“

两次取出的球颜色不同”，求事件A的概率【答案】（1）()()()()()()()()(),,,,,,,,,,,,,,,,,aaabacbabbbccacbcc=（2）23【解析】【分析】（1）根据样本空间的概念求解；（2）利用古典概型公式求解.【小问1详解】该试验的样本空

间可表示为()()()()()()()()(),,,,,,,,,,,,,,,,,aaabacbabbbccacbcc=.【小问2详解】()()()()()(),,,,,,,,,,,Aabacbabccacb=，()6nA=，()9n=，∴()6293PA==.18.

已知直线1:2120laxy+−=，直线2l过点()4,1A−，__________．在①直线2l的斜率是直线14yx=−的斜率的2倍，②直线2l不过原点且在x轴上的截距等于在y轴上的截距的2倍，这两个条件中任选一个，补充在上面的横线中，并解答下列问题．

（1）求2l的一般式方程；（2）若1l与2l在x轴上的截距相等，求a的值．【答案】（1）220xy++=（2）6a=−【解析】【分析】（1）选择①：根据点斜式求解即可；选择②：设直线的截距式求解即可；（2）先求得直线2l在x轴上的截距为

2−，故直线1l过点()2,0−，代入2120axy+−=，求解即可.【小问1详解】选择①：由题意可设直线2l的方程为()14ykx−=+，的因为直线2l的斜率是直线14yx=−的斜率的2倍，所以12k=−，所以直线2l的方程为()1142yx−=−+，即220xy++=．选择②：由题意可设直

线2l的方程为12xymm+=，0m，因为直线2l过点()4,1A−，所以1421mm+=−，解得1m=−．所以直线2l的方程为121xy+=−−，即220xy++=．【小问2详解】由（1）可知直线2l的方程为220xy++=，

令0y=，可得2x=−，所以直线2l在x轴上的截距为2−，所以直线1l在x轴上的截距为2−．故直线1l过点()2,0−，代入2120axy+−=，得220120a−+−=，解得6a=−．19.某高中为了解全校高一学

生的身高，随机抽取40个学生，将学生的身高分成4组：)150,160,[160,170)，)170,180,180,190，进行统计，画出如图所示的频率分布直方图.（1）求频率分布直方图中a的值；（2）求高一

学生身高的平均数和中位数的估计值.【答案】（1）0.045；（2）165.5；165.【解析】【分析】（1）在频率分布直方图中，根据所有小矩形的面积之和等于1，即可求得a的值；（2）根据在频率分布直方图中平均数的计算公式即可

求得平均数，设中位数x，则左右两边面积相等，列出方程，解方程即可得解.【详解】（1）由图可知))150,160,170,180,180,190三组的频率分别为0.275,0.225,0.05，所以身高在)160,170内的频率10

.2750.2250.050.45−−−=，所以0.450.04510a==；（2）平均数0.2751550.451650.2251750.05185165.5+++=，.设中位数x由()0.0275100.0451600.5x

+−=解得165x=，所以中位数为165.20.如图，空间四边形OABC中，2OAOBOC===，π2AOCBOC==，π3AOB=，点,MN分别在,OABC上，且2OMMA=，BNCN=．（1）以,,OAOBOC为一组基底表示向量MN；（2）求MN的长度

.【答案】（1）211322MNOAOBOC=−++（2）223MN=【解析】【分析】（1）利用空间向量运算的几何表示及空间向量基本定理求解；（2）利用空间向量数量积的运算性质，由22211322OAOBOCMN=−++展开计算即可.【小问1详解】2,OMMABNC

N==，()1221123322MNONOMOBOCOAOAOBOC=−=+−=−++．【小问2详解】3π,2π2,OAOBOCAOCBOCAOB======，所以0,0,cos2π3OAOCOB

OCOAOBOAOB====，所以22211322OAOBOCMN=−++222411221944332OAOBOCOAOBOAOCOBOC=++−+−22241129443OAOBOCOAOB=++−

222411222222244399=++−=，所以223MN=.21.某企业有甲、乙两个研发小组，他们研发新产品成功的概率分别为23和35．现安排甲组研发新产品A，乙组研发新产品B，设甲、乙两组的研发相互独立．（1）求至少有一种新产品研发成功的概率；（2）若新

产品A研发成功，预计企业可获利润100万元；若新产品B研发成功，预计企业可获利润120万元．求该企业获得利润超过100万元的概率．【答案】（1）1315（2）35【解析】【分析】（1）设事件A表示“甲组研发新产品A研发成功”，事件B表示“乙组研发新产品B研发成功”，进

而根据对立事件的概率求解即可；（2）由题知X的可能取值为0，100，120，220，进而根据独立事件的概率公式求解即可.【小问1详解】设事件A表示“甲组研发新产品A研发成功”，事件B表示“乙组研发新产品B研发成功”，则()23PA=，

()35PB=，所以至少有一种新产品研发成功的概率：()1213113515PBPA=−=−=.【小问2详解】若新产品A研发成功，预计企业可获利润100万元，若新产品B研发成功，预计企业可获利润120万元，该企业可获利润X的可能取值为0，100，120，220

，()()131120355PXPAB====，()()232220355PXPAB====，故利润超过100万元的概率为123555+=.22.在三棱柱111ABCABC-中，侧面正方形11BBCC的中心为点1,

MAM⊥平面11BBCC，且12,3BBAB==，点E满足()11101AEAC=．（1）若12=，求证1//AB平面1BCE；（2）求点E到平面ABC的距离；（3）若平面ABC与平面1BCE的夹角的正弦值为255，求的值．【答案】（1）证明见解析（2）2105（3）

13=或1=【解析】【分析】（1）12=时，点E是11AC的中点，从而1ABME∥，利用线面平行的判定定理证明即可；点E到平面ABC的距离等于点1A到平面ABC的距离，以M为原点，11,,MBMBMA的方向分别为,,xyz轴正方向，建立的空间直角坐标系，求

出平面ABC的法向量，进一步计算即可；分别求出平面ABC与平面1BCE的法向量，利用两个法向量的夹角余弦值的绝对值等于两个平面夹角的正弦值建立方程，解出即可.【小问1详解】因为11111,,22AEAC==点E是11AC的中点，又M是1BC的中点∴1ABME

∥，1AB面1BCE，ME面1BEC，∴1AB∥面1BCE．【小问2详解】在三棱柱111ABCABC-中，面ABC∥面111ABC，所以点E到平面ABC的距离等于点1A到平面ABC的距离．又因为正方形11BBCC，所以11BCB

C⊥，且1AM⊥平面11BBCC，以M为原点，11,,MBMBMA方向分别为,,xyz轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，由题意知22111111,2MBMAABMB==−=，则()()()()()()1

1111110,0,2,0,1,0,1,0,0,1,0,0,0,1,2,1,0,2ABBCABAC−=−=−−，设平面111ABC的法向量为(),,nxyz=r，则11112020nAByznACxz=−==−−=

，令1z=，可得法向量为()2,2,1n=−，也即是平面ABC的法向量，又()10,1,2CA=，所以E到平面ABC的距离12221055AAndn+===的【小问3详解】因为111AEAC=，所以()111,0,2AEA

C==−−，则()()111,0,22,0,1,0MEMAAEMB=+=−−=，设面1BCE的法向量为(),,mxyz=，则1(22)0,0mMExzmMBy=−+−===令z=，可得法向量为()22,0,m=−，所以()()()2222132cos,53

42521mn−+−==−+−+，因为平面ABC与平面1BCE所成角的正弦值为255，所以()232555342−=−+，可得23410−+=，获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众

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