【文档说明】河南省鹤壁市高级中学2020-2021学年高一上学期数学精英对抗赛五试题 含答案.docx，共(11)页，241.854 KB，由小赞的店铺上传

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1高一数学精英对抗赛（五）一．选择题（共12小题,第1-6题每题5分，第7-12题每题6分）1．如图，从长方体ABCD﹣A1B1C1D1的顶点A发出的一束光线，经平面A1B1C1D1反射后到达顶点C，记光线

与平面A1B1C1D1的交点为M，若AB＝AD＝2，AA1＝，则三棱锥B﹣AMC的外接球表面积为（）A．8πB．10πC．16πD．π2．在三棱锥S﹣ABC中，SA＝BC＝5，SB＝AC＝，SC＝AB＝，则该三棱锥外接球的表面积为（

）A．20πB．25πC．26πD．34π3．已知体积为4的三棱锥O﹣ABC的顶点A，B，C都在球O的表面上，且AB＝6，BC＝2，AC＝4，则球O的表面积是（）A．16πB．32πC．64πD．72π4．三棱锥S﹣

ABC的底面各棱长均为3，其外接球半径为2，则三棱锥S﹣ABC的体积最大时，点S到平面ABC的距离为（）A．2+B．2﹣C．3D．25．如图为一个正方体ABCD﹣A1B1C1D1与一个半球O1构成的组合体，半球O1的底面圆与该正

方体的上底面A1B1C1D1的四边相切，O1与正方形A1B1C1D1的中心重合．将此组合体重新置于一个球O中（球O未画出），使该正方体的下底面ABCD的顶点均落在球O的表面上，半球O1与球O内切，设切点为P，若正四棱锥P﹣ABCD的表面积为，则球O的

表面积为（）2A．B．C．12πD．9π6．在古代，正四棱台也叫“方亭”，竖着切去“方亭”两个边角块，把它们合在一起是“刍甍”（如图1中的几何体ABCD﹣A1B1C1D为一个“方亭”），图1是上底为a，下底为b的一个“方亭”，图2是由图1中的“方亭”得到的“刍甍”，已知“方亭

”的体积为V1，“刍甍”的体积为V2，若＝．（约等于0.618，被称为黄金分割比例，且恰好是方程x2+x﹣1＝0的一个实根，台体的体积公式为V＝（S++S′），则＝（）A．B．C．D．7．已知四棱锥S﹣ABCD的所有顶点都在半径为R（R为常数）的一个球面上，底面ABCD是

正方形且球心O到平面ABCD的距离为1，若此四棱锥体积的最大值为6，则球O的体积等于（）A．B．8πC．16πD．8．在三棱锥A﹣BCD中，△ABC和△BCD都是边长为2的正三角形，当三棱锥A﹣BCD的表面积最大时，其内切球的半径是（）A．B．C．D．9．在三棱锥P﹣ABC中，

AB＝2，AC⊥BC，若该三棱锥的体积为，则其外接球表面积的最小值为（）A．5πB．C．D．10．在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别为棱AB，BC的中点，过点D1，E，F作该正方体的3截面，截面将正方体分成两部分，则较

小部分与较大部分的体积的比值为（）A．B．C．D．11．已知f（x）＝x（x+1）（x2+ax+b）的图象关于直线x＝1对称，则f（x）的值域为（）A．[﹣4，+∞）B．C．D．[0，4]12．已知函数f

（x）＝x2﹣2x﹣1，若函数g（x）＝f（|ax﹣1|）+k|ax﹣1|+4k（其中a＞1）有三个不同的零点，则实数k的取值范围为（）A．（，]B．（）C．（]D．（）二．填空题（共2小题，每题5分）13．若函数f

（x）＝有3个零点，则实数a的取值范围是．14．已知球O是正三棱锥P﹣ABC的外接球，AB＝3，PA＝2，点E是线段AB的中点，过点E作球O的截面，则截面面积的最小值是．三．解答题（共2小题，每题12分）15．在①②③这三个条件任选一个补充在下面的问题中，并加以解答．已知______，若函数f（

x）为奇函数，且函数y＝f（ax﹣m）的零点在区间（﹣2，3）内，求m的取值范围．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．16．若函数f（x）定义域为R，满足对任意x1，x2∈R，f（x1+x2）≤f（x1）

+f（x2）有，则称f（x）4为“V形函数”；若函数g（x）定义域为R，g（x）恒大于0，且对任意x1，x2∈R，有lg[g（x1+x2）]≤lg[g（x1）]+lg[g（x2）]，则称g（x）为“对数V形函数”：（1）当g（x）＝x2+2时，证明：g（x）是对数V形函数；（2）若f

（x）是V形函数，且满足对任意x∈R，有f（x）≥2，问f（x）是否为对数V形函数？如果是，请加以证明；如果不是，请说明理由．高一数学精英对抗赛（五）参考答案与试题解析1-5ACCCB6-10DAADD11-1

2BC日期：2026．解：设方亭的高为h，则，＝，5∴＝，设m＝，则m2+m﹣1＝0，即m2+m＝1．∴．故选：D．7．解：如图，可得AC＝2，则AB＝＝，此四棱锥的体积最大值V＝＝整理可得：R3+R2﹣R﹣1＝9，即可得（R﹣2）（R2+3R+5）＝

0．解得R＝2．则球O的体积等于，故选：A．8．解：在三棱锥A﹣BCD中，△ABC和△BCD都是边长为2的正三角形，三棱锥A﹣BCD的表面积为S，故当AB⊥BD时，表面积最大，为，过A作BC的垂线，垂足为E，连接ED，三棱锥A﹣BCD的体积为V，设内切球的半径为r，因为，所以．故选

：A．69．解：AB＝2，AC⊥BC，故底面三角形外接圆半径为r＝1，，当时等号成立，故，故h≥2，当P离平面ABC距离固定时，若点P在平面ABC的投影为△ABC的外心时，此时外接球半径最小，此时，P在平面ABC的投影为AB中点O

1，设球心为O，则O在PO1上，故R2＝（h﹣R）2+12，化简得到，双勾函数在[2，+∞）上单调递增，故，故．故选：D．10．解：如图，作出截面D1MEFN，设正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为6，则其体积为216，延长D1M交DA的延长

线于点K，连接KE，延长D1N交DC的延长线于点L，连接FL．∵E，F分别为棱AB，BC的中点，M，N分别为两棱的三等分点，∴AK＝CL＝3，AM＝CN＝2，则，，∴正方体被截面分成两部分，其中一部分的体积为81﹣6＝75，另外一部分的体积为216﹣75＝141．∴较小部分与较

大部分的体积比值为．故选：D．711．解：因为函数f（x）＝x（x+1）（x2+ax+b）有两个零点﹣1，0，又因为其图象关于直线x＝1对称，所以2，3也是函数f（x）的两个零点，即f（x）＝x（x+1）•（x﹣2）（x﹣3），所以f（x）＝（x2﹣2x）

（x2﹣2x﹣3），令t＝x2﹣2x＝（x﹣1）2﹣1≥﹣1，则，所以，即f（x）的值域为．故选：B．12．解：令t＝|ax﹣1|，t≥0，则函数g（x）＝f（|ax﹣1|）+k|ax﹣1|+4k可换元为：h（t）＝t2+（k﹣2）t+4k﹣1．若g（x）有三个

不同的零点，则方程h（t）＝0有两个不同的实数根t1，t2，且解的情况有如下三种：①t1∈（1，+∞），t2∈（0，1），此时，解得；②t1＝0，t2∈（0，1），此时由h（0）＝0，求得k＝，∴h（t）＝，即，不合

题意；③t1＝1，t2∈（0，1），此时由h（1）＝0，得k＝，∴h（t）＝，解得，符合题意．综上，实数k的取值范围为（]．故选：C．二．填空题（共2小题）813．解：∵函数f（x）＝，当x＞0，由f（x）＝2x

﹣x2＝0，求得x＝2，或x＝4，故当x＞0，f（x）＝0有2个零点2和4．故当x≤0时，f（x）只有1个零点．故f（x）＝e|x+2|的图象和直线y＝a有且只有一个交点．做出函数f（x））＝e|x+2|（x≤0）的图象，如图：f（x）在（﹣∞，﹣2]上单调递减，

在（﹣2，0]上单调递增，当x＝﹣2时，f（x）取得最小值1，x＝0时，f（x）＝e2，故a＝1，或a＞e2，故答案为：{1}∪（e2，+∞）14．解：设三棱锥的外接球半径为R，正三角形ABC的外接圆圆心为O'，则O′A＝×＝，∴PO

′＝＝3，由OA2＝OO′2+O′A2可得：R2＝3+（3﹣R）2，解得R＝2，OO'＝1，连接O′E，OE，则O′E＝，∴OE＝＝．过E作球O的截面，则当截面与OE垂直时，截面圆的半径最小，即截面积最小．此时截面半径r＝＝，故最小截面面积为：．故答案为：．三．解答题（共2小

题）15．选①：因为f（x）是奇函数，且定义域为R，则f（0）＝a﹣＝0，所以a＝1，9则f（x）＝1﹣，易知f（x）在R上是增函数，所以f（x）有唯一零点0，因为函数y＝f（x﹣m）的零点在区间（﹣2，3

）内，所以x﹣m＝0在（﹣2，3）上有解，所以m＝x，即m∈（﹣2，3），故实数m的取值范围为（﹣2，3）；选②：∵f（x）是奇函数，∴f（﹣x）+f（x）＝log4（）+log4（）＝0，解得a＝1，∴f（x）＝

log4（），易知f（x）在R上是增函数，∴f（x）有唯一零点0，∵函数y＝f（x﹣m）的零点在区间（﹣2，3）内，∴x﹣m＝0在（﹣2，3）上有解，∴m＝x，即m∈（﹣2，3），故m的取值范围为（﹣2，3）；选③

：当x＜0时，﹣x＞0，∴f（﹣x）＝log3（﹣x+1），∵函数f（x）是定义在R上的奇函数，∴f（0）＝0，解得a＝﹣1，∴f（x）＝，易知f（x）在R上是增函数，∴f（x）有唯一零点0，∵函数y＝f（﹣x﹣m）

的零点在区间（﹣2，3）内，∴﹣x﹣m＝0在（﹣2，3）上有解，∴m＝﹣x，即m∈（﹣3，2），故实数m的取值范围为（﹣3，2）．16．(1）证明：假设对任意x1，x2∈R，有lgg（x1+x2）≤lgg（x1）

+lgg（x2），10则lgg（x1+x2）﹣lgg（x1）﹣lgg（x2）＝lg[（x1+x2）2+2]﹣lg（x12+2）﹣lg（x22+2）≤0，∴（x1+x2）2+2≤（x12+2）（x22+2），∴x12x22+（x1﹣x2）2+2≥0，显然成立，∴假设正

确，g（x）是对数V形函数；（3）解：f（x）是对数V形函数证明：∵f（x）是V形函数，∴对任意x1，x2∈R，有f（x1+x2）≤f（x1）+f（x2），∵对任意x∈R，有f（x）≥2，1)(1)(121+xfxf∴0＜f（x1）+f（x2）≤f（x1）f（x2），∴f（x1+x

2）≤f（x1）f（x2），∴lgf（x1+x2）≤lgf（x1）+lgf（x2），∴f（x）是对数V形函数．∵函数f（x）是定义在R上的奇函数，∴f（0）＝0，解得a＝﹣1，∴f（x）＝，易知f（x）在R上是增函数，∴f（x

）有唯一零点0，∵函数y＝f（﹣x﹣m）的零点在区间（﹣2，3）内，∴﹣x﹣m＝0在（﹣2，3）上有解，∴m＝﹣x，即m∈（﹣3，2），故实数m的取值范围为（﹣3，2）．16．(1）证明：假设对任意x1，x2∈R，有lgg（x1+x2

）≤lgg（x1）+lgg（x2），则lgg（x1+x2）﹣lgg（x1）﹣lgg（x2）＝lg[（x1+x2）2+2]﹣lg（x12+2）﹣lg（x22+2）≤0，11∴（x1+x2）2+2≤（x12+2）（x22+2），∴x12x22+（x1﹣x2

）2+2≥0，显然成立，∴假设正确，g（x）是对数V形函数；（3）解：f（x）是对数V形函数证明：∵f（x）是V形函数，∴对任意x1，x2∈R，有f（x1+x2）≤f（x1）+f（x2），∵对任意x∈R，有

f（x）≥2，1)(1)(121+xfxf∴0＜f（x1）+f（x2）≤f（x1）f（x2），∴f（x1+x2）≤f（x1）f（x2），∴lgf（x1+x2）≤lgf（x1）+lgf（x2），∴f（x）是对数V形函数．