【文档说明】江西省宜春市高安中学2020-2021学年高二下学期期中考试数学（理）试题含答案.doc，共(4)页，966.000 KB，由小赞的店铺上传

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江西省高安中学2020-2021学年下学期期中考试高二年级数学（理）试题命题人：审题人：一、选择题（本大题共12小题；每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.直角坐标系中点(1,3)P，在极

坐标系中的坐标为（）A．(4,)3−B．(2,)3−C．(4,)3D．(2,)32.若直线123xtyt=−=+（t为参数）与直线1ykx=−平行，则常数k=（）A．3−B．13−C．13D.33.已知双曲线2222:1xyCab−=的离心率54e=，且其右焦点为2(5

,0)F，则双曲线C的方程为（）A．22143xy−=B．221916xy−=C．221169xy−=D．22134xy−=4.函数()2lnxfxx=的图像大致是（）A．B．C．D．5.若()28210012101(4

1)(21)(21)(21)xxaaxaxax++=+++++++，则01210aaaa++++等于（）A．2B．1C．54D．1−6.抛物线22(0)ypxp=的焦点F到双曲线221xy−=的渐近线的距离为22，则p=（）A．4B．3

C．2D．17.中国古代中的“礼、乐、射、御、书、数”合称“六艺”.“礼”，主要指德育；“乐”，主要指美育；“射”和“御”，就是体育和劳动；“书”，指各种历史文化知识；“数”，数学;某校国学社团开展“六艺”课程讲座

活动，每艺安排一节，连排六节，一天课程讲座排课有如下要求：“礼”排第一节课，“射”和“御”两门课程不相邻，则“六艺”课程讲座不同的排课顺序共有几种（）.A．48B．72C．54D．368.把一枚骰子连续抛掷两次，记事件M为“两次所得点数均为奇数”，N为“至

少有一次点数是5”，则()PNM等于（）A．23B．59C．12D．139.在平面直角坐标系xoy中，已知直线:(1)lykx=+与曲线2:()xtCtyt==为参数恰有两个不同的交点，则实数k的取值范围为（）A.1(0,)2B．1(,0)2−C．2,13

D.(0,1)10.2020年湖北抗击新冠肺炎期间，全国各地医护人员主动请缨，支援湖北，某地有3名医生、6名护士来到武汉，他们被随机分到3家医院，每家医院1名医生、2名护士，则医生甲和护士乙分到同一家医院的概

率为（）A．16B．12C．18D．1311.直线1ykx=−被椭圆22:15xCy+=截得最长的弦为（）A.3B.52C.2D.512.已知e为自然对数的底数，,ab为实数，且不等式ln(3)10xeaxb+−++对任意()0

,x+恒成立，则当3ba+取最大值时，实数a的值为（）A.3eB.31e+C.4eD.41e+二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.函数xyxe=的图象在点(0,(0))f处的切线方程为_____________．14.已知随机变量服从正态分布()23,N，()60.8

4P=，则()0P=____________15.5221()1()2xxxx−+的展开式中含2x项的系数为___________16.已知圆:O229xy+=与x轴交于点A、B，过圆上动点M(M不与A、B重合)作圆O的切线l，过点A、B分别作x轴的垂线，与切线

l分别交于点,CD,直线CB与AD交于点Q，Q关于M的对称点为P，则点P的轨迹方程___________三、解答题（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.(本小题满分10分)已知直线l经过点112P，，倾斜角=4，圆C的极坐标方程为

=2sin4+.(1)写出直线l的参数方程，并把圆C的极坐标方程化为直角坐标下的普通方程；(2)设l与圆C相交于,AB两点，求点P到,AB两点的距离之积PAPB．18.(本小题满分12分)在我国抗击新型冠状病毒肺炎期间，素有“南抖音，北快手”之说的小视频除了给人们带来生活中

的快乐之外，更在于传递了一种正能量，为抗疫起到了积极的作用。但一个优秀的小视频除要有很好的素材与拍摄成品外，更要有制作上的技术要求.某同学为提高自己的制作水平，将所制作的某小视频分享到自己的朋友圈里，并请朋友圈里的朋友按照自己的审美给予评价。通过收集100位朋友（男、女各前50位）的评

价，得到22列联表如下：（1）能否有95%的把握认为对该小视频的制作评价是否优秀与性别有关？（2）将频率视为概率，从参与评价50位男性朋友中抽取10人，记评价优秀的人数为X，求X的数学期望和方差。附：2

2(),()()()()nadbcKabcdacbd−=++++nabcd=+++19.(本小题满分12分)如图所示的几何体中，ABCD是菱形，60ABC=，PA⊥平面ABCD，////APBFDE，224APABBFDE====.（1）求证：平面PAC⊥平面PCE；（2）求二面角BPCE−

−的正弦值.20.(本小题满分12分)据悉从2021年起，江西省将进行新高考改革，在选科方式、试卷形式、考查方法等方面都有很大的变化。在数学学科中，变化如下：新高考不再分文理科数学，而是采用一套试题测评；新高考增加了多选

题，给各种层次的学生更大的发挥空间；新高考引入开放性试题，能有效地考查学生建构数学问题、分析问题、解决问题的能力。已知新高考数学共4道多选题，评分标准是每题满分5分，全部选对得5分，漏选得3分，有错误选项的或不选的得0分，每道多选题共有4个选项，正确答案往

往为2项或3项．为了研究多选题的答题规律，某数学兴趣小组通过研究发现：多选题正确答案是“选两项”的概率为12,正确答案是“选三项”的概率为12，现有学生甲、乙两人，由于数学基础很差，多选题完全没有思路，只能靠猜．（1）若学生甲乱猜某多选题答案，在已知该题正

确答案是“选两项”的条件下，求他不得0分的概率；（2）学生甲的答题策略是“猜一个选项”，学生乙的策略是“猜两个选项”，分别求出甲和乙答一道多选题得分的期望，看看谁的策略得分更高？21.(本小题满分12分)已知椭圆2222:1(0)xyCabab+

=的两焦点是12,FF,点22,2P在椭圆C上,且214PFPF+=，（1）求椭圆的方程；（2）过椭圆C上点()()0000,0Axyxy的直线l与x，y轴的交点分别为,MN且2ANMA=.若,AC关于原点对称

，,BD关于原点对称，且BDNM=，求四边形ABCD面积的最大值.22．(本小题满分12分)已知函数()ln(3)fxxx=+−.（1）求函数()fx的最大值；（2）若关于x的方程()ln303xaaeax+=+有两个不等实数根12,xx，证明：122

xxeea+.江西省高安中学2020-2021学年下学期期中考试高二年级数学（理）试题参考答案一.选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题意）题号12345

6789101112答案DACABCBBADBC二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.yx=14.0.1615.10−16.2241(0)981xyy+=三．解答题（本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.解：（

1）直线l的参数方程为1cos241sin4xtyt=+=+(t为参数)，即1222212xtyt=+=+（t为参数）2分由=2sin4+，得cossin

=+，所以2cossin=+，4分得22xyxy+=+，即22111()()222xy−+−=．5分（2）把1222212xtyt=+=+（t为参数）代入22111()()222x

y−+−=，得221024tt+−=，8分∴1214PAPBtt==．10分18.解：(1)由22列联表可知，22100(35232715)2.7163.84162385050K−=，所以没有95%的把握认为对该小视频的制作评价是否优秀与性别

有关.5分(2)由表中数据，男性朋友对该小视频评价优秀的比率为350.750=，因此男性朋友对该小视频评价恰好优秀的概率的估计值为0.7.由题意得7(10,)10XB，所以随机变量X的期望7()10710EX==，7321()10101010DX==12分19.（1）

证明：取PC中点M，连结BD，设BD交AC于O，连结OM，EM，在菱形ABCD中，ODAC⊥，∵PA⊥平面ABCD，OD平面ABCD，∴ODPA⊥，又PAACA=，PA，AC平面PAC，∴OD⊥平面PAC，∵O，M分别是AC，PC的中点，∴//OMPA，12OMPA=，又//DEP

A，12DEPA=，∴//OMDE，且OMDE=，∴四边形OMED是平行四边形，则//ODEM，∴EM⊥平面PAC，又EM平面PCE，∴平面PAC⊥平面PCE.（2）由（1）中证明知，OM⊥平面ABCD，则OB，OC，OM两两垂直，以OB，OC，OM所在直

线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系.由224PAABBFDE====及ABCD是菱形，60ABC=得，4AC=，43BD=，则()23,0,0B，(0,2,0)C，(0,2,4)P−，()23,0,2E−，(0,4,4)PC

=−，()23,2,4PB=−，()23,2,2PE=−−，设平面PBC的一个法向量为(,,)mabc=，则00mPBmPC==，即23240440abcbc+−=−=，取1a=，求得3bc==，所以()133m=,

,，同理，可求得平面PCE的一个法向量为(0,2,2)n==，设平面PBC与平面PCE构成的二面角的平面角为，则||4342|cos||cos,|||||7722mnmnmn====，又0,，sin0，∴27sin1cos7=−=，∴平面PBC与

平面PCE构成的二面角的正弦值为77.20.解：（1）分两类：乱猜一个选项得3分，乱猜两个选项得5分．①猜一个选项得3分的概率为12；2分②猜两个选项得5分的概率为222416CC=，4分故学生甲不得0分的概率112263P=+=；5分（2）设甲、乙两人的得分分

别为X，Y，两人的得分期望分别为()EX，()EY，学生甲：()11135322248PX==+=，()11113022248PX==+=，学生甲的得分X的分布列为故()158EX=．8分学生乙：()232411324CPYC===，()2224115212CPYC

===，()203PY==，学生乙的得分Y的分布列为故()76EY=，11分因为()()EXEY，所以学生甲的策略最好．12分21.（1）点P在椭圆上且12422PFPFaa+===又椭圆2222:

1(0)xyCabab+=过点22,2P，222114b+=，解得21b=.∴椭圆的标准方程为：2214xy+=.5分（2）点A在椭圆上，220014xy+=.设经过点A的直线方程为：()00yykxx−=−，可得00,0yMxk−

，()000,Nykx−.2ANMA=，002yxk−=即002kxy=−.7分直线MN斜率为002kxy=−，,BDNMBD=方程为002yyxx=−，即0020yxxy+=，220044xy+=，联立0022214yyxxxy=−+=解得22002222000042|

|,||1616xxxxxyxy==++，200222220000042||8||211616yxBDxxyxy=+=++，点A到直线BD的距离为0000002200|2|3||24yxxyxydyx+==+，002200220012||12||,11616ABCDx

ySBDdxyyx===++202222022200002200009416116116()()54xyxyxyyxyx+=++=++当且仅当20202,4xy=，即2083x=时，等号成立，22002200116123,04,4116

ABCDSyxyx++，四边形ABCD面积的最大值为4.12分22.（1）解：因为()ln(3)fxxx=+−，所以2()(3)3xfxxx−−=−+.令()0fx，得32x−−；令()

0fx，得2x−，所以()fx在(3,2)−−上单调递增，在(2,)−+上单调递减，所以max()(2)2fxf=−=.4分（2）证明：方程()ln303xaaeax+=+可化为lnln3xaxaxe+++=++ln(3)ln(3)ln(3)xxex++=++.设

()xgxex=+，显然()gx在(,)−+上是增函数，又(ln)(ln(3))gxagx+=+，所以有lnln(3)xax+=+，即方程ln(3)lnxxa+−=有两个实数根1x，2x.由（1）可知()ln(3)2fxxx=+−，则有ln2

a，所以a的取值范围为()20,e.因为方程()lnfxa=有两个实数根1x，2x，所以()()1122ln3lnln3lnxxaxxa+=++=+，则()()()()1212331ln3ln3xxxx

+−+=+−+，要证122eexxa+，即证122xxaeae+.1212lnlnxxxaxaaeaeee+++=+=()()12ln3ln3126xxeexx+++=++，需证12332xx+++.需证()()()()121212232333ln3ln3xxxxxx+−++++

+−+.不妨设123xx−，令1233xtx+=+，则01t，即要证2(1)ln(01)1tttt−+.设2(1)()ln(01)1thtttt−=−+，则22(1)()0(1)thttt−=+，所以()ht在(0,1)上是增函数，()(1)0

hth=，即2(1)ln1ttt−+成立，故原式成立.12分