【文档说明】江苏省徐州市第一中学2023-2024学年高二上学期期中考试+数学+含答案.docx，共(25)页，1.516 MB，由小赞的店铺上传

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徐州一中2022级高二第一学期期中考试数学试卷（满分：150分时长120分钟）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目条件要求.1.直线310xy++=的倾斜角是A.3

0B.60C.120D.1502.通过椭圆22143xy+=的焦点且垂直于x轴的直线l被椭圆截得的弦长等于（）A.23B.3C.3D.63.双曲线22xy14−=的焦点到渐近线的距离为()A.1B.2C.2D.34.设F为抛物线2:3Cyx=的焦点，过F且倾斜角为30的

直线交C于A，B两点，则AB=A303B.6C.12D.735.许多建筑融入了数学元素，更具神韵，数学赋予了建筑活力，数学的美也被建筑表现得淋漓尽致.已知下面左图是单叶双曲面（由双曲线绕虚轴旋转形成立体图形）型建筑，右图是

其中截面最细附近处的部分图象.上、下底面与地面平行.现测得下底直径2010AB=米，上底直径202CD=米，AB与CD间的距离为80米，与上下底面等距离的G处的直径等于CD，则最细部分处的直径为（）A1

0米B.20米C.103米D.105米6.若圆222610xyxy+−−+=上恰有三点到直线ykx=距离为2，则k的值为A.12或2B.34或43C.2D.43..的7.已知⊙M：222220xyxy+−−−=，直线l：220xy++=，P为l上的动点

，过点P作⊙M的切线,PAPB，切点为,AB，当||||PMAB最小时，直线AB的方程为（）A.210xy−−=B.210xy+−=C.210xy−+=D.210xy++=8.已知(),0Fc−是椭圆()222210xyabab+=的左焦点，直线yxc=+与该椭圆相交于,MN两点，

O是坐标原点，P是线段OF的中点，线段MN的中垂线与x轴的交点在线段PF上．该椭圆离心率的取值范围是（）A.6,13B.2,12C.60,3D.26,23二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共2

0分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有选错的得0分部分选对的得2分.9.已知a为实数，若三条直线280,43100axyxy++=+−=和2100xy−−=不能围成三角形，则a的值为（）A83B.1C.1−D.

4−10.若方程22121xytt−=−−所表示的曲线为C，则下列命题正确的是（）A.若曲线C为双曲线，则1t或2tB.若曲线C为椭圆，则12tC.曲线C可能圆D.若曲线C为焦点在x轴上的椭圆，则312t11.如图，已知椭圆22142xy+=的左､右顶点分别是12,

AA，上顶点为1B，在椭圆上任取一点C，连结1AC交直线2x=于点P，连结2AC交OP于点M(O是坐标原点)，则下列结论正确的是（）.是A.12CACAkk为定值B.112APOPkk=C.2OPAC⊥D.1MB的最大值为612.已知抛物线C：24yx=，过点()

2,0P的直线l交C于A，B两点，O为坐标原点，则下列说法正确的有（）A.若直线l的斜率为2，则OAB的面积为12B.AB的最小值为42C.1124PAPB+=D.若()2,0M−，则MAPAMBPB=三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知nS为等差数列na的前

n项和，且满足24a=，422S=，则8S=_______.14.已知直线(1)ykx=+截圆22(1)(1)4xy−+−=所得两段圆弧的弧长之比为1：2，则k=__________．15.设双曲线()222210,0xyabab−=的右焦点是F，左、右顶点

分别是1A，2A，过点F作x轴的垂线与双曲线交于B，C两点，若12ABAC⊥，则该双曲线的渐近线的斜率为______．16.若正方形ABCD的一条边在直线217yx=−上，另外两个顶点在抛物线2yx=上.则该正方形面积的最小值为___

_____________.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.等差数列{}na的前n项和为nS，3547aaa+=+且11020aa+=.（1）求{}na的通项公式；（2）求满

足不等式32nnSa−的n的值.18.已知圆C：22240xyxym++−+=与y轴相切，O为坐标原点，动点P在圆外，过P作圆C的切线，切点为M．（1）求圆C的圆心坐标及半径；（2）求满足||2||PMPO=的点P的轨迹方程．19.若椭圆()2222:10xyEabab+=过抛物线24xy

=的焦点，且与双曲线221xy−=有相同的焦点．（1）求椭圆E的方程；（2）不过原点O的直线:lyxm=+与椭圆E交于A，B两点，当OAB的面积为32时，求直线l的方程．20.已知抛物线C：y2=2px(p>0)，过

抛物线的焦点F且垂直于x轴的直线交抛物线于不同的两点A，B,且||4AB=（1）求抛物线C的方程；（2）若不经过坐标原点O的直线l与抛物线C相交于不同的两点M，N,且满足OMON⊥.证明直线l过x轴上一定点Q，并求出点Q的坐标.21.已知双曲线2222:1

(0,0)xyCabab−=的虚轴长为4，直线20xy−=为双曲线C的一条渐近线.（1）求双曲线C的标准方程；（2）记双曲线C的左、右顶点分别为,AB，过点(2,0)T的直线l交双曲线C于点,MN(点M在第一象限)，记直线MA斜率为1k，直线NB斜率为2k，求12kk的值.22

.已知如图椭圆221:14xCy+=的左右顶点为1A、2A，上下顶点为1B、2B，记四边形1122ABAB的内切圆为2C．（1）求圆2C的标准方程；（2）已知P为椭圆1C上任意一点，过点P作圆2C的切线分别交椭圆1C于M、N两点，试求三角形PMN面积的最小值

．徐州一中2022级高二第一学期期中考试数学试卷（满分：150分时长120分钟）一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目条件要求.1.直线310xy++=的倾斜角是A.30B.60C.

120D.150【答案】D【解析】【分析】由方程得到斜率，然后可得其倾斜角.【详解】因为直线310xy++=的斜率为33−所以其倾斜角为150故选：D2.通过椭圆22143xy+=的焦点且垂直于x轴的直线l被椭圆截得的弦长等于（）A.23B.3C.3D.6【答案】B【解析】【分析】

根据椭圆方程写出一条过焦点且垂直于x轴的直线，代入椭圆方程求交点纵坐标，即可得弦长.【详解】由题设，不妨设过焦点(1,0)且垂直于x轴的直线:1lx=，代入椭圆方程得21143y+=，可得32y=，故被椭圆截得的弦长等于3.故选：B3.双曲线22xy14−=的焦点到渐近线的距离为()

A.1B.2C.2D.3【答案】A【解析】【分析】分别求出双曲线的焦点坐标和渐近线方程，利用点到直线的距离公式，能求出结果．【详解】双曲线中，焦点坐标为()5,0，渐近线方程为：1yx2=，双曲线22

xy14−=的焦点到渐近线的距离：5d114==+．故选A．【点睛】本题考查双曲线的焦点到渐近线的距离的求法，是基础题，解题时要熟练掌握双曲线的简单性质．4.设F为抛物线2:3Cyx=的焦点，过F且倾斜角为30的直线交C于A，B两点，则AB=A.303B.6C.12D.73【答案】C【解析】【

详解】试题分析：由题意，得3(,0)4F．又因为03ktan303==，故直线AB的方程为33()34yx=−，与抛物线2=3yx联立，得21616890xx−+=，设1122(,),(,)AxyBxy，由抛物线定义得，12ABxxp=++=1683

12162+=，选C．考点：1、抛物线的标准方程；2、抛物线的定义．5.许多建筑融入了数学元素，更具神韵，数学赋予了建筑活力，数学的美也被建筑表现得淋漓尽致.已知下面左图是单叶双曲面（由双曲线绕虚轴旋转形成立体图形）型建筑，右图是其中截面最细附近处的部分图象.上、下底面与地面平

行.现测得下底直径2010AB=米，上底直径202CD=米，AB与CD间的距离为80米，与上下底面等距离的G处的直径等于CD，则最细部分处的直径为（）A.10米B.20米C.103米D.105米【答案】B【解析】【分析】利用题中的条件，建立直角坐标系，可以求出双曲线的标准方程，即可解

出．【详解】解：建立如图的坐标系，依题意，AB与CD间的距离为80米，与上下底面等距离的G处的直径等于CD，根据双曲线的对称性，G点与D点的纵坐标互为相反数，所以20Dy=，则60By=−由题意可知(102C，20)，(1010B，60)−，设双曲

线方程为：22221xyab−=，22222004001100036001abab−=−=，解得2100a=，2400b=，||220EFa==，故选：B．6.若圆222610xyxy+−−+=上恰有三点到直线ykx=的距离为2，则k的值为A.12或2B.34或43C

.2D.43【答案】D【解析】【详解】把圆的方程化为标准方程得：（x-1）2+（y-3）2=9，得到圆心坐标为（1，3），半径r=3，若圆222610xyxy+−−+=上恰有三点到直线ykx=的距离为2，则圆心到直线的距离为1，即2|3|11kdk−

==+，解得k=43故选D7.已知⊙M：222220xyxy+−−−=，直线l：220xy++=，P为l上的动点，过点P作⊙M的切线,PAPB，切点为,AB，当||||PMAB最小时，直线AB的方程为（）A.210xy−−=B.210xy+−=C.210xy−+=D.210x

y++=【答案】D【解析】【分析】由题意可判断直线与圆相离，根据圆的知识可知，四点,,,APBM共圆，且ABMP⊥，根据44PAMPMABSPA==可知，当直线MPl⊥时，PMAB最小，求出以MP为直径的圆的方程，根据圆系的知识即可求出直线AB的方程．【详解】圆的方

程可化为()()22114xy−+−=，点M到直线l的距离为2221125221d++==+，所以直线l与圆相离．依圆的知识可知，四点,,,APBM四点共圆，且ABMP⊥，所以14442PAMPMABSPAAMPA===，而24PAMP=−，当直线MPl⊥时，mi

n5MP=，min1PA=，此时PMAB最小．∴()1:112MPyx−=−即1122yx=+，由1122220yxxy=+++=解得，10xy=−=．所以以MP为直径的圆的方程为()()()111

0xxyy−++−=，即2210xyy+−−=，两圆的方程相减可得：210xy++=，即为直线AB的方程．故选：D.【点睛】本题主要考查直线与圆，圆与圆的位置关系的应用，以及圆的几何性质的应用，意在考查学

生的转化能力和数学运算能力，属于中档题．8.已知(),0Fc−是椭圆()222210xyabab+=的左焦点，直线yxc=+与该椭圆相交于,MN两点，O是坐标原点，P是线段OF的中点，线段MN的中垂线与x

轴的交点在线段PF上．该椭圆离心率的取值范围是（）A.6,13B.2,12C.60,3D.26,23【答案】A【解析】【分析】设MN的中点为B，MN中垂

线与x轴交于点A，将yxc=+代入椭圆方程可的韦达定理的形式，利用韦达定理可表示出B点坐标，由此可得直线AB方程，求得A点坐标，由A在线段PF上可构造,ac的齐次不等式求得结果.【详解】设MN的中点为B，MN中垂线与x轴交于点A，设()11,Mxy，()22,Nxy，由222

21yxcxyab=++=得：()()222222220abxacxacb+++−=，212222acxxab+=−+，22121222222222acbcyyxxccabab+=++=−+=++，222222,acbcBabab−++

，ABMN⊥∵，1ABk=−，直线AB方程为：222222bcacyxabab−=−+++，令0y=，解得：322cxab=−+，即322,0cAab−+，A在线段PF上，3222cccab−−−+，整理可得：22222322acca，即2223

1ee，又椭圆离心率()0,1e，613e，即椭圆离心率的取值范围为6,13.故选：A.【点睛】思路点睛：求解圆锥曲线离心率或离心率取值范围问题的基本思路有两种：（1）根据已知条件，求解得到,ac的值或取值范围，由ce

a=求得结果；（2）根据已知的等量关系或不等关系，构造关于,ac的齐次方程或齐次不等式，配凑出离心率e，从而得到结果.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，有

选错的得0分部分选对的得2分.9.已知a为实数，若三条直线280,43100axyxy++=+−=和2100xy−−=不能围成三角形，则a的值为（）A.83B.1C.1−D.4−【答案】ACD【解析】【分析】当三条直线

交于一点时，不能围成三角形，当三条直线中有平行直线时，不能围成三角形，从而可求出a的值【详解】当三条直线交于一点时，由431002100xyxy+−=−−=，解得42xy==−，所以交点为(4,2)−，所以44

80a−+=，得1a=−，当直线280axy++=与43100xy+−=平行时，243a=，得83a=，当直线280axy++=与2100xy−−=平行时，221a=−，得4a=−，所以当1a=−，或83a=，或4a=−时，三条

直线不能围成三角形，故选：ACD10.若方程22121xytt−=−−所表示曲线为C，则下列命题正确的是（）A.若曲线C为双曲线，则1t或2t的B.若曲线C为椭圆，则12tC.曲线C可能是圆D.若曲

线C为焦点在x轴上的椭圆，则312t【答案】ACD【解析】【分析】利用方程表示双曲线求解t的取值范围可判断A；方程表示椭圆求解t可判断B；方程是否表示圆可判断C；方程表示焦点在x轴上的椭圆求解t可判断D.详解】对于A，方程表示双曲线，则()()210tt−−，解得1t或2t，

故A正确；对于B，方程表示椭圆，则201021tttt−−−−，解得12t且32t，故B错误；对于C，当32t=时，方程表示圆，故C正确；对于D，方程表示焦点在x轴上的椭圆，则210tt−−，

解得312t，故D正确；故选：ACD11.如图，已知椭圆22142xy+=的左､右顶点分别是12,AA，上顶点为1B，在椭圆上任取一点C，连结1AC交直线2x=于点P，连结2AC交OP于点M(O是坐标原点)，则下列结论正确的是（）A.12CACAkk为定值B.

112APOPkk=C.2OPAC⊥D.1MB的最大值为6【答案】ABC【解析】【【分析】设点C的坐标为(2cos,2sin)，[0,2]，而12(2,0),(2,0)AA−，从而可求出直线12,CACA的斜率，进而可得直线1CA的方程，令2

x=，求出y的值，可得点P的坐标，然后可求出OP的斜率，进而可对选项A，B，C进行判断，求出直线OP，2AC的方程，两方程联立可求出点M的坐标，从而可表示出1MB的长，进而可判断其最值【详解】解：椭圆的左右顶点分别12(2,0),(2,0)AA−，因为点

C在椭圆上，所以设点C的坐标为(2cos,2sin)，[0,2]，对于A，1222222sin2sin2sinsin12cos22cos24cos42sin2CACAkk==

==−+−−−，所以A正确；对于B，因为112sin2cos2APCAkk==+，所以直线AP为2sin22sin2cos22cos2yx=+++，令2x=，得22sincos1y=+，所以点P的坐标为22sin(2,)cos1+，所以2sincos1OPk=+，所以1

12APOPkk=，所以B正确；对于C，因为22sin2cos2CAk=−，所以2222sin2sin2sin12cos2cos12(cos1)CAOPkk===−−+−，所以2OPAC⊥，所以C正确；对于D，直线OP为2sincos1yx=+，直

线2AC为2sin22sin2cos22cos2yx=−−−，由两直线的方程联立方程组，解得2(cos1)22sin,3cos3cosxy+==−−，所以点M的坐标为2(cos1)22sin,3c

os3cos+−−，因为1(0,2)B，所以222124(cos1)22sin2(3cos)3cosMB+=+−−−当43cos,sin55==−时，2221243

4(1)22902552744121(3)355MB+−=+−=−−所以1MB的最大值为6错误，故选：ABC【点睛】关键点点睛：此题考查直线与椭圆的位置关系，解题的关键是设出点C的坐标

为(2cos,2sin)，[0,2]，然后求出直线12,CACA的斜率，直线1CA的方程，从而可求出点,PM的坐标，再分析判断即可，属于中档题12.已知抛物线C：24yx=，过点()2,0P的直线l交C于A，B两点，O为坐标原点，

则下列说法正确的有（）A.若直线l的斜率为2，则OAB的面积为12B.AB的最小值为42C.1124PAPB+=D.若()2,0M−，则MAPAMBPB=【答案】BD【解析】【分析】联立直线与抛物线方程，根据韦达定理,结合弦长公式，即可判断ABC,利用斜率关系得0AMBM

kk+=，进而得AMPBMP=，即可判断D.【详解】若直线l的斜率为2，则直线l的方程为()22yx=−，即22yx=+，设()11,Axy，()22,Bxy，由22,24,yxyx=+=得2280yy−−=，所以122yy+=

，128yy=−，所以OAB的面积()2121212121462SPOyyyyyyyy=−=−=+−=，故A错误；由题意知，直线l的斜率不为0，设直线l的方程为2xmy=+，()11,Axy，()22,Bxy，由22,4,xmyyx=+=得

2480ymy−−=，所以124yym+=，128yy=−，所以()()()()222212121411632ABmyyyymm=++−=++24223143244224mmm=++=+−，当且仅当0m=时等号成立，故B正确；()()222221

11112221APxymyymy=−+=+−+=+，同理，可得221BPmy=+，则222112222222121211111632224111818121yyyymmAPBPmymymyymmm+−+++=+====

++++++，故C错误；()()()()()()()()12211221121212122244222222AMBMyxyxymyymyyykkxxxxxx+++++++=+==++++++()()()()()()1212121224284402222myyyymmxxxx

++−+===++++，即AMPBMP=，所以MAPAMBPB=，故D正确．故选:BD．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知nS为等差数列na的前n项和，且满足24a=，422S=，则8S=_______.【答案】92【解析】【分析】根据已知条件

求得等差数列na的首项和公差，从而求得8S.【详解】设等差数列na的公差为d，则214144622aadSad=+==+=，113ad==，所以8182892Sad=+=.故答案为：9214.已知直线(1)ykx=+截圆22(1)(1)4xy−+−=

所得两段圆弧的弧长之比为1：2，则k=__________．【答案】0或43##43或0【解析】【分析】利用圆的性质可得圆心到直线的距离为半径的一半，然后利用点到直线的距离公式即求.【详解】由22(1)(1)4xy−+−=可知圆心为()1,1C，半径为2，设直线与圆交

于A、B两点，又直线(1)ykx=+截圆22(1)(1)4xy−+−=所得两段圆弧的弧长之比为1：2，∴120ACB=，∴圆心到直线的距离为半径的一半，∴22111kk−=+，解得0k=或43k=.故答案为：0或43.15.设双曲线(

)222210,0xyabab−=的右焦点是F，左、右顶点分别是1A，2A，过点F作x轴的垂线与双曲线交于B，C两点，若12ABAC⊥，则该双曲线的渐近线的斜率为______．【答案】1【解析】【分析】不妨设点B在第一象限，得

1A，B，2A，C的坐标，再由12ABAC⊥，得120ABAC=，根据向量的数量积运算，得a，b，c的关系，从而可得答案.【详解】解：不妨设点B在第一象限，则()1,0Aa−，2,bBca，()2,0Aa，2,bCca−，

所以21,bABaca=+，22,bACcaa=−−．因为12ABAC⊥，所以120ABAC=，所以42220bcaa−−=，又222+cab=，所以整理得221ba=，所以该双曲线渐近线的斜率1bka==．故答案为：1.

16.若正方形ABCD的一条边在直线217yx=−上，另外两个顶点在抛物线2yx=上.则该正方形面积的最小值为________________.【答案】80【解析】【分析】位于抛物线上的两个顶点坐标为11(,)Cxy、22(,)Dx

y，则CD所在直线l的方程2,yxb=+联立直线和抛物线得到横坐标，1,211xb=+，由点点距公式得到2221212()()20(1)axxyyb=−+−=+，根据点线距离公式得到175ba+=，联立两式得到a的最值，进而得到面积最值.【详解】设正方形的边AB在直线217y

x=−上，而位于抛物线上的两个顶点坐标为11(,)Cxy、22(,)Dxy，则CD所在直线l的方程2,yxb=+将直线l的方程与抛物线方程联立，得21,2211.xxbxb=+=+令正方形边长为,a则2222121212()()5()20(1).axxyyxxb=−+−=−=+①在217yx

=−上任取一点（6，,5），它到直线2yxb=+的距离为17,5baa+=②.联立两式解得2123,63.80,bba===或22min1280.80.aa==故答案为80.【点睛】在处理直线和圆锥

曲线的位置关系时，往往先根据题意合理设出直线方程，再联立直线和圆锥曲线方程，但要注意“直线不存在斜率”的特殊情况，如本题中利用直线不存在斜率时探究其定点，给一般情形找到了目标.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答题应写出文字说

明、证明过程或演算步骤.17.等差数列{}na的前n项和为nS，3547aaa+=+且11020aa+=.（1）求{}na的通项公式；（2）求满足不等式32nnSa−的n的值.【答案】（1）21nan=−；（2）2，3，4.【解析】【分析】(1)设数列{}na的公差为d,再根据基本量方法求解即可

.(2)先根据等差数列的求和公式求解nS,再利用二次不等式的方法求解即可.【详解】（1）设数列{}na的公差为d,由3547aaa+=+,得112637adad+=++①.由11020aa+=,得11045100ad+=②,解得11a=,2d=,所以()1121naandn=+−

=−；（2）因为11a=,21nan=−,所以212nnaaSnn+==,由不等式32nnSa−得()23212nn−−,所以2650nn−+,解得15n,因为*nN,所以n的值为2,3,4.【点睛】本题主要考查了等差数列的基本量法运用以及求和等,属于

基础题.18.已知圆C：22240xyxym++−+=与y轴相切，O为坐标原点，动点P在圆外，过P作圆C的切线，切点为M．（1）求圆C的圆心坐标及半径；（2）求满足||2||PMPO=的点P的轨迹方程．【答案】（1）()1,2−，半径为1（

2）22332440xyxy+−+−=【解析】【分析】（1）将圆C的方程化为标准方程，根据与y轴相切求出m可得；（2）设(,)Pxy，根据已知结合距离公式可求出.【小问1详解】圆C方程可化为22(1)(2)5xym

++−=−，因为圆C与y轴相切，所以51m−=，解得4m=，,的所以圆心为()1,2−，半径为1；【小问2详解】设(,)Pxy，则22222||||||(1)(2)1PMPCMCxy=−=++−−，222||POxy=+，因为||2||PMPO=，所以22||4||P

MPO=，即()2222(1)(2)14xyxy++−−=+，化简可得点P的轨迹方程为22332440xyxy+−+−=.19.若椭圆()2222:10xyEabab+=过抛物线24xy=的焦点，且与双曲线221xy−=有相同的焦点．（1）求椭圆E的方

程；（2）不过原点O的直线:lyxm=+与椭圆E交于A，B两点，当OAB的面积为32时，求直线l的方程．【答案】（1）2213xy+=（2）2yx=+，2yx=−.【解析】【分析】（1）根据所给的条件，即可求出椭圆方程；（2）联立直线与椭圆方程，用面积公式和弦长公式即可求出m.【小问

1详解】抛物线24xy=的焦点为()0,1，双曲线221xy−=的焦点为()2,0−或()2,0，依题意可得12bc==，又222cab=−，所以23a=，所以椭圆方程为2213xy+=；【小问2详解】根

据题意，设点()11,Axy，()22,Bxy，联立直线方程与椭圆方程可得，2233xyyxm+==+，消去y得，2246330mxmxm++−=，即得1232mxx+=−，212334mxx−=，由弦长公式可得222333224123242mmABm−−=

−=−，由点到直线距离公式可得，点O到直线AB的距离即为，2211mdm==+，所以()2221122131233212222242OABSdABmmm==−=−−+=△，当且仅当22m=，即2m=时，OAB面积取得最大值为32，此时直线l的方程为2yx=.20.

已知抛物线C：y2=2px(p>0)，过抛物线的焦点F且垂直于x轴的直线交抛物线于不同的两点A，B,且||4AB=（1）求抛物线C的方程；（2）若不经过坐标原点O的直线l与抛物线C相交于不同的两点M，N,且满足OMON⊥.证明直线l过x轴上一定

点Q，并求出点Q的坐标.【答案】（1）24yx=（2）证明见解析，()4,0Q【解析】【分析】（1）由题意可得直线AB方程，进而可得2ABp=，可求得p值，即可得答案.（2）设直线l的方程为()0xmynn=+，()11,Mxy，()22,Nxy，

联立直线与抛物线，根据韦达定理，可得12yy+，12yy表达式，根据OMON⊥，可得12120xxyy+=，代入计算，即可求得n值，分析即可得答案.【小问1详解】由已知A，B两点所在的直线方程为.2px=则24ABp==，故2p=．抛物线C的方程为

24yx=．【小问2详解】由题意，直线l不与y轴垂直，设直线l的方程为()0xmynn=+，()11,Mxy，()22,Nxy，联立24xmynyx=+=，消去x，得2440ymyn−−=．216160mn=+，124yym+=，124yyn=−，OMON⊥，1212

0xxyy+=，又2114yx=，2224yx=，22121216yyxx=222121212124016yyxxyyyynn+=+=−=，解得0n=或.4=n而0n，4(n=此时216640)m=+直线l的方程为4xmy=+，故直线l过定点()4,0Q．21.已知双曲线2222

:1(0,0)xyCabab−=的虚轴长为4，直线20xy−=为双曲线C的一条渐近线.（1）求双曲线C的标准方程；（2）记双曲线C的左、右顶点分别为,AB，过点(2,0)T的直线l交双曲线C于点,

MN(点M在第一象限)，记直线MA斜率为1k，直线NB斜率为2k，求12kk的值.【答案】（1）2214yx−=；（2）13−.【解析】【分析】（1）由虚轴长为2b，和渐近线方程为byxa=，求得a和b的值，即可；（2）设直线l的方程为2xny=+，将其与双曲

线的方程联立，得到关于y的一元二次方程，再结合韦达定理和直线的斜率公式，计算12kk的值，即可．【小问1详解】∵虚轴长为4，∴24b=，即2b=，∵直线20xy−=为双曲线C的一条渐近线，∴2ba=，∴1a=，故双曲线C的标准方程为2214yx−=.【小

问2详解】由题意知，(1,0)A−，(1,0)B，由题可知，直线l斜率不能为零，故可设直线l的方程为2xny=+，设()11,Mxy，()22,Nxy，联立22142yxxny−==+，得2

2(41)16120nyny−++=，212216410,0,41nnyyn−+=−−，1221241yyn=−，12123()4nyyyy=−+，直线MA的斜率1111ykx=+，直线NB的斜率2221ykx=−，11211112121222112212223()1(1)143(

3)33()341yyyykxynynyyyykynynyyyyyyx−+++++=====−++−++−．22.已知如图椭圆221:14xCy+=的左右顶点为1A、2A，上下顶点为1B、2B，记四边形1122ABAB

的内切圆为2C．（1）求圆2C的标准方程；（2）已知P为椭圆1C上任意一点，过点P作圆2C的切线分别交椭圆1C于M、N两点，试求三角形PMN面积的最小值．【答案】（1）2245xy+=；（2）85.【解析】【详解】（1）因为2A、1B分别为椭圆221:14x

Cy+=的右顶点和上顶点，则2A，1B坐标分别为(2,0),(0,1)，可得直线21AB方程为：22xy+=，则原点O到直线21AB的距离为222512d==+，即圆2C的半径25rd==，故圆2C标准方程为2245xy+=．（2）设直线PM方程为1mxny+=，由

直线PM与圆2C相切，可知原点O到直线PM距离22125dmn==+，整理可得2254mn+=，将直线PM方程代入椭圆1C可得222()4xymxny+=+，整理即有()222448410yynmnmxx−++−=，则2212221241411544444yymmxxnm−−=

==−−−−，的即1OPOMkk=−，故OPOM⊥．同理OPON⊥，故M、O、N三点共线，则2||||PMNOPMSSOPOM==．设:OPykx=代入椭圆方程可得22214xkx+=，则22414

xk=+，故()()222222241114kOPxykxk+=+=+=+，同理()22222141414114kkOMkk+−+==++−，则()()22222211144544141kkOPOMkk+++=+=++，则2251124||||OPOMOPO

M=+，得8||||5OPOM，则85PMNSOPOM=△，当且仅当2105OPOM==时等号成立，故三角形PMN面积的最小值为85．获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue

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