【文档说明】浙江省宁波市余姚中学2019-2020学年高一下学期期中考试数学试题析【精准解析】.doc，共(18)页，1.517 MB，由小赞的店铺上传

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余姚中学2019学年第二学期高一期中测试卷数学学科试卷一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.直线31yx=−+的倾斜角为（）A.30°B.60C.120D.150【答案】C【解析】【

分析】由直线的斜率，可直接求出其倾斜角.【详解】因为直线31yx=−+的斜率为ktanα3==−，所以α120=.故选C【点睛】本题主要考查直线的倾斜角，熟记概念即可，属于基础题型.2.若0ab，则下列不等式不能成立的是（）A.11abB.11

aba−C.|a|>|b|D.22ab【答案】B【解析】【分析】根据不等式的性质对选项逐一判断即可.【详解】选项A：由于0ab，即0ab，0ba−，所以110baabab−−=，所以11

ab，所以成立；选项B：由于0ab，即0ab−，所以110()babaaab−=−−，所以11aba−，所以不成立；选项C：由于0ab，所以0ab−−，所以||||ab，所以成立；选项D：由

于0ab，所以0ab−−，所以||||ab，所以22ab，所以成立.故选：B.【点睛】本题考查不等关系和不等式，属于基础题.3.一元二次不等式220axbx++的解集是11,23−，则+a

b的值是（）A.10B.-10C.14D.-14【答案】D【解析】【分析】根据题意，由不等式的解集分析可得方程220axbx++=的两根为12−和13，由根与系数的关系分析可得112311223baa−+=−−=

，解可得a、b的值，将其值相加即可得答案．【详解】解：根据题意，一元二次不等式220axbx++的解集是11,23−，则方程220axbx++=的两根为12−和13，则有112311223baa−+=−−=，解可得12

a=−，2b=−，则14ab+=−，故选：D．【点睛】本题考查一元二次不等式的解法，注意一元二次不等式的解集与一元二次方程的根之间的关系，属于基础题．4.若对任意xR，不等式||xax恒成立，则实数a的取值范围是（）．A.1a−B.||1aC.||1aD.1a【答

案】B【解析】【分析】利用绝对值的性质，进行分类讨论求解即可.【详解】当0x=时，不等式||xax恒成立，此时有aR；当0x时，||1xaxxaxa；当0x时，||1xaxxaxa−−

，综上所述：实数a的取值范围是11a−，即||1a.故选：B【点睛】本题考查了已知不等式在实数集上恒成立求参数取值范围问题，考查了分类讨论思想，考查了数学运算能力.5.已知不等式2440mxmx+−对任意实数x恒成立．则m取值范围是（）A.(－1，0)B.[－1，0]C

.(,1)(0,)−−+D.(－1，0]【答案】D【解析】【分析】若0m=则40−成立；若0m，根据二次函数的图象与性质列出不等式组求解即可.【详解】①若0m=，则40−成立；②若0m，则2001016160mmmmm

−=+.综上所述，(1,0]m−.故选：D【点睛】本题考查不等式恒成立问题、二次函数的图象与性质，属于基础题.6.已知正实数x，y，且满足41xy+=，则xy的最大值为（）A.14B.18C.116D.132【答案】C【解析】【分析】利用均值不等式，有4

24xyxy+，即116xy，即得解【详解】由题意，正实数x，y，41xy+=根据均值不等式，424xyxy+，当且仅当142xy==时等号成立241xy116xy故xy的最大值为116

故选：C【点睛】本题考查了均值不等式在最值问题中的应用，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算能力，属于基础题7.已知ABC的三个内角A、B、C．若sin3cos5tan6cos3sinAAAA+=−，则sinsinBC的最大值为（）A.34B.1

C.12D.2【答案】C【解析】【分析】由sin3cos5tan6cos3sinAAAA+=−可得角2A=，所以1sinsinsinsin()sincossin222BCBBBBB=−==，从而可求出其最大值.【详解】解：因为sin3cos5

tan6cos3sinAAAA+=−，所以sin3cos53tan63cos3sinAAAA+==−−，整理得cos0A=，因为(0,)A，所以2A=，所以1sinsinsinsin()sincossin222BCBBBBB=−==，

因为2(0,)B，所以sinsinBC的最大值为12，故选：C【点睛】此题考查了同角三角函数的关系，正弦的二倍角公式，属于基础题.8.已知等差数列{}na的公差0d，前n项和为nS，则对正整数m，下列四个结论中:(1)232mmmmmSSSSS−−、、成等差数列，也可能成等

比数列；(2)232mmmmmSSSSS−−、、成等差数列，但不可能成等比数列；(3)23mmmSSS、、可能成等比数列，但不可能成等差数列；(4)23mmmSSS、、不可能成等比数列，也不叫能成等差数列.正确的是()A.(1)(3)B.(1)(

4)C.(2)(3)D.(2)(4)【答案】D【解析】试题分析：根据等差数列的性质，22mmmSSSmd−=+，2322mmmSSSmd−=+，2222242242232()()2(2)()mmmmmmmmmmSSSmdSmdSmdSSmdmdSSS−=+=++=++−，因此(1)错误，(2)正

确，由上显然有232mmmmSSSS−−，222mmSSmd=+，2333mmSSmd=+，223mmmSSS−=2242224213()024mmmSmdSmdSmdmd++=++，故(3)错误，(4)正确．即填(2)(4)．考点：等差数列的前n项和，等差数列与等比数列的定义

．9.已知圆1C:22(1)(6)25xy++−=，圆2C:222(17)(30)xyr−+−=．若圆2C存在一点P，使得过点P可作一条射线与圆1C依次交于A、B两点，且满足||2||PAAB=，则半径r的取值范围是（）A.

[5，55]B.[5，50]C.[10，50]D.[10，55]【答案】A【解析】【分析】求出两个圆的圆心距，画出示意图，利用已知条件判断半径r的取值范围即可.【详解】解：圆1C：22(1)(6)25xy++−=

的圆心为()1,6−，半径为5.圆2C:222(17)(30)xyr−+−=的圆心为()17,30，半径为r.两个圆的圆心距为()()2217130630++−=.如图：因为||2||PAAB=，可得||AB的最大值为直径，此时220CA=，0r.当半径扩大到55时，此时圆2C上只有一点到1

C的距离为25，而且是最小值，半径再扩大，就不会满足||2||PAAB=.故选：A.【点睛】本题主要考查两个圆的位置关系，直线与圆的综合应用，属于中档题.10.在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且BC边上的高为36a，则cbbc

+的最大值是（）A.8B.6C.32D.4【答案】D【解析】22bcbccbbc++=，这个形式很容易联想到余弦定理：cosA2222bcabc+−=，①而条件中的“高”容易联想到面积，131262aa=bcsinA，即a2＝23bcsinA，②将②代入①得：b2＋c2＝2bc(c

osA＋3sinA)，∴bccb+＝2(cosA＋3sinA)＝4sin(A＋6)，当A＝3时取得最大值4，故选D．点睛：三角形中最值问题，一般转化为条件最值问题:先根据正、余弦定理及三角形面积公式结合已知条件灵活转化边和角之间的关系

，利用基本不等式或函数方法求最值.在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，

否则会出现错误.二、填空题．11.经过(0,1)P−作直线l，若直线l与连接(3,0)A，(2,1)B的线段总有公共点，则直线l的斜率和倾斜角的取值范围分别为________；________．【答案】(1).3,13(2).,64【解析】【分析】根据直线的斜率公

式2121yykxx−=−，求出直线AP,BP的斜率，结合斜率与倾斜角的关系tank=，即可求解.【详解】由斜率公式可得，()013330APk−−==−,()11120BPk−−==−,故直线l的斜率

的取值范围为3,13，由斜率与倾斜角的公式可得，直线AP的倾斜角为6，直线BP的倾斜角为4，故直线l的倾斜角的取值范围为,64.故答案为：3,13；,64【点睛】本题主要考查直线

的倾斜角与斜率，属于基础题.12.已知直线1l:60xmy++=，2l:(2)320mxym−++=，当12//ll时，m的值为____；当12ll⊥时，m的值为________．【答案】(1).1−(2).12【解析】【分析】由于12//ll可得(2)3mm−=且3(2)mm−，从而可求

出m的值；由12ll⊥可得(2)30mm−+=，从而可求出m的值.【详解】解：因为1l:60xmy++=，2l:(2)320mxym−++=，且12//ll，所以(2)3mm−=且3(2)mm−，解得1m=−；当12

ll⊥时，(2)30mm−+=，解得12m=故答案为：1−；12【点睛】此题考查两直线平行、垂直的条件，属于基础题.13.数列na中，前n项和为nS．若12a=，23a=，12nnnaaa−−=（*Nn，3n），则2020a=________；20S=________．【答案】(1

).12(2).29【解析】【分析】根据12a=，23a=，12nnnaaa−−=（*Nn，3n），往后列举，可得到数列na周期6T=，由2020336644aaa+==，1234568aaaaa

a+++++=，201238+Saa=+，即得解【详解】由题意，12a=，23a=，12nnnaaa−−=（*Nn，3n），3567243456781234563112=====2=3...2233aaaaaaaaaaaaaaaaaa======，，，，，，故数列na为周期6T=的

周期数列202033664412aaa+===由于12345631122382233aaaaaa+++++=+++++=故201238+29Saa=+=故答案为：12，29【点睛】本题考查了数列周期性的应

用，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算能力，属于中档题14.在数列na中，112a=，12141nnaan+−=−，则该数列的通项公式na=________；数列na中最小的项的值为________．【答案】(1).434

2nn−−(2).12【解析】【分析】对12141nnaan+−=−裂项，利用累加法即可求出数列na的通项公式，根据数列与函数的关系即可判断数列的单调性，进一步可求解最小的项的值.【详解】由题意知，121111

4122121nnaannn+−==−−−+.当2n时，()()()11221111111111112232122523232111431.221242nnnnnaaaaaaaannnnnnn−−−=−+−++−+=−+−++−+−−

−−−=−+=−−当1n=时，也满足该式，故该数列的通项公式na=4342nn−−；由11112212nan=−+−，结合反比例函数的单调性可知当1n时，数列na为单调递增数列，故数列na中最小的项的值为11

2a=.故答案为：4342nn−−；12【点睛】本题主要考查累加法求数列的通项公式及数列的单调性的判断，考查裂项的技巧，属于基础题.15.过直线240xy−+=和20xy+−=的交点，且过点()2,1−的直

线l的方程为________．【答案】3240xy+−=【解析】【分析】求出直线240xy−+=和20xy+−=的交点为()0,2，由直线l过()0,2和()2,1−，求出其斜率，进而求得直线的方程即可.【详解】解：由240{20xyxy−+=+−=得02x

y==，所以直线240xy−+=和20xy+−=的交点为()0,2.因为直线l过()0,2和()2,1−，所以直线l的斜率123202k−−==−−.所以直线l的点斜式方程为322yx−=−，化为一般式为：3240xy+−=.故答案为：3240xy+−=.【点睛】

本题主要考查直线的方程，考查学生的计算能力，属于基础题.16.已知数列na的通项公式为11nan=+，前n项和为nS，若对任意的正整数n，不等式216nnmSS−恒成立，则常数m所能取得的最大整数为.【答案】5【解析】试题分析：2(1)1()n

nSS++−211111111()022232222422224nnSSnnnnnnnn−−=+−+−=−++++++++，所以22113nnSSSS−−=，所以1161633mm，m所能取得的最大整数为5.考点：数列.17.在平面直角坐

标系xOy中，若动点(,)Pab到两直线1:lyx=和2:1lyx=−+的距离之和为22，则22ab+的最大值是________.【答案】18【解析】试题分析：动点(,)Pab到两直线1l和2l的距离之和为

22222abab−+−+=即24abab−++−=，设,2abmabn−=+−=，则4mn+=，222222222111[()()][(2)][(2)(4)]2410222abababnmnnnnn+=++−=++=++−=+−+22210,04{610,40nnnnnn−+=++−

，若04n，当4n=时，22ab+取得最大值为18，若40n−，当0n=时，22ab+取得最大值为10，综上可知，当点P在(3,3)时，22ab+取得最大值为18.考点：点到直线的距离和二次函数的应用.三、解答题：解答应写出文字

说明、证明过程或演算步骤．18.在ABC中，角,,ABC的对边分别为,,abc，且,,ABC成等差数列（1）若23,2bc==，求ABC的面积（2）若sin,sin,sinABC成等比数列，试判断ABC的形状【答案】（1）23（2）见解析【解析】【详

解】试题解析：（1）由A，B，C成等差数列，有2B=A+C（1）因为A，B，C为△ABC的内角，所以A+B+C=π．（2）得B=b2=a2+c2-2accosB所以解得或（舍去）所以（2）由a，b，c成等比数列，有b2=ac（4）由余弦定理及（3），可得b2=a2+c2-

2accosB=a2+c2-ac再由（4），得a2+c2-ac=ac，即（a-c）2=0因此a=c从而A=C（5）由（2）（3）（5），得A=B=C=所以△ABC为等边三角形．19.已知数列na的首项11a=，且满足()()*1110nnnaaanN++−+=.

（1）求数列na的通项公式；（2）设3nnnca=，求数列nc的前n项和nS.【答案】（1）1nan=；（2）()1213344nnnS+−=+.【解析】【分析】(1)由已知满足()()*1110nnnaaanN++−+=整理得1111nnaa

+-=,利用等差数列的通项公式即可得出结果.(2)由(1)知:33nnnncna==再利用错位相减法与等比数列的前n项和公式即可得出.【详解】解：（1）因为()()*1110nnnaaanN++−+=,整理得

1111nnaa+-=，所以数列1na是以首项为1，公差为1的等差数列，所以()111nnna=+−=，所以1nan=.（2）由（1）知，3nncn=，23132333...3nnSn=+

+++，①()23413132333...133nnnSnn+=++++−+，②①－②有2312333...33nnnSn+−=++++−，解得：()1213344nnnS+−=+.【点睛】本题考查等差数列的证明,考查错位相减法在数列求和中的应用,难度较易.20.

已知直线l:2310xy−+=，点(1,2)A−−．（1）求点A关于直线l的对称点B的坐标；（2）直线l关于点A对称的直线m的方程；（3）以A为圆心，3为半径长作圆，直线n过点(2,2)M，且被圆A截得的弦长为27，求直线n的方程．【答案】（1）334(,)1313−B；（2）

2390xy−−=；（3）12301023077yx++=−或12301023077yx−−=−.【解析】【分析】（1）设点(,)Bmn，由,AB关于直线l对称，列出方程，解得,mn，得到点B的坐标；（2）设(,)Pxy是

直线m上任意一点，则点P关于点A的对称点在直线l，用代入法可求得直线m的方程；（3）用垂径定理将弦长为27，转化为圆心A到直线n的距离为2，设出直线n的方程，用点到直线的距离公式求解，注意考虑直线n斜率不存在时是否符合题意.【详解】解：（1）设点(,)Bmn，则2211312231

022nmmn+=−+−−−+=，解得：3313413xy=−=即点A关于直线l的对称点B的坐标为334(,)1313−.（2）设(,)Pxy是直线m上任意一点，则点(,)Pxy关于点(1,2)A−−的对称点(2,4)Cxy−−−−在直线l上，所

以2(2)3(4)10xy−−−−−+=，即2390xy−−=．（3）设圆心A到直线n的距离为d，直线n被圆A截得的弦长为27，因此972d=−=，当直线l斜率不存在时，2x=不满足条件；当直线l斜率存在时，设其方程为(22)ykx−=−，则2|34|21kk−=+，解得12

307k=，综上，直线l的方程为12301023077yx++=−或12301023077yx−−=−．【点睛】本题考查了点关于直线的对称点、直线关于点的对称直线的问题，还考查了直线与圆相交的弦长问题，属于中档题.21.如图，在等腰直角OPQ中，0

90POQ=，22OP=，点M在线段PQ上.(Ⅰ)若5OM=，求PM的长；（Ⅱ）若点N在线段MQ上，且030MON=，问：当POM取何值时，OMN的面积最小？并求出面积的最小值.【答案】(Ⅰ)1MP=或3MP=（Ⅱ）当30POM=时，OMN的面积的最小值为843

−【解析】【详解】解:(1)在△OMP中,∠OPM=45°,OM=5,OP=25,由余弦定理得,OM2=OP2+MP2-2OP·MP·cos45°,得MP2-4MP+3=0,解得MP=1或MP=3.(2)设∠POM=α,0°≤α≤60°

,在△OMP中,由正弦定理,得sinOMOPM=sinOMOPM,所以OM=()sin45sin45+OP。。,同理ON=()sin45sin45+OP。。.故S△OMN=12OM·ON·sin∠MON=12×()()22sin45s

in45+sin75+OP。。。=()()1sin45+sin45+30+。。。=()()()131sin45+sin45+cos45+22+。。。=()()()2131sin45+sin45+cos45+22+。。。=()()1311cos90+2

sin90+244−+。。=1331sin2cos2444++=()131sin23042++。.因为0°≤α≤60°,30°≤2α+30°≤150°,所以当α=30°时,sin(2α+30°)的最大值为1,此时△OMN的面积取到最小值.即∠PO

M=30°时,△OMN的面积的最小值为8-43.22.已知ABC中，||||1ABAC==，12ABAC=uuuruuur，1P为AB边上的一点，123BPAB．从1P向BC作垂线，垂足是1Q；从1Q向CA作垂线，垂足是1R；从1R向AB作垂线，

垂足是2P，再由2P开始重复上述作法，依次得2Q、2R、3P；3Q、3R、4P（Ⅰ）令nBP为nx，用nx表示1nx+；（Ⅱ）若0P为AB边上的一点且023BP=，是否存在正整数m，对于任意1P使得点0P与mP之间的距离小于0.001？若存在，求m的最小值；若

不存在，说明理由．【答案】（Ⅰ）13148nnxx+=−；（Ⅱ）存在，4.【解析】【分析】（Ⅰ）根据题意，得出ABC为边长为1的正三角形，由nnBPx=，结合图形特征，得到112nnCQx=−，进一步整理得出13148nnBPx+=−，从而得到13148nnxx+=−；（Ⅱ）110122111

33838mmmmPPxx−−=−=−=，根据题意，得出不等关系，整理得出110.0038m−，从而求得4m≥，得到m的最小值.【详解】（Ⅰ）由||||1ABAC==，12ABAC=uuuruuur得：60BAC

=，从而ABC为边长为1的正三角形，由nnBPx=，于是1cos602nnnBQBPx==，∴112nnCQx=−，同理11cos60122nnnCRCQx==−，1111112224nnnARxx=−−=+，又1111cos60224nnnAPA

Rx+==+，111131122448nnnBPxx+=−+=−，即13148nnxx+=−，（Ⅱ）11012211133838mmmmPPxx−−=−=−=，由1101221110.00133838mmmmPPxx−−=−=−=

，所以110.0038m−，即1100083m−，当4m=时，1200083m−，∴4m≥，即m的最小值为4．