【文档说明】江西省新余市第一中学2019-2020学年高一下学期第二次月考数学试题【精准解析】.doc，共(22)页，1.807 MB，由小赞的店铺上传

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新余一中2019-2020高一年级第二次段考数学答案一、单选题1.若点P(m，n)(m≠0)为角600终边上一点，则nm等于（）A.33B.3C.32D.12【答案】B【解析】【分析】利用任意角的三角函数的定义及诱导公式可求得tan600nm=.【详解】∵

tan600nm=，又()tan600tan180360tan603=+==，∴nm=3.故选：B．【点睛】本题考查任意角的三角函数的定义及诱导公式，属于容易题．2.已知向量()cos,sina=，()0,1b=−，π0,2，则向量a与向量b的夹角为（

）A.π−B.π2−C.π2+D.【答案】C【解析】【分析】由题意，根据向量夹角公式的坐标表示，得到cos,sin=−ab，即可得出结果.【详解】因为()cos,sina=，()0,1b=−，所以()222si

ncos,sincossin01==−++−−ab，又π0,2，所以,2ab=+.故选：C【点睛】本题主要考查求向量的夹角，熟记向量夹角公式即可，属于常考题型.3.《周脾算经》有记载：一年有二十四个节气，每个节气晷（gui）长损益相同，晷是按照日影

测定时刻的仪器，晷长即所测定的影子的长度，二十四节气及晷长变化如图所示，相邻两个节气晷长变化量相同，周而复始，若冬至晷长最长是一丈三尺五寸，夏至晷长最短是一尺五寸，（一丈等于10尺，一尺等于10寸），则秋分节气的晷长是（）A.七尺五寸B.二尺五寸C.五尺五寸D.四尺五寸【答案】A【解析】

【分析】由题意从夏至到秋分到冬至的过程中晷长为等差数列，设为{}na，则夏至晷长为首项，冬至晷长为第13项，利用等差数列的通项公式即可得出．【详解】由题意从夏至到秋分到冬至的过程中晷长为等差数列，设为{}na.则11

5a=，13135a=,则公差131135151013112aad−−===−.秋分晷长为716156075aad=+=+=.所以秋分节气的晷长是七尺五寸故选：A．【点睛】本题考查了等差数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．4.为了得到函数2sin36xy=+，

xR的图像，只需把函数2sinyx=，xR的图像上所有的点（）A.向右平移6个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变）B.向左平移6个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（

纵坐标不变）C.向右平移6个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的13倍（纵坐标不变）D.向左平移6个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的13倍（纵坐标不变）【答案】B【解析】【分析】根据三角函数图象的平移变换和伸缩变换求解.【详解】把函数2sinyx=向左平移6

个单位长度，得到2sin6yx=+，再把所得各点的横坐标伸长到原来的3倍（纵坐标不变）得到2sin36xy=+.故选：B【点睛】本题主要考查三角函数的图象变换，还考查了数形结合的思想方法，属于中档题.5.已知点()4,

1A和坐标原点O，若点(),Bxy满足1133xyxyxy−−+−，则OAOB的最大值是（）A.11B.4C.1D.1−【答案】A【解析】【分析】设4zOAOBxy==+，作出不等式组所表示的可行域，平移直线4z

xy=+，找出使得直线4zxy=+在y轴上截距最大时对应的最优解，代入目标函数计算即可.【详解】设4zOAOBxy==+，作出不等式组1133xyxyxy−−+−所表示的可行域如下图所示：联立10330xyxy−

+=−−=，解得23xy==，即点()2,3A，平移直线4zxy=+，当该直线经过可行域的顶点A时，直线4zxy=+在y轴上的截距最大，此时z取最大值，即max42311z=+=.故选：A.【点睛】本题考查线性目标函数的最值，

一般通过平移直线找出最优解，考查数形结合思想的应用，属于基础题.6.若(sin)4cos2fxx=+，则(cos)fx=（）A.4cos2x+B.4cos2x−C.4sin2x−D.4sin2x+【答案】

B【解析】【分析】用诱导公式转化．【详解】(cos)[sin()]4cos2()42cos(2)42cos222fxfxxxx=−=+−=+−=−．【点睛】本题考查求函数解析式，掌握诱导公式是解题关键．本题也可以先求

出()fx，再求解．7.设等比数列na的前n项和为nS，若39S=，636S=，则789(aaa++=)A.144B.81C.45D.63【答案】B【解析】【分析】根据等比数列性质，得到关于3S，63SS−，96SS−的新等比数列，求解出公比后，求出96SS−的值即可．【详解】由等比数列性质

可知：3S，63SS−，96SS−，……成等比数列，设公比为q由题意得：6336927SS−=−=2739q==7899627381aaaSS++=−==本题正确选项：B【点睛】解决本题的关键在于根据等比数列的性质得到：232,,,kkkkkSSSSS--鬃?依然成等比数列，

从而快速求解此题．本题也可以利用等比数列的基本项1a和q来进行求解，但计算量较大．8.设点M是线段BC的中点，点A在直线BC外，若2BC=，ABACABAC+=−，则AM=（）A.12B.1C.2D.4【答案】B【解析】【分析

】||||ABACABAC+=−两边平方，可得0ABAC=，即ABAC⊥，利用直角三角形斜边中线与斜边长度的关系，即可求出||AM.【详解】||||ABACABAC+=−，两边平方得，222222ABABA

CACABABACAC++=−+，0,ABACABAC=⊥，M是线段BC的中点，1||||12AMBC==.故选:B【点睛】本题考查向量的模长以及向量的数量积运算，属于基础题.9.已知函数()cos26=−fx

x，把()yfx=的图象向左平移6个单位得到函数()gx的图象，则下列说法正确的是（）A.332=gB.()gx的图像关于直线2x=对称C.()gx的一个零点为,03D.()gx的一个单调减区间为5,121

2−【答案】D【解析】【分析】先把()fx变为()cos26fxx=−，根据平移得到()gx的解析式，从而可以讨论()gx的相关性质.【详解】()cos2cos2666gxxx=+−=+，所以5

3cos362g==−，故A不正确，令2,6xkkz+=，故对称轴方程为,212kxkz=−，故B错，令2,62xkkz+=+，故对称中心的横坐标为,26kxkz=+，故C错，因5,

1212x−，故20,6ux=+，因cosyu=在0,上是减函数，故()cos26fxx=−在5,1212−上是减函数，故D正确.综上，选D.【点睛】（1）平移变换有“左加右减”（水平方向的平移），注意是对自变量x做加减

，比如把()yfx=−的图像向右平移1个单位后，得到的图像对应的解析式为()()11yfxfx=−−=−+．（2）形如()()sin2fxAxB=++的正弦型函数，可根据复合函数的讨论方法求

该函数的单调区间、对称轴方程和对称中心等．10.如图，在三角形OPQ中，M、N分别是边OP、OQ的中点，点R在直线MN上，且(,)ORxOPyOQxyR=+，则代数式2212xyxy+−−+的最小值为（

）A.24−B.32−C.24D.32【答案】C【解析】【分析】本题首先可设λμOROMON=+并得出1+=，然后根据M、N分别是边OP、OQ的中点得出12xy+=，最后将12yx=-代入2212xyxy+−−+中并化简，即可得出结果.【详解】因为点R、M、

N共线，所以设λμOROMON=+，其中1+=，因为M、N分别是边OP、OQ的中点，所以11λμλμ22OROMONOPOQ=+=+，111λμ222xy+=+=，12yx=-，则222211112222

xyxyxxxx骣骣琪琪+--+=+----+琪琪桫桫，221112224484xxx骣琪=-+=-+?琪桫，故当14x=时，2212xyxy+−−+最小，最小值为24，故选：C.【点睛】本题考查向量的共线定理，主要考查平面向量的三点共线定理，考查通过配方法求最值，考查计算能力，

考查化归与转化思想，是中档题.11.在平面直角坐标系xOy中，已知向量10ababab===、，，，点Q满足()2OQab=+，曲线1CPOP==，区域|0，，=PrPQRrR若C为

两段分离的曲线，则（）A.13rRB.13rRC.13rRD.13rR【答案】A【解析】【分析】不妨设(1,0),(0,1)ab==，由1CPOP==，所以点P的轨迹表示一个单位圆，又由|0PrPQRrR=，表示的平面

区域为：以Q为圆心，内径为r外径为R的圆环，根据C为两端分离的曲线，则单位圆与圆环的内外均相交，利用圆与圆的位置关系，即可求解．【详解】由题意，平面直角坐标系xOy中，已知向量10ababab===、，，，不妨设(1,0),(0,1)ab==，则()2(2,2)OQab=+=，由1CPOP

==，所以点P的轨迹表示一个单位圆，又由|0PrPQRrR=，表示的平面区域为：以Q为圆心，内径为r外径为R的圆环，若C为两端分离的曲线，则单位圆与圆环的内外均相交，所以11OQrROQ−

+，因为2OQ=，所以13rR．故选A．【点睛】本题主要考查了平面向量在几何问题中的应用，其中根据已知条件得到点P的轨迹，以及|0PrPQRrR=，所表示的平面区域，结合圆与圆的位置关系求解是解答的关键，着重考

查了转化思想，以及推理与运算能力，属于中档试题．12.将函数()3cos3fxx=−的图象上的所有点的横坐标缩短为原来的12，纵坐标不变，再把所得的图象向左平移3个单位长度，然后再把所得的图象向下平移1个单位长度，得到函数()gx的图象，若()()1216

gxgx=，且12,2,2xx−，则122xx−的最大值为（）A.133B.103C.52D.256π【答案】A【解析】【分析】根据三角函数平移变换,先求得()gx的解析式.根据()()1216gxgx=,可知()()124gxgx==−,即

12cos21,cos2133xx+=−+=−.根据12,2,2xx−可分别求得12x的最大值和2x的最小值,即可求得122xx−的最大值.【详解】根据平移变换将函数()3cos3fxx

=−的图象上的所有点的横坐标缩短为原来的12,纵坐标不变,再把所得的图象向左平移3个单位长度,然后再把所得的图象向下平移1个单位长度,可得()3cos213gxx=+−由()()1216gxgx=,可知()()

124gxgx==−即12cos21,cos2133xx+=−+=−12,2,2xx−所以12111311132,,2,333333xx+−+−123x+的最大值为3,2

23x+的最小值为3−则12x的最大值为83,2x的最小值为53−所以122xx−的最大值为8513333−−=故选:A【点睛】本题考查了三角函数图象的平移变换,三角函数性质的综合

应用,利用函数的最值求参数的取值情况,属于难题.二、填空题13.已知数列na为等差数列，若159aaa++=，则()28cos+aa的值为_______．【答案】12−【解析】【分析】先利用等差数列的性质求出53a=，进而得2823aa+=，再代入所求即可．【详解】因为

na为等差数列，且159aaa++=，由等差数列的性质得53a=，所以2823aa+=，故()2821coscos32aa+==−.故答案为：12−.【点睛】本题主要考查等差数列性质的应用

．属于较易题.14.已知正项等比数列na满足28516aaa=，3520aa+=，若存在两项ma，na，使得32=mnaa，则14mn+的最小值为________．【答案】34【解析】【分析】先计算12nna-=，根据32=mnaa得到12mn+=，再

利用均值不等式得到1434mn+.【详解】正项等比数列na2285551616aaaaa==?353204aaa+==12nna−=210322212mnmnaamn+−==+=144()()1414

24531212124nmmnmnmnmn+++++++===当8,4nm==时等号成立.故答案为34【点睛】本题考查了数列的通项公式，均值不等式，综合性强，意在考查学生对于数列方法和均值不等式的综合应用.15

.已知平面向量a与b的夹角为锐角，4a=，2b=，且bta+的最小值为3，若向量c满足()()•0cacb−−=，则cv的取值范围为__________．【答案】73,73−+【解析】【分析】根据bt

a+的最小值为3可知,ab的夹角为π3，画出向量对应的平面图形，建立平面直角坐标系，求得,ab两点的坐标，设出c的坐标，代入()()•0cacb−−=，求得c坐标满足的方程，根据这个方程对应的曲线是圆，由圆上

的点和原点的距离的最大值和最小值，求得cr的取值范围.【详解】画出图像如下图所示，其中ODBD⊥，设,aOAbOB==.由于bta+的最小值为3，根据向量加法的几何意义可知3OD=,而2OB=，故π3=OBD，3

OD=.以O为坐标原点，,OAOD分别为,xy轴建立如图所示的平面直角坐标系，()()4,0,1,3ab==，设(),cxy=.由于()()•0cacb−−=，即()()4,1,30−−−=xyxy，化简得2253322

−+−=xy，即c对应的点在以53,22为圆心，半径为3的圆上，而cr表示圆上的点到原点的距离.圆心到原点的距离为2253722+=，故cr的取值范围是73,7

3−+.【点睛】本小题主要考查平面向量的坐标运算，考查平面向量加法的几何意义，考查建立平面直角坐标系的方法研究向量模的取值范围，考查化归与转化的数学思想方法、考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.解题的关

键点在于将c的坐标满足的方程转化为圆的方程，将模的为题转化为圆上的点到原点距离来求解.16.给出以下五个结论：①函数sin3yx=+是偶函数；②当0,2x时，函数()2cos26fxx=+的值域

是2,3−；③等差数列{}na的前n项和为nS，若633SS=，则12953SS=；④已知定义域为R的函数()sincossincos22xxxxfx−+=−，当且仅当()222kxkkZ+时，(

)0fx成立.⑤函数224()sin(,)sinfxxxkkZx=+的最小值4；则上述结论中正确的是______（写出所有正确结论的序号）．【答案】②③④【解析】【分析】利用特殊值代入①中的解析式即可判断①；根据函数单调性及自变量取值范围，可判断②；讨论

sincosxx−的符号去绝对值，即可判断④；换元得()gt，利用函数单调性即可判断⑤.【详解】当3x=与3x=−时，代入①中的解析式所得函数值不相等，所以①错误；当0,2x时，72,

666x+，由余弦函数图象可知()2cos26fxx=+的值域是2,3−，所以②正确；设12366391295,3,2,6,S10,3SSaSaSSaSaaS==−====，故③正确；当sincos0xx−时，()si

ncossincoscos22xxxxfxx+−=−=，当()2242kxkkZ++时，()0fx；当sincos0xx−时，()sincoscossinsin22xxxxfxx+−=−=，当()224kxkkZ+时，(

)0fx，综上，()222kxkkZ+时，()0fx，所以④正确.⑤设2244sin,(01),()()10txtgttgttt==+=−，，所以函数g(t)在(0,1上

单调递减，所以函数的最小值为g(1)=5，所以该命题是假命题.故答案为：②③④.【点睛】本题主要考查了三角函数图象与性质的综合应用，三角函数定义域与值域的求法，数列和函数最值问题.属于较难题.三、解答题17.已知向量(),3a=，()2,4b=−.（1）

若()2abb+⊥，求；（2）若4=，求向量a在b方向上的投影cosa（其中是a与b的夹角）【答案】（1）11=；（2）255.【解析】试题分析：（1）利于垂直数量积为0求解即可；（2）利用向量数量

积的几何一意义求解即可.试题解析：（1）∵(),3a=，()2,4b=−，∴()222,10ab+=−，又()2abb+⊥，∴()20abb+=，∴()()2224100−−+=，∴11=.（2）由4=，可知()4,3a

=，()2,4b=−，∴4ab=，25b=，∴425cos525abab===.18.建设生态文明，是关系人民福祉，关乎民族未来的长远大计.某市通宵营业的大型商场，为响应节能减排的号召，在气温超

过28℃时，才开放中央空调降温，否则关闭中央空调.如图是该市夏季一天的气温（单位：℃）随时间（t024，单位：小时）的大致变化曲线，若该曲线近似的满足函数()()sin0,0,yAtbA=++关系.（1）求函数()yfx=的表达式；（2）请根据（1）的结论

，判断该商场的中央空调应在本天内何时开启？何时关闭？【答案】（1）()()2248sin024123fttt=+−（2）上午10时开启，下午18时关闭.【解析】【分析】（1）根据函数图象可知周期T，进而根据2T=求得的值；结合函数的最大值

和最小值，可求得A，代入最低点坐标()216,，即可求得，进而得函数()ft的解析式．（2）根据题意，令2248sin28123t+−，解不等式，结合t的取值范围即可求得开启和关闭中央空调时间．【详解】（1）由图知，()214224T=−=，所以224

=，得12=.由图知，1632242b+==，321682A−==，所以()8sin2412ftt=++.将点()216,代入函数解析式得248sin21612++=，得262k+=−，()k

Z即()223kkZ=−又因为，得23=−.所以()()2248sin024123fttt=+−.（2）依题意，令2248sin28123t+−，可得

21sin1232t−，所以()252261236ktkkZ+−+解得：()24102418ktkkZ++，令0k=得，1018t，故中央空调应在上午10时开启，下午18时关闭.【点睛】本题考查了利用部分函数图象求三角

函数解析式，三角函数在实际问题中的应用，属于基础题．19.已知数列{}na是等差数列，nS是其前n项和，若510S=，且13a+，2a，1−成等比数列．（1）求数列{}na的通项公式；（2）设7=+nnba，若11nnncbb+=，

求数列{}nc的前n项和nT．【答案】（1）37nan=−（2）9(1)+nn【解析】（1）设等差数列{}na的公差为d，因为510S=，所以()15355102aaa+==，所以32a=，因为13a+

，2a，1−成等比数列，所以()2213aa=−+，又232aadd=−=−，13222aadd=−=−，所以()()22223dd−=−−+，解得3d=，所以()()3323337naandnn=+−=+−=−．（2）由（1）可得7

3773nnbann=+=−+=，故()11111133191nnncbbnnnn+===−++，所以()1111111111922319191nnTnnnn=−+−++−=−=+++

．20.已知a，b，1ab==，且3akbakb+=−，其中0k＞.(1)若a与b的夹角为60°，求k的值；(2)记()fkab=，是否存在实数k，使得()1fktk−对任意的1,1t−恒成立

?若存在，求出实数k的取值范围；若不存在，请说明理由.【答案】(1)1k=；(2)7203k−．【解析】【分析】(1)由3akbakb+=−两边平方得，223akbakb+=−，展开即可求出k的值；(2)根据223akbakb+=−，可求出()fkab=，再将()1fktk

−变形为21104kktk++−，设()2114ktktk+=+−，然后解不等式组()()1010−，即可求出实数k的取值范围．【详解】(1)由3akbakb+=−得，223akbak

b+=−，因为12ab=，所以()2212312kabkkabk++=−+，即()22131kkkk++=−+，解得1k=．(2)由(1)可知，()2212312kabkkabk++=−+，所以21()4kfkabk+==，()1fk

tk−变形为21104kktk++−，设()2114ktktk+=+−，所以()0t对任意的1,1t−恒成立，即有()()1010−，2211041104kkkkkk++−+−+−，解得7203k−．【点睛】本题

主要考查数量积的运算以及不等式恒成立问题的解法，意在考查学生的转化能力和数学运算能力，属于中档题．21.已知数列na为等差数列，35a=，713a=，数列nb的前n项和为nS，且有21nnSb=−.（1）求n

a、nb的通项公式；（2）若()1nnncab=−−，123nnTcccc=++++L，求使1230++nnTn成立的n的最小值.【答案】（1）()*21nannN=−，()1*2nnbnN−=；（2）5

.【解析】【分析】（1）设等差数列na的公差为d，根据题意列方程组解出1a和d的值，利用等差数列的通项公式可求得na的通项公式，令1n=可求得1b的值，令2n，由21nnSb=−得出1121nnSb−−=−，两式作差可推导出数列nb为等比数列，确定该数列的首项和公比，可求得数列

nb的通项公式；（2）求得2nncn=−，利用错位相减法求得nT，由不等式1230++nnTn得出1232n+，解此不等式即可得出正整数n的最小值.【详解】（1）设等差数列na的公差为d，由题意可得317125613aadaad=+==+=

，解得112ad==，()()1112121naandnn=+−=+−=−.由于数列nb的前n项和为nS，且有21nnSb=−.当1n=时，11121bSb==−，解得11b=；当2n时，由21nnSb=−可得1121nnSb−−=−

，上述两式相减得122nnnbbb−=−，12nnbb−=，可得12nnbb−=，所以，数列nb是以1为首项，以2为公比的等比数列，11122nnnb−−==；（2）()11222nnnnncabnn−=−−=−=−，1231222322nnTn=−−

−−−，()23121222122nnnTnn+=−−−−−−，上式−下式得()()12311121222222212212nnnnnnTnnn+++−−=−−−−−+=−=−+−，()112

2nnTn+=−−，()1111212222230nnnnnTnnn+++++=−−+=−，即1232n+，15n+，解得4n.因此，满足不等式1230++nnTn成立的n的最小值为5.【

点睛】本题考查等差数列通项公式的求解，利用nS求通项，同时也考查了错位相减法与数列不等式的求解，考查计算能力，属于中等题.22.已知函数()sin()0,22fxxb=++−的相邻

两对称轴间的距离为2，若将()fx的图像先向左平移12个单位，再向下平移1个单位，所得的函数()gx为奇函数．（1）求()fx的解析式；（2）若关于x的方程23(())()20gxmgx++=在区间0,2上有两个不

等实根，求实数m的取值范围．【答案】（1）()sin216fxx=−+（2）(,5)26m−−−U【解析】【分析】（1）根据相邻两对称轴间的距离求出值，由函数图像的变换关系，求出函数()gx，再结合()gx是奇函数，

即可求出参数；（2）设sin2tx=，0,2x，原方程在区间0,2上有两个不等实根，转化为方程2320tmt++=在[0,1)t内仅有一个根，且另一个根1，转化一元二次方程根的

分布求参数，或分离参数转化为对勾函数与直线交点横坐标范围，即可求解.【详解】解：（1）由题意知()fx的周期22T===，故()sin(2)fxxb=++，而()sin21sin21126gxxbxb=+++

−=+++−为奇函数，则101bb−==，且20()66kkkZ++==−，而,22−，故6=−，因此()sin216fxx=−+；（2）由（1）知()sin2gxx=，题意等价于23sin2si

n220xmx++=在区间0,2上有两个不等实根，令sin2tx=，0,2x，则题意方程2320tmt++=在[0,1)t内仅有一个根，且另一个根1．法一：令2()32httmt=++，则题意224

0016mm=−=−或(0)0(,5)26(1)0hmh−−−；法二：显然0不是该方程的根，题意22323mttmtymt−=+−=+=−与23ytt=+的图像在(0,

1)t内仅有一个交点且另一个交点不为()1,5，由于对勾函数23ytt=+在60,3上单减，在6,13上单增，故有5m−或26m−=，因此(,5)26m−−−U．【点睛】本题考查三角函数图像的变换关系，考查函数

的零点分布常用的方法，一是直接研究函数与x轴交点范围，结合零点存在性定理求出参数范围；二是转化为两个函数交点横坐标的范围.