【文档说明】重庆市乌江新高考协作体2023-2024学年高二上学期期中学业质量联合调研抽测试题+数学+含解析.docx，共(30)页，1.955 MB，由管理员店铺上传

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2023-2024学年（上）期中学业质量联合调研抽测高二数学试题（分数：150分，时间：120分钟）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.无论实数t取何值，直线10txyt++−=与圆222(2)(2)xy

m−+−=恒有公共点，则实数m的取值范围是（）A.10mB.10mC.10m−或10mD.10m−或10m2.已知直线1l：210axy+−=，和直线2l：()120axay+−+=垂直，则（）．A.1a=B.0a=C.0a=或1a=D.1a=−3.已知,ab为两条不同的直线，

，为两个不同的平面，则下列命题中正确的是（）A.若//,//abb，则//aB.若//,,//abab⊥，则⊥C.若//,//,//ab，则//abD.若//,//,ab⊥，则ab⊥4.设xab=+，ybc=+，zca=+，且,,abc是空间

的一个基底，给出下列向量组：①,,abx；②,,xyz；③,,bcz；④,,xyabc++，则其中可以作为空间的基底的向量组有（）A.1B.2C.3D.45.已知点,AB在抛物线2yx=上且位于x轴的两侧，2OAOB=（其中O为坐标原点），则直线AB

一定过点（）A.(2,0)B.1,02骣琪琪桫C.(0,2)D.10,26.已知椭圆()2222:10xyCabab+=的上顶点为A，离心率为e，若在C上存在点P，使得6PAb=，则2e的最小值是（）A.52636+B.3312+C.336+D.127.双曲线22221,(0,

0)xyabab−=右焦点为F，离心率为e，,(1)POkFOk=，以P为圆心，||PF长为半径圆与双曲线有公共点，则8ke−最小值为（）A9−B.7−C.5−D.3−8.伯努利双纽线最早于1694年被瑞士数学家雅各布·伯努利用来描述他所发现的曲线.2022年卡塔

尔世界杯会徽（如图）基于“大力神杯”的原型设计完成，正视图近似伯努利双纽线.在平面直角坐标系xOy中，把到定点()1,0Fa−、()2,0Fa距离之积等于()20aa的点的轨迹称为双纽线C.已知点()00,Pxy是双纽线C上一点，下列说法正确的有

（）A.双纽线C既关于x轴对称，也关于y轴对称B.12FPF△面积的最大值为22aC.双纽线C上满足12PFPF=的点P有两个D.PO的最大值为2a二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每

小题给出的选项中，有多项符合题目要求的.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得2分.9.直线:10lxy−+=与圆22:()2(13)Cxaya++=−的公共点的个数可能为（）A.0B.1C.2D.310.下列命题正确的是（）A.经过定点(

)0,2A的直线都可以用方程2ykx=+表示B.经过两个不同的点()()111222,,,PxyPxy的直线都可以用方程()()()()121121yyxxxxyy−−=−−表示的.C.过点()2,1且在两坐标轴上截距相等的直线有2条D

.方程222210xymxy+−−+=不一定表示圆11.以下四个命题表述正确的是（）A直线(3)4330()mxymmR++−+=恒过点（-3，-3）B.圆224xy+=上有且仅有3个点到直线:20lxy−+=的距离都等于1C.圆22120C:xy

x++=与圆222480C:xyxym+−−+=恰有三条公切线，则m=4D.已知圆22:4Cxy+=，过点P（3，4）向圆C引两条切线PA、PB，A、B为切点，则直线AB方程为3440xy+−=12.已知平面内

到两个定点A，B的距离之比为定值(1)的点P的轨迹是圆．在平面直角坐标系xOy中，已知(2,0),(4,0)AB−，若12=，则下列关于动点P的结论正确的是（）A.点P的轨迹所包围的图形的面积等于16B.当P、A、B不共线

时，△PAB面积的最大值是6C.当A、B、P三点不共线时，射线PO是∠APB的平分线D.若点(3,1)Q−，则2PAPQ+的最小值为52三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知向量()2,0,1n=为平面的法向量，点()1,2,1A−在内，点()1,2,2P−在外，则点P到

平面的距离为______．14.已知椭圆222:1(2)4xyCaa+=的左､右焦点分别为12,FF，点A为椭圆C的上顶点，直线2AF与椭圆C的另一个交点为B，若124BFBF=，则=a___________.15.如图，已知斜率为—3的直

线与双曲线22221(0,0)xyabab−=的右支交于A，B两点，点A关于坐标原点O对称的点为C且45ABC=，则该双曲线的离心率为___________..16.已知1F、2F为椭圆()222210xyabab+=的左、右焦点，点P

为该椭圆上一点，且满足1260FPF=，若12PFF△的外接圆面积是其内切圆面积的64倍，则该椭圆的离心率为______.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.在平面直角坐标系xOy中，已知直线l经过点()2,5A−和点()2,2B.（1）求直线l

方程；（2）若直线m与l平行，且m与l间的距离为3，求直线m的方程.18.如图，正三棱柱111ABCABC-中，D是BC的中点，12ABBB==．（1）证明：1AB平面1ACD；（2）求平面1CAC与平面1ACD夹角的余弦值．19.在如图所示的空间几何体中，平

面ACD⊥平面ABC，ACD与ACB△均是等边三角形，4ACBE==，BE和平面ABC所成的角为60，且点E在平面ABC上的射影落在ABC的平分线上.的（1）求证：DE⊥平面ADC；（2）求直线BA与平面DAE所成角的正弦值.20.如图，多面体ABCDEF中，四边形ABCD是边长为

4的菱形，60,7BADAEED===，平面ADE⊥平面,ABCDCF⊥平面,3ABCDCF=．（1）求证：//EF平面ABCD；（2）求二面角EAFC−−的正弦值．21.（1）已知点()3,4A−和点()5,8B，求

过直线AB的中点且与AB垂直的直线l的方程；（2）求过直线3210xy−+=和340xy++=的交点，且平行于直线230xy−+=的直线l的方程．22.设抛物线23yx=−与两坐标轴的交点分别记为M，N，G，曲线C是经过这三点的圆.（1

）求圆C的方程.（2）过()1,0P−作直线l与圆C相交于A，B两点，（i）用坐标法证明：PAPB是定值.（ii）设()0,2Q−，求22QAQB+最大值.的2023-2024学年（上）期中学业质量联合调研抽测高二数学试题（分数：150分，

时间：120分钟）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.无论实数t取何值，直线10txyt++−=与圆222(2)(2)xym−+−=恒有公共点，则实数m的取值范围是（）A

.10mB.10mC.10m−或10mD.10m−或10m【答案】D【解析】【分析】根据直线系方程知直线过定点(1,1)−，直线与圆恒有公共点得到定点在圆内或圆上，由点和圆位置关系列不等式求解即可.【详解】解：因为直线1

0txyt++−=就是(1)10txy++−=，所以直线过定点(1,1)−，由于直线与圆恒有公共点，所以点(1,1)−在圆内或圆上，所以222(12)(12)m−−+−，解得10m−或10m，故选:D【点睛】

本题主要考查了直线与圆的位置关系、点与圆的位置关系，涉及直线系方程属于基础题.2.已知直线1l：210axy+−=，和直线2l：()120axay+−+=垂直，则（）．A.1a=B.0a=C.0a=或1a=D.1a=−【答案】C【解析】【分析】根据两直线垂直，得到方程，求出得0a=或1.【

详解】因为直线1l和直线2l垂直，故()120aaa+−=，解得0a=或1，经检验，符合要求.故选：C3.已知,ab为两条不同的直线，，为两个不同的平面，则下列命题中正确的是（）A.若//,//abb，则//aB.若//,,//abab⊥，则

⊥C.若//,//,//ab，则//abD.若//,//,ab⊥，则ab⊥【答案】B【解析】【分析】根据线面平行的判定定理和性质，结合面面平行、垂直的判定定理逐一判断即可．【详解】对于A，若//,//abb，则//a或a，故A错误；对于B，若//,

//abb，则a或//a，若a，因为a⊥，则⊥，若//a，如图所示，则在平面一定存在一条直线//ma，因为a⊥，所以m⊥，又m，所以⊥，综上若//,,//abab⊥，则⊥，故B正确

；对于C，若//,//,//ab，则直线,ab相交或平行或异面，故C错误；对于D，若//,//,ab⊥，则直线,ab相交或平行或异面，故D错误.故选：B.4.设xab=+，ybc=+，zca=+，且,,a

bc是空间的一个基底，给出下列向量组：①,,abx；②,,xyz；③,,bcz；④,,xyabc++，则其中可以作为空间的基底的向量组有（）A.1B.2C.3D.4【答案】C【解析】【分析】以A为顶点作ABa=，ADb=，1AAc=

，作出平行六面体1111ABCDABCD−，根据空间向量的加法法则作出，,,,xyzabc++，然后判断各组向量是否共面可得结论．【详解】如图，作平行六面体1111ABCDABCD−，ABa=，ADb=，1AAc=，则ACab=+，1ADbc=+，1ABca=+，1ACabc=++，由平行六面

体知，,,abx共面，,,xyz不共面，,,bcz不共面，,,xyabc++不共面，因此可以作为空间的基底的有3组．故选：C．5.已知点,AB在抛物线2yx=上且位于x轴的两侧，2OAOB=（其中O为坐标原点），则直线AB一定过点（）A.(2,0)B.1,02骣琪琪桫C

.(0,2)D.10,2【答案】A【解析】【分析】设直线AB方程为xkym=+，与抛物线方程联立，消去x后得y的方程，由韦达定理可求得m，得到直线方程，根据方程特点可得答案.【详解】当直线AB的斜率为0时，直线AB与抛物线只有1个交点，不

符合题意，所以直线AB的斜率不为0，设其方程为xkym=+，因为点,AB在抛物线2yx=上，所以设()()22,,,AABBAyyByy，所以222ABABOAOByyyy=+=，解得1AByy=或2AByy=−．又因为,

AB两点位于x轴的两侧，所以2AByy=−．联立2,,yxxkym==+得220,40ykymkm−−==+，所以2AByym=−=−，即2m=，所以直线AB的方程为2xky=+，所以直线AB一定过点(2,0)．故选：A．【点睛】本题考查直线与抛物线相交问题，考查抛物线中的定值，方

法是设而不求法，在直线与圆锥曲线相交问题常常采用此法，注意体会．6.已知椭圆()2222:10xyCabab+=的上顶点为A，离心率为e，若在C上存在点P，使得6PAb=，则2e的最小值是（）A.52636+B.3312+C.336+D.12【答案】C【解析】【分析】易知()0,Ab，设()

00,Pxy，根据6PAb=，可得方程22222250cxbxbab++−=在区间,bb−上有解，()2222225,,cfxxbxbaxbbb=++−−，由()0fb−，()0fb，可得()22222324Δ450cbbabbbbc

=−−−−，求解即可.【详解】易知()0,Ab，设()00,Pxy，则2200221xyab+=.所以()()2222222222200000022126ycPAxybaybybyabbbb=+−=−+−=−−++=，即222200

2250cybybab++−=，即方程22222250cxbxbab++−=在区间,bb−上有解.令()2222225,,cfxxbxbaxbbb=++−−，因为()22222222520cfbbb

babb−=−+−=，()22222222560cfbbbbabb=++−=，所以只需()22222324Δ450cbbabbbbc=−−−−，即422661012eee−+，解得2336e+，故2e的最小值是336+.故

选:C.7.双曲线22221,(0,0)xyabab−=右焦点为F，离心率为e，,(1)POkFOk=，以P为圆心，||PF长为半径的圆与双曲线有公共点，则8ke−最小值为（）A.9−B.7−C.5−D.3−【答案】A【解析】【分析】先求出圆的方程，联立方程组，

由0得出k的范围，从而得解.【详解】由题意，右焦点(),0Fc，又,(1)POkFOk=，则(),0Pkc，()||1PFkc=−，以P为圆心，||PF为半径的圆的方程为，()()22221xkcykc-+=-，联立方

程组()()2222222211xkcykcxyab−+=−−=，得()2222222220cxkcaxakccb-+--=，由圆与双曲线有公共点，所以0，即()224222224420kcacakccb---?，结合222bca=−，化简为()(

)221120kkac轾-+-?犏臌，由方程()()221120kkac轾-+-=犏臌两根为：11k=，221221211ckea=-=->，所以不等式的解为1k，或221ke?，由已知，得221ke?所以()222182289ke

eee−=−−−−，当2e=时，取得最小值9−.故选：A【点睛】解决本题关键是曲线与曲线的位置关系，用联立方程组的方法，其中化简是个难点.8.伯努利双纽线最早于1694年被瑞士数学家雅各布·伯努利用来描述他所发现的曲线.2022年卡塔尔世界

杯会徽（如图）基于“大力神杯”的原型设计完成，正视图近似伯努利双纽线.在平面直角坐标系xOy中，把到定点()1,0Fa−、()2,0Fa距离之积等于()20aa的点的轨迹称为双纽线C.已知点()00,Pxy是双纽线C上一点，下列说法正确的有（）

A.双纽线C既关于x轴对称，也关于y轴对称B.12FPF△面积的最大值为22aC.双纽线C上满足12PFPF=的点P有两个D.PO最大值为2a【答案】ABD【解析】【分析】根据双纽线的定义求出曲线方程，利用曲线对称性的定义可判断A选项

；根据三角形的面积公式可判断B选项；由题意得12PFPF=，从而可得点P在y轴上，可判断C选项；由向量的性质结合余弦定理分析判断D选项.【详解】在双纽线C上任取一点(),Qxy，由题意可得221QFQFa=，即()()22222xayxaya++−+=，化简可得()22222244xya

axa++−=，对于A选项，因为点P为双纽线上一点，则()22222240004xyaaxa++−=，的点P关于x轴的对称点为()100,Pxy−，则()22222240004xyaaxa+−+−=，所以，点1P在双纽线C上，故双纽线C关于x轴对称，同理

可知，双纽线C关于y轴对称，A对；对于B选项，当12PFPF⊥时，即当212222212124PFPFaPFPFFFa=+==时，即当1622PFa+=或1622PFa−=时，12PFPF⊥，此时，1

2PFF△的面积取得最大值，即12212122PFFaSPFPF=△，B对；对于C选项，若双纽线C上的点P满足12PFPF=，则点P在y轴上，即00x=，所以2222200ayaya++=，得00y

=，所以这样的点P只有一个，C错；对于D选项，因为()1212POPFPF=+，所以()()2222211221121221122cos44POPFPFPFPFPFPFPFFPFPF=++=++，由余弦定理得22211212242cosaPFPF

PFFPFPF=−+，所以22222121212coscos2POaPFPFFPFaaFPFa=+=+，当且仅当02xa=时，等号成立，所以PO的最大值为2a，D对，故选：ABD.【点睛】方法点睛：求动点的轨迹方程有如下几种方法：（1）直译法：

直接将条件翻译成等式，整理化简后即得动点的轨迹方程；（2）定义法：如果能确定动点的轨迹满足某种已知曲线的定义，则可利用曲线的定义写出方程；（3）相关点法：用动点Q的坐标x、y表示相关点P的坐标0x、0y，然后代入点P的坐标()00,

xy所满足的曲线方程，整理化简可得出动点Q的轨迹方程；（4）参数法：当动点坐标x、y之间的直接关系难以找到时，往往先寻找x、y与某一参数t得到方程，即为动点的轨迹方程；（5）交轨法：将两动曲线方程中的参数消去，得到不含参数的方程，即为两动曲线交点的轨迹方程.二、多项选择题：本题共4小题，

每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求的.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得2分.9.直线:10lxy−+=与圆22:()2(13)Cxaya++=−的公共点的个数可能为（）A.0B.1C.2D.3【答案】BC【解析】【分析】根据给定条件，求出圆

心到直线l距离的取值范围，即可判断得解.【详解】圆22:()2Cxay++=的圆心(,0)Ca−，半径2r=，当13a−时，点(,0)Ca−到直线l的距离|1||1|[0,2]22aad−+−==，因此直线l与圆相切或相交，所以直线l与圆C的公共

点个数为1或2.故选：BC10.下列命题正确的是（）A.经过定点()0,2A的直线都可以用方程2ykx=+表示B.经过两个不同的点()()111222,,,PxyPxy的直线都可以用方程()()()()1

21121yyxxxxyy−−=−−表示C.过点()2,1且在两坐标轴上截距相等的直线有2条D.方程222210xymxy+−−+=不一定表示圆【答案】BCD【解析】【分析】根据直线方程的性质和圆的标准方程的性质逐项判断.【详解】对于A：经过定点()0,2A

且斜率存在的直线才可以用方程2ykx=+表示，斜率不存在时，用方程0x=来表示，故A选项错误；对于B：经过两个不同的点()()111222,,,PxyPxy的直线有两种情况：当12xx时，直线方程为211121()yyyyxxxx−−=−−，整

理得121121()()()()yyxxxxyy−−=−−；当12xx=时，直线方程为1xx=，即方程121121()()()()yyxxxxyy−−=−−成立.综上所述，经过两个不同的点()()111222,,,PxyPxy的直线都可以用方程()()()()121121yyx

xxxyy−−=−−表示，故B选项正确；对于C：当直线在x轴和y轴上截距为0时，可设直线方程为ykx=，直线过()2,1，则所求直线方程为12yx=；当直线在x轴和y轴上截距不为0时，可设直线方程为1xyaa+=，即xya+=，直线过(

)2,1，则所求直线方程为3xy+=.综上所述，过点()2,1且在两坐标轴上截距相等的直线有2条，故C选项正确；对于D：222210xymxy+−−+=化为222()(1)xmym−+−=，所以该方程0m时才表示圆，故D选项正确.故选：BCD.11.以下四个命题表述正确

的是（）A.直线(3)4330()mxymmR++−+=恒过点（-3，-3）B.圆224xy+=上有且仅有3个点到直线:20lxy−+=的距离都等于1C.圆22120C:xyx++=与圆222480C:xyxym+−−+=恰有三条公切线，则m=4D.已知圆22:4Cxy+=，过点P

（3，4）向圆C引两条切线PA、PB，A、B为切点，则直线AB方程为3440xy+−=【答案】BCD【解析】【分析】根据直线过定点、点到直线距离、圆与圆的位置关系，相交弦所在直线方程等知识对选项进行分析，由此确定正确选项.【详解】A选

项，()(3)433033430mxymmxxy++−+=+++−=，30334303xxxyy+==−+−==，所以定点为()3,3−，A错误.B选项，圆224xy+=的圆心为原点，半径为2，圆心到直线l的距离为212=，所

以圆224xy+=上有且仅有3个点到直线:20lxy−+=距离都等于1，B选项正确.C选项，圆1C的圆心为()1,0−，半径为1.圆2C的圆心为()2,4，半径为16644202mm+−=−，的由于1C、2C有三条公切线，所以两个圆外切，所以()()2212012

04m+−=−−+−，4m=，C选项正确.D选项，圆22:4Cxy+=的圆心为原点O，半径为2.5OP=，以OP为直径的圆的方程为()22325224xy−+−=，即22340xyxy+−−=，则AB所在直线方程为()22224034xxxyyy+−−+=−−

，3440xy+−=.D选项正确.故选：BCD12.已知平面内到两个定点A，B的距离之比为定值(1)的点P的轨迹是圆．在平面直角坐标系xOy中，已知(2,0),(4,0)AB−，若12=，则下列关

于动点P的结论正确的是（）A.点P的轨迹所包围的图形的面积等于16B.当P、A、B不共线时，△PAB面积的最大值是6C.当A、B、P三点不共线时，射线PO是∠APB的平分线D.若点(3,1)Q−，则2PAPQ+的最小值为

52【答案】ACD【解析】【分析】应用两点式求P的轨迹方程为()22416++=xy，即可判断A，再由圆的性质求定弦与圆上点所成三角形的最大值判断B，根据||||||||PAOAPBOB=，结合角平分线的性质判断C，由已知有2PAPQPBPQ+=+，利用三点共线求最小值判断D.【详解】设(,)Px

y，因为PAPB=()()22222124xyxy++=−+，整理得2280xxy++=，即()22416++=xy．A：点P的轨迹是以(4,0)−为圆心，4为半径的圆，所求图形的面积为16，正确；B：圆的半径为4且6AB=，当

△PAB的底边AB上的高最大时，面积最大，所以△PAB面积的最大值是164122=，错误；C：当A，B，P不共线时，由12PAPB=，OA=2，4OB=，即12OAOB=，故||||||||PAOAPBOB=．由角平分线定理的逆定理知：射线PO是∠APB的平分线，正确；D：因

为12=PAPB，即2|PA=PB|，则2PAPQPBPQ+=+，又P在圆()22416++=xy上，如图所示，所以当P，Q，B三点共线时，2PAPQ+取最小值，此时22min(2||||)||4(3)(01)52PAPQBQ

+==−−+−=，正确.故选：ACD．【点睛】关键点点睛：利用两点距离公式及比例关系求动点轨迹，再利用圆的性质求面积，应用等比转化求线段和最值.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知向量()2,0,1n=为平面的法向量，点()1,2,1A−在内

，点()1,2,2P−在外，则点P到平面的距离为______．【答案】55##55１【解析】【分析】根据给定条件，利用点到平面距离的向量求法计算作答.【详解】依题意，(2,0,3)AP=−，而平面的法向量为()2,0,1n=，所以点P到平面的距离|||22(3)

1|55||5APndn+−===.故答案为：5514.已知椭圆222:1(2)4xyCaa+=的左､右焦点分别为12,FF，点A为椭圆C的上顶点，直线2AF与椭圆C的另一个交点为B，若124BFBF=，则=a__________

_.【答案】7【解析】【分析】由椭圆的定义得225BFa=，再由22AOFBMF∽得到B点坐标，代入椭圆方程即可求出a的值.【详解】由12122,4BFBFaBFBF+==，可得2128,55BFaBFa==，如图过点B作x轴的垂线，垂足为M，所以22AOF

BMF∽，因为2AFa=，所以2225BFAF=，所以2242,555MBOAMFc===，可得点B的坐标为74,55c−，代入椭圆方程可得2249412525ca+=，有()22494412525aa−+=，解得7a=.故答案为：

715.如图，已知斜率为—3的直线与双曲线22221(0,0)xyabab−=的右支交于A，B两点，点A关于坐标原点O对称的点为C且45ABC=，则该双曲线的离心率为___________.【答案】

102【解析】【分析】设直线AB与x轴交于点D，取AB的中点M，连接AC，OM，即可得到45OMD=，tan3ODM=−，从而求出直线OM的斜率，设()11,Axy，()22,Bxy，利用点差法得到2232OMABbkka=

=，再根据离心率公式计算可得.【详解】解：如图，设直线AB与x轴交于点D，取AB的中点M，连接AC，OM，由双曲线的对称性可知O为线段AC的中点，则//OMBC，因为45ABC=，所以45OMD=，由直线AB的斜率3ABk=−，得tan3ODM=

−，则直线OM的斜率()()tantan45311tan1tantan451312OMODMkODMOMDODM+−+=+===−−−−，设()11,Axy，()22,Bxy，则22112222222211xyabxyab−=−=，两式相减得2

2221212220xxyyab−−−=，化简得122122121222yyyybxxxxa+−=+−，()2213322OMABbkka==−−=，所以该双曲线的离心率223101122bea=+=+=.故答

案为：102.16.已知1F、2F为椭圆()222210xyabab+=的左、右焦点，点P为该椭圆上一点，且满足1260FPF=，若12PFF△的外接圆面积是其内切圆面积的64倍，则该椭圆的离心率为______

.【答案】45##0.8【解析】【分析】根据椭圆定义并利用余弦定理可得22143FPbPF=，再根据正弦定理可知外接圆半径233Rc=，由等面积法可知内切圆半径()33rac=−，再根据面积比即可计算出离心率45e=.【详解】根据题意画

出图象如下图所示：利用椭圆定义可知122PFPFa+=，且122FFc=；又1260FPF=，利用余弦定理可知：()2222212121212121212122cos22PFPFPFPFFFPFPFFFFPFPFPFPFPF+−−+−==221212424122aPFPFcPFPF−

−==，化简可得22143FPbPF=；所以12PFF△的面积为122212433sin603231122PFFbSbPFPF===；设12PFF△的外接圆半径为R，内切圆半径为r；由正弦定理可得12122s432s

inn603iRcFFcFPF===，可得233Rc=；易知12PFF△的周长为121222lPFPFFFac=++=+，利用等面积法可知()1221323PFFblracrS===+，解得()()23333bracac==−+；又12PFF△的外接圆面积是其内切圆面积的64倍，即22

π64πRr=，所以8Rr=，即可得()3232383cRcaacrc===−−，所以108ca=；离心率45cea==.故答案为：45.【点睛】方法点睛：求解椭圆焦点三角形外接圆与内切圆半径问题，通常利用正弦定理计算外接圆半径，由等面积法公式12Slr=可计算出内切圆半径，即可实现问题求解.四

、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.在平面直角坐标系xOy中，已知直线l经过点()2,5A−和点()2,2B.（1）求直线l的方程；（2）若直线m与l平行，且m与l间的距离为3，求直线m的方程.【答案】（1）34140xy

+−=（2）3410xy++=或34290xy+−=【解析】【分析】（1）先由两点求出直线的斜率，然后结合点斜式方程进行求解；（2）先根据平行关系设出直线m的方程，然后结合两平行线间距离公式进行求解即可.【小问1详解】解：由题意得直线l的斜率

253224k−==−+，故直线l的方程为()3224yx−=−−，即34140xy+−=；【小问2详解】解：可设直线m的方程为340xyc++=，由题意得2214143534cc++==+，解得1c=或29c=−，故直线m的方程为3410xy++=或34290xy+−

=.18.如图，正三棱柱111ABCABC-中，D是BC的中点，12ABBB==．（1）证明：1AB平面1ACD；（2）求平面1CAC与平面1ACD夹角的余弦值．【答案】（1）证明过程见解析；（2）155.【解析】【分析】（1）根据三角

形中位线定理，结合线面平行的判定定理进行证明即可；（2）根据正三棱柱的性质建立空间直角坐标系，利用空间向量夹角公式进行求解即可.小问1详解】连接1AC交1AC于E，连接ED，因为正三棱柱111ABCABC-的侧面是平行四边形，所以E是

1AC的中点，而D是BC的中点，所以1EDBA∥，而ED平面1ACD，1AB平面1ACD．所以1AB平面1ACD；【小问2详解】因为D是BC的中点，三角形ABC是正三角形，所以ADBC⊥，设F是11BC的中

点，显然DF⊥平面111ABC，建立如图所示的空间直角坐标系，1(0,0,0),(0,1,0),(3,0,0),(0,1,2)DCAC−−，设平面1CAC与平面1ACD的法向量分别为()()111222,,,,,mxyznx

yz==，()13,1,2AC=−−，()3,1,0AC=−−，()3,0,0DA=，则有()11111132001,3,0030xyzmACmmACxy−−+===−=−−=，()2221

232000,2,1030xyznACnnADx−−+===−=−=，平面1CAC与平面1ACD夹角的余弦值为2315525mnmn==.19.在如图所示的空间几何体中，平面ACD⊥平面ABC，ACD与ACB△均是等边三角形，4ACBE==，BE和平面AB

C所成的角为60，且点E在平面ABC上的射影落在ABC的平分线上.【（1）求证：DE⊥平面ADC；（2）求直线BA与平面DAE所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）34.【解析】【分析】（1）取AC

的中点O,连接,BODO，点F是点E在平面ABC上的射影，点F在BO上，由线面角可求得EF，证得DEFO是平行四边形，由面面垂直得线面垂直，从而可证结论成立；（2）以,,OAOBOD方向为x轴,y轴,z轴的正方

向,建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz−，用空间向量法求得线面角的正弦值．【详解】（1）取AC中点O,连接,BODO.由题意知,BO为ABC的平分线,且,BOACDOAC⊥⊥.设点F是点E在平面ABC上的射影，由已知得,点FBO上,连接EF,则EF⊥平面ABC.平面AC

D⊥平面ABC,平面ACD平面ABCAC=,DO平面,ACDDOAC⊥,DO⊥平面ABC.同理可得BO⊥平面ADC.又EF⊥平面ABC,//DOEF.BE和平面ABC所成的角为60,即60EBF=,23EF=，又23DO=，四边形EFOD为平行四边形.//

DEBO.DE⊥平面ADC.的在（2）以,,OAOBOD方向为x轴,y轴,z轴的正方向,建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz−,则()()()()2,0,0,0,0,23,0,232,23,0,23,0ADEB−.(2,0,

23),(0,232,0),(2,23,0)ADDEBA=−=−=−.设平面ADE的一个法向量为(),,nxyz=,则2230,(232)0.nADxznDEy=−+==−=取1z=,得()3,0,1n=.设BA与平面ADE所成的线面角为,则233sincos,244||||

nBAnBAnBA====.BA与平面DAE所成角的正弦值为34.【点睛】方法点睛：本题考查空间向量法求异面直线所成的角，求二面角．求空间角的方法：（1）几何法（定义法）：根据定义作出空间的平面角（异面直线所成的角，直线与平面所成的角，二面

角的平面角）并证明，然后解三角形得出结论；（2）空间向量法：建立空间直角坐标系，写出各点为坐标，求出直线方向向量，平面的法向量，利用直线方向向量的夹角得异面直线所成角（相等或互补），直线方向向量与平面的法向量夹角的余弦值的

绝对值得直线与平面所成角的正弦值，两个平面法向量的夹角得二面角（它们相等或互补）．20.如图，多面体ABCDEF中，四边形ABCD是边长为4的菱形，60,7BADAEED===，平面ADE⊥平面,ABCDCF⊥平面,3ABCDCF=．（1）求证：//EF平

面ABCD；（2）求二面角EAFC−−的正弦值．【答案】（1）证明见详解；（2）18722【解析】【分析】（1）：取AD中点N，证EN⊥平面ABCD，所以//ENCF，即可证明//EF平面ABCD；（2）：连接BD交AC于O，先证,,OAOBOM两两垂直，建立如图所示的空间直角坐

标系，根据二面角的向量求解公式即可求解．【小问1详解】取AD中点N，连接,NENC．因为ADEV是等腰三角形，所以ENAD⊥，2723EN=−=．因为平面ADE⊥平面ABCD，平面ADE平面ABCDAD=，所以EN⊥平面ABCD，又因为CF⊥平面ABCD，所以//ENCF，又ENCF=，所以四

边形ENCF是平行四边形，所以//EFNC，又NC平面ABCD，EF平面ABCD，所以//EF平面ABCD．【小问2详解】连接BD交AC于O，取AF中点M，连接OM，所以//OMCF．因为CF⊥平面ABCD，所以OM⊥平面ABCD，因为,OAOB

平面ABCD，所以OMOA⊥，OMOB⊥，又因为四边形ABCD是菱形，所以OAOB⊥，所以,,OAOBOM两两垂直．建立如图所示的空间直角坐标系，则(23,0,0)A，(0,2,0)B，(23,0,0)C−，(0,2,0)D−，(3,1,0)N−，(3,1,3)E−，(23,0,3)F−

，(43,0,3)AF=−uuur，(3,1,3)AE=−−uuur．设平面AEF的法向量为(,,)mxyz=，则4330,330AFmxzAEmxyz=−+==−−+=令1x=，得(1,33,4)m=ur，又平面AFC的法向量为(0

,1,0)n=．设二面角EAFC−−的大小为，则||333cos22||||mnmn==urrurr，2187sin1cos22=−=．所以二面角EAFC−−的正弦值为18722．21.（1）已知点()3,4A−和点()5,8B，求过直线

AB的中点且与AB垂直的直线l的方程；（2）求过直线3210xy−+=和340xy++=的交点，且平行于直线230xy−+=的直线l的方程．【答案】（1）6160xy+−=；（2）210xy−−=.【解析】【分析】（1）利用中点

坐标公式求出AB的中点，利用斜率公式求出斜率，结合直线垂直斜率之间的关系与点斜式进行求解即可；（2）求出直线的交点坐标，结合直线平行的条件求出直线斜率，利用点斜式进行求解即可．【详解】（1）,AB的斜率为()84126532k−−

===−，,AB的中点坐标为3548,22C+−+，即()4,2C，与AB垂直的直线斜率16k=−，则直线l的方程为()1246yx−=−−，即6160xy+−=．（2）由3210340xyxy−+=++=得11xy=−=−，即交点坐标为()1,1−−

，设平行于直线230xy−+=的直线l的方程为20xyc−+=，直线过()1,1−−，则120c−++=，得1c=−，即直线l的方程为210xy−−=．【点睛】本题主要考查直线方程的求解，以及直线垂直和平行的关性质，属于中档题．对直线位置关系的考查是热点命题方向之一，主要

考查两直线垂直与两直线平行两种特殊关系：在斜率存在的前提下，（1）1212||llkk=（121211||0llABAB−=）；（2）12121llkk⊥=−（1212120llAABB⊥+=），这类问题尽管简单却容易出错，特别是容易遗忘斜率不存在的情况，这一点

一定不能掉以轻心.22.设抛物线23yx=−与两坐标轴的交点分别记为M，N，G，曲线C是经过这三点的圆.（1）求圆C的方程.（2）过()1,0P−作直线l与圆C相交于A，B两点，（i）用坐标法证明：PAPB是

定值.（ii）设()0,2Q−，求22QAQB+的最大值.【答案】（1）22(1)4xy++=（2）（i）证明见解析；（ii）1222+【解析】【分析】（1）根据题意，设圆的方程为220xyDxEyF++++=，由待定系数法，代入计算，即可得到结果；（2）（i）根据题意，讨论直线l的斜率存在

与不存在，联立直线与圆的方程，结合韦达定理代入计算，即可得到结果；（ii）根据题意，联立直线与圆的方程，结合韦达定理，由基本不等式即可得到结果.【小问1详解】设抛物线与x轴分别交于,MN，交y轴于点G，令0y=，则3x=，即()()3,0,3,0MN−，令0

x=，则=3y−，则()0.3G−，设圆的方程为220xyDxEyF++++=，将点的坐标代入可得330330930DFDFEF−+=++=−+=，解得023DEF===−，则22230xyy++−=，化为标准式为()2214

xy++=.【小问2详解】（i）当直线l的斜率不存在时，则l方程为=1x−，联立()22141xyx++==−，可得131xy=−=−或131xy=−=−−，即()()1,31,1,31AB−−−−−，则31

PA=−，31PB=+，则2PAPB=；当当直线l的斜率存在时，设l方程为()1ykx=+，设()()1122,,,AxyBxy，联立直线与圆的方程()()22114ykxxy=+++=，消去

y可得()()()222212230kxkkxkk+++++−=，由韦达定理可得()22121222223,11kkkkxxxxkk−++−+==++，且()()()()()22222221111111111PAxyxkxkx=++=+++=++，()()

()()()22222222212211111PBxyxkxkx=++=+++++，则()()()()()()222221212111111PAPBkxxkxx=+++=+++()()()()223221212222

311111kkkkkkxxxxkk−+++−++=++++=++()222121kk−=+=+；综上所述，2PAPB=是定值.（ii）由（i）可知，当直线l的斜率不存在时，()()1,31,1,31AB−−−

−−，且()0,2Q−，则()()222131523QA=−++=+，()()222131523QB=−+−+=−，则2210QAQB+=；当当直线l的斜率存在时，设l方程为()1ykx=+，则()()()()2222221

12222QAQBxkxkxkxk+=+++++++()()()()22222121212428kxxkxxk=+++++++()()()()()222222222224223122428111kkkkkkkkkkkk+−++−

=+−+++++++()()()222414414141411121211kkkkkkk−=+=+=+++−+−+−−()()4414141222221221211kkkk=++=+−++−+−−.当且仅当()211kk−=−

时，即12=k时，等号成立，所以()22max1222QAQB+=+.获得更多资源请扫码加入享学资源网微信公众号www.xiangxue100.com