【文档说明】四川省雅安市天立集团2023-2024学年高一上学期期中数学试题 Word版含解析.docx,共(16)页,725.976 KB,由小赞的店铺上传
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天立教育集团2023年11月高2023级期中考试数学题卷(人教A版2019)(本试卷共4页,22题.满分150分.考试用时120分钟)注意事项:1.答卷前,考生务必将自己的班级、姓名、考号填写在答题卡上.2.回答选择题时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的
答案标号涂黑.如需改动,用橡皮擦干净后,再涂其他答案标号.回答非选择题时,将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后,将答题卡交回.第Ⅰ卷(选择题)一、单选题(本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.)1.集
合22Axx=−,2,1,0,1B=−−,则AB=()A.1,1,2−B.2,1,0,1−−C.1,0,1−D.2,1,0,1,2−−【答案】C【解析】【分析】运用集合交集的定义直接求解即可.【详解】因为集合22Axx
=−,2,1,0,1B=−−,所以1,0,1AB=−,故选:C.2.命题“20000,560xxx−+”的否定是()A.20,560xxx−+B.20,560xxx−+C.20000,560xxx−+
D.20000,560xxx−+【答案】B【解析】【分析】利用含有一个量词的命题的否定规律“改量词,否结论”分析判断即可得解.【详解】解:因为命题“20000,560xxx−+”是存在量词命题,所以其否定是全称量词命题,即“20,560xxx−
+”.故选:B.3.已知11xy−+,13xy−,则32xy−的取值范围是()A.28,B.3,8C.2,7D.5,10【答案】A【解析】【分析】设()()()()32xymxynxymnxmny−=+−−=−++,利用待定系数法求得,mn
,利用不等式的性质即可求32xy−的取值范围.【详解】设()()()()32xymxynxymnxmny−=+−−=−++,所以32mnmn−=+=−,解得:1252mn==−,()
()153222xyxyxy−=++−,因为11xy−+,13xy−,所以()()15322,822xyxyxy−=++−,故选:A.4.命题“21,2,0xxa−”为真命题的一个充分不必要条件是()A.4aB.4aC
.5aD.5a【答案】D【解析】【分析】求解命题“21,2,0xxa−”为真命题时4a,即可根据真子集求解.【详解】命题“21,2,0xxa−”为真命题,则2ax对1,2
x恒成立,所以()2maxax,故4a,所以命题“21,2,0xxa−”为真命题的充分不必要条件需要满足是4aa的真子集即可,由于5aa是4aa的真子集,故符合,故选:D5.已知幂函数()(),mnfxxmn=Z,下列能成为“(
)fx是R上奇函数”充分条件的是()A.3m=−,1n=B.1m=,2n=C.2m=,3n=D.1m=,3n=【答案】D【解析】【分析】根据幂函数定义域、奇偶性的判断方法依次判断各个选项即可.【详解】对于A,()331fxx
x−==,()fx\定义域为()(),00,−+U,又()()()33fxxxfx−−−=−=−=−,()fx\是定义在()(),00,−+U上奇函数,充分性不成立,A错误;对于B,()12fxxx==,()fx\的定
义域为)0,+,()fx\为非奇非偶函数,充分性不成立,B错误;对于C,()2323fxxx==,()fx\的定义域为R,又()()()2323fxxxfx−=−==,()fx\是定义在R上的偶函数,充分性不成立,C错误;对于D,()
133fxxx==,()fx\的定义域为R,又()()33fxxxfx−=−=−=−,()fx\是定义在R上的奇函数,充分性成立,D正确.故选:D.6.若0,0xy,且满足91111xy+=++,则xy+的最小值是()A.12B.14C.16D.18【答案】B
【解析】【分析】利用基本不等式求得正确答案.【详解】()9111211211xyxyxyxy+=+++−=++++−++()()919111882141111yyxxxyxy++++=+++=++++,当且仅当()()911,1311211yxxyxy++=+=+=++时等号成立
.所以xy+的最小值是14.故选:B的的的7.函数22()1xfxx=−+的图象大致为()A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据函数的奇偶性可排除C,根据特殊值法可排除BD,即可求解.【详解】由于22()1xfxx=−+定义域为R,所以()()()2222()11xxfxfxx
x−−=−==−+−+,故))fxfx(−=−(,()fx为奇函数,图象关于原点对称,C错误;1)10f(=−,B错误,,0xy→+→,D错误,故选:A.8.定义在R上的奇函数()fx对任意120xx都有2121()()3fxfxxx−−,若(3)9f=,则不等式()30fxx−
的解集是()A.(,3)(3,)−−+B.(3,0)(3,)−+C.(,3)(0,3)−−D.(3,0)(0,3)−【答案】B【解析】【分析】构造()()3gxfxx=−,结合题设易知()gx在(0,)+上递减,且在R上的奇函数,进而有()gx
在(,0)−上递减,进而求出不等式的解集.【详解】由题设对任意120xx都有221121[()3][()3]0fxxfxxxx−−−−,所以()()3gxfxx=−在(0,)+上递减,又()fx为R上的奇函数,所以()()3()()3[()
3]()gxfxxfxxfxxgx−=−−−=−+=−−=−,故()gx在R上也为奇函数,则()gx在(,0)−上递减,又(3)9f=,则(3)(3)330gf=−=,故(3)(3)0gg−=−=,综上,()30fxx−有(3,0)(3,)x−+.故选:B二、多选题(本题共4小题
,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.)9.下列命题为真命题的是()A.若22acbc,则abB.若ab,cd,则acbd++C.若ab
,cd,则acbdD.若0ba,0c,则aacbbc++【答案】AB【解析】【分析】对于A、D项运用作差法判断,对于B项由不等式性质可判断,对于C项举反例可判断.【详解】对于A项,因为222()0acbccab−=−,
所以20c且0ab−,即:0c且ab,故A项正确;对于B项,运用不等式的性质可知,若ab,cd,则acbd++正确,故B项正确;对于C项,当2a=−,3b=−,2c=,1d=时,满足ab,cd,但
不满足acbd,故C项错误;对于D项,因为()()()()()aacabcbacabcbbcbbcbbc++−+−−==+++,又因为0ba,0c,所以0ab−,0bc+,所以()0()abcbbc−+,即:aa
cbbc++,故D项错误.故选:AB.10.下列函数中,值域为[0,4]的是()A.()1,[1,5]fxxx=−B.2()4fxx=−+C.2()16fxx=−D.1()2(0)fxxxx=+−【答案】AC【解析】【分析】逐项判断各项的值域,即可得解.【详解】对于A,由[1,5]x可
得()1[0,4]fxx=−,故A正确;对于B,由()244fxx=−+可得该函数的值域为(,4−,故B错误;对于C,由20()16164fxx=−=可得该函数的值域为0,4,故C正确;对于D,125(6)62466f=+−=,所以
该函数的值域不为0,4,故D错误.故选:AC.11.若函数()()24,1{1,1axaxfxxx−+−=−+−为实数集R上的增函数,则实数a可以为()A.2B.32C.3D.1【答案】AC【解析】【分析】根据一次函数和二次函数的单调性,结合分割点处函
数值之间的关系,列出不等式,求解即可.【详解】根据题意可得:40a−,且()2114aa−−+−+,解得)2,4a.故选:AC12.已知关于x的不等式20axbxc++的解集为M,则下列说法错误的是()A.M=,则0,0aB.若(1,3)M=−,则关于
x的不等式24cxbxbcxa−−−+的解集为31(,2),−−+UC.若00{|,Mxxxx=为常数},且ab,则4acba+−的最小值为222+D.若20,0aaxbxc++的解集M一定不为【答案】AC【解析】【分析】选项A中,由二次函数的性质得到0
,0a,可判定A错误;选项B中,转化为1−和3是方程的两个实根,求得2,3baca=−=−,把不等式化简得到(2)(31)0axx+−,求得的解集,可判定B正确;选项C中,结合二次函数的性质,求得24bca=,化简得到
22141bacabbaa++=−−,令1bta−=,结合基本不等式,求得4acba+−的最大值,可判定C错误;当a<0时,由函数2yaxbxc=++表示开口向下的抛物线,可判定D正确.【详解】由题意,关于x的不等式20axbxc++的解集为
M,对于A中,若M=,即不等式20axbxc++的解集为空集,根据二次函数的性质,则满足20,40abac=−,所以A错误;对于B中,若(1,3)M=−,可得1−和3是方程20axbxc++=两个实根,且0a,可得1313baca−
+=−−=,解得2,3baca=−=−,则不等式24cxbxbcxa−−−+,可化为23520axaxa+−,即(2)(31)0axx+−,解得<2x−或13x,即不等式的解集为31(,2),−−+U,所以B正确;对于C中,若00{|,M
xxxx=为常数},可得0x是20axbxc++=唯一的实根,且a<0,则满足20Δ40abac=−=,解得24bca=,所以222241441bbbaaacaaabbababaa++++===−−−−,令1bta−=,因为ab且a<0,可得0t,且1bta=+,则
222141(1)22222[]22()2221bactatttbbatttta++++===++=−−−−−=−−−−,当且仅当2tt=时,即2t=−时,即21=−+ba时,等号成立,所以4acba+−的最大值为222−,所以C错误;对于D中,当a<0时,函数
2yaxbxc=++表示开口向下的抛物线,所以当20,0aaxbxc++的解集M一定不为,所以D正确.故选:AC.第Ⅱ卷(非选择题)三、填空题:(本题共4小题,每小题5分,共20分.)13.已知集合21,2,,1ABaa==+,若
0,1,2AB=,则实数=a__________.【答案】0【解析】【分析】根据并集结果结合集合A,B的特征运算求解.【详解】因为1,2A=,且0,1,2AB=,可知20,1Baa=+,又因为2110a+,则0a=,且当0a
=时,0,1B=,满足0,1,2AB=,综上所述:0a=.故答案为:0.14.函数2()|32|fxxx=−+的单调递减区间是________________.【答案】(,1)−和3,22【解析】【分析】
对函数化简后,作出函数的图象,根据图象可求得结果.【详解】当2x或1x时,2()32fxxx=−+,对称轴为32x=,当12x时,2()32fxxx=−+−,对称轴为32x=,作出()fx的图象如图所示,由图可知()fx单调递减区间为3(,1)(,2)
2−和,故答案为:(,1)−和3,2215.已知命题“Rx,使()()22210mxmx−+−+”是假命题,则实数m的取值范围为______.【答案】)2,6【解析】【分析】由特
称命题的否定转化为恒成立问题后列式求解即可.【详解】由题意可知Rx,()()22210mxmx−+−+恒成立,当20m−=时,10恒成立,当20m−时,()()2202420mmm−
−−−,解得26m,综上26m,故答案为:)2,616.已知实数0ab,当1422ababab+++−+取得最小值时,则ab的值为_________.【答案】4【解析】【分析】先利用基本不等式求最值,根据取等条件得1422abababab−=−
+=+,即4313ab==即得.【详解】根据题意可得,141414222222ababababababababababab+++=−++++=−++++−+−+−+,因0ab,所以0ab−,20ab+,所以()()14142222622abababababab
abab−++++−++=−+−+即14262ababab+++−+,当且仅当1422abababab−=−+=+时等号成立,此时122abab−=+=,解得4313ab==,则4ab=
.故答案为:4四、解答题(本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)17.已知集合2230Axxx=−−,40Bxxa=−.(1)当1a=时,求AB;(2)若AB=R,求实数a的取值
范围.【答案】(1)()(134−−,,(2)34+,【解析】【分析】(1)代入1a=,求解集合A,B,按照交集的定义直接求解即可;(2)求解集合B,由并集为全集得出集合B的范围,从而求出a的范围.【小问1详解】解
:由2230xx−−得1x−或3x.所以()()13A=−−+,,.当1a=时,(4B=−,.所以()(134AB=−−,,.【小问2详解】由题意知(4Ba=−,].又()()13A=−−+,,,因为AB
=R,所以43a.所以34a.所以实数a的取值范围是34+,.18.已知函数21,11()23,1xxfxxx+−=+−(1)求((2))ff−的值;(2)若()2fa=,求a.【答案】(1)((2))2ff−=;(2)1a=−.【解析】【分析】(1)根据给定函数,
先求(2)f−,再求((2))ff−即可;(2)根据给定条件按11a−和1a−分段讨论计算作答.【详解】(1)依题意,(2)2(2)31f−=−+=−,2((2))(1)(1)12fff−=−=−+=,所以((2))ff−的值是2;(2)因(
)2fa=,依题意有21112aa−+=,解得1a=−,或者1232aa−+=,无解,于是得1a=−,所以1a=−.19.已知函数()21xnfxx+=+是定义在1,1−上的奇函数.(1)求n的值;(2)判断
函数()fx单调性并用定义加以证明.【答案】(1)0n=(2)增函数,证明见解析【解析】【分析】(1)由()00f=求得n.(2)利用函数单调性的定义证得()()12fxfx,从而判断出()fx的单调性.【小问1详解】由于()fx是定义在1,1−上的奇
函数,所以()001nfn===,故0n=,()21xfxx=+,经检验,()21xfxx=+为奇函数;【小问2详解】()fx在区间1,1−上是增函数,证明如下:设任意的1x,21,1x−且12xx,的则()()12122212
11xxfxfxxx−=−++()()()()()()()()2212212112222212121111111xxxxxxxxxxxx+−+−−==++++∵1211xx-??,∴210xx−,1210xx−,()()2212110xx++∴()()120fxfx−
,∴()()12fxfx,∴()fx在1,1−上是增函数.20.设2(1)2yaxaxa=+−+−.(1)若不等式2y−对一切实数x恒成立,求实数a的取值范围;(2)解关于x的不等式()2(1)10Raxaxa+−−.【答案】(1)13a(2)答案见解析【解析】【分析】(1)
根据a的正负性,结合一元二次不等式的解集的性质分类讨论进行求解即可;(2)根据a的正负性,结合一元二次方程两根的大小关系分类讨论进行求解即可.【小问1详解】不等式2(12)0axaxay+−−+.当0a=时,2(1)00axaxax+−+,即不等式2y−仅对0x成立,
不满足题意,舍去.当0a时,要使2(1)0axaxa+−+≥对一切实数x恒成立.则()()()22003110Δ140aaaaaa−+=−−,解得13a.综上,实数a的取值范围为13a.【小问2详解】当0a=时,2(1)1010axaxx+
−−−解得1x.当0a时,()()2(1)10110axaxaxx+−−+−.①若0a,()()110axx+−的解为11xa−;②若0a,当11a−=即1a=−时,()()()211010axxx+−−解得1x.当1a−时
,11a−,()()110axx+−的解为1xa−或1x.当10a−时,11a−,()()110axx+−的解为1x或1xa−.综上,当0a时,不等式解集为1|1xxa−;当0a=时,不等式解集为|1xx
;当10a−时,不等式解集为1|1xxxa−或;当1a=−时,不等式解集为|1xx;当1a−时,不等式解集为1|1xxxa−或.21.华为为了进一步增加市场竞争力,计划在2
023年利用新技术生产某款新手机,通过市场分析,生产此款手机全年需投入固定成本250万,每生产x(千部)手机,需另投入成本()Rx万元,且()210100,040100007019450,40xxxRxxxx+=+−,由市场调研知,每部手机售价0.7万元,且全年内生
产的手机当年能全部销售完(1)求出2023年的利润()Wx(万元)关于年产量x(千部)的函数解析式(利润=销售额-成本)(2)2023年产量为多少(千部)时,企业所获利润最大?最大利润是多少?【答案】(1)()210600250,040100009200,40xxxWxxxx−+
−=−−+(2)2023年产量为100(千部)时,企业所获利润最大,最大利润为9000万元【解析】【分析】(1)由题意得到()()0.71000250WxxRx=−−,从而根据()Rx求出()Wx(万元)关于年产量x(千部)的函数关系式;(2)040
x时,配方求出()Wx的最大值,40x时,利用基本不等式求出()Wx的最大值,比较后得到结论.【小问1详解】由题意得:()()0.71000250WxxRx=−−,故当040x时,()227001010025010600250Wxxxxxx=−−−=−+−,当40x时,()1000
01000070070194502509200Wxxxxxx=−−+−=−−+,故()Wx(万元)关于年产量x(千部)的函数关系式为:()210600250,040100009200,40xxxWxxxx−+−=−−+
.【小问2详解】当040x时,()()221060025010308750Wxxxx=−+−=−−+,故当30x=时,()Wx取得最大值,最大值为8750万元;当40x时,由基本不等式得:()1000010
0001000092009200920029000Wxxxxxxx=−−+=−++−=(万元),当且仅当10000xx=,100x=时,等号成立,因90008750,所以2023年产量为100
(千部)时,企业所获利润最大,最大利润为9000万元.22.已知函数()fx是定义在()0+,上的函数,且对于任意的实数,xy有()()()fxyfxfy=+,当1x时,()0fx.(1)求证:()fx在()0+,上是增函数
;(2)若()2=1f,对任意的实数t,不等式()()22112ftftkt+−−+恒成立,求实数k的取值范围.【答案】(1)证明见解析;(2)33,22k−.【解析】【分析】(1)1x时,()0fx,
所以可利用此条件结合单调性的定义来证明函数在()0+,上是增函数,可假设120xx,则有211xx,再利用条件()()()fxyfxfy=+便可证得命题成立;(2)由()2=1f可为求得()24f=,再次利用()()()fxyfxfy=+,
原不等式可化简为()22141tfftkt+−+,()fx在()0+,上是增函数,所以可列不等式221041ttkt+−+,求出k的取值范围.【详解】(1)由函数()fx是定义在()0+,上的函数,可设任意的120xx,则211
xx,从而210xfx()()()22211111xxfxfxfxffxxx==+,()()210fxfx−,因此()fx在()0+,上是增函数(2)由()2=1f及()()()fxyfxfy=+得()24f=()()
22112ftftkt+−−+,()()()22114ftftktf+−−+()22141tfftkt+−+由于()fx在()0+,上是增函数,所以有221041ttkt+−+即()22
210,141tktttkt−++−+对于210tkt−+对一切的tR恒成立,即Δ0,解得:()2,2k−对()22141ttkt+−+,化简得23430tkt−+,即0,解得:33,22k−综上:33,22k−