【文档说明】《2023年高考数学第一次模拟考试卷》数学（新高考Ⅰ卷B卷）（全解全析）.docx，共(14)页，1.274 MB，由envi的店铺上传

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2023年高考数学第一次模拟考试卷（新高考Ⅰ卷）数学·全解全析123456789101112BADDBBBABCABDACBCD一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．【答案】B【详解】∵

2|log1|02Pxxxx==，2|430|13Qxxxxx=−+=，∴|01PQxx−=.故选：B.2．【答案】A【详解】∵3cos2sin1+=，π0,2，∴()2312sinsin1−+=，

即26sinsin20−−=，∴2sin3=或1sin2=−（舍去），∴5cosα3=，()2sinπsin3−==，()5cosπcos3−=−=−，π5sincos23+==，π2coss

in23+=−=−.故选：A.3．【答案】D【详解】6人分组有2种情况：2211，3111，所以不同安排方案的总数为2234646422CCA1560AC+=.故选：D.4．【答案】D【详解】由于π6B=，故当ABC是等腰三角形时，π6A=

或5π12A=或2π3A=；当π6A=时，ABC是等腰三角形，所以ABC是等腰三角形是π6A=的必要不充分条件，所以选项A不正确；当23AB=时，sinsinABACCB=，即2323,sinπsin2sin

6CC==，所以π3C=或2π3C=，则π2A=或π6A=；当π6A=时，2π3C=，根据正弦定理可得23AB=，所以23AB=是π6A=的必要不充分条件，所以选项B不正确；当4BC=时，sinsinBCACAB=，即42πsinsin6A=，解得πsin1,2AA==，所以

4BC=不是π6A=的充分条件，所以选项C不正确；当π6A=时，3ABCS=；当3ABCS=时，即1sin3,432BCBABBCBA==，根据余弦定理222cos4BCBABCBAB+−=，解得2216,,2,23BCBABCBABCBA+===，

则π6A=，所以3,ABCSBCBA=是π6A=的充要条件，故选：D．5．【答案】B【详解】根据图象可知，高三年级学生平均学习时间没有高二年级学生平均学习时间长，A选项错误.根据图象可知，中小学生平均睡眠

时间都没有达到《通知》中的标准，高中生平均睡眠时间最接近标准，B选项正确.学习时间大于睡眠时间的有：初二、初三、高一、高二、高三，占比516.睡眠时间长于学习时间的占比1116，C选项不正确.从高三到大学一年级，学习时间减少9.655.71

3.94−=，睡眠时间增加8.527.90.62−=，所以D选项错误.故选：B6．【答案】B【详解】设函数()ee1xxfx=+，则()fx为偶函数，且当0x时，()1e0exxfx=−≥，所以()fx在(),0−上单调递减，在()0,+上单调递

增，因为3sin12，3tan21cos32−−，所以3tan21cos3sin102−−，又()sin1af=，()()tan2tan2bff==−，()()cos3cos3cff==−，所以bca.故选：B.7．【答案】B【详解】如图，由2||BDAD

BD=，有20BDDABD+=，可得()0BDBDDA+=，可得0BDBA=，有BDAB⊥.在RtABD△中，由112tan5FAB=，不妨设112(0)BFmm=，则5ABm=，由勾股定理得113AFm=，

又由双曲线的定义可得2132AFma=−，2122BFma=−，根据12BFBFAB+=可得()()1321225mamam−+−=，解得5am=，所以22BFm=，在Rt12FBF中，221221444237cFFmmm==+=，可得37cm=，故双曲线E的离心率为3737

55cmeam===.故选：B.8．【答案】A【详解】不妨设12xx，由()()12122fxfxxx−−可得出()()121222fxfxxx−−，即()()112222fxxfxx−−，令()()221112elnln2122exgxfxxxxkxx=

−=−−−−++，其中0x，则()()12gxgx，所以，函数()gx在()0,+上为增函数，则()2ln11e20exxgxkx+=−−−+，则2ln11e2exxkx+−−+，

令()2ln11e2exxhxx+=−−+，其中0x，()22222ln2eln2exxxxxhxxx+=+=，令()222elnxpxxx=+，其中0x，所以，()()2141e0xpxxxx=++，所以，函数()px在()0,

+上单调递增，因为22e122e110eep−=−−，()212e0p=，所以，存在01,1xe，使得()0220002eln0xpxxx=+=，则02000001112elnlnxxxxxx=−=，令()extxx=，其中0x，则()()1e

0xtxx=+，故函数()tx在()0,+上为增函数，因为01,1xe，011ex，所以，010ln1x，由02000112elnxxxx=可得()0012lntxtx=，所以，00

2lnxx=−，可得0201exx=，且当00xx时，()0hx，此时函数()hx单调递减，当0xx时，()0hx，此时函数()hx单调递增，所以，()()()02000min00112ln1111e22eeexxxhxhxxx−−+==−−+

=−+=−，所以，1ek−.故选：A.二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．【答案】BC【详解】()()()()222211i1i

12i12iaaaaz=−=−=−−=−，同理()222ibz=，对于A，()()221220aaz=−=，同理()220bz=，故A错误；对于B，()()()()51212222242ababzzzz+==

===，故B正确；对于C，()()()21222bbaazz−==，由2ab+=，则2ab=−，即()2221122bbzz−−==，因0b，则1122b−，故C正确；对于D，由122zz=，则()1222abzz−==，即12ab−=，2ab−=，故D错误.故选：B

C10．【答案】ABD【详解】对于A，因为11//ABDC，又因为1AB面1ABP，1DC面1ABP，所以1//DC面1ABP，所以直线1CD到平面1ABP的距离相等，又1ABP的面积为定值，故A正确；对于B，取1,DDDC的

中点分别为,MN，连接,,AMMNAN，则易证明：//AMPC，AM面1ABP，PC面1ABP，所以//AM面1ABP，又因为1//ABMN，，MN面1ABP，1AB面1ABP，所以//MN面1ABP，MNAMM=，所以平面1//ABP

面AMN，AQ面AMN，所以AQ//平面1ABP当AQMN⊥时，AQ有最小值，则易求出5,2,AMMN==2212cos1204122172ANADDNADDN=+−=+−−=，所以,QM重合，所以则AQ的最小值为5AM=，故B正确；对于C，若1ABQ△的外心为M，，过M

作1MHAB⊥于点H，221=2+2=22AB则21111==42ABAMAB.故C错误；对于D，过1A作111AOCD⊥于点O，易知1AO⊥平面11CDD，111cos13ODAD==在111,

DDDC上取点32,AA，使得13123=1DADA=，，则13127AAAA==，32732OAOA==−=所以若17AQ=，则Q在以O为圆心，2为半径的圆弧23AA上运动，又因为1131,3,DODA=

=所以323AOA=，则圆弧23AA等于23，故D正确.故选：ABD.11．【答案】AC【详解】由分步乘法计数原理可知：ic(1,2,,)in=选0或1，均有2种选择，故12(,,,)nccc共有2n个，A正确；因为数列

{}na是等差数列，所以1nnnaac−=−为定值，当0nc=，则0ic=(1,2,,)in=，则11220nnnbacacac=+++=，当1nc=，则1ic=(1,2,,)in=，则()1211232nnnnbaaan+=+++=++++=，B错误；若数

列{}nb是等差数列，则()112nnnnnnbbaccccc−−==+++为定值，只有0ic=(1,2,,)in=能满足要求，故0na=，C正确；若数列{}nb是等比数列，则11221112211nnnnnnbacacacqbacacac−−−

+++==+++为定值，且0q，因为0nb，所以0nc，()1122112211nnnnacacacqacacac−−+++=+++，所以()()1122111nnnnacqacacac−−=−+++，若

1q=，则()120nnnnccaccc+++==，所以0nc=，舍去；若1q，()22111acqac=−，()()212211cccqc+=−，其中121cc==，解得：3q=，()()3311221acqacac=−+，其中1231ccc===，解得：2q=，故q不是定

值，数列{}nb不可能是等比数列，D错误.故选：AC12．【答案】BCD【详解】若满足3QAAB=uuruuur，设ABt=uuur，02t，则有3QAt=uur，4QBt=，2OQ=，2ABt=.如下图：在OQB△中，由余弦定理得：2222222(4)

1316cos222416OQQBOBttOQBOQQBtt+−+−+===，在OQA中，由余弦定理得：2222222(3)113cos22234OQQAOAttOQAOQQAtt+−+−+===2231613164tttt++=，解得12t=，点()2,0Q是圆O的“3倍分

点”，故A错误；过O作弦AB的垂线垂足为D，当P在直线:2lyx=−上时，如下图：若P是圆O的“12倍分点”即12PAAB=，设PAt=uur，OPa=，则有2ABt=uuur，3PBt=uur.在OP

A中，由余弦定理得：222221cos22OPAPOAatOPAOPAPat+−+−==，在OPB△中，由余弦定理得：2222222(3)191cos2236OPBPOBatatOPBOPBPata

t+−+−+−===，222219126atatatat+−+−=，解得2213at−=.又22ABt=，1t，即22113at−=，解得12a，又:2lyx=−与坐标轴得交点为(2,0)M与(0,2)N−，则在直线:2lyx=−上，圆O的“12倍分点”的轨迹长度为22MN=，

故B正确；在圆()22:61Dxy−+=上取一点P，若点P是圆O的“2倍分点”，则有2PAAB=，设ABt=uuur，0<2t，OPa=，57a，则有2PAt=uur，3PBt=，如下图：在OPB△中，由余弦定理得：2222222(3)191cos2236O

PPBOBatatOPBOPPBatat+−+−+−===，在OPA中，由余弦定理得：2222222(2)141cos2224OPPAOAatatOPAOPPAatat+−+−+−===，2222914164atatatat+−+−=，解得226125

at=+，即05a，综上，5a=，所以在圆()22:61Dxy−+=上，恰有1个点是圆O的“2倍分点”，故C正确；设ABt=uuur，0<2t，OPa=.如下图：若点P是圆O的“1倍分点”则有PAt=uur，2PBt=，在OPB

△中，由余弦定理得：2222222(2)141cos2224OPPBOBatatOPBOPPBatat+−+−+−===，在OPA中，由余弦定理得：222221cos22OPPAOAatOPAOPPAat+−+−==，22221412

4atatatat+−+−=，解得2221at=+，(20,9a，由上面的结论可知，若点P是圆O的“2倍分点”，解得2261at=+，(20,25a，若m：点P是圆O的“1倍分点”，n：点P是圆O的“2倍分点”，则m是n的充分不必要条件，故D正确.故选：

BCD.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．【答案】2【详解】m在n方向上的投影向量的模为2222()()2||||2mnabababnabaabb−−+−===−+．故答案为：214．【答案】23yx=【详解】解：当抛物线开口向右

时，如图所示：因为3,33,90ABCBABC===，所以226,60ACABCBCAB=+==，由抛物线的定义得ABAF=，所以ABF△是等边三角形，所以113322222pppBF−−====，所以抛物线的方

程是23yx=，同理，当抛物线开口向左时，抛物线方程为：23yx=−，综上：抛物线的方程为：23yx=，故答案为：23yx=15【答案】6【详解】如图所示，根据三角函数图象的对称性，可得阴影部分的面积等于矩形ABCD和EFGH的面积之和，即2ABCDEFGHABCDSSSS=

+=，因为函数()sin(2)fxx=+的图像向左平移个单位长度得到函数()gx的图象，所以1ABCDS==，又因为图中阴影部分的面积为2，所以22=，解得4=，又由图象可得4T=，可得44T=，所以T=，

所以22wT==，所以()sin(2)fxx=+，因为()sin(2)166f=+=，可得2,32kkZ+=+，即2,6kkZ=+，因为2，所以6π=.故答案为：616．【答案】36【详

解】因为()()()2222e1e,xxfxaaxx=+−++所以()()()22e221,eexxxxxfxaa=+−++因为2e0x，所以()()22210eexxxxaa+

−++=有三个不同的零点123,,xxx，令()exxgx=，则()1exxgx=−，所以当1x时()0gx，当1x时()0gx，即()gx在(,1)−上单调递增，在(1,)+

上单调递减，所以()()max11egxg==,当0x时0exx，令1,eexxt=−，则()()22210aatt+−++=必有两个根12,tt，不妨令1210,0ett，且12121,2(2)ttatta+=+=+,即1exxt=必

有一解10x，2exxt=-有两解23,xx，且2301xx，故()()3122223121222222eeexxxxxxtt−−−=−−2121242()tttt=−++242(1)2(2)36aa=−+++=.故答案为：36.四、解答题：

本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．【答案】(1)23(2)①③正确,（i）33sin14A=;（ii）158BD=【详解】（1）解:由题意知3sincos66BB+=−

+3sincos066BB+++=,即2sin03B+=()0,B,3B+=,故23B=;（4分）（2）由（1）得23B=,ba,故条件②不成立,即条件①③正确,在A

BC中,由余弦定理可得:22222cos3acacb+−=,即2220acbac+−+=,对于条件①:22230abcc−++=,与上式结合可得3a=,对于条件③:13153sin244acBac==,

故15ac=,所以5c=,将3,5ac==代入2220acbac+−+=可得:7b=,（6分）（i）在ABC中,由正弦定理可得:sinsinabAB=,即372sinsin3A=,33sin,13cos1441AA==,（8分）（

ii）BDQ是ABC的角平分线,ABDCBD=,1sin5213sin2ABDBCDAABBDSADABSCDBCBCBBDCBDD====,7AC=,358AD=,在ABD△中,由余弦定

理可得2222cosBDABADABADA=+−23535132252525881464=+−=,故158BD=.综上:条件①③正确,33sin14A=,158BD=.（10分）18．【答案】(1)21nan=−(2)证明见解析(3)20【解析】

（1）当1n=时，()2111441aSa==+，解得：11a=；当2n且nN时，()()221144411nnnnnaSSaa−−=−=+−+，整理可得：()()1120nnnnaaaa−−+−−=，又0na，12nnaa−−=，（2分）数列na是以

1为首项，2为公差的等差数列，()12121nann=+−=−.（4分）（2）由（1）得：()()21212121212111321212121nnnnnnb−−+−+==−++++，（6分）1335572321212111111111111321

212121212121212121nnnnnP−−−+=−+−+−++−+−++++++++++12121111111111321213321339nn++=−=−=

+++.（8分）（3）由()241nnSa=+得：()2242114nSnn=−+=，2nSn=，()()211nncn=−+；（9分）①当n为偶数时，()()()()()222222223254761nTnn=−+−+−+++−()()()

()()()332547612312nnnnn+=++++++++=++++=；由200nT得：()32002nn+，又nN，min20n=；（10分）②当n为奇数时，()()()221114342022nn

nnnnnTTcn++++++=−=−+=−；（11分）综上所述：满足200nT的最小正整数n的值为20.（12分）19．【答案】(1)25(2)分布列见解析，数学期望：65(3)至少要进行11轮测试【详解】（1）由题可知10个学校，参与“自由式滑雪”的人数依次为27，15，43

，41，32，26，56，36，49，20，参与“单板滑雪”的人数依次为46，52，26，37，58，18，25，48，33，30，其中参与“单板滑雪”的人数超过30人的学校有6个，参与“单板滑雪”的人数超过30人，且“自由式滑雪”的人数超过30

人的学校有4个，记“这10所学校中随机选取2所学校参与“单板滑雪”的人数超过30人”为事件A，“这10所学校中随机选取2所学校参与“自由式滑雪”的人数超过30人”为事件B，则()26210C1C3PA==，()

24210C2C15PAB==，（2分）所以，()()()25PABPBAPA==.（4分）（2）参与“自由式滑雪”人数在40人以上的学校共4所，X的所有可能取值为0,1,2,3，所以()0346310CC2010C1206PX====，()1246310CC6011

C1202PX====，()2146310CC3632C12010PX====，()3046310CC413C12030PX====，（6分）所以X的分布列如下表：X0123P1612310130所以()131623210305EX=++=（8分）（3

）记“甲同学在一轮测试中获得“优秀””为事件C，则23233322220C1C33327P=−+=，由题意，甲同学在集训测试中获得“优秀”的次数服从二项分布20,27Bn，（10分）由题意列

式20827n，得545n，因为*Nn，所以n的最小值为11，故至少要进行11轮测试（12分）20．【答案】(1)证明见解析(2)存在，34=【详解】（1）依题意ABCD矩形，4AB=，2BC=，E是CD中点，

所以22AEBE==，又4AB=，所以，222AEBEAB+=，AEBE⊥，（2分）因为平面BEF⊥平面ABCD，平面BEFI平面ABCDBE=，所以⊥AE平面BEF，又BF平面BEF，所以AEBF⊥.（4分）（2）以C为原点，CD所在直线为x轴，CB所在直

线为y轴，建立如图所示空间直角坐标系.则()0,0,0C，()4,0,0D，()0,2,0B，()2,0,0E，（6分）设N是BE的中点，因为FEFB=，所以FNBE⊥，又平面BEF⊥平面ABCD，平面BEFI平

面ABCDBE=，所以FN⊥平面ABCD，()1,1,2F，（8分）假设存在满足题意的，则由(01)DPDB=.可得，()43,12,2PFDBDF=−+=−−.设平面DEF的一个法向量为(),,

nxyz=r，则20320nDExnDFxyz=−==−++=，令2y=，可得0x=，1z=−，即()0,2,1n=−，（10分）设PF与平面DEF所成的角为，所以sincos,||||PFnPFnPFn===()222

2212633(34)(21)(2)−+=−+−+−解得34=（1=舍去），综上，存在34=，使得PF与平面ADE所成的角的正弦值为63.（12分）21．【答案】(1)22143xy+=(2)存在2=【详解】（1）解：抛物线24yx=的焦点为()1,0

F，由题意可得1c=，12ca=，2a=，故223bac=−=，因此，椭圆C的方程为22143xy+=.（3分）（2）解：设()11,Mxy、()22,Nxy，设直线MN的方程为1xmy=+，其中0m，联立221

431xyxmy+==+，得()2234690mymy++−=，()223636340mm=++，由韦达定理可得122634myym+=−+，122934yym=−+，（6分）所以()121232myyyy=+，易知点(

)2,0A−、()2,0B，1113ykmy=+，所以，直线AM的方程为()1123yyxmy=++，（8分）将4x=代入直线AM的方程可得1163yymy=+，即点1164,3ymy+，1112163233ymyykmy+=

=+，2232221yykxmy==−−，（10分）所以，()()121212131212233131yymyyyykkmymymymy−++=+=+−+−，所以，()()1312121121212212112112233

23262312223kkmyyyymymyyyyyykmymyymyyyyy+−++−++=====+−−+.（12分）22．【答案】(1)见解析(2)见解析【详解】（1）证明：要证2lne()1e0xxxafxaxx−=+−+，即证lne0exxa

xxaxx+−+，即证()lnee0exxxaxaxx−+，令extx=，即证ln0atatt−+，（2分）令2221()ln,()aaattahttathtatttt−+−=−+=−−=，当()ln0lne0e1xxxxxx+时，即1t时，由()0ht

=，可得20atta−+−=，因为12a，2140a=−，()0ht在(1,)+上恒成立，所以()ht在(1,)+上单调递减，则当1t时，()(1)0hth=，所以()0fx；（5分）（2）证明：由（1）知，当11

,2ta=时，11ln2ttt−，令()*11Ntnn=+，则111111111ln1111221211nnnnnnnn++−=+−=++++，（8分）即111

ln(1)ln21nnnn+−++，所以111ln(2)ln(1)212nnnn+−++++，111ln(3)ln(2)223nnnn+−++++……．111ln(2)ln(21)2212nnnn−−+−，（10分）以上各式相加，

得112221ln(2)ln212212nnnnnnn−+++++++−，则11111ln2122124nnnnn+++++++−，而eln2ln2，即1113eln2ln122142nnnn+++++

+−.（12分）