【文档说明】浙江省名校协作体2023-2024学年高二下学期开学适应性考试数学试题 含解析.docx，共(24)页，2.314 MB，由管理员店铺上传

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2023学年第二学期浙江省名校协作体适应性试题高二年级数学学科考生须知：1．本卷满分150分，考试时间120分钟；2．答题前，在答题卷指定区域填写学校、班级、姓名、试场号、座位号及准考证号；3．所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效；4．考试结束后，只需上交答题卷.选择

题部分一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若复数z满足()1izi+=（i是虚数单位），则z的虚部为A.12B.12−C.12iD

.12i−【答案】A【解析】【分析】由()1izi+=得1izi=+,然后分子分母同时乘以分母的共轭复数可得复数z,从而可得z的虚部.【详解】因为(1)izi+=,所以22(1)1111(1)(1)11221iiiiiiziiiii−

−+=====+++−+−,所以复数z的虚部为12.故选A.【点睛】本题考查了复数的除法运算和复数的概念,属于基础题.复数除法运算的方法是分子分母同时乘以分母的共轭复数,转化为乘法运算.2.平面的一个法向量()2,0,1n=，点()1,2,1A−在内，则点()

1,2,3P到平面的距离为（）A.22B.322C.655D.31010【答案】C【解析】【分析】由点到平面距离的向量法计算．【详解】(2,0,2)PA=−−，6310cos,1058nPAnPAnPA−===−所以点()1,2,3P到平面的距离

为31065cos,22105dPAnPA===．故选：C．3.已知mR，则“6m=−”是“直线()()2220mxmy+−−+=与310xmy+−=平行”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不

充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】首先由两直线平行的充要条件求出参数的取值，再根据充分条件、必要条件的定义判断即可；【详解】因为直线(2)(2)20mxmy+−−+=与310xmy+−=平行，所以()()()2321232mmmm+=−−−+，解得1m=或6m

=−，所以“6m=−”是“直线(2)(2)20mxmy+−−+=与310xmy+−=平行”的充分不必要条件.故选：A.4.若一个圆锥和一个半球有公共底面，且圆锥的体积恰好等于半球的体积，则该圆锥的轴截面的顶角的

余弦值为（）A.45B.45−C.35D.35-【答案】C【解析】【分析】设圆锥的底面半径为r，高为h，母线长为l，则球的半径也为r，由题意可得23114323rhr=求得2hr=，从而可求出母线长，然后利用余弦定理可求得答案【详解】几何体的轴

截面如图所示，设圆锥的底面半径为r，高为h，母线长为l，则球的半径也为r，因为圆锥的体积恰好等于半球的体积，所以23114323rhr=，得2hr=，所以22(2)5lrrr=+=，设圆锥的轴截面的顶角为，则22222(5)(5)(2)63cos105255rrr

rrrr+−===，故选：C.5.若数列na为等差数列，数列nb为等比数列，则下列不等式一定成立的是（）A.3124aaaaB.3124aaaaC.1423bbbb++D.4132bbbb−−【答案】B【解析】【分析】根据等差数列的通项公式，结合作差法即可判断AB；根据

等比数列的通项公式，建立不等式21(1)(1)0bqq−+、21(1)(1)0bqq−+，解之即可判断CD.【详解】设数列{}na的首项为1a，公差为d；数列{}nb的首项为1b，公差为q.A：214231111(3)()(2)20aaaaaadadadd−=+−++=−，所以3

124aaaa，故A错误；B：由选项A的分析知，3124aaaa，故B正确；C：若1423bbbb++，则22432121211()()()(1)(1)0bbbbqbbbbbqq−−−=−−−=−−，即21(1)(1)0bqq−+，解得101bq−

或101bq−，又因为1b、q的取值范围未知，所以1423bbbb++不一定成立，故C错误；D：若4132bbbb−−，则224321111()(1)(1)(1)(1)0bbbbbqqbqbqq−+−=−+−=−+，即21(1)(1)0bqq−+，解

得101bq或101bq，又因为1b、q的取值范围未知，所以4132bbbb−−不一定成立，故D错误.故选：B6.下列函数图象中，不可能是函数()()cos,2fxxZx=的图象的是（）A.B.C.D.【答案】C

【解析】【分析】根据函数解析式，得到0,2x，都有()co0sfxxx=，可排除B；再结合的取值，可确定ABD可能取到.【详解】因为()()cos,2fxxZx=，若0,2x，则0yx=，c

os0x，所以()co0sfxxx=，故函数()()cos,2fxxZx=的图象不可能是C；若1=，则()cosfxxx=；又()()()coscosxxxfxfxx−=−=−=−−，所以函数()cosfxxx=是奇函数，

图象关于原点对称，且当0,2x时，()cos0fxxx=；当,2x时，()cos0fxxx=，其图象与A相同；若2=，则()2cosfxxx=，又()()()()2cosfxxfx

x−−==−，则函数()2cosfxxx=是偶函数，图象关于y轴对称；当0,2x时，()2cos0xfxx=；当3,22x时，()2cos0xfxx=，当35,22x时，()2cos0xfxx=，所以其图象可能是B

选项；若1=−，则()1cosxfxx−=，又()()()()11coscosxxxfxfxx−−−=−−=−=−，所以函数()1cosxfxx−=为奇函数，其图象关于原点对称；且0x；当0,2x时，()1c

os0xfxx−=；当3,22x时，()1cos0xfxx−=，当35,22x时，()1cos0xfxx−=，其图象可能是D选项.故选：C.【点睛】本题主要考查函数图象的识别，属于常考

题型.7.已知E，F分别是矩形ABCD边AD，BC的中点，沿EF将矩形ABCD翻折成大小为的二面角．在动点P从点E沿线段EF运动到点F的过程中，记二面角BAPC−−的大小为，则（）A当90时，sin

先增大后减小B当90时，sin先减小后增大C.当90时，sin先增大后减小D.当90时，sin先减小后增大【答案】C【解析】【分析】根据二面角的定义通过作辅助线,找到二面角的平面角，在Rt△1CHC中表示出tan的值，利用tan的值的变化来判

断sin的变化即可.【详解】当90时，由已知条件得EF⊥平面FBC,过点C作1CCFB⊥,垂足为1C，过点1C作1CHAP⊥，垂足为H，∵1CC平面FBC，∴1EFCC⊥∴1CC⊥平面ABFE,又∵AP平面ABFE，∴1C

CAP⊥,∴AP⊥平面1CCH,∴APCH⊥,..,则1CHC为二面角BAPC−−的平面角，在Rt△1CHC中，11tanCCCH=,动点P从点E沿线段EF运动到点F的过程中,1CH不断减小，则tan不断增大，即sin不断增大，

则A、B错误；当90时，由已知条件得EF⊥平面FBC,过点C作1CCBF⊥,垂足1C在BF的延长线上，过点1C作CHAP⊥,垂足在AP延长线上，∵1CC平面FBC，∴1EFCC⊥,∴1CC⊥平面ABFE,又∵AP平面ABFE，∴1CCAP⊥,∴AP⊥平面1CCH,∴AP

CH⊥,则1CHC为二面角BAPC−−的平面角的补角，即π=−，在Rt△1CHC中，11tanCCCH=,如下图所示，动点P从点E沿线段EF运动到点F的过程中,1CH先变小后增大，则tan先变大后变小，sin先变大后变小，()sinsinπsin

=−=，则sin也是先变大，后变小,则C正确，D错误；故选：C.8.已知点A是椭圆C:()222210xyabab+=的左顶点，过点A且斜率为12的直线l与椭圆C交于另一点P（点P在第一象限）．以原点O为圆心，

OP为半径的圆在点P处的切线与x轴交于点Q．若PAPQ，则椭圆C离心率的取值范围是（）A.10,2B.20,2C.1,12D.2,12【答案】B【解析】【分析】由题意可推得要使PAPQ，只需12PQ

k−，由此设直线AP方程，并联立椭圆方程，求出点Q坐标，进而得到22244PQabkb−+=−，令12PQk−，即可得到a,b的不等关系，求得答案.【详解】要使PAPQ，只要PQAPAQ，只要PQPAkk−，即只要12PQk−.∵直线AP方程为：

()12yxa=+，联立()2222112xyabyxa+==+，得()22222214bxaxaab++=，即()22234224240abxaxaab+++−=（*）注意到1xa=−为方程（*）的一个根，故4223222222444

4aabaababxaab−−++==−+，所以点322222244,44aababPabab−+++，可得2232224444OPabbkaabab==−+−+，由于OPPQ⊥,故22244PQabkb−+

=−，令12PQk−，得()22222222241122422abbaacaeb−+−，即202e所以离心率的取值范围是20,2，故选：B二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给

出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得得部分分，有选错的不得分.9.在正四棱台1111ABCDABCD−中，11122ABABAA==，则（）A.直线1AA与11CD所成的角为60B.平面11

AADD与平面11BBCC的夹角为60C.1//AA平面1CBDD.1AA⊥平面1ABD【答案】ACD【解析】【分析】分别取正方形ABCD、正方形1111DCBA的中心O、1O，连接1OO，由正四棱台的几

何性质可知1OO⊥平面ABCD，以点O为坐标原点，DA、AB、1OO的方向分别为x、y、z的正方向建立空间直角坐标系，利用空间向量法逐项判断，可得出合适的选项.【详解】分别取正方形ABCD、正方形1111DCBA的中心O、1O，连接1O

O，由正四棱台的几何性质可知1OO⊥平面ABCD，以点O为坐标原点，DA、AB、1OO的方向分别为x、y、z的正方向建立如下图所示的空间直角坐标系，设111422ABABAA===，设1OOh=，则()2,2,0A−、()1

1,1,Ah−，则()()22221212122AAhh=−+−++=+=，可得2h=，所以，()2,2,0B、()2,2,0C−、()2,2,0D−−、()11,1,2B、()11,1,2C−、()11,1,2D−

−，对于A选项，()11,1,2AA=−，()110,2,0CD=−，所以，11111111121cos,222AACDAACDAACD−===−，所以，直线1AA与11CD所成的角为60，A对；对于B选项，设平面11AADD的法向量为()1111,,mxyz=，()4,0,0DA=，

则11111114020mDAxmAAxyz===−++=，取12y=，可得()10,2,1m=−，设平面11BBCC的法向量为()2222,,mxyz=，()4,0,0CB=，()11,1,2CC=−，则22212224020mCBxmCCxyz===−+=，

取22y=，可得()20,2,1m=，所以，12121211cos,333mmmmmm===，故平面11AADD与平面11BBCC的夹角不是60，B错；对于C选项，因为()111,1,2OCAA=−=，且1OC、1AA不共线，所以，1

1//OCAA，因为1AA平面1CBD，1OC平面1CBD，所以，1//AA平面1CBD，C对；对于D选项，()4,4,0DB=，()13,1,2DA=，则1440AABD=−+=，113120AADA=−++=，所以

，1AABD⊥，11AAAD⊥，又因为1ADBDD=，1AD、BD平面1ABD，所以，1AA⊥平面1ABD，D对.故选：ACD.10.设F为双曲线22:2Cxy−=的右焦点，O为坐标原点．若圆22()4xym+−=交C

的右支于A，B两点，则（）A.C的焦距为22B.22||||OAOB+为定值C.||||OAOB+的最大值为4D.||||FAFB+的最小值为2【答案】BCD【解析】【分析】根据双曲线方程求焦距，判断A；根据两个圆的方程联立，利用韦达定理表示22OAOB

+，即可判断B；并根据基本不等式，即可判断C；根据坐标表示，结合B选项，即可判断D.【详解】双曲线方程22:122xyC−=，其中222ab==，则2224cab=+=，所以焦距24c=，故A错误；设()

11,Axy，()22,Bxy，所以22222222221122121222OAOBxyxyyyyy+=+++=+++++，()()22212121242422yyyyyy=++=++−（*）联立()222224xyxym−=+−=，得222220ymym

−+−=，其中12yym+=，21222myy−=，代入（*）得到2222242282mOAOBm−+=+−=（定值），故B正确；()2224OAOBOAOB++=，当OAOB=时，等号成立，故C正确；()()()222211111122422121FAxyxx

xx=−+=−+=−=−，同理()221FBx=−，所以()()22121222222222FAFBxxyy+=+−=+++−，其中()()22222222212121212224224yyyyyyyy+++=++++

++由B选项可知，12yym+=，21222myy−=，()22212121222yyyyyy+=+−=，所以上式2226282m−=++，当22m=时，取得的最小值642+，所以12xx+的最小值是64222+=+，则FAFB

+的最小值是()222222+−=，故D正确.故选：BCD11.已知数列na：1，1，2，1，3，5，1，4，7，10，…，其中第1项为1，接下来的2项为1，2，接下来的3项为1，3，5，再接下来的4项为1，4，7，10，依此类推，则（）A.2021a=B.()2

1222nnann+=−+C.存在正整数m，使得ma，1ma+，2ma+成等比数列D.有且仅有3个不同的正整数,1,2mmm++，使得12156mmmaaa++++=【答案】ABD【解析】【分析】由题意将数列{}na分组，第一组：1；第二组：1,2；第三组：1,3,5；以此类推，第n组：21,,2

1,32,,1(1)nnnn−−+−.则每组数构成首项为1，公差为(n)1−的等差数列，且项数为n.结合等差数列的通项公式和前n项求和公式计算，依次判断选项即可.【详解】将数列{}na分组，第一组：1；第二组：1,2；第三组：1,3,5；以

此类推，第n组：21,,21,32,,1(1)nnnn−−+−，则每组数构成首项为1，公差为(n)1−的等差数列，且项数为n.A：由202115(51)a=+−=，知20a为数列{}na的第六组数中的第5项，故A正确；B：由(1)122nnn++++=，知(1)2+nna

为数列{}na第n组数中的第n项，此时该组数据是以1为首项，(n)1−为公差的等差数列，所以2(1)21(1)(1)22nnannnn+=+−−=−+，故B正确；C：12,,mmmaaa++为数列{}na中的连续3项：①若12,,

mmmaaa++为数列{}na中第(),3kkkN组的连续3项，当12,,mmmaaa++成等比数列时，12,,mmmaaa++为常数列，不符合题意，所以12,,mmmaaa++成等差数列；若12,,mmmaaa++为数列{}

na中第k组和第(1)+k组的3项，②当ma在第k组，12,mmaa++在第(1)+k组，此时11ma+=，12,,mmmaaa++不成等差和等比数列；③当1,mmaa+在第k组，2ma+在第(1)+k组，此时21ma+=，12,,m

mmaaa++不成等差和等比数列，综上，12,,mmmaaa++不成等比数列，故C错误；D：由选项C的分析知，当12,,mmmaaa++为情况①中的3项，设为第k组的12,,cccaaa++()*cN项

，则12133[1(1)]156ccccaaaakc+++++==+−=，解得417kc==，不符合题意；当12,,mmmaaa++为情况②中的3项，则ma在第k组，12,mmaa++在第(1)+k组，此时11ma+=，

2222,mmakkak+=−+=，所以22122213156mmmaaakkkkk++++=−+++=−+=，解得16092k=，又*kN，所以k无解，不符合题意；当12,,mmmaaa++为情况③中的3项，则1,mmaa+在第k组

，2ma+在第(1)+k组时，21ma+=，得1(1)(2)1(1)(1)1156kkkk+−−++−−+=，解得10k=，符合题意.即1,mmaa+分别为第十组的第9、第10项，即119873,19982mmaa+=+==+=，有12156m

mmaaa++++=，故D正确.故选：ABD【点睛】关键点点睛：本题综合考查了数列的相关知识，解答时要明确数列的项的规律，进而分组.本题将的数列分组后，每组数构成首项为1，公差为(n)1−的等差数列，且项数为n，利用等差数列的通项公式计算是解题的关键.非选择题部分三、填空题：本大题

共3小题，每小题5分，共15分.把答案填在答题卡中的横线上.12.若1tan2=，则cos44cos23cos44cos23−+=++________【答案】116##0.0625【解析】【分析】根据二倍角公式，

结合同角三角函数的关系求解即可.【详解】()()2222cos21cos44cos232cos214cos23cos44cos232cos214cos23cos21−−+−−+==++−+++()()224222sin1tan162cos−==

=故答案为：11613.已知数列na中，11a=，12nnnaa+=，则54aa=___________；设数列na的前n项的和为nS，则11S=___________.【答案】①.1②.125【解析】【分析】根据题中条件，得到22a=，22nnaa+=，则列na的奇数项和偶数项分

别成以2为公比的等比数列，根据等比数列的求和公式，即可得出结果.【详解】因为11a=，12nnnaa+=，所以22a=，1122nnnaa+++=，则22nnaa+=；即数列na的奇数项和偶数项分别成以2为公比的等比数列，

.则当n为奇数时，1122122nnnaa−−==；当n为偶数时，122222nnnaa−==；因此2524212aa==；则()()111351124610......Saaaaaaaa=+++++++++()()()25235235122...2222...212222

...2=+++++++++=+++++()52121212512−=+=−.故答案为：1；125.【点睛】本题主要考查等比数列基本量的运算，熟记等比数列的通项公式与求和公式即可，属于常考题型.14.在三棱锥ABCD−中，AD⊥平面B

CD，π2ABDCBD+=，2BDBC==，则三棱锥ABCD−外接球表面积的最小值为______.【答案】(225)π+【解析】【分析】设CBD=，在等腰BCD△中，求得CD，设BCD△的外心是M，外接圆半径是r，由正弦定理得1cos2r=，设外

接球球心是O，可得OMDA是直角梯形，设OMh=可得2ADh=，把h（AD）也用表示，然后可表示出外接球半径2R，利用三角恒等变换，换元法，变形后由基本不等式求得最小值，从而得球表面积的最小值．【详解】设

CBD=，在等腰BCD△中，2sin4sin22CDBC==，设BCD△的外心是M，外接圆半径是r，则4sin222sin2sincoscos222CDr===，∴1cos2r=，设外接球球心是O，则OM⊥平面BCD，DM平面BCD，则OMD

M⊥，同理ADBD⊥，ADDM⊥，又AD⊥平面BCD，所以//ADOM，OMDA是直角梯形，设OMh=，外接球半径为R，即ODOAR==，则222222()rhRrADhR+=+−=，所以2ADh=，在直角ABD△中，π2ABD=−，BAD=，2tanA

D=，2tanAD=，∴1tanh=，22222211cos2cos2tansin1cos1cos1coscos2R=+=+=++−+22232(cos)cos22cos211cos1cos−

+−==−+−−，令3cos2t−=，则13(,)22t，2222211351()324ttRttt=−+=−+−−−+−22215111525353()3244tttt+=−+−+=−+=−−+−，当且仅当5

4tt=，52t=时等号成立，所以24πR的最小值是154π2+=(225)π+．故答案为：(225)π+.【点睛】思路点睛：本题考查三棱锥外接球表面积，解题关键是用一个变量表示出球的表面积，前提是选定

一个参数，由已知设CBD=，其他量都用表示，并利用三角函数恒等变换，换元法，基本不等式等求得最小值．考查了学生的运算求解能力，逻辑思维能力，属于难题．四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.1

5.在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，32a=，πsinsin3aBbA=+.（1）求角A；（2）作角A的平分线与BC交于点D，且3AD=，求bc+.【答案】（1）π3（2）6【解析】【分析】（1）由正弦定理边角互化，化简

后利用正切值求角即得；（2）充分利用三角形的角平分线将三角形面积进行分割化简得bccb+=，再运用余弦定理解方程即得.【小问1详解】因πsinsin3aBbA=+，由正弦定理可得：13sinsincossinsin022BAA

AB+−=，即31sincossin022BAA−=.因(0,π)B，故sin0B，则有31cossin22AA=，即tan3A=，因(0,π)A，故π3A=.【小问2详解】因为AD为角平分

线，所以DABDACABCSSS+=，所以111sinsinsin222ABADDABACADDACABACBAC+=.因π3BAC=，6πDABDAC==，3AD=，则333444ABACABAC+=，即ABACABAC+=，

所以bccb+=.又由余弦定理可得：2222π2cos()33abcbcbcbc=+−=+−，把32a=，bccb+=分别代入化简得：2()3()180bcbc+−+−=，解得：6bc+=或3bc+=-（舍去），所以6bc+=.16.若存在常数k，b使得函数()Fx与(

)Gx对于给定区间上的任意实数x，均有()()FxkxbGx+，则称ykxb=+是()yFx=与()yGx=的隔离直线．已知函数()21fxxx=−+，()1112gxxx=−+．（1）在实数范围内解不等式：()()fxgx；（2）当0x时，写出一条()yfx=与()ygx=

的隔离直线的方程并证明．【答案】（1）()1,0,2x−−+（2）yx=，证明见解析【解析】【分析】（1）由()()fxgx=解得1x=或12x=−,在同一个平面直角坐标系中作出函数(),()yfxygx==的图象，结合图形即可求解；（2）求出(),()fxgx的图象

的交点，设()yfx=与()ygx=是存在隔离直线函数ykxb=+，可得1ykxk=+−，利用()fxkxb+可求出k的值，结合证明()(0)gxxx，即可得出结论.【小问1详解】由()()fxgx=，即2111()12xxxx−+=−+，解得1x=或12x=−．在同一个平面直

角坐标系中作出函数(),()yfxygx==的图象，如图，由图可知，当12x−时，函数()fx单调递减，()gx单调递增，且11()()22fg−=−，所以()()fxgx；当102x−时，函数()fx

单调递减，()gx单调递增，且11()()22fg−=−，则()()fxgx；当01x时，函数()fx在1(0,)2上单调递减，在1(,1)2上单调递增，()gx单调递增，且(1)(1)fg=，所以()()fxgx；当1

x时，函数()fx单调递增，()gx单调递增，且(1)(1)fg=，()()fxgx，所以不等式()()fxgx的解集为()1,0,2−−+.【小问2详解】一条隔离直线为yx=．证明：由（1）知，令()()fxgx=，由0x解得1x=，当1x

=时，()()1fxgx==，即(),()yfxygx==有公共点(1,1)，设()yfx=与()ygx=存在隔离直线函数ykxb=+，则点(1,1)在隔离直线函数ykxb=+上，则1kb+=，即1bk=−，所以1ykxk=+−；若当0x时有()fxkxb+，即(

)211xxkxk−++−，则()210xkxk−++在(0,)+上恒成立，即(1)()0xxk−−，由于1(0,)+，故此时只有1k=时上式才成立，则10bk=−=.下面证明()(0)gxxx，令()1111121022ygxxxxxx=−=−++−+=，即()

0ygxx=−，故()gxx，当且仅当1xx=即1x=时，等号成立，所以1ykxk=+−，即yx=为()yfx=与()ygx=的隔离直线函数.17.如图，正方形ABCD中，边长为4，E为AB中点，F是边BC上的动点．将ADEV沿DE翻折到S

DEV，BEF△沿EF翻折到SEF，（1）求证：平面SEF⊥平面SFD；（2）设面SAD面SBCl=，求证：ADl∥；（3）若1BF，连接DF，设直线SE与平面DEF所成角为，求的最大值．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）π3【解析】【分析】

（1）由已知,SESDSESF⊥⊥，可得SE⊥面SFD，由面面垂直的判定定理可得证；（2）利用线面垂直的性质定理证明即可；（3）设S在面AEF上的射影为O，则SEO为直线SE与平面DEF所成角．设(14)BFxx=，利用体积法，由SDEFEDSFVV−−=求得SO，从而得sin

的表达式，结合换元法及函数的单调性求出的最大值．【小问1详解】因为ABCD是正方形，,SESDSESF⊥⊥，又SDSFS=，,SDSF面SFD，SE⊥面SFD，又SE平面SEF，所以平面SEF⊥平面SFD；【小问2详解】证明：因为//ADBC，AD面SB

C，BC面SBC，所以//AD面SBC，又因为面SAD面SBCl=，所以ADl∥.【小问3详解】设S在面AEF上的射影为O，连接EO，则SEO为直线SE与平面DEF所成角．设(14)BFxx=

，则4CFx=−．()11144422444222DEFSxxx=−−−−=+．在DEF中，4,DSSFx==，2832DFxx=−+．可得2222cos12DSSFDFDSFDSSFx+−==−，1sin412DBFSDSSFDSFx==−，SDEFEDSF

VV−−=，()8141244xxxSOSOx−−=+=+又2SE=，41sin4SOxSEx−==+，令(2441,0,3,sin55txttttt−===++，令()()5,0,3gtttt=

+，()()()()121212121212121255555ttgtgttttttttttttt−−=+−+=−+−=−，当()12,0,3tt且12tt时，1212120,50,0tttttt−−，则()()120gtgt−，可得()gt在(0,3上

单调递减，当3t=，即4x=时，sin最大为32，最大值为π3．18.已知数列na的前n项和为nS，满足()*22nSnan=−N．（1）求数列na的通项公式；（2）记22212nnTaaa=+++，数列nnaT的前n项和为nR，证明：13111421nnR+

−−．【答案】（1）2nna=（2）证明见解析【解析】【分析】（1）由题意，根据11nnnaSS++=−计算可得12nnaa+=，结合等比数列的定义和通项公式即可求解；（2）由（1）可得24nna=，利用等比数列前n项求和公式计算求出nT，则1323214

414342nnnnnnnaT−==−，根据放缩法可得()()11323114421212121nnnnnnnaT++=−−−−−，结合等比数列前n项求和公式与裂项相消求和法计算即可证明.【小问1详解】∵11122aSa==−，∴12a=，由22n

nSa=−及1122nnSa++=−，得11122nnnnnaSSaa+++=−=−，即12nnaa+=，∴na是以2为首项，2为公比的等比数列，∴2nna=；【小问2详解】∵()2224nnna==，∴()()414441143n

nnT−==−−，从而32441nnnnaT=−，∵1323214414342nnnnnnnaT−==−，∴211[1()]111122111222212nnnnR−+++==−−；又()()()()1132323

2311441444212121212121nnnnnnnnnnnnaT++===−−−−−+−−，∴2231131111113114212121212121421nnnnR++−+−++−=−−−−−−−−

，综上所述：13111421nnR+−−．19.已知A是抛物线22(0)ypxp=上一点（异于原点），斜率为1k的直线1l与抛物线恰有一个公共点A（1l与x轴不平行）．（1）当132kp=时，求点A的纵坐标；（2）斜率为2k的直线2l与抛物线交于B，

C两点，且ABC是正三角形，求12kk的取值范围．【答案】（1）132（2）1(1,0)0,7−【解析】【分析】（1）设(,)AAAxy，直线1l代入抛物线方程，根据方程有两个相等的实根即可求出Ay，根据132kp=即可求解；（2）设直

线():AAAByytxx−=−，代入抛物线22ypx=求出By和Ay的关系式，设直线():AAACyysxx−=−，同理求出Cy和Ay的关系，不妨设A，B，C是绕着ABC的重心逆时针排列，由3BAC=

求出s和t的关系式，据此即可求解.【小问1详解】由题意可设(,)AAAxy，直线()11:AAlyykxx−=−，代入抛物线22ypx=得211220AAypyypxkk−+−=，由题意，方程有两个相等的实根，故1Apyk=，又132kp=，所以点A的纵坐标132Ay=；【小问

2详解】由题意可设直线():AAAByytxx−=−，代入抛物线22ypx=得2220AAypyypxtt−+−=，故2BApyyt=−，设直线():AAACyysxx−=−，同理可得2CApyys=−，由||||ABAC=知()()2222

1111BACAyyyyts+−=+−，不妨设A，B，C是绕着ABC的重心逆时针排列的，由π3BAC=知33313tstt+=−，代入化简得13(3)23AA

pttytpytt−+−=−+，由图易知0t时BAyy−与CAyy−同号，当t3=−时如图，C点不存在，所以3t−，对于3t−，想象这个图顺时针转了一个小角度，AC直线延长和抛物线的交点在x轴下面，所以3t−，所以()323(31)233Apt

tyttt−+=+−+，又22BCBCBCyypkxxyy−==−+，进而121112BCAAyykpkytsy+==+−，代入化简得21222(3)1112331376483ktkttt−=−=−−+++−30,3,3t

，得121111,,00,227kk−−−，当33t=时，易知ACx⊥轴，B位于坐标原点，此时12122BCAyykky+==−，而30,3,3t=−均不符合题意

，因此，12kk的取值范围是1(1,0)0,7−．【点睛】关键点点睛：本题关键在于不妨设A，B，C是绕着ABC的重心逆时针排列，由π3BAC=求出s和t的关系式.